2020届陕西省汉中市高三上学期教学质量第一次检测考试数学(理)试题(解析版)

第第页共19页nPB=s2x2y2-2x2x=00T-,解得nPB=s2x2y2-2x2x=00T-,解得n=（0,1,应）设直线AQ与平面PBC所成角为0,T4AQn| 历则sin日=cos<AQ,n!= .=J-，AQnN3因为00f0,—|,cose=Ji—sin2e=Ji--=吏.2 \ 3 3所以直线AQ与平面PBC所成角的余弦值为旦.3(2)解法二：几何法过P作PO_LAD交于点O,则。为AD中点，过A作PO的平行线，过P作AD的平行线，交点为E,连结BE,过A作AH_LBE交于点H,连结QH,连结BO,取中点M,连结QM,AM，四边形AOPE为矩形，所以PE_LWABE,所以PE_LAH,又BE_LAH,所以AH_L面PBE,所以ZAQH为线AQ与面PBC所成的角.令AO=a，则AE=a,AB=V2a，BE=^/3a,由同一个三角形面积相等可得AH=—a,△QAM为直角三角形，由勾股定理可得AQ=aAH、6所以sin/AQH==——AQ3又因为/AQH为锐角，所以cosNAQh=—3所以直线AQ与平面PBC所成角的余弦值为

【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是： （1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量； （3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量； （4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离 .2 .20.已知函数f（x）=lnx+x+1,g（x）=x+2x.（i）求函数y=f（x）-g（x）的极值;（n）若实数m为整数，且对任意的x>0时，都有f（x）-mg（x）£0恒成立，求实数m的最小值.【答案】（I）极大值为--ln2,无极小值；（n）1.4【解析】（I）由题意首先求得导函数的解析式，然后结合导函数的符号讨论原函数的单调性，从而可确定函数的极值；（n）结合题意分离参数，然后构造新函数，研究构造的函数，结合零点存在定理找到隐零点的范围，最后利用函数值的范围即可确定整数 m的最小值.【详解】2（I）设中（x）=f（x）_g（x）=lnx—x—x+1,1x=-—2x-1=

x1x=-—2x-1=

x-2x-1x11 .令中1 .令中（x）A0，则0cx<—；中2'(x)<0,则x, 1 中（x近0,1上单调递增,

21 …….一尸上单调递减,2呼（x呼（x卜大弋2]=；』2,无极小值.2(n)由f(x)—mg(x)£0,即Inx十x+1一m(x+2x产0在(0,十近)上恒成立,Inxx1m2 x2x在（0,Inxx1m2 x2x在（0,也0）上恒成立,Inxx17：x1x2lnxx22x2 2x22x2显然x+1>0,(x2+2x)>0设tx=-x2lnx<0,故设tx=-x2lnx<0,故t(x)在(0,十工)上单调递减),则t(x}=—1+—I

,x由零点定理得三x0W11,1lI,2由t(1由零点定理得三x0W11,1lI,2使得t(%)=0,即xo+2lnxo=0且xE10,x附,t(x)A0,则h'(x)A0,x『x0,y)时，t(x)<0.则h'(x)<0h(x而(0,%)上单调递增，在(%,〜)上单调递减hxhxmax=hx0 =1nx0x01

x22x0iInxiInx0 x01则…FTTOC\o"1-5"\h\zc 1/\o"CurrentDocument"又由x0+21nx0=0,x°u一,1,12 J，由m之h(x)恒成立，且m为整数，可得m的最小值为1.【点睛】本题主要考查导数研究函数的极值， 导数研究函数的单调性，隐零点问题及其处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力 ^2 2 221.已知双曲线上—y2=1的焦点是椭圆C：。+与=1(aAbA0)的顶点，且椭圆5 ab与双曲线的离心率互为倒数.(1)求椭圆C的方程；(2)设动点M,N在椭圆C上，且MN=4至，记直线MN在y轴上的截距为m,3求m的最大值.2£yj.15(2)二3【解析】试题分析：(I)双曲线的焦点为(±J6q),离心率为叵,对于椭圆来说,5

—c5a=J6,e=—=_=,由此求得b=l和椭圆的方程.(II)设出直线的方程，联立直线a.30的方程和椭圆的方程，利用判别式求得 m,k的一个不等关系，利用韦达定理和弦长公式，求得m,k一个等量关系，利用k表示m,进而用基本不等式求得m的最大值.试题解析:TOC\o"1-5"\h\z(I)双曲线x--y2=1的焦点坐标为(±J6,0),离心率为叵.5 52 2 2因为双曲线x-—y2=1的焦点是椭圆C：勺+[=1(a>b>0)的顶点，且椭圆5 a2 b2与双曲线的离心率互为倒数，所以a=J6,与双曲线的离心率互为倒数，所以a=J6,且叵三工叵,解得b=「

a62故椭圆C的方程为—+y2=1.6(□)因为MN=—>2,所以直线MN的斜率存在3因为直线MN在y轴上的截距为m,所以可设直线MN的方程为y=kx+m.2代入椭圆方程—+y2=1得(1+6k之伙？十12kmx+6(m2-1)=0.6因为△=(12km)2—24(1+6k2)(m2—1)=24(1+6k2-m2)>0,所以m2：：：1+6k2.设M(X1,y1)，N(X2,y2),2根据根与系数的关系得-12km 6m2-1根据根与系数的关系得X1X2=kMK则MN=d1+k24—x2=J+k2J(x1+x2j—4为*2=1k212km之124m：.\.16k16k肉玉…। 4石日口r—T\(12km:24(m2—1) 473因为MN= ,即V1+kJ.- 2 2-= .3 1.16k16k3

_4 22整理得m-18k 39k 72整理得m91k2令k2+1=t>1,则k2=t-1.=2 一2 -18t 75t-50所以m= 9t=2 一2 -18t 75t-50所以m= 9t1 …75-18t975-230 5等号成立的条件是t=53此时k2」32 5…m=一满足

3<1十6k2,符合题意.故m的最大值为15.22.在直角坐标系xOy22.在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为《、6y=29t(其中t为参数).以坐标原点。为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为TOC\o"1-5"\h\z- 2.:cos二-3sin1.(1)求G和C2的直角坐标方程；、一， —―— 一 一-- -. 2 2(2)设点P(0,2),直线C1交曲线C2于M,N两点，求PM+PN的值.【答案】(1)C1:T2x+y—2=0,C2:x2=3y(2)90【解析】(1)消去t得到直线方程，再利用极坐标公式化简得到答案 ^(2)将直线的参数方程代入x2=3y,化简得到t2-3病-18=0,利用韦达定理计算得到答案【详解】(1)直线Ci(1)直线Ci的参数方程为3tx=- 3-y=2吏t3(其中t为参数)，消去t可得J2x+y—2=0;由#cos2e=3sin8，得P2cos2日=3Psin8,则曲线C2的直角坐标方程为x2=3y.(2)将直线C(2)将直线Ci的参数方程代入x2=3y,得t2-3而-18=0设M,N对应的参数分别为t1,t2,则4*t2=3娓,11t2--182 2 2PM|十|PN|=(t1+t2)-2t1t2=90.【点睛】本题考查了直线的参数方程，极坐标，利用直线的参数方程的几何意义可以快速得到答案，是解题的关键.23.已知函数f(x)=|x—2+x—3.(1)求不等式f(x)<2的解集;(2)若f(x)>a|2x+1的解集包含[3,5],求实数a的取值范围.…… 3 7 1【答案】(1){x|—<x<一>(2)a匚-°°,一,2 2 72x-5,x3I【解析】(1)函数化简为分段函数 f(x)=《1,2WxM3分别解不等式得到答案I5-2x,x：22x1(2)题目等价于当xw13,5】时不等式恒成立，得到不等式 丝二5々a,2x12x—5 ,,g(x)=丝上的最小值得到答案.2x1【详解】2x。5,x3.一3 3I_八一3 7f(x)=x—2+x—3=<1,2WxW3,由f(x)<2,解得3<x<,，2 25—2x,x<2故不等式f故不等式f(x)<2的解集是x|3<x<7；2 2(2)f(x)>a2x+1的解集包含13,5】，即当xwb,5】时不等式恒成立,当xW13,5】时，f(x)=2x—5,f(x)之a2x+1,