倒数的运算法则课件

-1-一函数的和、差、积、商的导数定理1(1)(2)特别(3)特别-1-一函数的和、差、积、商的导数定理1(1)(-2-证(1)、(2)略,仅对(3)进行证明-2-证(1)、(2)略,仅对(3)进行证明-3-推论设例1解例2解-3-推论设例1解例2解-4-例3解所以同理-4-例3解所以同理-5-例5解例4解-5-例5解例4解-6-例6解-6-例6解-7-二、复合函数的求导法则定理2

即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)证给定自变量在处的增量相应函数的增量为相应函数在的增量为-7-二、复合函数的求导法则定理2即因变量对-8-当时,当时，如果记则所以,无论还是总成立,-8-当时,当时，如果记则所以,无论还是总成立,-9-链式法则可以推广到多个函数的复合中去,例如例7解或-9-链式法则可以推广到多个函数的复合中去,例如例7解或-10-例8解令例9解令-10-例8解令例9解令-11-运算熟练后,可以不设出中间变量而直接按复合步骤求导.例10已知求解例11解-11-运算熟练后,可以不设出中间变量而直接按复合步骤求-12-例12设求解当时,当时,所以-12-例12设求解当时,当时,所以-13-例13解同理可得所以-13-例13解同理可得所以-14-例14求幂函数的导数解可以推出,对所有的只要可导,都有例如-14-例14求幂函数的导数解可以推出,对所有的只要可-15-例15对于幂指函数可先进行恒等变换在进行求导运算.设求解-15-例15对于幂指函数可先进行恒等变换在进行求导运算-16-三反函数的导数定理3-16-三反函数的导数定理3-17-证且所以说明：（1）反函数的导数等于直接函数导数的倒数.（2）-17-证且所以说明：（1）反函数的导数等于直接函数导数-18-例16解所以-18-例16解所以-19-同理可得例17设是函数的反函数,求解且-19-同理可得例17设是函数的反函数,求解且-20-小结1常数和基本初等函数的导数公式-20-小结1常数和基本初等函数的导数公式-21-2函数的和、差、积、商的求导法则设可导,3复合函数的求导法则设则复合函数的导数为-21-2函数的和、差、积、商的求导法则设可导,3-22-利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.注意:初等函数的导数仍为初等函数.例18解-22-利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.注-23-例19解例20求的导数.解-23-例19解例20求的导数.解-24--24--25-例21解-25-例21解-26-四隐函数的导数隐函数的显化问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则设有方程如果对某个区间内的总存在一个函数使得则称是由方程确定的隐函数.视方程中的为函数于是可看成关于恒等式求导法则对方程两边求导,解出利用复合函数的即可.-26-四隐函数的导数隐函数的显化问题:隐函数-27-例21解解得-27-例21解解得-28-例22解所求切线方程为显然通过原点.-28-例22解所求切线方程为显然通过原点.-29-观察函数可以利用对数函数的性质,先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.---对数求导法例23解等式两边取绝对值的对数得-29-观察函数可以利用对数函数的性质,先在方程两边取对-30-例24解等式两边取对数得-30-例24解等式两边取对数得-31-五参数方程所确定的函数的导数例如消去参数问题:消参困难或无法消参如何求导?给定参数方程如果对于某个区间上任意一个参数便得到一对若此时将与对应起来,这样就得到一个函数称之为由参数方程所确定的函数.-31-五参数方程所确定的函数的导数例如消去参数问-32-由复合函数及反函数的求导法则得即-32-由复合函数及反函数的求导法则得即-33-例25解

所求切线方程为-33-例25解所求切线方程为-34-例26解-34-例26解-35-六高阶导数问题:变速直线运动的加速度.定义二阶导数,1

高阶导数的基本概念记作-35-六高阶导数问题:变速直线运动的加速度.定-36-三阶导数的导数称为四阶导数,二阶导数的导数称为三阶导数,即记为记为-36-三阶导数的导数称为四阶导数,二阶导数的导数称为三-37-例28解二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.-37-例28解二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.-38-例29求下列函数的二阶导数解(1)(2)-38-例29求下列函数的二阶导数解(1)(2)-39-例30设解特别-39-例30设解特别-40-例31解则同理-40-例31解则同理-41-例32设求解例33解则注意:

求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)-41-例32设求解例33解则注意:求n-42-同理可得所以-42-同理可得所以-43-2

高阶导数的运算法则莱布尼兹公式-43-2高阶导数的运算法则莱布尼兹公式-44-例34解-44-例34解-45-例35解-45-例35解-46-例36解-46-例36解-47-例37解（规定所以-47-例37解（规定所以-48-例38设且存在,求解由公式知从而是的函数,而又是的反函数,所以是由参数方程确定的函数,由参数方程确定的函数求导法则得-48-例38设且存在,求解由公式知从而是的函数,而又-49-所以例39求由参数方程所确定的函数的二阶导数.解-49-所以例39求由参数方程所确定的函数的二阶导数.解-50-例40解-50-例40解-51-例41设是由方程所确定的隐函数,求解将方程两边对求导,(1)解得在对方程(1)两边对求导,解得将代入-51-例41设是由方程所确定的隐函数,求解将方程两边-52-七相关变化率相关变化率.问题:已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?例42-52-七相关变化率相关变化率.问题:已知其中-53-解仰角增加率-53-解仰角增加率-54-一函数的和、差、积、商的导数定理1(1)(2)特别(3)特别-1-一函数的和、差、积、商的导数定理1(1)(-55-证(1)、(2)略,仅对(3)进行证明-2-证(1)、(2)略,仅对(3)进行证明-56-推论设例1解例2解-3-推论设例1解例2解-57-例3解所以同理-4-例3解所以同理-58-例5解例4解-5-例5解例4解-59-例6解-6-例6解-60-二、复合函数的求导法则定理2

即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)证给定自变量在处的增量相应函数的增量为相应函数在的增量为-7-二、复合函数的求导法则定理2即因变量对-61-当时,当时，如果记则所以,无论还是总成立,-8-当时,当时，如果记则所以,无论还是总成立,-62-链式法则可以推广到多个函数的复合中去,例如例7解或-9-链式法则可以推广到多个函数的复合中去,例如例7解或-63-例8解令例9解令-10-例8解令例9解令-64-运算熟练后,可以不设出中间变量而直接按复合步骤求导.例10已知求解例11解-11-运算熟练后,可以不设出中间变量而直接按复合步骤求-65-例12设求解当时,当时,所以-12-例12设求解当时,当时,所以-66-例13解同理可得所以-13-例13解同理可得所以-67-例14求幂函数的导数解可以推出,对所有的只要可导,都有例如-14-例14求幂函数的导数解可以推出,对所有的只要可-68-例15对于幂指函数可先进行恒等变换在进行求导运算.设求解-15-例15对于幂指函数可先进行恒等变换在进行求导运算-69-三反函数的导数定理3-16-三反函数的导数定理3-70-证且所以说明：（1）反函数的导数等于直接函数导数的倒数.（2）-17-证且所以说明：（1）反函数的导数等于直接函数导数-71-例16解所以-18-例16解所以-72-同理可得例17设是函数的反函数,求解且-19-同理可得例17设是函数的反函数,求解且-73-小结1常数和基本初等函数的导数公式-20-小结1常数和基本初等函数的导数公式-74-2函数的和、差、积、商的求导法则设可导,3复合函数的求导法则设则复合函数的导数为-21-2函数的和、差、积、商的求导法则设可导,3-75-利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.注意:初等函数的导数仍为初等函数.例18解-22-利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.注-76-例19解例20求的导数.解-23-例19解例20求的导数.解-77--24--78-例21解-25-例21解-79-四隐函数的导数隐函数的显化问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则设有方程如果对某个区间内的总存在一个函数使得则称是由方程确定的隐函数.视方程中的为函数于是可看成关于恒等式求导法则对方程两边求导,解出利用复合函数的即可.-26-四隐函数的导数隐函数的显化问题:隐函数-80-例21解解得-27-例21解解得-81-例22解所求切线方程为显然通过原点.-28-例22解所求切线方程为显然通过原点.-82-观察函数可以利用对数函数的性质,先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.---对数求导法例23解等式两边取绝对值的对数得-29-观察函数可以利用对数函数的性质,先在方程两边取对-83-例24解等式两边取对数得-30-例24解等式两边取对数得-84-五参数方程所确定的函数的导数例如消去参数问题:消参困难或无法消参如何求导?给定参数方程如果对于某个区间上任意一个参数便得到一对若此时将与对应起来,这样就得到一个函数称之为由参数方程所确定的函数.-31-五参数方程所确定的函数的导数例如消去参数问-85-由复合函数及反函数的求导法则得即-32-由复合函数及反函数的求导法则得即-86-例25解

所求切线方程为-33-例25解所求切线方程为-87-例26解-34-例26解-88-六高阶导数问题:变速直线运动的加速度.定义二阶导数,1

高阶导数的基本概念记作-35-六高阶导数问题:变速直线运动的加速度.定-89-三阶导数的导数称为四阶导数,二阶导数的导数称为三阶导数,即记为记为-36-三阶导数的导数称为四阶导数,二阶导数的导数称为三-90-例28解二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.-37-例28解二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.-91-例29求下列函数的二阶导数解(1)(2)-38-例29求下列函数的二阶导数解(1)(2)-92-例30设解特别-39-例30设解特别-93-例31解则同理-40-例31解则同理-94-例32设求解例33解则注意:

求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)-41-例32设求解例33