高中数学教育中的合情推理研究

高中数学教育中的合情推理研究史亮一、问题的提出教育的目的是提高人的素质，素质是一个人的核心发展力。传统数学教育为我国培养了一大批优秀人才，功不可没，但我们的教育观念、教育体制、教育结构、人才培养的模式、教育内容和教学方式的相对滞后，影响了青少年的全面发展，也是不可否认的事实。诺贝尔奖获得者杨振宁和朱棣文在谈到中国教育现状时，都认为中国的教育是重基础知识的学习，而轻创造能力的培养。是否具有创造性己成为衡量一个人才的重要标准，也是素质教育对能力的要求，而创造能力的培养则有赖于教学中论证推理与合情推理同时并重的方法训练。我国正在实施素质教育和新课程改革，它是以培养学生的创新精神和实践能力为基本价值取向。高中数学应该是以思维活动为中心的数学，创新思维能力的培养是中学数学教育的核心目标之一。合情推理是取得创新性成就的工具，是创造性工作赖以进行的基本能力，是21世纪新型人才的应有素质。合情推理的教学已经受到了数学教育界的广泛重视。在第八届国际数学教育大会上，对于20世纪杰出的数学家、数学教育家G.Polya建立的合情推理模式以及观察、猜想、实验、类比、归纳、化归等方法在数学发现和创新中所起的作用给予极高的评价，形成广泛的共识。在布鲁塞尔的“发现学习”和上海教科院所推出的“研究性学习”中都给合情推理教学以应有的地位。合情推理教学符合我国素质教育的要求。但合情推理如何在高中数学教育中具体实践，怎样才能最大限度的提高学生的素质，还需要实践上和方法上的探索。人的素质先天有之，而各有不同。这种先天性有时以一种虚拟的现象呈现着，它需要教育、环境来充实和引导，需要学习来提高。学校、课程、教育理念为人提高素质带来不同的机会。其次素质是一个人的特质，先天不同，后天也有不同的表现，它是不能完全复制的，在社会生存和学习发明的过程中，高素质的人具有很强的核心竞争力。素质具有基础、条件、差别以及个人修养、社会品位的尺度等基本特征，人通过合适的教育和影响而获得与形成三方面的：学识特征、能力特征和品质特征。学识特征主要指基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验（变“双基”为“四基”）；能力特征主要指发现与提出问题的能力和分析与解决问题的能力（变“双能”为“四能”），能力的集中表现是智慧，智慧的基础是演绎思维和归纳思维两种思想的交融；品质特征主要指道德修养、精神境界和个人品位。变“双基”为“四基”，变“双能”为“四能”，特别是由原来的以演绎思维训练为主转变为演绎思维和归纳思维并举,对当前的中学教育教学改革和正在实施的新课程具有重要的指导意义。合情推理既是重要的思想方法，也是重要的思维品质。教育的目的之一是思维品质的培养，一个人有没有思维能力，是否掌握一定的基础知识、基本思想、基本方法和基本活动经验，决定了他在社会生存的质量。数学素质是一个人全面素质中最重要的一个素质，这个素质的培养不是灌输，而是启发。学习数学不仅仅是了解、掌握和应用知识，更重要的是了解、掌握数学的思想方法。传统强调演绎的方法，过多地在验证数学结论，而证明有时会陷入模型（模仿）与机械的怪圈，经常会悬在半空思考问题，使学生知其然不知其所以然。在中学数学中，强调演绎和强调合情推理，就如同从天空走向地面。是动手寻根溯源的学习方法，探索“对原初含义进行重新激活的可能性”。爱因斯坦曾说过一段深刻的话:“结论几乎是以完美的形式出现在读者面前，读者体会不到探索和发现的喜悦，感觉不到思想形成的生动过程，也很难达到清楚地理解全部情况。”所以我们学习了完美无缺的结论,而对探索过程和思维方法却知之甚少，所以新课程中强调的学习是“过程与方法、情感态度与价值观”的学习。历史上，不仅仅是数学中，甚至在整个科学、社会的领域，大的发现都与合情推理有关系。波利亚在《怎样解题》一书中，他认为，“在我们的思维、日常谈话、一般结论以及艺术表演方法和最高科学成就中无不充满了合情推理……但合情推理也可达到数学精确的水平。所以各种合情推理（包括猜想、类比等）在发现解答方面都可能起作用，我们不应该当忽视任何一种。”新课程充分重视为学生提供动手操作与主动参与的机会，促进学生主动学习，提供发现问题和提出问题的时机，提高学生分析问题和解决问题的能力。其目的是激发学生的学习动机与兴趣，引导学生认知冲突，使他们带着任务去学习。高中数学新课程教材的编写明显的变化趋势是新课程将知识内容问题化，如设置了很多“想一想”、“探究”等问题栏目。实际上是将那种从定义到概念处理，再用概念和原理解决问题的演义式教材体系，转化为问题引导的，体现知识发生、发展过程的，再从大量的、丰富的具体实例中通过归纳概括而获得的概念和法则的归纳式的教材体系。新课标的教材编写建议中明确指出：课程内容的呈现，应注意反映数学发展的规律，以及人们的认识规律，体现从具体到抽象、特殊到一般的原则。例如，在引入函数的一般概念时，应从学生已学过的具体函数（一次函数、二次函数）和生活中常见的函数关系（如气温的变化、出租车的计价）等入手，抽象出一般函数的概念和性质，使学生逐步理解函数的概念；立体几何内容，可以用长方体内点、线、面的关系为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间点、线、面的位置关系。教材应注意创设情境，从具体实例出发，展现数学知识的发生、发展过程，使学生能够从中发现问题、提出问题，经历数学的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉。教材的呈现应为引导学生自主探索留有比较充分的空间，有利于学生经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等过程。编写教材时，可以通过设置具有启发性、挑战性的问题，激发学生进行思考，鼓励学生自主探索，并在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得对数学较为全面的体验和理解。在新教材的选修模块（2－2）中有合情推理与演绎推理的相关内容

（1）合情推理与演绎推理

①结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用（参见选修2-2中的例2、例3）。②结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。③通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。本课题将分析高中教材和高中教学中演绎推理与合情推理的共融关系，并经过实践以及有关学习理论和教学理论，对合情推理在教材中的呈现形式，如何在课堂教学中培养学生的合情推理能力及如何对学生的合情推理能力进行评价进行初步探究，同时还要探讨高考评价中合情推理的特征。希望能为学生合情推理能力培养的进一步研究提供一点参考。二、研究的意义（一）合情推理在数学自身发展中的意义G·波利亚说，数学的创造过程与任何其它知识的创造过程一样，在证明一个定理之前，先得猜想、发现出这个定理的内容，在完全做出证明之前，先得不断检验、完善、修改所提出的猜想，还得推测证明的思路，你先得把观察到的结果加以综合，然后加以类比，你得一次又一次地进行尝试。在这一系列的过程中，需要充分运用的不是论证推理，而是合情推理。牛顿说:“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现”。许多数学问题、数学猜想，包括著名世界难题的解决，往往是在对数、式或图形的直接观察、归纳、类比、猜想中获得方法的，而后再进行逻辑验证。同时随着问题的解决，使数学方法得到提炼或数学研究范围得到扩展，使数学发展前进一步。费马通过对勾股定理的研究大胆地猜想出费马大定理。为了寻找这个猜想的证明方法，许多数学家投入了毕生的精力，最终在上世纪被英国数学家怀尔斯证明。这个被数学家希尔伯特称作会下“金蛋”的老母鸡，本身是用合情推理的方法提出的，在长达几个世纪的探索中，数学家们的创造过程也蕴涵着合情推理的成分。因此，从某个方面来说，合情推理促进过数学的发展。诸如此类的例子还很多，如欧拉定理、歌德巴赫猜想、四色问题等。（二）合情推理在我国素质教育中的意义我国正在实施的素质教育，是以培养学生的创新精神和实践能力为基本价值取向的。中学数学是思维活动的教学，创新思维能力的培养是中学数学教学的核心。而合情推理的实质就是“发现”，即发现新的关系、新的规律和新的方法等。在数学学习活动中，合情推理除了具有发现新的命题的重要作用外，还是探索解题思路，概括、解释新的数学事实和规律，扩展认知领域，促进知识的掌握和迁移，启迪思维和发展数学能力的重要方法和手段。正如波利亚所说:“一个认真想把数学作为他终身事业的学生必须学习论证推理，这是他的专业也是他那门科学的特殊标志，然而为了取得真正的成就他还必须学习合情推理，这是他的创造性工作所赖以进行的那种推理。”如果说通过演绎推理可以培养学生的运算能力、空间想象能力和严谨的治学态度，那么通过合情推理则可以培养学生的创新思维能力、创造想象能力、创新实践能力。因此可以说，合情推理是发展和培养学生创新能力的基础和必要条件，是21世纪新型人才应当具有的素质。有研究表明从国际数学课程改革的特点也可看出,在处理中小学数学思想方法方面有两种基本思路:第一,主要通过纯数学知识的学习,逐步使学生掌握数学的思想和方法;第二,通过解决实际问题,使学生形成那些对人的素质有促进作用的基本思想方法,如实验、猜测、合情推理等。两者相比而言,后者更多的是一般的思考方法,具有更广泛的应用性。主要发达国家也倾向于第二种基本思路。有研究表明：合情推理与演绎推理有着较高的相关性；学生的合情推理的发展与演绎推理的发展有着密切的联系．因此，数学教学要促使学生的合情推理与演绎推理同步发展．学校数学教育一贯重视培养学生的演绎推理能力，而对归纳猜想能力的培养缺乏必要的措施与手段，使学生数学归纳猜想能力的发展处于一种放任自流的状态。中学生数学归纳推理的发展现状不容乐观，长期以来，我国学生的数学学习忽视了合情推理，忽视了数学学习过程中的归纳、猜想，这就导致我国学生“数学能力发展不全面，尤其缺乏创新精神与实践能力”。中学生数学合情推理的发展落后于演绎推理能力的发展，中学生数学合情推理能力的培养是中学数学教学中的一个薄弱环节。人们对数学能力的理解主要停留在逻辑思维能力的层面上，而逻辑思维有时恰恰阻碍了学生的创新发现。随着时代的发展，这种数学能力观的局限性越来越明显。现代社会要求公民具有的数学素养，使数学能力应具有更丰富的内涵。因此，教学中如何培养学生的数学归纳推理能力，促进学生数学合情推理能力的发展，是当前数学教学中值得重视的问题之一．爱因斯坦说：适用于科学幼年时代的以归纳为主的方法，正在让位于探索性的演绎法。虽然爱因斯坦说过类似的话，但是没有人说归纳法要退出和演绎法的竞争。对于基础教育阶段，尝试或有意识地向学生传授归纳法，对于引导他们发现科学、创造性地解决问题很有益处。我们真的要认真思考归纳是不是仅仅停留在发现的初级阶段，归纳的方法是不是仅仅停留在学习的初级阶段而提倡的方法？在新一轮的高中数学课程改革中，虽然给予了合情推理应有的地位，但是如何编写好这方面内容的教材、教师如何讲授好这方面的内容、学生如何学好这方面的内容以及如何对学生合情推理能力进行评价，还比较缺乏理论依据以及实践的总结，因此需要对此方面做深入的研究。（三）合情推理在发展思维水平中的意义思维水平不仅是演绎论证的水平，同时还是具备观察、归纳、联想与猜想等看来并不严密，所得结果也无需充足理由的思维习惯的水平。由于数学本身的严密性和系统性，往往引起数学思维自始至终都必须周密的错觉。于是，课堂教学中当学生还没开展观察、归纳、类比、联想等活动之前，教师就把书中现成的结论、定义、方法(对教师都是已知的，对学生则是未知的)等强加给学生;在课堂训练中，只注意如何根据现成的定义、结论和方法去解释问题或反复练习，即使是“分析-综合”的解题方法也往往是在教师备课时早已探究得到的。于是，学生只能复制，只能依赖教材和教师，稍有变化便束手无策。反之，当学生的上述思维水平全面提高时，从同一来源就会产生为数众多的信息输出，会产生各种“念头”，表现出较高的思维水平。因此，合情推理教学有助于学生思维水平的发展。（四）在转变学习方式中的意义数学学习活动是一种知识与经验，方法与策略，想象与猜想等多种思维活动参与的创造性劳动，没有观察、联想、想象就不会有创造力。而长期以来，学生学习数学的方式以被动接受方式为主。表现一就是数学教学以教师的讲授为主，而很少让学生通过自己的活动与实践来获取知识;表现二就是学生们很少有根据自己的理解发表看法与意见的机会。数学课的基本风格是从数学概念出发，定义、定理、法则、公式加大量的分类练习。这种方式是成人社会“数学家共同体”用来整理人类数学成果的演绎模式，它与儿童认识和理解世界的方式相去甚远。课堂上缺少人际间的交流、观点的交锋、智慧的碰撞，因而学生在9年乃至12年的学校数学学习生涯中难以体验到数学学习的吸引力。这就与长期以来对合情推理的重视不够有关。而合情推理的实质是“发现”，合情推理的教学突出了学生的主体地位，是学生通过参与到知识的发现过程中，体验、探索数学知识的活动。在这样的教学中，概念的形成、结论和定理的发现、解题思路的产生，都离不开合情推理这种探索方式和认知过程。而且，经历这种“过程”不仅有助于学生学习和掌握数学知识，还有助于培养学生对数学的兴趣和优良的思维品质。因此，开展合情推理教学是实现新课标中“转变学习方式”的必要途径。重视合情推理能够引导我们关注数学的文化价值，促进学生科学观的形成。三、研究的内容长期以来数学教学注重采用“形式化”的方式，发展学生的论证推理能力，忽视了合情推理能力的培养；以及合情推理的教学是一种数学思想方法的教学，不同于以往的数学知识的教学。因此，对于习惯了数学中重视论证推理的教学的师生，对合情推理都比较陌生。在高中数学中加入合情推理内容，无论对数学教师的教，还是高中学生的学，都是一个不小的挑战。但同时也是使学生理解数学本质、学会应用数学解决实际问题以及形成创新意识的大好机遇。以往的研究者已经从合情推理的模式与方法、合情推理在数学中的教育功能等方面研究过合情推理。但是对于高中数学新课程中合情推理的教学现状，特别是如何从教材改进以及教学策略的完善角度培养学生的合情推理能力，提高学生的创新能力还没有研究结论。本研究以高中数学新课程的合情推理内容为背景，主要考察以下几方面的内容：1.学生合情推理能力发展的现状分析；2.合情推理与演绎推理的在高中数学中的关系（高中数学教材及教学）；3.目前高中数学教学中的合情推理案例研究；4．考试评价中的合情推理研究。为了使新课程中合情推理内容落到实处，真正的达到培养学生合情推理能力的教育目标。本研究会针对实施合情推理内容时师生遇到的问题与困难，提出意见与建议，对进一步实施新课程和一线教师的合情推理教学提供参考依据。四、研究问题的现状（一）合情推理的涵义G•波利亚在《数学与猜想》一书中讨论了合情推理的特征、作用、范例、模式，并且还指出了合情推理的教学意义和教学方法。他是通过对数学创造和数学学习等具体思维过程的再现、分析提出了“合情推理”的思维模式，开辟了一条与传统的思辨方式截然不同的新途径;他首先肯定了论证推理在确定数学命题的真理性和其科学体系建构中的作用，然后说数学与其他学科一样，数学知识也是从零散的猜想开始，通过归纳、检验等非论证的思维方式而发生发展，而这种思维方式就是合情推理。G•波利亚的主要成就是有效地拓宽了数学推理的范围;有关合情推理的概念的展开、模式概括和技能训练都是密切结合数学发现和数学学习的具体思维活动;他的不足之处是对合情推理的界定比较模糊和不完全。1988年，我国著名数学家徐利治指出:“要用G•波利亚的思想改革数学教材和教学方法，要培养G•波利亚的数学工作者”，从而在我国正式拉开了把数学方法论和G•波利亚的数学教育思想应用于课堂教学进行创新教育实践的序幕。从此，人们逐渐开始探索，在培养学生逻辑思维能力的同时进行合情推理能力的培养。杨世明的《数学发现的艺术》(30)，是用G•波利亚风格写出的数学方法论专著。从数学史、数学课本、众多数学家的著作和手稿中采集了丰富的素材，归纳、研究了合情推理方法，对数学学习、解题、教学和研究中广泛应用的观察、实验、归纳、类比、联想、猜测、检验、推广、限定以及抽象、概括等思维方法进行了探讨。可以说合情推理的思想萌芽很早。开拓它，发展它，使之趋于完善的是G。波利亚。G•波利亚是在与传统观念普遍认可的演绎推理相对立的意义上引入合情推理的，并力图将数学推理的非演绎机制尽可能地涵盖其中。目前，数学教育理论界对合情推理的涵义说法众多，但仔细探究这些概念主要是从三个角度说的。一是从形式逻辑的角度出发，认为合情推理就是或然性推理或者和演绎推理对立起来称为非演绎推理；二是从数学方法论的角度出发，把合情推理看作是科学的发现方法。因而，连同归纳、类比在内，把观察、实验、联想、猜测、直观等一系列科学发现的手段都归于合情推理的范畴；三是从教育心理学的角度出发，认为合情推理的过程和人的经验、感觉等其他非智力因素息息相关。这三种从不同角度出发对合情推理的认识都有一定道理。但是如果从形式逻辑的角度出发，把合情推理看作是或然性推理（或者是非演绎推理），就会把一些“既不可信又无价值的推测”归入到合情推理之中，如此以来合情推理的外延就有些大了；但是如果按照传统逻辑认为合情推理主要归纳推理和类比推理，那么就会把溯因推理排斥在外，则合情推理的外延就有些小了。而从数学方法论的角度出发，把合情推理看作是一种探索方法，则扩大了合情推理的内涵，与合情推理的日常概念的理解相差太远；但是如果把合情推理看作是运用探索方法进行的推理，则缩小了合情推理的运用范围，似乎合情推理不会存在于其他方法中。例如合情推理中的溯因推理在证明过程中经常出现。从教育心理学的角度界定合情推理，认为合情推理就是根据人们的经验、知识、直观、感觉与情感等得到的一种可能性结论的推理。观察、实验、归纳、类比、推广、限定、猜想、联想等一套自然科学中常用方法里面充满了合情推理。如此就把合情推理与推测方法区分开来，而合情推理主要是选择不同的推测方法，把比较合理的推测与不合理的推测区分开来。总的来说，合情推理是否可以这样表述：合情推理就是人们根据已有的知识经验（即原有的认知结构），在情感等非智力因素的影响下，运用观察、实验、归纳、类比、推广、限定、联想、直觉等非演绎的（或非完全演绎的）思维形式，做出关于客体的合乎情理的认知过程。在以上提及的著作中，对合情推理的特征有以下几种阐述:G•波利亚认为:合情推理是一种合乎情理的、好像为真的推理，它的清晰程度不能与论证推理相比，它没有固定的逻辑标准，并且只是笼统的，通人情的，是与个人的情绪、爱好、知识等主观因素有关的一种推理，所以它是有争议的、冒风险的、暂时的，有时不能像论证推理那样博得大家的公认。但合情推理对于发展学生的创新能力，还是十分重要的。费马曾通过观察形如的数列的前四项：5，17，257，65537之后，发现这四个数都是素数，于是自信的提出：对一般情况的形如的都是素数。这个结论就是运用合情推理的出的一个猜想。但n=5时，==推翻了费马的结论，但其中创造性思维的光彩却是永存的。数学知识的创造需要猜想，在教学中，通过合情推理，可以培养学生的创新思维能力、创造想象能力、创新实践能力、求异精神和冒险精神，即培养学生的创造能力和创新精神。（一）国内外研究归纳推理的现状分析1．美国学生的合情推理能力培养（1）美国报告的合情推理能力培养1989年美国国家研究委员会（NRC）发布了《关于数学教育的未来致国民的一份报告》，考虑了从幼儿园到研究生院整个阶段的问题。《报告》在讨论数学教育中的合情推理问题时，提出“学生学习数学需要有不断摸索的过程，我们应当为他们提供这样的学习环境。从长远来说，真正重要的不是记住一些数学技巧而是树立一种自信心，即当他需要某一数学工具时，知道如何去发现并掌握这一工具。树立这种自信心的唯一方法就是在学习过程中贯穿创造、构造、发现数学的那种学习精神。”《报告》还要求各大学为尚未合格的中小学教师请来开明的有建设性的教育家开设新的课程，他们学习数学时也需要接受各种训练——探索、猜测、试验、估计、辩论、证明。这样在今后的教学中，对学生按自己想法求解问题时冒出来的意外的猜想，教师就能够给以建设性的回答。《报告》中对学生的学和教师的教都注意合情推理、猜想的培养。（2）美国芝加哥中学数学设计教材中的合情推理北京师范大学的王申怀在《论证推理与合情推理——美国芝加哥中学数学设计（UCSMP）教材介绍》中介绍了思维过程中四种不同的推理方式。在美国的现代数学教材中，最著名的是UCSMP教材（美国芝加哥大学中学数学课程设计，简称UCSMP）。这套教材从1983年—1994年共进行了两轮试用。全书共六册，大致每一册供一学年使用，因此，第六册微积分初步和离散数学相当于我国高三年级使用的教材。该书的第一章标题为逻辑，共有九章，其中“§9–不同类型的推理”中详细的介绍了合情推理的几种常用的方法与内容。下面做简单介绍：§9，介绍思维过程中四种不同的推理方式：①演绎推理：这是数学证明过程中所使用的推理方式。②归纳推理：这是实验科学（如物理学）中常用的推理方式。例如，伽利略作了大量实验后归纳出自由落体的运动规律为。科学家在运用归纳推理时总是十分谨慎的。因为归纳的出的结论仍有错误的可能性。爱因斯坦曾经说过：“大量实验不能证明我是对的，但是一次实验就能证明我是错的。”因此，我们要充分注意归纳推理的出结论的可靠程度。③诊断推理：这是医生看病时常用的推理方式。④统计推理：这是根据事件出现的概率来推断结论。以上四种推理思维方式是不同的，其作用也是不同的。演绎推理依据的是三段论法，因此只要前提正确，结论必然正确，这是数学论证所必需的。因此演绎推理可以称为论证推理。归纳推理、诊断推理和统计推理虽然不能作为数学证明，但是在推断的过程中各有其理由，是合乎情理的，因此可以称它们为合情推理。人们一般认为数学是一门以严格论证为特征的演绎科学，它是从定义，公理出发推导出一系列定理，公式等。但是，这仅仅是数学的一个侧面，它所呈现出来的结论已经是数学建造过程的尾声，是数学家创造性工作结出来的果实。就在这尾声和果实之前有着更为重要的，更为漫长的探索过程。这恰恰反映了数学的另一个侧面。正如数学教育家波利亚在“数学与猜想”一书中所说：“数学的创造过程是与任何其他知识的创造过程一样，在证明一个定理之前，你先得猜测这个定理的内容，你先得推测证明的思路，你又得一次又一次地尝试，…证明是通过合情推理，通过猜想而发现的，只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话，那么就应当让猜测，合情推理占有适当的位置。”合情推理是一种好像为真的推理，例如上面提到的物理学家的实验归纳推理，医生的诊断推理等，这些推理其可靠程度不能与论证推理相比。它没有严格的逻辑标准，它往往会有争议（例如对某病人的症状，不同的医生可能会的出不同的结论），也可能要冒些风险（例如医生会误诊），但是尽管如此，合情推理有着论证推理不能替代的重要作用，它是发明创造的工具，它是发明创造赖以进行的依据，它是论证推理的先驱。因此，合情推理与论证推理两者是互相补充的，相辅相成的，缺一不可的，这是我们在数学教学中必须注意的。（3）《美国学校教育的原则和标准》中的合情推理全美数学教师理事会（NationalCouncilofTeachersofMathematics,简称NCTM）在2000年4月出版了《美国学校教育的原则和标准》（以下简称美国《2000年标准》）。美国《2000年标准》对各州仅起参考作用而非强制性法令，但它在一定程度上起到了统一要求的作用，引起了较大的反响，对各州标准的制定及教材的编写也产生重大的影响。美国《2000年标准》设计10个内容，其中活动标准中的推理与证明对合情推理内容的教学作了明确的要求。其中，数学教学纲要应当集中精力学会将推理与证明作为理解数学的一部分，以便所有学生：承认推理与证明是数学的本质和有力的部分；提出和考察数学猜想；发展和评价数学争论与证明；选择和使用各种适当的推理形式和证明方法。提出和考察数学猜想：一些数学猜想由于他们简明的形式和将来对数学家提出的挑战而变得著名，一个众所周知的问题是歌德巴赫猜想。歌德巴赫猜想定义任何大于4的证书都可以写成两个素数之和（这两个数没有必要不同）。例如，6=3+3，8=3+5，10=3+7=5+5。对于这个猜想，已经试验并发现对于这样大的数，其结论是正确的，但对于一般的数，它是否成立还没有被证明。2．匈牙利关于合情推理能力的认识在二十世纪末，匈牙利已经着手进行数学教育改革，例如在1997年颁发了新的教育法以及国家课程。不仅大幅度削减中小学数学教学周课时，还增加选修课、修改部分教学内容。由于近年来匈牙利的学生数学成绩呈现下降的趋势，加上新的教育方案带来的一些冲击，匈牙利国内学者重新强调证明的意义，呼吁要加强对学生的数学推理能力的培养。但是由于课堂证明过程被认为太浪费时间，加上人们日益觉察到数学应用的重要性，因此世界各国一直存在要求降低、削弱数学证明的要求。匈牙利课程改革者对此却提出了忠告，他们认为真正的危险潜伏在这种觉察之中，他们引用著名的数学教育家波利亚的观点：“如果把证明全部从微积分中排除掉，那么微积分的教科书就变成了一部菜谱，这个菜谱开除了详尽的配料和工序，至于对为什么要这样配方，却什么也没有说”。事实上，人们希望儿童从幼儿园到高中的每个阶段，都学着去进行观察、发现事物之间的联系，构造一些数学模型，在此基础上归纳，演绎推理，构造反例或间接推理。而这些正式匈牙利数学课程的特点。在课程中，体现了合情推理能力的培养。3．英国对学生合情推理能力的教学目标二十世纪60年代，英国对“新数学”运动表现了极大的热情；70年代，部分地区开展“回到基础”运动；80年代初，“柯克克洛夫特报告”的出现，引起了英国数学教育界的重视，其中不少观点被后来的国家课程中的数学和A水平数学多采纳。1992年开始实施的英国国家课程数学，规定了义务教育阶段（5–16岁）的数学课程，A水平数学规定了第6学级（16–19岁）的数学课程（不属于义务教育）。义务教育后学生分流，进入第6学级的学生学习A水平科目后，参加GCE考试，准备升入大学。《国家课程中的数学》目标分为4个阶段10个水平，每个学段的数学学习都规定了应达到的目标、水平和范围。内容安排上将成绩目标分为5类：运用和应用数学；数；代数；图形和空间；数据处理。下面简要介绍一下上述5类成绩目标中的用数学的10个水平：水平1：运用适合于实际任务的资料；谈论工作并提出问题；在经验的基础上做出预测。水平2：选择资料和数学用于实际任务；叙述工作并检验结果；提出问题和回答问题，例如：“如果……将会怎么样？”“为什么？”等等。水平3：选择资料和数学用于实际任务，运用选择的方法去克服困难；系统地说明工作并记录发现；研究和检验预测、一般的命题；检验结果，考虑它们是否合理。水平4：当信息存在选择的机会时，选择对于任务有用的资料和数学，有条理地计划工作；记录结果并用口头、书面或形象化的方式作出描述；应用例子检验解答、命题或定义；作出概括或简单的假设。水平5：选择资料和数学应用于任务，检查是否掌握足够的信息，有条理地工作并回顾进展；将任务分解成更小的、容易处理的任务；解释用口头、书面或形象化方式表述的数学信息；将几个特殊例子一般化并进行简单的检验。水平6：设计任务并选择数学与对策，检查信息并获取缺少的信息，运用“尝试改进”法；运用口头、书面或形象化的方式检验并描述结果；作出一般化和简单的假设并对此进行检验；用简单的文字较明确地叙述定义和推理。水平7：采用新的研究线索，运用适当的方法去克服困难。设计数学任务，在合适的结构内有条理地工作，在运用已知信息时能作出判断，运用“尝试改进”法并回顾进展；根据数学推理链，找出自相矛盾的推理。水平8：设计和推广数学任务，作详细的工作计划，有条理地工作，检查信息，考察结果是否正确；运用“如果……那么……”作出猜想的命题，定义、推理、证明与运用反倒反驳；合理地运用“如果……那么……”建立一个扩充的推理链或论据。水平9：设计、计划和完成数学任务并得出成功的结论；确定一个猜想是不是真的、假的或不能证实的，定义和推理，证明和反驳，运用符号，认识和运用必要且充分条件。水平10：设计、计划和完成数学任务，取得成功的结论，提出合适的解答并判断选择的思路；积极地探究、发展以及运用对学生来说是新的数学领域；给出足够的、最小的定义；树立使用各种数学符号的信心，作出证明（包括使用反证法）。数、代数、图形和空间与数据处理部分的十个水平这里不再一一列举。A水平数学课程的总目标大致包括：⑴对数学的理解（培养对数学学习和应用的正确观念，提高对数学与数学过程本质的认识，理解数学思想如何用于解释周围的世界）；⑵知识与技能（扩充数学知识与技能并应用较先进的技术，打下进一步学习数学、其他学科以及就业所需的知识、技能的坚实基础，培养建模、一般化及解释与数学的应用和发展有关的结果等方面的技能，培养更普遍应用的学习与思维技能）；⑶数学能力（提高应用的能力，提高逻辑论证与理解严格性的能力，提高计算器与微机的合理的数学应用的能力，获得解决推广数学问题的策略）；⑷提高交流数学思想的能力和应用数学的自信心。4．我国对合情推理的研究1988年，我国著名数学家徐利治指出：“要用波利亚的思想改革数学教材和教学方法，要培养波利亚的数学工作者”，从而在我国正式拉开了把数学方法论和波利亚的数学教育思想应用于课程教学进行创新教育时间的序幕。从此，人们逐渐开始探索，在培养学生逻辑思维能力的同时进行合情推理能力的培养。在张同君主编的《中学数学解题研究》中把数学猜想作为一种解题思想介绍给读者，并详细介绍了该思想的基本观点与解题策略、数学猜想与基本猜想方法，对指导教师进行合情推理的教学实践提供了较为实用的方法的帮助。在过伯祥的《猜想与合情推理》中，以数学史上的著名猜想和数学学习活动中的典型猜测为素材与背景，探讨总结了数学猜想的孕育、形成和解决过程中的规律性的东西：猜测的常用方法，合情推理的模式，猜想的过程等。对教师进行合情推理的教学实验也提供了一定的帮助。现在，人们在探索培养学生合情推理能力的方面已经有了很多成果。杨世明的《数学发现的艺术》，是用波利亚风格写出的数学方法论专著，从数学史、数学课本、众多数学家的著作和手稿中采集了丰富的素材，归纳、研究了合情推理方法，对在数学学习、解题、教学和研究中广泛应用的观察、实验、归纳、类比、联想、猜测、检验、推广、限定以及抽象、概括等思维方法进行了探讨。韩富万、李善明在《论合情推理在中学数学教学中的地位与功能》中和明廷桥在《数学猜想及其教学策略》中，分别阐述了合情推理在数学中的教育功能，从而给出在中学数学教学中如何培养合情推理的教学途径。在任樟辉编著的《数学思维理论》中把数学合情推理看作数学猜想思维，并研究了数学猜想思维的方法和培养途径。华中师范大学的蒋永红在其硕士论文《合情推理与数学学习》中详细的研究了数学中常见的合情推理模式以及合情推理在数学学习中的作用。云南师范大学的任丽洁在其硕士论文《数学课程中的合情推理及其教学研究》中，但合情推理依然是在我国基础教育中使用频率最少的名词，这种状况一方面可以反映出他在教育者心目中的地位。另一方面，我们也不得不考虑形成这种现状的原因。中国数学教育的特色和优点是重视双基而忽视学生的创造性,造成这一现象的原因恐怕与我们的社会注重继承，忽略创新的传统观念有关。在中国传统文化的熏陶下，人们的思维和行为方式重继承而少创造，因此，教育者在教育工作中的表现是：“常常作大纲和教材的执行情况报告”。（见《数学基础知识、基本技能教学研究探索》第8页）翻开我国建国以来的教学大纲，发现直到2000年《数学大纲》才第一次指出：思维能力是指会观察、试验、比较、猜想、分析、综合、抽象、概括；会用归纳、演绎和类比进行推理；会合乎逻辑地、准确地阐述自己的观点和思想；会用数学概念、原理、思想和方法辨明数学关系，形成良好的思维品质，提高思维水平。2001年《标准》明确指出：“数学应该从学生的生活经验和已有知识背景出发，向他们提供充足的从事数学活动和交流的机会，使他们能经历观察、实验、归纳、类比等教学活动的过程，获得数学猜想，发展合情推理能力，……。2003年颁布的《标准》中，也强调：在解决问题的过程中，合情推理有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。在普通高中课程标准实验教科书数学选修1—2与选修2—2中，推理于证明一章介绍了合情推理中的归纳推理与类比推理。并配备了相应的习题。这是我国高中数学教材中，首次加入合情推理内容。（二）合情推理的模式北京师范大学的王申怀在《论证推理与合情推理——美国芝加哥中学数学设计（UCSMP）教材介绍》中介绍了思维过程中四种不同的推理方式：“（1）演绎推理：这是数学证明过程所使用的推理方式；（2）归纳推理：这是实验科学（如物理学）中常用的推理方式。例如，伽利略作了大量实验后归纳出自由落体的运动规律为d=1/2gt2。科学家在运用归纳推理时总是十分谨慎的。因为归纳得出的结论仍有错误的可能性。爱因斯坦曾经说过：“大量实验不能证明我是对的，但一次实验就能证明我是错的。”因此，我们要充分注意归纳推理得出结论的可靠程度。（3）诊断推理：这是医生看病时常用的推理方式。（4）统计推理：这是根据事件出现的概率来推断结论。“由于合情推理是一种合乎情理、好像为真的推理，它并不像论证推理那样有严格的三段论模式，标准不唯一，它还受到个人的情绪、爱好、知识、思维方式等主观因素的影响，故其模式有不确定性。下面是国内外的教育工作者对合情推理的研究结果。合情推理能力的教学理论始于G.波利亚。G.波利亚在《数学与猜想》第一卷、第二卷中详细介绍了合情推理的特殊情况:归纳推理与类比推理;介绍了合情推理的模式、扼要讨论了它们与数学发明及教学的关系，得出了重要的合情推理模式。在张同君主编的《中学数学解题研究》中将常用的归纳模式与类比推理的一般模式进行了概括。过伯祥在《猜想与合情推理》中，给出了通俗易懂的表现形式，更适于一线教师指导初中学生进行合情推理。在华东师范大学徐成华的硕士论文《初中数学教育中的合情推理能才培养初探》中，将合情推理的基本模式归纳为归纳模式、类比模式、统计模式。在陈莉辉的硕士论文《合情推理、非逻辑思维与中学生创新思维的培养》中，指出，合情推理在中学数学中包括不完全归纳推理、类比推理、猜想、联想。在蒋永红的硕士论文《合情推理与数学学习》中，总结出一些在数学中比较常用的合情推理模式，有:归纳推理模式、类比推理模式、统计推理模式、溯因推理模式、确证推论、可能根据、不相容命题、渐弱推理、逐次确证等合情推理模式等等。虽然说法各异，但总的来看，合情推理中，最重要的模式是归纳推理和类比推理。在《普通高中数学课程标准》（实验）选修1－2、选修2－2推理与证明中，要求“结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用”。1．归纳推理归纳推理是以一类中若干个别对象的具体知识为前提，推出有关该类事物一般的普遍性知识的结论的推理。根据归纳推