孙会元固体物理基础第三章能带论课件39布洛赫电子

1.恒定磁场中的准经典运动准经典运动的两个方程：一、恒定磁场中布洛赫电子的准经典运动所以，在空间中，波矢满足：1).垂直于的方向2).(波矢的变化)垂直于的方向

说明电子沿着等能面运动

因而,在k空间,电子总是沿着垂直于磁场的平面和等能面的交线运动.说明k沿磁场方向的分量和电子的能量是运动常量

1.恒定磁场中的准经典运动准经典运动的两个方程：一、恒定磁

自由电子的等能面是球面,与kz垂直的平面与等能面的交线就是一系列圆.(1)电子在空间的运动图象在k空间，电子总是沿着垂直于磁场的平面和等能面的交线运动以自由电子为例加以讨论：

kz保持不变,在

kx—ky面内做匀速圆周运动,回转的频率

自由电子的等能面是球面,与kz垂直的平面与等能面(2)电子在实空间的运动图象电子在r

空间做螺旋运动，即在垂直磁场的平面内做匀速圆周运动，回旋频率为(2)电子在实空间的运动图象电子在r空间做螺旋运动以上讨论的是自由电子，对于布洛赫电子，由于晶格周期场的作用，闭合轨道并不一定是圆形，但形式上仍可写成：相应的周期为：设Δ(k)是垂直于磁场的轨道平面内能量为ε和ε+Δε两个等能面间法线距离。

以上讨论的是自由电子，对于布洛赫电子，由于晶格如图：由得：

与比较可知：如图：由它与只和电子态有关的电子的有效质量不一定相同。对方程两边用叉乘，得：所以,电子在实空间的轨道可由在k空间的轨道绕磁场轴旋转90度,并乘以因子得到.它与只和电子态有关的电子的有效质量不一定相同。对方程电子在实空间的轨道可由在k空间的轨道绕磁场轴旋转90度,并乘以因子得到.电子在实空间的轨道可由在k空间的轨道绕磁场轴旋转90度,并乘二、均匀磁场中自由电子的量子化理论考虑边长为L

的立方体,以它们的边长为x,y,z轴,外磁场平行于z轴且均匀.即：自由电子在外加磁场(沿z轴方向)的哈密顿算符为：：电子的运动学动量，：电子的场动量，：矢量势1.朗道能级二、均匀磁场中自由电子的量子化理论考虑边长为L的立方则由于且

中不含x，z,所以它和算符及是对易的。根据量子力学，可选的本征波函数同时为的本征波函数。可令

则由于且这时波函数可以写成：代入方程得到:与量子力学中谐振子方程比较可知，上式是一个中心在y0的谐振子波动方程。谐振子能量回旋频率电子的能量这时波函数可以写成：代入方程得到由量子力学知从准连续的能量变成(n+1/2)c沿磁场B方向,电子保持自由运动,相应的动能为

在与磁场垂直的kz＝常数的平面内,轨道是量子化的.这些量子化的能级称为朗道能级。在垂直磁场的x-y平面上,电子的运动是量子化的电子的能量由量子力学知从准连续的能量因此，电子的能量从准连续的能谱变成一维的磁次能带如图,每个磁次能带是一条抛物线,开口向上.磁次能带的能量极小值是：由于能量—波矢关系的改变,在k空间描写状态的代表点的分布也改变了.在没有外磁场时,状态的代表点在平面是均匀分布的,每个代表点占据的面积为：因此，电子的能量从准连续的能谱变成一维的磁次能带如图,每个在有外磁场B时，平面上的能量变为：变成了谐振子，其中心位置在,代表电子的平均位置,可以位于晶体中不同的地点。所以：这个数目代表由于线性谐振子中心位置的不同而产生的简并度。在有外磁场B时，平面上的能量变为：可知,当n等于某整数时,在平面内是一个圆环,称为朗道环.两个相邻圆环之间的面积为：是一个正比于外磁场的常量

在此面积中含有的原来没有外磁场时的状态数为：即简并度。可知,当n等于某整数时,在平面内是一个包含了所有的简并态。加了外磁场后，这些代表点都聚合到了圆周上。无外磁场

有外磁场由于沿磁场方向仍准连续变化,所以在三维k空间的代表点将聚集到一系列圆柱面上,每一个圆柱面对应一个确定的量子数n，最后形成所谓的朗道管。包含了所有的简并态。加了外磁场后，这些代表点都聚合到了圆周上

n一定，电子的能带是一条抛物线，n=0是最低的次能带，n增加，次能带向上移，如图给出磁次能带的简图。如图所示，在波矢空间形成一系列“圆柱面”，每一个圆柱面对应一个确定的量子数n，可以看成是一个子带，在每一个子带中只有一维自由度

kz

。电子的能量由准连续的能谱变成一维的磁次能带。n=3n=2n=1n=0B=00自由电子在磁场中的能量n一定，电子的能带是一条抛物线，n=0是最低的次能带不同的y0并不影响谐振子的本征值，而y0又依赖于波矢分量kx，因此不同的状态可能会是简并态。其简并度是多少呢？2.朗道能级简并度该范围内的波矢数为：不同的y0并不影响谐振子的本征值，而y0又依赖于朗道能级简并度(考虑自旋)：此简并度与磁感应强度B和晶体在垂直于磁场方向的截面积成正比，与能级序号无关，即无论n为何值，简并度不变。有外磁场无外磁场

在恒定磁场下形成朗道能级，实际上只是量子态的一种重新分布，量子态的总数是不变的。朗道能级简并度(考虑自旋)：此简并度与磁感应强度B和3.布洛赫电子的轨道量子化

对于布洛赫电子，电子的半经典闭合轨道将按玻尔量子化条件来量子化。即：可以证明：布洛赫电子的闭合轨道在k空间所围面积也是以这与自由电子相同,相邻闭合轨道的能量差为:3.布洛赫电子的轨道量子化对于布洛赫电子，电三、德哈斯-范阿尔芬效应(deHass-VanAlpheneffect)德哈斯-范阿尔芬效应,是1930年deHass和VanAlphen在低温、强磁场中研究铋单晶的磁化率时发现的.他们发现,低温下强磁场中金属的磁化率随磁场倒数(1/B)周期性振荡,人们把这种现象称为德哈斯-范阿尔芬效应.后来,人们进一步研究发现,电导率、比热等物理量在低温下强磁场中也有类似的振荡现象,这些现象同金属费米面附近电子在强磁场中的行为有关,因而它是研究金属费米面的一种有力工具。在磁场中,电子的能级形成一系列高度简并的分立能级,类似于简谐振动的能量量子化,使得电子气系统能量随磁感应强度发生变化,从而导致磁化率随磁场的振荡.这就是产生德哈斯-范阿尔芬效应的原因三、德哈斯-范阿尔芬效应(deHass-VanAlph下面我们以二维自由电子系统为例对德哈斯-范阿尔芬效应进行简单说明。由于绝对零度时，电子系统的最高能量为费米能量，它所包围的面积就是费米圆的面积。加上磁场后,费米圆内的状态收缩到朗道环上,但总状态数目不变.外磁场B的变化,将引起朗道能级间距的变化.因此，总能够通过改变磁场的大小，使得费米园内的状态恰好填满某一朗道能级。磁场增大,朗道环上的简并度增加,而总电子态数目一定,所以,随着磁场的增大,电子对应的填满的朗道能级的级次变小,即n变小.下面我们以二维自由电子系统为例对德哈斯-范阿尔芬效应进行简单图3.32朗道能级填充状况随磁场增大的变化图3.32朗道能级填充状况随磁场增大的变化孙会元固体物理基础第三章能带论课件39布洛赫电子随着磁场连续变化，相邻两个系统能量增量为零的范围对应一个能量周期。随着磁场连续变化，相邻两个系统能量增量为零的范围如果以电子系统能量增值为零的两个相邻1/B值之差，表示系统能量变化的周期.则：由于对二维自由电子系统：为常数。如果以电子系统能量增值为零的两个相邻1/B值之差，所以，系统能量变化的周期为：由于系统的磁化强度和单位体积的自由能满足：亦即和磁场垂直的费米圆面积随周期的变化而变化，周期大，则对应费米面积小。所以,系统的磁化率也将以1/B为变量振荡。所以,磁化强度将以1/B为变量振荡.由于系统的磁化率为：所以，系统能量变化的周期为：由于系统的磁化强度和单位体积的自系统的磁化率随1/B变化的周期也将是：在低温下，从实验上测出随1/B变化的周期，便可确定,即垂直磁场方向的费米面的极值面积。因而，只要从实验上测定磁化率在不同方向上随1/B的变化周期，便可确定沿不同晶向的费米面，进而得到金属费米面的形状。系统的磁化率随1/B变化的周期也将是：在低温对于二维自由电子系统,朗道能级简并度：小结：所以,磁场B增大,则朗道能级的简并度变大,也就是每一朗道能级上电子数目变多.假如,当磁场B=B1时,电子恰好填满了n-1个朗道能级;而磁场B=B2时,电子恰好填满了n个朗道能级;则B2〈B1,磁场B越强,则N个电子所需占据的朗道能级的级次越小.每当调节磁场恰好填满一个级次,则相应能量增量为零;而当一个级次的能量恰好和费米能量相等,则相应能量增量最大.两次最大或最小间相应的Δ(1/B)即为所求的周期.对于二维自由电子系统,朗道能级简并度：小结：所以,磁对于三维情况，我们不再讨论。总之,对于自由电子系统,磁场的引入,导致系统能量增大,能量的增量依赖于这就导致能量增量随1/B发生周期性变化,从而导致磁化强度或磁化率随1/B发生周期性变化.变化的周期决定于费米面在垂直磁场方向的最大截面(称为极值截面,测定磁场沿各种不同晶向时德哈斯-范阿尔芬效应的周期,便可确定沿不同晶向的极值截面面积,从而勾画出金属费米面的形状.对于三维情况，我们不再讨论。总之,对于自由电子系统变化的周期与费米面在垂直磁场方向的最大截面的关系为：四、回旋共振方法(cyclotronresonance)在恒定外磁场作用下,费米面上由一个电子的k矢量所描绘的轨道,就是费米面与一个垂直于B的平面的交线.对于一个闭合轨道,具有确定的回旋频率：这是所有研究费米面方法的核心.变化的周期与费米面在垂直磁场方向的最大截面回旋共振实验,是在施加磁场的同时,在垂直磁场方向加上频率为的微波场,通过与微波场的共振来观察回旋频率c.实际上的程序是保持微波场的频率不变,而改变磁场的大小,当=c时,微波场的能量将迅速被电子共振吸收，从一个朗道能级跳到另一个高能量的朗道能级上.这样,测量磁场与微波吸收功率的关系曲线,就可得电子沿闭合轨道运动的回旋频率c

.进而得到电子的有效质量.回旋共振实验,是在施加磁场的同时,在垂直磁场方向加上回旋共振实验是一个很精致的实验,它要求：(1)

样品很纯净；(2)

测量温度极低而磁场很强；这两个条件是为了保证在目前可实现的磁场范围内,让电子在两次相邻的碰撞时间间隔内,绕B旋转许多圈，形成位相相干的回旋轨道.从而观察到明显的吸收峰(较小的吸收线宽和较大的吸收强度).金属材料的各种物理过程，大部分都与费米面附近的电子行为有关，所以，从实验上测出费米面就很重要了。目前，用得最多的实验是德哈斯-范阿尔芬效应和回旋共振法。不过，这些效应仅仅对闭合轨道有效，比如可以测出金属铜费米面存在“肚子”、“脖子”、“狗骨头”等形状。但是对于一个多连通的费米面，还存在开轨道，开轨道的信息可由高场磁致电阻效应的测量来判断。つづき回旋共振实验是一个很精致的实验,它要求：(1)样品很谢谢！供娄浪颓蓝辣袄驹靴锯澜互慌仲写绎衰斡染圾明将呆则孰盆瘸砒腥悉漠堑脊髓灰质炎(讲课2019)脊髓灰质炎(讲课2019)谢谢！供娄浪颓蓝辣袄驹靴锯澜互慌仲写绎衰斡染圾明将呆则孰盆瘸33供娄浪颓蓝辣袄驹靴锯澜互慌仲写绎衰斡染圾明将呆则孰盆瘸砒腥悉漠堑脊髓灰质炎(讲课2019)脊髓灰质炎(讲课2019)供娄浪颓蓝辣袄驹靴锯澜互慌仲写绎衰斡染圾明将呆则孰盆瘸砒腥悉341.恒定磁场中的准经典运动准经典运动的两个方程：一、恒定磁场中布洛赫电子的准经典运动所以，在空间中，波矢满足：1).垂直于的方向2).(波矢的变化)垂直于的方向

说明电子沿着等能面运动

因而,在k空间,电子总是沿着垂直于磁场的平面和等能面的交线运动.说明k沿磁场方向的分量和电子的能量是运动常量

1.恒定磁场中的准经典运动准经典运动的两个方程：一、恒定磁

自由电子的等能面是球面,与kz垂直的平面与等能面的交线就是一系列圆.(1)电子在空间的运动图象在k空间，电子总是沿着垂直于磁场的平面和等能面的交线运动以自由电子为例加以讨论：

kz保持不变,在

kx—ky面内做匀速圆周运动,回转的频率

自由电子的等能面是球面,与kz垂直的平面与等能面(2)电子在实空间的运动图象电子在r

空间做螺旋运动，即在垂直磁场的平面内做匀速圆周运动，回旋频率为(2)电子在实空间的运动图象电子在r空间做螺旋运动以上讨论的是自由电子，对于布洛赫电子，由于晶格周期场的作用，闭合轨道并不一定是圆形，但形式上仍可写成：相应的周期为：设Δ(k)是垂直于磁场的轨道平面内能量为ε和ε+Δε两个等能面间法线距离。

以上讨论的是自由电子，对于布洛赫电子，由于晶格如图：由得：

与比较可知：如图：由它与只和电子态有关的电子的有效质量不一定相同。对方程两边用叉乘，得：所以,电子在实空间的轨道可由在k空间的轨道绕磁场轴旋转90度,并乘以因子得到.它与只和电子态有关的电子的有效质量不一定相同。对方程电子在实空间的轨道可由在k空间的轨道绕磁场轴旋转90度,并乘以因子得到.电子在实空间的轨道可由在k空间的轨道绕磁场轴旋转90度,并乘二、均匀磁场中自由电子的量子化理论考虑边长为L

的立方体,以它们的边长为x,y,z轴,外磁场平行于z轴且均匀.即：自由电子在外加磁场(沿z轴方向)的哈密顿算符为：：电子的运动学动量，：电子的场动量，：矢量势1.朗道能级二、均匀磁场中自由电子的量子化理论考虑边长为L的立方则由于且

中不含x，z,所以它和算符及是对易的。根据量子力学，可选的本征波函数同时为的本征波函数。可令

则由于且这时波函数可以写成：代入方程得到:与量子力学中谐振子方程比较可知，上式是一个中心在y0的谐振子波动方程。谐振子能量回旋频率电子的能量这时波函数可以写成：代入方程得到由量子力学知从准连续的能量变成(n+1/2)c沿磁场B方向,电子保持自由运动,相应的动能为

在与磁场垂直的kz＝常数的平面内,轨道是量子化的.这些量子化的能级称为朗道能级。在垂直磁场的x-y平面上,电子的运动是量子化的电子的能量由量子力学知从准连续的能量因此，电子的能量从准连续的能谱变成一维的磁次能带如图,每个磁次能带是一条抛物线,开口向上.磁次能带的能量极小值是：由于能量—波矢关系的改变,在k空间描写状态的代表点的分布也改变了.在没有外磁场时,状态的代表点在平面是均匀分布的,每个代表点占据的面积为：因此，电子的能量从准连续的能谱变成一维的磁次能带如图,每个在有外磁场B时，平面上的能量变为：变成了谐振子，其中心位置在,代表电子的平均位置,可以位于晶体中不同的地点。所以：这个数目代表由于线性谐振子中心位置的不同而产生的简并度。在有外磁场B时，平面上的能量变为：可知,当n等于某整数时,在平面内是一个圆环,称为朗道环.两个相邻圆环之间的面积为：是一个正比于外磁场的常量

在此面积中含有的原来没有外磁场时的状态数为：即简并度。可知,当n等于某整数时,在平面内是一个包含了所有的简并态。加了外磁场后，这些代表点都聚合到了圆周上。无外磁场

有外磁场由于沿磁场方向仍准连续变化,所以在三维k空间的代表点将聚集到一系列圆柱面上,每一个圆柱面对应一个确定的量子数n，最后形成所谓的朗道管。包含了所有的简并态。加了外磁场后，这些代表点都聚合到了圆周上

n一定，电子的能带是一条抛物线，n=0是最低的次能带，n增加，次能带向上移，如图给出磁次能带的简图。如图所示，在波矢空间形成一系列“圆柱面”，每一个圆柱面对应一个确定的量子数n，可以看成是一个子带，在每一个子带中只有一维自由度

kz

。电子的能量由准连续的能谱变成一维的磁次能带。n=3n=2n=1n=0B=00自由电子在磁场中的能量n一定，电子的能带是一条抛物线，n=0是最低的次能带不同的y0并不影响谐振子的本征值，而y0又依赖于波矢分量kx，因此不同的状态可能会是简并态。其简并度是多少呢？2.朗道能级简并度该范围内的波矢数为：不同的y0并不影响谐振子的本征值，而y0又依赖于朗道能级简并度(考虑自旋)：此简并度与磁感应强度B和晶体在垂直于磁场方向的截面积成正比，与能级序号无关，即无论n为何值，简并度不变。有外磁场无外磁场

在恒定磁场下形成朗道能级，实际上只是量子态的一种重新分布，量子态的总数是不变的。朗道能级简并度(考虑自旋)：此简并度与磁感应强度B和3.布洛赫电子的轨道量子化

对于布洛赫电子，电子的半经典闭合轨道将按玻尔量子化条件来量子化。即：可以证明：布洛赫电子的闭合轨道在k空间所围面积也是以这与自由电子相同,相邻闭合轨道的能量差为:3.布洛赫电子的轨道量子化对于布洛赫电子，电三、德哈斯-范阿尔芬效应(deHass-VanAlpheneffect)德哈斯-范阿尔芬效应,是1930年deHass和VanAlphen在低温、强磁场中研究铋单晶的磁化率时发现的.他们发现,低温下强磁场中金属的磁化率随磁场倒数(1/B)周期性振荡,人们把这种现象称为德哈斯-范阿尔芬效应.后来,人们进一步研究发现,电导率、比热等物理量在低温下强磁场中也有类似的振荡现象,这些现象同金属费米面附近电子在强磁场中的行为有关,因而它是研究金属费米面的一种有力工具。在磁场中,电子的能级形成一系列高度简并的分立能级,类似于简谐振动的能量量子化,使得电子气系统能量随磁感应强度发生变化,从而导致磁化率随磁场的振荡.这就是产生德哈斯-范阿尔芬效应的原因三、德哈斯-范阿尔芬效应(deHass-VanAlph下面我们以二维自由电子系统为例对德哈斯-范阿尔芬效应进行简单说明。由于绝对零度时，电子系统的最高能量为费米能量，它所包围的面积就是费米圆的面积。加上磁场后,费米圆内的状态收缩到朗道环上,但总状态数目不变.外磁场B的变化,将引起朗道能级间距的变化.因此，总能够通过改变磁场的大小，使得费米园内的状态恰好填满某一朗道能级。磁场增大,朗道环上的简并度增加,而总电子态数目一定,所以,随着磁场的增大,电子对应的填满的朗道能级的级次变小,即n变小.下面我们以二维自由电子系统为例对德哈斯-范阿尔芬效应进行简单图3.32朗道能级填充状况随磁场增大的变化图3.32朗道能级填充状况随磁场增大的变化孙会元固体物理基础第三章能带论课件39布洛赫电子随着磁场连续变化，相邻两个系统能量增量为零的范围对应一个能量周期。随着磁场连续变化，相邻两个系统能量增量为零的范围如果以电子系统能量增值为零的两个相邻1/B值之差，表示系统能量变化的周期.则：由于对二维自由电子系统：为常数。如果以电子系统能量增值为零的两个相邻1/B值之差，所以，系统能量变化的周期为：由于系统的磁化强度和单位体积的自由能满足：亦即和磁场垂直的费米圆面积随周期的变化而变化，周期大，则对应费米面积小。所以,系统的磁化率也将以1/B为变量振荡。所以,磁化强度将以1/B为变量振荡.由于系统的磁化率为：所以，系统能量变化的周期为：由于系统的磁化强度和单位体积的自系统的磁化率随1/B变化的周期也将是：在低温下，从实验上测出随1/B变化的周期，便可确定,即垂直磁场方向的费米面的极值面积。因而，只要从实验上测定磁化率在不同方向上随1/B的变化周期，便可确定沿不同晶向的费米面，进而得到金属费米面的形状。系统的磁化率随1/B变化的周期也将是：在低温对于二维自由电子系统,朗道能级简并度：小结：所以,磁场B增大,则朗道能级的简并度变大,也就是每一朗道能级上电子数目变多.假如,当磁场B=B1时,电子恰好填满了n-1个朗道能级;而磁场B=B2时,电子恰好填满了n个朗道能级;则B2〈B1,磁场B越强,则N个电子所需占据的朗道能级的级次越小.每当调节磁场恰好填满一个级次,则相应能量增量为零;而当一个级次的能量恰好和费米能量相等,则相应能量增量最大.两次最大或最小间相应的Δ(1/B)即为所求的周期.对于二维自由电子系统,朗道能级简并度：小结：所以,磁对于三维情况，我们不再讨论。总之,对于自由电子系统,磁场的引入,导致系统能量增大,能量的增量依赖于这就导致能量增量随1/B发生周期性变