东大考研-信号与线性系统第5章

第五章连续系统的s域分析以傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点在于：它给出的结果有着清楚的物理意义，但也有不足之处，傅里叶变换只能处理符合狄利克雷条件的信号，而有些信号是不满足绝对可积条件的，因而其信号的分析受到限制；另外在求时域响应时运用傅里叶反变换对频率进行的无穷积分求解困难。为了解决对不符合狄氏条件信号的分析，第四章中引入了广义函数理论去解释傅里叶变换，同时，还可利用本章要讨论的拉氏变换法扩大信号变换的范围。优点：求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍。缺点：物理概念不如傅氏变换那样清楚。本章内容及学习方法

本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频域分析。注意与傅氏变换的对比，便于理解与记忆。5.1拉普拉斯变换主要内容从傅里叶变换到拉普拉斯变换拉氏变换的收敛一些常用函数的拉氏变换一些函数的傅氏变换和拉氏变换一.拉氏变换的定义——从傅氏变换到拉氏变换有几种情况不满足狄利克雷条件：u(t)增长信号周期信号若乘一衰减因子为任意实数，则收敛，可以满足狄利克雷条件则1．拉普拉斯正变换2．拉氏逆变换二．拉氏变换的收敛

收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。记为：ROC(regionofconvergence)实际上就是拉氏变换存在的条件；下面举例说明Fb(s)收敛域的问题。例1因果信号f1(t)=et

(t)，求拉氏变换。解可见，对于因果信号，仅当Re[s]=>时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。收敛域收敛边界例2反因果信号f2(t)=et(-t)，求拉氏变换。解可见，对于反因果信号，仅当Re[s]=<时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。例3双边信号求其拉普拉斯变换。

求其拉普拉斯变换。解其双边拉普拉斯变换Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s)仅当>时，其收敛域为<Re[s]<的一个带状区域，如图所示。例4求下列信号的双边拉普拉斯变换。

f1(t)=e-3t(t)+e-2t(t)

f2(t)=–e-3t(–t)–e-2t(–t)

f3(t)=e-3t(t)–e-2t(–t)解Re[s]=>–2Re[s]=<–3–3<<–2可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必须标出收敛域。三、单边拉普拉斯变换单边拉氏变换采用0－系统优点通过微分方程求系统响应时，不必考虑系统响应在t=0点是否有跳变；可以求得系统在t＝0点时的响应，若取0＋，则不能求得这一点的响应；对于在t＝0点含有冲激函数的信号，可以求得其完整的拉氏变换，若取0＋，则所得的变换式中不包括冲激函数的变换；可以简单而明确的将系统的完全响应分解为零输入响应和零状态响应。傅立叶,单边拉氏变换是双边拉氏变换的特殊情况单边拉氏变换双边拉氏变换付氏变换

当σ0<0时，收敛区包含虚轴jω，函数的傅氏变换存在；当σ0>0时，收敛区不包含虚轴jω，函数的傅氏变换不存在；当σ0=0时，收敛区虽不包含虚轴jω，但函数的傅氏变换存在，不过有冲激项。因为指数阶函数的单边拉氏变换一定存在，所以一般可以不标明收敛区。

说明6.一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。表4-1常用信号及其拉氏变换P181

5.2拉普拉斯变换的性质

1.线性特性若则

a和b为任意常数。

2．尺度变换3.延时（时域平移）时移和标度变换都有时:设f(t)=sinω0t,因而

,若t0>0,试求下列信号的拉氏变换:

（1）f(t-t0)=sinω0(t-t0);

（2）f(t-t0)·u(t)=sinω0(t-t0)·u(t)

（3）f(t)·u(t-t0)=sinω0t·u(t-t0);

（4）f(t-t0)·u(t-t0)=sinω0(t-t0)·u(t-t0)。解：四种信号如下图(a)、(b)、(c)、(d)所示。例

对于（1）和（2）两种信号t≥0的波形相同,因此它们的拉氏变换也相同,即

对于信号（3）,它的拉氏变换是

对于信号（4）,它的拉氏变换是

求周期函数的单边拉普拉斯变换，或求如图所示单边“周期”函数的拉普拉斯变换。周期信号的拉氏变换解:令f1(t)、f2(t)、f3(t)、…分别表示f(t)第一周期、第二周期、第三周期、…的函数。则f(t)=f1(t)+f2(t)+f3(t)+…=f1(t)+f1(t-T)+f1(t-2T)+…

令为周期因子，由以上推导过程中可以得到周期函数的单边拉氏变换基本步

骤为:(1)求f(t)第一周期的象函数f1(t)F1(s)；

(2)周期函数的单边拉氏变换等于函数第一周期的象函数乘以周期因子，即周期信号的拉氏变换

例：求如图(a)所示周期的半波整流波形的单边象函数。

解：半波整流波形第一周期的波形如图(b)所示，可由两个波形叠加，即4.s域平移例:已知因果信号f(t)的象函数F(s)=求e-tf(3t-2)的象函数。解：e-tf(3t-2)←→

式中f(0-)及f(n)(0-)分别表示f(t)及f(t)的n阶微分f(n)(t)在t=0-时的值。

5.原函数微分若若f(t)为单边信号,则f(0-)=0，可简化为电感元件的s域模型电感元件的s模型应用原函数微分性质设6.原函数积分电容元件的s域模型电容元件的s模型7．卷