第28章+小结与复习【高效课堂精创】 九年级数学下册 教学课件（人教版）

小结与复习第二十八章小结与复习(2)∠A的余弦：cosA＝

＝

；(3)∠A的正切：tanA＝

＝

.要点梳理1.锐角三角函数如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．(1)∠A的正弦：∠A的对边斜边sinA=∠A的邻边斜边∠A的邻边∠A的对边第二十八章小结与复习sin30°＝

，sin45°＝

，sin60°＝

；cos30°＝

，cos45°＝

，cos60°＝

；tan30°＝

，tan45°＝

，tan60°＝

.2.特殊角的三角函数1第二十八章小结与复习合作探究(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．三边关系：_______________；三角关系：_________________

；边角关系：sinA＝cosB＝_____

，cosA＝sinB＝____，tanA＝_________，tanB＝_______.a2＋b2＝c2∠A＝90°－∠B

3.解直角三角形第二十八章小结与复习(2)直角三角形可解的条件和解法

条件：解直角三角形时知道其中的2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余的3个未知元素．解法：①一边一锐角，先由两锐角互余关系求出另一锐角；知斜边，再用正弦(或余弦)求另两边；知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或勾股定理求斜边；②知两边：先用勾股定理求另一边，再用边角关系求锐角；③斜三角形问题可通过添加适当的辅助线转化为解直角三角形问题．第二十八章小结与复习(3)互余两角的三角函数间的关系sinα=

，cosα=_____________，sin2α+cos2α=

.tanα·

tan(90°－α)

=___.cos(90°－α)sin(90°－α)11第二十八章小结与复习(1)利用计算器求三角函数值第二步：输入角度值，屏幕显示结果.(不同计算器操作可能不同)第一步：按计算器键，sintancos4.借助计算器求锐角三角函数值及锐角第二十八章小结与复习(2)利用计算器求锐角的度数还可以利用键，进一步得到角的度数.第二步：输入函数值屏幕显示答案(按实际需要进行精确)方法①：°＇″2ndF第一步：按计算器键，2ndFsincostan第二十八章小结与复习方法②：第二步：输入锐角函数值屏幕显示答案(按实际需要选取精确值).第一步：按计算器键，°＇″2ndF第二十八章小结与复习(1)仰角和俯角铅直线水平线视线视线仰角俯角在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.5.三角函数的应用第二十八章小结与复习以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角，叫做方位角.如图所示：30°45°BOA东西北南(2)方位角45°45°西南O东北东西北南西北东南第二十八章小结与复习坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有

i=tan

α.坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.如图：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度.记作i，即i

=.(3)坡度，坡角第二十八章小结与复习(4)利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；②根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；③得到数学问题的答案；④得到实际问题的答案．第二十八章小结与复习ACMN①在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；E

②量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l；③量出测倾器的高度AC=a，可求出

MN=ME+EN=l·tanα+a.α(1)测量底部可以到达的物体的高度步骤：6.利用三角函数测高第二十八章小结与复习(2)测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？①在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α；ACBDMNEα②在测点A与物体之间的B处安置测倾器，测得此时M的仰角

∠MDE=β；β③量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A，B之间的距离

AB=b.根据测量数据，可求出物体MN的高度.第二十八章小结与复习考点一求三角函数的值考点精讲例1在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为

(

)A.B.C.D.解析：根据sinA＝，可设三角形的两边长分别为4k，5k，则第三边长为3k，所以tanB＝B第二十八章小结与复习例2矩形ABCD中AB=10，BC=8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，求tan∠AFE．分析：根据题意，结合折叠的性质，易得∠AFE=∠BCF，进而在Rt△BFC中，有BC=8，CF=10，由勾股定理易得BF的长，根据三角函数的定义，易得tan∠BCF的值，借助∠AFE=∠BCF，可得tan∠AFE的值．108第二十八章小结与复习解：由折叠的性质可得，CF=CD，∠EFC=∠EDC=90°.∵∠AFE+∠EFC+∠BFC=180°，∴∠AFE+∠BFC=90°.∵∠BCF+∠BFC=90°，∴∠AFE=∠BCF.在Rt△BFC中，BC=8，CF=CD=10，由勾股定理易得BF=6.∴tan∠BCF=.

∴tan∠AFE=tan∠BCF=.108第二十八章小结与复习考点二特殊角的三角函数值例3

计算：解：原式＝第二十八章小结与复习考点三

解直角三角形例4

如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，BD＝4，AD＝BC，cos∠ADC=，求：(1)DC的长；分析：题中给出了两个直角三角形，DC和sinB可分别在Rt△ACD和Rt△ABC中求得，由AD＝BC，图中CD＝BC－BD，由此可列方程求出CD．ABCD第二十八章小结与复习又BC－CD＝BD，解得x=6，∴CD=6.ABCD解：设CD＝x，在Rt△ACD中，cos∠ADC=，第二十八章小结与复习(2)sinB的值．ABCD解：BC=BD+CD=4+6=10=AD，在Rt△ACD中，在Rt△ABC中，第二十八章小结与复习考点四

三角函数的应用例5

如图，防洪大堤的横截面是梯形ABCD，其中AD∥BC，α=60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β=45°．若原坡长AB=20m，求改造后的坡长AE．(结果保留根号)

第二十八章小结与复习解：过点A作AF⊥BC于点F，在Rt△ABF中，∠ABF=∠α=60°，则AF=AB·sin60°=(m)，在Rt△AEF中，∠E=∠β=45°，则(m).故改造后的坡长AE为m.F第二十八章小结与复习例6

如图，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°，若坡角∠FAE=30°，求大树的高度（结果保留整数，参考据:sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）.第二十八章小结与复习解：如图，作DG⊥BC于点G，DH⊥CE于点H，则四边形DHCG为矩形．故DG=CH，CG=DH，DG∥HC，∴∠DAH=∠FAE=30°.在Rt△AHD中，∵∠DAH=30°，AD=6，∴DH=3，AH=，∴CG=3，设BC为x，在Rt△ABC中，GH第二十八章小结与复习

在Rt△BDG中，∵BG=DG·tan30°，解得x≈13，∴大树的高度为13米.∴∴GH第二十八章小结与复习例7

如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得∠CAO=45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45km/h和36km/h，经过0.1h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得∠DBO=58°，此时B处距离码头O多远？（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）第二十八章小结与复习解：设B处距离码头Oxkm，在Rt△CAO中，∠CAO=45°，

∴CO=AO·tan∠CAO=（45×0.1+x）·tan45°=4.5+x.在Rt△DBO中，∠DBO=58°，

∴DO=BO·tan∠DBO=x·tan58°.∵DC=DO－CO，∴36×0.1=x·tan58°－（4.5+x），因此，B处距离码头O大约13.5km.∴∵tan∠CAO=,

∵tan∠DBO=,第二十八章小结与复习90°2.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，

C都在格点上，则∠ABC的正切值是____.1.在△ABC中，且sinA=，cosB=，则∠C=____．巩固训练第二十八章小结与复习解：∵在直角△ABD中，tan∠BAD=

∴BD=AD·tan∠BAD=12×=9，∴CD=BC－BD=14－9=5，∴∴sinC=

3如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝，求sinC的值．第二十八章小结与复习(1)tan30°＋cos45°＋tan60°；(2)tan30°·tan60°＋cos230°.4计算：解：原式解：原式第二十八章小结与复习

5如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝.点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°.求△ABC的周长(结果保留根号).第二十八章小结与复习解：在Rt△ADC中，∴BD＝2AD＝4.∴BC＝BD＋DC＝5.在Rt△ABC中，∴△ABC的周长为AB＋BC＋AC第二十八章小结与复习

6如图，某防洪指挥部发现长江边一处防洪大堤(横断面为梯形ABCD)急需加固，背水坡的坡角为45°，高10米．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后背水坡EF的坡比i=1:．求加固后坝底增加的宽度AF.(结果保留根号)ABCDEF45°i=1:第二十八章小结与复习ABCDEF45°i=1:GH解：作DG⊥AB于点G，EH⊥AB于点H，则GH=DE=2米，EH=DG=10米.(米)，(米).又∵AG=DG=10米，∴(米).故加固后坝底增加的宽度AF为米.第二十八章小结