2023高考真题知识总结方法总结题型突破：26 三角形中三线两圆的计算问题(学生版)

专题26三角形中三线两圆的计算问题【高考真题】2022年没考查【知识总结】一．中线中线定理：一条中线两侧所对边的平方和等于底边平方的一半与该边中线平方的2倍．即：如图，在中，为中点，则．证明在中，，在中，．．另外已知两边及其夹角也可表述为：．证明由，，．二．角平分线角平分线定理：如图，在中，是的平分线，则．证法1在中，，在中，，．证法2该结论可以由两三角形面积之比得证，即．三．高高的性质：分别为边上的高，则求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度．四．外接圆过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆．其圆心叫做三角形的外心．外接圆半径的计算：R＝eq\f(a,2sinA)＝eq\f(b,2sinB)＝eq\f(c,2sinC)．外接圆半径与三角形面积的关系：S△ABC＝eq\f(abc,4R)＝(R为△ABC外接圆半径)．五．内切圆与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆．其圆心叫做三角形的内心．内切圆半径与三角形面积的关系：S△ABC＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r为△ABC内切圆半径)，并可由此计算r．【题型突破】1．(2021·北京)已知在△ABC中，c＝2bcosB，C＝eq\f(2π,3)．(1)求B的大小；(2)在三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长度．①c＝eq\r(2)b；②周长为4＋2eq\r(3)；③面积为S△ABC＝eq\f(3\r(3),4)．2．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2＝(b2＋c2－a2)(1－tanA)．(1)求角C；(2)若c＝2eq\r(10)，D为BC的中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度．条件①：△ABC的面积S＝4且B>A，条件②：cosB＝eq\f(2\r(5),5)．3．已知函数f(x)＝sin2x－cos2x＋2eq\r(3)sinxcosx(x∈R)．(1)求f(x)的最小正周期；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝2，c＝5，cosB＝eq\f(1,7)，求△ABC中线AD的长．4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＋c2－a2＝bc．(1)求角A的大小；(2)若a＝eq\r(3)，求BC边上的中线AM的最大值．5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＋c2－a2＝bc．(1)求角A的大小；(2)若a＝eq\r(3)，求BC边上的中线AM的最大值．6．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC＋eq\r(3)asinC－b－c＝0．(1)求A；(2)若AD为BC边上的中线，cosB＝eq\f(1,7)，AD＝eq\f(\r(129),2)，求△ABC的面积．7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－eq\r(3))bc，sinAsinB＝cos2eq\f(C,2)，BC边上的中线AM的长为eq\r(7)．(1)求角A和角B的大小；(2)求△ABC的面积．8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinC＋asinA＝bsinB＋csinC．(1)求A；(2)设D是线段BC的中点，若c＝2，AD＝eq\r(13)，求a．9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(a＋b，sinA－sinC)，向量n＝(c，sinA－sinB)，且m∥n．(1)求角B的大小；(2)设BC的中点为D，且AD＝eq\r(3)，求a＋2c的最大值及此时△ABC的面积．10．(2015·全国Ⅱ)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．(1)求eq\f(sinB,sinC)；(2)若AD＝1，DC＝eq\f(\r(2),2)，求BD和AC的长．11．如图，在平面四边形ABCD中，AC与BD为其对角线，已知BC＝1，且cos∠BCD＝－eq\f(3,5)．(1)若AC平分∠BCD，且AB＝2，求AC的长；(2)若∠CBD＝45°，求CD的长．12．已知f(x)＝12sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))cosx－3，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))．(1)求f(x)的最大值、最小值；(2)CD为△ABC的内角平分线，已知AC＝f(x)max，BC＝f(x)min，CD＝2eq\r(2)，求C．13．已知函数f(x)＝eq\r(3)sin(2018π－x)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋x))－cos2x＋1．(1)求函数f(x)的递增区间；(2)若△ABC的角A，B，C所对的边为a，b，c，角A的平分线交BC于D，f(A)＝eq\f(3,2)，AD＝eq\r(2)BD＝2，求cosC．14．(2018·北京)在△ABC中，a＝7，b＝8，cosB＝－eq\f(1,7)．(1)求∠A；(2)求AC边上的高．15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2＋b2＝λab．(1)若λ＝eq\r(6)，B＝eq\f(5π,6)，求sinA；(2)若λ＝4，AB边上的高为eq\f(\r(3)c,6)，求C．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2a＋b)cosC＋ccosB＝0．(1)求角C；(2)若△ABC的面积S＝8eq\r(3)，其外接圆的半径R＝eq\f(4\r(21),3)，求△ABC的周长．17．已知△ABC内接于半径为R的圆，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2R(sin2B－sin2A)＝(b－c)sinC，c＝3．(1)求A；(2)若AD是BC边上的中线，AD＝eq\f(\r(19),2)，求△ABC的面积．18．已知△ABC的内角A，B，C满足：eq\f(sinA－sinB＋sinC,sinC)＝eq\f(sinB,sinA＋sinB－sinC)．(1)求角A；(2)若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S的最大值．19．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a，b，c成等比数列．(1)