2023届高考数学二轮复习提升练-空间点、直线、平面之间的位置关系（含解析）

高三数学二轮复习提升练习空间向量与立体几何——空间点、直线、平面之间的位置关系1.直三棱柱中，，M，N分别是，的中点，，则BM与AN所成角的余弦值为()A. B. C. D.2.如图，在所有棱长均相等的直三棱柱中(侧棱与底面垂直的三棱柱)，E是的中点，则下列结论中错误的选项是()

A.平面B.异面直线AE与所成角的正切值为C.平面D.三棱锥的体积是三棱柱体积的3.如图，点N为正方形ABCD的中心，为正三角形，平面平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A.，且直线BM，EN是相交直线B.，且直线BM，EN是相交直线C.，且直线BM，EN是异面直线D.，且直线BM，EN是异面直线4.如图，在正方体中，E，F，G分别是棱AB，BC，的中点，过E，F，G三点作该正方体的截面，则下列说法错误的是()A.在平面内存在直线与平面EFG平行B.在平面内存在直线与平面EFG垂直C.平面平面EFGD.直线与EF所成角为45°5.已知平行六面体的底面ABCD是菱形，且，，，则直线与直线BD所成的角的大小为()A. B. C. D.6.如图,在四棱锥中,侧面底面,侧面为等边三角形,底面为正方形,E为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为()A. B. C. D.7.如图,圆锥的轴截面为直角三角形,C是底面圆周上的一点,且,则异面直线与所成角的大小为()A.30° B.45° C.60° D.90°8.（多选）如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列判断中正确的是()A.平面平面B.平面C.异面直线与所成角的范围是D.三棱锥的体积不变9.（多选）如图，在三棱锥中，，E，F，G，H分别为棱AB，BC，CD，DA的中点，则下列说法正确的是()A.直线EG与FH是异面直线B.C.三棱锥的体积为D.三棱锥的外接球的体积为10.（多选）如图，在棱长均相等的四棱锥中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，则下列结论正确的有()

A.平面OMN B.平面平面OMNC.直线PD与直线MN所成角的大小为90° D.11.正方体中，M是AB的中点，则与CM所成角的余弦值为___________.12.如图，在直四棱柱中，底面ABCD是正方形，.记异面直线与BD所成的角为，则的值为________.13.空间四边形ABCD中，且AB与CD所成的角为50°，E，F分别是BC，AD的中点，则EF与AB所成角的大小为_________.14.在四棱锥中，底面ABCD，，，，.（1）证明：；（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值.15.如图，在三棱台中，底面是边长为2的正三角形，侧面为等腰梯形，且，D为的中点.（1）证明：；（2）记二面角的大小为，时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.答案以及解析1.答案：C解析：直三棱柱QUOTEABC−A1B1C1ABC−A1B1C1中，，M，N分别是QUOTEA1B1,A1C1QUOTEMN//12B1C1=OBMN//12B1C1=OB，则MNOB是平行四边形，BM与AN所成角就是，，设，在QUOTE△ANO△ANO中，由余弦定理可得：故选：C2.答案：B解析：如图，连接，，，由题意可知是等边三角形，E是的中点，所以.在直三棱柱中，，，所以平面，故选项A正确；在三棱柱中，，异面直线AE与所成角即为与AE所成角.设直三棱柱的棱长为a，则，所以在中，，故选项B错误；在三棱柱中，，由线面平行的判定定理可知平面，故选项C正确：由棱锥和棱柱的体积公式可知选项D正确，故选B.3.答案：B解析：如图，连接BD，BE.为正方形ABCD的中心，.又是ED的中点，.，平面BED.由图知BM与EN相交.设，则，.在中，由中线定理得，.又，.故选B.4.答案：D解析：设BD交AC于点O，EF交BD于点P，连接，PG.因为，，所以.因为平面EFG，平面EFG，所以平面EFG.又平面，故A正确.连接，.因为平面，所以.又，所以.因为平面，所以.又，，所以平面，所以.又，所以.因为，所以平面EFG.又平面，故B正确.因为，，EG，平面EFG，，平面EFG，所以平面EFG，平面EFG.又因为平面，平面，，所以平面平面EFG，故C正确.因为，为等边三角形，故直线与AC所成角为60°，即直线与EF所成角为60°，故D不正确.故选D.5.答案：A解析：连接AC交BD于点O，连接，，.，，，，.底面ABCD是菱形，，.，，平面，，直线与直线BD所成的角的大小为.故选A.6.答案：D解析：如图,连接,相交于点O.∵四边形为正方形,为的中点.连接为的中点,,且(或其补角)为异面直线与所成角.由题易知.∵平面平面,平面平面平面.又平面.设,则,∴在中,由余弦定理的推论得,故选D.7.答案：D解析：方法一：如图,取的中点D,连接.设圆锥的底面圆的半径为2.因为点O是的中点,D是的中点,所以,所以(或其补角)为异面直线与所成的角,因为为直角三角形,,所以,所以,.因为,所以,所以异面直线与所成角的大小为.故选D.方法二：如图,取的中点D,连接.设圆锥的底面圆的半径为2.因为为直角三角形,,所以,所以,所以,所以.又底面底面,所以.因为,所以平面.因为平面,所以,即异面直线与所成角的大小为.故选D.8.答案：ABD解析：对于A选项，根据正方体的性质，连接BD.因为四边形ABCD为正方形，所以.由题意知，又因为，所以平面，所以.同理.又因为，所以平面，因为平面，则平面平面，故A正确.对于B选项，连接，.易证平面平面，又平面，所以平面，故B正确.对于C选项，当P与线段的两端点重合时，与所成角取最小值；当P与线段的中点重合时，与所成角取最大值，故与所成角的范围是，故C错误.对于D选项，，因为点C到平面的距离不变，且的面积不变，所以三棱锥的体积不变，故D正确.故选ABD.9.答案：BD解析：因为E，F，G，H是中点，所以，所以E，F，G，H共面，所以A错误；由已知可知该三棱锥对棱相等，故可将其补形为一长方体，如图所示，设，则解得，所以四边形BIAJ为正方形，所以，B正确；设三棱锥的外接球半径为R，则，所以其外接球体积，D正确；由割补法可求得三棱锥的体积，C错误.故选BD.10.答案：ABD解析：选项A，连接BD，显然O为BD的中点，又N为PB的中点，所以，由线面平行的判定定理可得，平面OMN.选项B，由M，N分别为侧棱PA，PB的中点，得.又底面ABCD为正方形，所以，由线面平行的判定定理可得，平面OMN.由选项A得平面OMN.又，由面面平行的判定定理可得，平面平面OMN.选项C，因为，所以为直线PD与直线MN所成的角.又因为该四棱锥的所有棱长都相等，所以，故直线PD与直线MN所成角的大小为60°.选项D，因为底面ABCD为正方形，所以.又四棱锥的所有棱长都相等，所以，故.又，所以.故ABD均正确.11.答案：解析：将正方体补成一个长方体，连接，所以是异面直线与CM所成角(或其补角)，设正方体的棱长为a.在三角形中，，那么.12.答案：解析：连接，因为在直四棱柱中，底面ABCD是正方形，所以，所以是异面直线与BD所成的角(或所成的角的补角)，设，所以，记异面直线与BD所成的角为，则.13.答案：25°或65°.解析：取BD中点G，连接EG，FG，则由三角形中位线定理得，所以，EF与AB所成角为，因为AB与CD所成的角为50°，所以或，所以EF与AB所成角的大小为25°或65°.14.答案：（1）证明见解析（2）解析：解：（1）如图所示，取AB中点为O，连接DO，CO，则.

又，所以四边形DCBO为平行四边形.

又，

所以四边形DCBO为菱形，所以.

同理可得，四边形DCOA为菱形，所以，

所以.

因为底面ABCD，底面ABCD，所以，

又，平面ADP，所以平面ADP.

因为平面ADP，所以.（2）由（1）知，又，所以，

所以三角形ADO为正三角形.

过点D作垂直于DC的直线为x轴，DC所在直线为y轴，DP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，.

则，，.

设平面PAB的法向量为，

则.

令，则，，所以.

设直线PD与平面PAB所成的角为，

则，

所以直线PD与平面PAB所成的角的正弦值为.15.答案：（1）见解析（2）解析：（1）如图，取AC的中点M，连接DM，BM