2018-2019数学新学案同步必修四北师大版讲义：第一章 三角函数6

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§6余弦函数的图像与性质学习目标1.会用“五点法”“图像变换法"作余弦函数的图像.2。理解余弦函数的性质，会求y＝Acosx＋B的单调区间及最值.3.会利用余弦函数的单调性比较三角函数值的大小，能根据图像解简单的三角不等式.知识点一余弦函数的图像思考1根据y＝sinx和y＝cosx的关系，你能利用y＝sinx，x∈R的图像得到y＝cosx，x∈R的图像吗?答案能，根据cosx＝sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2））),只需把y＝sinx，x∈R的图像向左平移eq\f(π，2）个单位长度，即可得到y＝cosx，x∈R的图像.思考2类比“五点法"作正弦函数图像，那么余弦函数图像能否用“五点法"作图？若能，y＝cosx，x∈[0，2π］五个关键点分别是什么？答案能，五个关键点分别是（0，1）,eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（π,2），0）)，(π，－1）,eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0)），eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π，1))。梳理余弦函数y＝cosx(x∈R)的图像叫作余弦曲线.知识点二余弦函数的性质思考1余弦函数的最值是多少？取得最值时的x值是多少？答案对于余弦函数y＝cosx，x∈R有：当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1；当且仅当x＝(2k＋1）π,k∈Z时,取得最小值－1；观察余弦函数y＝cosx,x∈[－π，π］的图像：函数y＝cosx，x∈[－π，π］的图像如图所示.思考2余弦函数在[－π，π]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？答案观察图像可知：当x∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cosx的值由－1增大到1；当x∈［0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cosx的值由1减小到－1。推广到整个定义域可得当x∈[2kπ－π，2kπ］，k∈Z时，余弦函数y＝cosx是增函数，函数值由－1增大到1;当x∈［2kπ，(2k＋1)π］，k∈Z时，余弦函数y＝cosx是减函数，函数值由1减小到－1。梳理函数y＝cosx定义域R值域[－1,1］奇偶性偶函数周期性以2kπ为周期(k∈Z，k≠0)，2π为最小正周期单调性当x∈[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z）时，函数是增加的；当x∈[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z)时，函数是减少的最大值与最小值当x＝2kπ(k∈Z）时，最大值为1；当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，最小值为－11。余弦函数y＝cosx的图像与x轴有无数个交点。(√）2.余弦函数y＝cosx的图像与y＝sinx的图像形状和位置都不一样。（×)提示函数y＝cosx的图像与y＝sinx的图像形状一样,只是位置不同。3。存在实数x，使得cosx＝eq\r(2）。（×）提示余弦函数最大值为1。4.余弦函数y＝cosx在区间[0，π］上是减函数。(√）提示由余弦函数的单调性可知正确.类型一用“五点法”作余弦函数的图像例1用“五点法”作函数y＝1－cosx(0≤x≤2π)的简图。考点“五点法”作图的应用题点用“五点法”作余弦函数的图像解列表：x0eq\f（π，2）πeq\f(3π，2）2πcosx10－1011－cosx01210描点并用光滑的曲线连接起来，如图所示.反思与感悟作形如y＝acosx＋b，x∈［0，2π]的图像时，可由“五点法”作出，其步骤：①列表，取x＝0，eq\f（π，2),π，eq\f(3π，2），2π；②描点；③用光滑曲线连线成图。跟踪训练1用“五点法”作函数y＝2cosx＋1,x∈［0，2π］的简图。考点“五点法”作图的应用题点用“五点法”作余弦函数的图像解∵x∈[0,2π］，∴令x＝0,eq\f（π,2)，π，eq\f（3π，2),2π，列表得：x0eq\f（π，2）πeq\f(3π，2）2πcosx10－101y31－113描点,连线得：类型二余弦函数单调性的应用例2（1)函数y＝3－2cosx的递增区间为。考点余弦函数的单调性题点求余弦函数的单调区间答案［2kπ，π＋2kπ］（k∈Z)解析y＝3－2cosx与y＝3＋2cosx的单调性相反，由y＝3＋2cosx的递减区间为[2kπ，π＋2kπ］（k∈Z），∴y＝3－2cosx的递增区间为［2kπ，π＋2kπ]（k∈Z).（2）比较coseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(23，5）π）)与coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(17,4)π))的大小.考点余弦函数的单调性题点利用单调性比较大小解coseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(23,5）π))＝coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－6π＋\f(7,5）π))＝coseq\f(7，5）π,coseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（17，4)π)）＝coseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－6π＋\f（7，4)π））＝coseq\f(7,4)π，∵π<eq\f(7，5)π<eq\f（7,4）π〈2π，∴coseq\f（7,5）π〈coseq\f（7，4）π，即coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23，5)π））〈coseq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（17，4）π)）.反思与感悟单调性是对一个函数的某个区间而言的,不同函数,不在同一单调区间内时，应先用诱导公式进行适当转化，转化到同一单调区间内,再利用函数的单调性比较大小。跟踪训练2cos1，cos2，cos3的大小关系是.(用“〉"连接)考点正弦函数、余弦函数的单调性题点正弦函数、余弦函数单调性的应用答案cos1>cos2>cos3解析由于0〈1<2<3<π，而y＝cosx在［0，π）上是减少的，所以cos1〉cos2>cos3.类型三余弦函数的定义域和值域例3(1)求f(x)＝eq\r(2cosx－1)的定义域.考点余弦函数的定义域题点余弦函数的定义域解要使函数有意义,则2cosx－1≥0，∴cosx≥eq\f(1,2），∴－eq\f（π，3)＋2kπ≤x≤eq\f(π,3）＋2kπ，∴定义域为eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(－\f（π，3）＋2kπ,\f(π，3)＋2kπ））eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（k∈Z）)(2）求下列函数的值域。①y＝－cos2x＋cosx；②y＝eq\f（2－cosx,2＋cosx）.考点余弦函数的值域题点余弦函数的值域解①y＝－eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（cosx－\f(1,2）))2＋eq\f(1,4)。∵－1≤cosx≤1，∴当cosx＝eq\f(1，2）时，ymax＝eq\f(1，4）.当cosx＝－1时，ymin＝－2。∴函数y＝－cos2x＋cosx的值域是eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,4））).②y＝eq\f(4－2＋cosx,2＋cosx）＝eq\f（4，2＋cosx)－1。∵－1≤cosx≤1，∴1≤2＋cosx≤3，∴eq\f(1,3)≤eq\f（1，2＋cosx)≤1，∴eq\f(4,3）≤eq\f(4,2＋cosx)≤4,∴eq\f（1，3）≤eq\f（4,2＋cosx)－1≤3，即eq\f（1，3）≤y≤3。∴函数y＝eq\f(2－cosx,2＋cosx)的值域为eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（\f(1,3），3)）。反思与感悟求值域或最大值、最小值问题的依据（1)sinx，cosx的有界性。（2）sinx，cosx的单调性.(3）化为sinx＝f(y)或cosx＝f(y),利用|f（y)|≤1来确定。(4）通过换元转化为二次函数.跟踪训练3函数y＝－cos2x＋cosx＋1eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(π,4）≤x≤\f(π,4）)）的值域是。考点余弦函数的值域题点余弦函数的值域答案eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(1,\f(1＋\r（2)，2)）)解析设cosx＝t，∵－eq\f(π，4)≤x≤eq\f(π,4），则t∈eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f(\r(2）,2),1)）,∴y＝－cos2x＋cosx＋1＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)））2＋eq\f（5，4），t∈eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)，2)，1）），∴当t＝eq\f(\r(2），2）,即x＝±eq\f（π,4)时,ymax＝eq\f(1＋\r（2），2），当t＝1，即x＝0时，ymin＝1，∴函数的值域为eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(1,\f(1＋\r(2），2)））.1.（2017·全国Ⅲ)函数f(x）＝eq\f（1，5）sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π，3）））＋coseq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（x－\f（π，6)））的最大值为（)A.eq\f（6,5)B.1C.eq\f(3，5)D.eq\f（1，5)考点正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点正弦函数的最大值与最小值答案A解析∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（x＋\f(π，3）)）＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（π，6)－x)）＝eq\f(π,2)，∴f(x）＝eq\f（1,5)sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（x＋\f（π，3）））＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（x－\f（π,6)）)＝eq\f(1,5)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f（π，3）))＋coseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（π,6)－x）)＝eq\f（1，5)sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（x＋\f（π，3））)＋sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(x＋\f(π，3)）)＝eq\f（6，5）sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π，3）))≤eq\f(6,5).∴f(x）max＝eq\f（6,5)。故选A.2。下列函数中，周期为π，且在eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(\f(π，4），\f(π，2)）)上为增函数的是()A。y＝sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(2x＋\f（π，2））) B.y＝coseq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（2x＋\f（π，2））)C.y＝sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(x＋\f（π,2）)） D。y＝coseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（x＋\f（π,2))）考点余弦函数的周期性与单调性的综合应用题点余弦函数的周期性与单调性的综合应用答案B3.函数f(x)＝lgcosx＋eq\r（25－x2）的定义域为。考点余弦函数的定义域题点余弦函数的定义域答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1（－5，－\f(3π,2））)∪eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（π,2），\f（π，2））)∪eq\b\lc\（\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f(3π,2)，5）)解析由题意，得x满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosx>0，，25－x2≥0，））即eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（cosx>0，,－5≤x≤5,））作出y＝cosx的图像，如图所示.由图可得－5≤x〈－eq\f（3π，2)或－eq\f（π，2)〈x〈eq\f（π,2）或eq\f（3π,2)〈x≤5。∴定义域为eq\b\lc\［\rc\)(\a\vs4\al\co1(－5，－\f（3π,2)）)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（π，2）,\f（π，2)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f（3π，2)，5))。4。比较大小:(1)cos15°cos35°；（2）coseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(π,3）))coseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（π,4)））。考点余弦函数单调性的应用题点利用单调性比较大小答案（1）〉(2)<解析（1）∵0°<15°<35°〈90°，且y＝cosx在［0°，90°］上是减少的，∴cos15°>cos35°.（2)∵－eq\f(π,2）<－eq\f（π,3）<－eq\f(π，4)<0,且y＝cosx在eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（－\f（π，2），0)）上是增加的，∴coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(π，3）））〈coseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（π，4）)）。5。函数y＝cos(－x），x∈[0，2π］的递减区间是。考点余弦函数单调性的应用题点求余弦函数的单调区间答案[0，π]解析y＝cos(－x)＝cosx，其递减区间为[0，π].1。对于y＝acosx＋b的图像可用“五点法"作出其图像,其五个关键点是最高点、最低点以及图像与x轴相交的点。2.通过观察y＝cosx，x∈R的图像，可以总结出余弦函数的性质.3。利用余弦函数的性质可以比较余弦型三角函数值的大小及求最值.一、选择题1.函数y＝cosx＋|cosx|，x∈［0，2π]的大致图像为(）考点余弦函数的图像题点余弦函数的图像答案D解析y＝cosx＋|cosx|＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(2cosx，x∈\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（0,\f(π，2））)∪\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f（3π,2)，2π）），，0，x∈\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π,2)，\f（3π,2)))，）)故选D.2.在区间eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(0,\f（π，2）)）上，下列函数是增函数的是(）A。y＝eq\f（1，sinx) B。y＝－eq\f(1,cosx)C。y＝－sinx D.y＝－cosx考点余弦函数的单调性题点余弦函数的单调性答案D解析由正、余弦函数的单调性判断可知选D。3。函数y＝－2cosx＋3的值域为（）A.[1，5］B.［－5,1]C.［－1，5］D。[－3，1］考点余弦函数的值域题点余弦函数的值域答案A4。下列函数中,最小正周期为2π的是（）A.y＝｜cosx|B。y＝cos|x｜C。y＝|sinx|D。y＝sin｜x|考点余弦函数的周期性题点余弦函数的周期性答案B5.下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是()A.y＝cos|2x｜ B。y＝|sinx｜C.y＝sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π,2）＋2x）） D。y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(3π，2）－2x))考点正弦函数、余弦函数的周期性题点正弦函数、余弦函数的周期性答案D解析y＝cos|2x｜是偶函数，y＝|sinx｜是偶函数,y＝sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（π,2）＋2x)）＝cos2x是偶函数，y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（3π，2)－2x）)＝－sin2x是奇函数，根据公式求得其最小正周期T＝π.6.（2017·广州检测）如果函数f(x）＝coseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π，4)）)（ω〉0)的相邻两个零点之间的距离为eq\f（π，6），则ω的值为(）A.3B。6C.12D。24考点正弦函数、余弦函数的周期性题点正弦函数、余弦函数的周期性答案B解析函数f(x）＝coseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（ωx＋\f(π，4))）（ω>0)的相邻两个零点之间的距离为eq\f（π，6)，所以T＝2×eq\f（π,6)＝eq\f(π，3），又eq\f(2π，ω)＝eq\f（π,3）,解得ω＝6。二、填空题7.函数y＝eq\r(\r（2)－2cosx)的定义域为.考点余弦函数的定义域题点余弦函数的定义域答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1（x\b\lc\｜\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,4）＋2kπ≤x≤\f(7π，4）＋2kπ，k∈Z）)))解析要使函数有意义，则eq\r(2）－2cosx≥0,即cosx≤eq\f(\r(2），2），余弦函数的图像如图所示:∴eq\f(π,4)＋2kπ≤x≤eq\f(7π，4）＋2kπ，k∈Z，∴函数的定义域是eq\b\lc\｛\rc\}（\a\vs4\al\co1（x\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋2kπ≤x≤\f（7π,4）＋2kπ，k∈Z）)））.8.已知cosx＝eq\f（1－m,2m＋3）有实根,则m的取值范围为。考点余弦函数的值域题点余弦函数的值域答案(－∞,－4]∪eq\b\lc\[\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(2，3），＋∞)）解析∵－1≤cosx≤1,∴－1≤eq\f(1－m,2m＋3)≤1，且2m＋3≠0，解得m≥－eq\f(2,3）或m≤－4。9。函数y＝cos2x＋3cosx＋2的最小值是.考点余弦函数的最值题点余弦函数的最值答案0解析令t＝cosx，则t∈[－1，1]，∴y＝t2＋3t＋2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f（3，2)))2－eq\f（1，4)，当t＝－1，即cosx＝－1时,ymin＝0。10。对于函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx，sinx≤cosx，,cosx,sinx〉cosx,)）给出下列四个命题:①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x＝π＋kπ(k∈Z)时，该函数取得最小值－1；③该函数的图像关于直线x＝eq\f（5，4)π＋2kπ(k∈Z）对称;④当且仅当2kπ〈x<eq\f(π，2）＋2kπ(k∈Z）时,0<f(x）≤eq\f（\r（2）,2)。其中正确命题的序号是。（请将所有正确命题的序号都填上）考点正、余弦函数的图像与性质综合题点正、余弦函数的图像与性质综合答案③④解析画出f（x)在［0，2π］上的图像如图所示。由图像知，函数f（x)的最小正周期为2π，当x＝π＋2kπ(k∈Z）和x＝eq\f（3,2)π＋2kπ(k∈Z)时，该函数都取得最小值－1，故①②错误。由图像知,函数图像关于直线x＝eq\f（5,4)π＋2kπ(k∈Z)对称，当2kπ〈x<eq\f（π，2)＋2kπ(k∈Z）时,0〈f(x）≤eq\f(\r(2），2），故③④正确。三、解答题11。求函数y＝2－coseq\f(x,3)的最大值和最小值，并分别写出使这个函数取得最大值和最小值的x的取值集合。考点余弦函数的最值题点余弦函数的最值解令z＝eq\f(x，3），∵－1≤cosz≤1，∴1≤2－cosz≤3，∴y＝2－coseq\f（x,3）的最大值为3,最小值为1。当z＝2kπ，k∈Z时，cosz取得最大值，2－cosz取得最小值。又z＝eq\f(x,3),故x＝6kπ，k∈Z.∴使函数y＝2－coseq\f（x，3)取得最小值的x的取值集合为{x|x＝6kπ，k∈Z}；同理,使函数y＝2－coseq\f（x，3)取得最大值的x的取值集合为｛x|x＝6kπ＋3π，k∈Z｝。12。已知函数y＝eq\f(1,2）cosx＋eq\f（1,2)｜cosx｜。（1)画出函数的图像；(2）这个函数是周期函数吗？如果是,求出它的最小正周期；（3)求出这个函数的递增区间.考点余弦函数图像和性质综合题点余弦函数图像和性质综合解(1）y＝eq\f(1,2）cosx＋eq\f（1,2）|cosx｜＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(cosx，x∈\b\lc\(\rc\]（\a\vs4\al\co1（2kπ－\f(π，2），2kπ＋\f(π,2))）k∈Z,，0，x∈\b\lc\(\rc\］(\a\vs4\al\co1（2kπ＋\f（π,2)，2kπ＋\f(3π，2)）)k∈Z，））函数图像如图所示。（2）由图像知这个函数是周期函数，且最小正周期是2π。(3）由图像知函数的递增区间为eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（2kπ－\f（π,2），2kπ)）（k∈Z）.13。若不等式0≤－cos2x＋4cosx＋a2≤12对一切实数x均成立，求实数a的取值范围。考点余弦函数的最值题点余弦函数最值的应用解设f（x)＝－cos2x＋4cosx＋a2＝－（cosx－2）2＋a2＋4，∵－1≤cosx≤1，∴当cosx＝1时，f（x）max＝3＋a2≤12，①当cos