新教材高中数学第六章概率离散型随机变量的方差课件北师大版选择性必修第一册

3.2离散型随机变量的方差第六章20213.2离散型随机变量的方差第六章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习核心素养思维脉络1.理解离散型随机变量的方差及标准差的概念.(数学抽象)2.会用方差解决一些实际问题.(数学运算)核心素养思维脉络1.理解离散型随机变量的方差及标准差的概念.课前篇自主预习课前篇自主预习激趣诱思A,B两台机床同时加工零件,每生产一批数量较大的产品时,出现次品数的概率如下表:A机床

次品数X10123P0.70.20.060.04B机床

次品数X20123P0.80.060.040.10激趣诱思A,B两台机床同时加工零件,每生产一批数量较大的产品在上述问题中,由EX1和EX2的值能比较两台机床的产品质量吗?为什么?试想利用什么指标可以比较A,B两台机床的加工质量?在上述问题中,由EX1和EX2的值能比较两台机床的产品质量吗知识点拨一、离散型随机变量的方差、标准差若离散型随机变量X的分布列如下表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则(xi-EX)2描述了xi(i=1,2,…,n)相对于均值EX的偏离程度,而DX=E(X-EX)2=(xi-EX)2pi为这些偏离程度的加权平均,刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度.我们称DX为随机变量X的方差,其算术平方根

为随机变量X的标准差,记作σX.知识点拨一、离散型随机变量的方差、标准差Xx1x2…xi…x随机变量的方差DX和标准差σX都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度.方差(标准差)越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小;反之,方差(标准差)越大,则随机变量的取值越分散.随机变量的方差DX和标准差σX都反映了随机变量的取值偏离于均微练习1下列说法正确的有

.(填序号)

①离散型随机变量X的期望EX反映了X取值的概率的平均值;②离散型随机变量X的方差DX反映了X取值的平均水平;③离散型随机变量X的期望EX反映了X取值的波动水平;④离散型随机变量X的方差DX反映了X取值的波动水平.微练习1答案

④解析

①错误,因为离散型随机变量X的期望EX反映了X取值的平均水平.②错误,因为离散型随机变量X的方差DX反映了随机变量偏离于期望的平均程度.③错误,因为离散型随机变量的方差DX反映了X取值的波动水平,而随机变量的期望EX反映了X取值的平均水平.④正确,由方差的意义可知.答案④微练习2已知随机变量X,DX=,则X的标准差为

.

微练习2二、方差的性质若X是随机变量,Y=aX+b也是随机变量,则DY=D(aX+b)=a2DX.名师点析特例方差意义a=0Db=0常数的方差等于0a=1D(X+b)=DX随机变量与常数之和的方差与随机变量的方差相同b=0D(aX)=a2DX常数与随机变量的乘积的方差是随机变量的方差的a2倍二、方差的性质特例方差意义a=0Db=0常数的方差等于0a=微练习已知随机变量ξ的方差Dξ=4,且随机变量η=2ξ+5,则Dη=

.答案

16解析

由D(aξ+b)=a2Dξ,得Dη=D(2ξ+5)=22×Dξ=16.微练习答案16解析由D(aξ+b)=a2Dξ,得Dη=课堂篇探究学习课堂篇探究学习探究一求离散型随机变量的方差例1袋中有20个大小相同的球,其中记为0号的有10个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,ξ表示所取球的标号,求ξ的分布列、均值和方差.探究一求离散型随机变量的方差例1袋中有20个大小相同的球,其新教材高中数学第六章概率离散型随机变量的方差课件北师大版选择性必修第一册故ξ的分布列为

故ξ的分布列为延伸探究在本例条件下,若η=aξ+b,Eη=1,Dη=11,试求a,b的值.解

由D(aξ+b)=a2Dξ=11,E(aξ+b)=aEξ+b=1,及Eξ=1.5,Dξ=2.75,得2.75a2=11,1.5a+b=1,解得a=2,b=-2或a=-2,b=4.延伸探究在本例条件下,若η=aξ+b,Eη=1,Dη=11,反思感悟

(1)求离散型随机变量X的方差的步骤①理解X的意义,写出X的所有可能的取值;②求X取每一个值的概率;③写出随机变量X的分布列;④由均值、方差的定义求EX,DX.(2)对于变量间存在关系的方差,在求解过程中应注意方差性质的应用,如D(aξ+b)=a2Dξ,这样处理既避免了求随机变量η=aξ+b的分布列,又避免了繁杂的计算,简化了计算过程.反思感悟(1)求离散型随机变量X的方差的步骤变式训练1甲、乙两人进行定点投篮游戏,投篮者若投中,则继续投篮,否则由对方投篮,第一次由甲投篮;已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为

在前3次投篮中,乙投篮的次数为ξ,求ξ的分布列、期望和方差.变式训练1甲、乙两人进行定点投篮游戏,投篮者若投中,则继续投新教材高中数学第六章概率离散型随机变量的方差课件北师大版选择性必修第一册故ξ的分布列为

故ξ的分布列为探究二方差的实际应用例2甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零件数相等,所得次品数分别为ξ,η,ξ和η的分布列如下:试对这两名工人的技术水平进行比较.探究二方差的实际应用例2甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每由Eξ=Eη知,两人出次品的平均数相同,技术水平相当,但Dξ>Dη,可见乙的技术比较稳定.由Eξ=Eη知,两人出次品的平均数相同,技术水平相当,但Dξ反思感悟

均值仅体现了随机变量取值的平均大小,而方差则说明了随机变量取值的稳定程度.因此,我们可以利用均值和方差的意义分析、解决实际问题.当我们希望实际的平均水平比较理想时,不但要比较它们的均值,还应看它们相对于均值的偏离程度;如果我们希望比较稳定时,应先考虑方差,再考虑均值是否接近.反思感悟均值仅体现了随机变量取值的平均大小,而方差则说明了变式训练2有甲、乙两名学生,经统计,他们在解答同一份数学试卷时,各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示:甲

分数X8090100概率P0.20.60.2乙分数Y8090100概率P0.40.20.4试分析两名学生的成绩水平.变式训练2有甲、乙两名学生,经统计,他们在解答同一份数学试卷解

甲同学成绩的期望与方差分别为EX=80×0.2+90×0.6+100×0.2=90,DX=(80-90)2×0.2+(90-90)2×0.6+(100-90)2×0.2=40.乙同学成绩的期望与方差分别为EY=80×0.4+90×0.2+100×0.4=90,DY=(80-90)2×0.4+(90-90)2×0.2+(100-90)2×0.4=80,所以甲同学成绩稳定,乙同学成绩波动大.解甲同学成绩的期望与方差分别为素养形成随机变量的方差与高考典例1(2020全国3,理3)在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为

A.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.2素养形成随机变量的方差与高考A.p1=p4=0.1,p2=p解析

四个选项的数据都具有对称性,平均数均为2.5,其中B选项的数据中,极端值最多,数据波动程度最大,故选B.答案

B解析四个选项的数据都具有对称性,平均数均为2.5,其中B选典例2(2019浙江,7)设0<a<1.随机变量X的分布列是

则当a在(0,1)内增大时,(

)A.DX增大

B.DX减小C.DX先增大后减小 D.DX先减小后增大典例2(2019浙江,7)设0<a<1.随机变量X的分布列是答案

D答案D方法点睛方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.计算随机变量的方差及标准差也是高考热点,有时单独考查,有时和分布列、均值结合在一起考查,主要体现学生的运算求解能力及逻辑思维能力,充分考查了数学运算素养.方法点睛方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散当堂检测A.m

B.2m(1-m)C.m(m-1) D.m(1-m)当堂检测A.m B.2m(1-m)答案

D解析

随机变量ξ的分布列为

ξ01P1-mm∴Eξ=0×(1-m)+1×m=m.∴Dξ=(0-m)2×(1-m)+(1-m)2×m=m(1-m).答案D解析随机变量ξ的分布列为ξ01P1-mm∴Eξ2.已知X的分布列为

X-101P0.50.30.2则DX等于(

)A.0.7 B.0.61 C.-0.3 D.0答案

B解析

EX=-1×0.5+0×0.3+1×0.2=-0.3,DX=0.5×(-1+0.3)2+0.3×(0+0.3)2+0.2×(1+0.3)2=0.61.2.已知X的分布列为X-101P0.50.30.2则DX等3.已知随机变量X的分布列为

X135P0.40.10.5答案

D解析

EX=1×0.4+3×0.1+5×0.5=3.2,由方差的定义,DX=(1-3.2)2×0.4+(3-3.2)2×0.1+(5-3.2)2×0.5=3.56.3.已知随机变量X的分布列为X135P0.40.10.5答4.已知随机变量X的分布列为

随机变量Y=2X+1,则X的数学期望EX=

;Y的方差DY=

.

4.已知随机变量X的分布列为随机变量Y=2X+1,则X的数新教材高中数学第六章概率离散型随机变量的方差课件北师大版选择性必修第一册5.已知离散型随机变量X的分布列如下表:若EX=0,DX=1,求a,b的值.5.已知离散型随机变量X的分布列如下表:若EX=0,DX=解

由题意,解由题意,本课结束本课结束3.2离散型随机变量的方差第六章20213.2离散型随机变量的方差第六章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习核心素养思维脉络1.理解离散型随机变量的方差及标准差的概念.(数学抽象)2.会用方差解决一些实际问题.(数学运算)核心素养思维脉络1.理解离散型随机变量的方差及标准差的概念.课前篇自主预习课前篇自主预习激趣诱思A,B两台机床同时加工零件,每生产一批数量较大的产品时,出现次品数的概率如下表:A机床

次品数X10123P0.70.20.060.04B机床

次品数X20123P0.80.060.040.10激趣诱思A,B两台机床同时加工零件,每生产一批数量较大的产品在上述问题中,由EX1和EX2的值能比较两台机床的产品质量吗?为什么?试想利用什么指标可以比较A,B两台机床的加工质量?在上述问题中,由EX1和EX2的值能比较两台机床的产品质量吗知识点拨一、离散型随机变量的方差、标准差若离散型随机变量X的分布列如下表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则(xi-EX)2描述了xi(i=1,2,…,n)相对于均值EX的偏离程度,而DX=E(X-EX)2=(xi-EX)2pi为这些偏离程度的加权平均,刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度.我们称DX为随机变量X的方差,其算术平方根

为随机变量X的标准差,记作σX.知识点拨一、离散型随机变量的方差、标准差Xx1x2…xi…x随机变量的方差DX和标准差σX都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度.方差(标准差)越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小;反之,方差(标准差)越大,则随机变量的取值越分散.随机变量的方差DX和标准差σX都反映了随机变量的取值偏离于均微练习1下列说法正确的有

.(填序号)

①离散型随机变量X的期望EX反映了X取值的概率的平均值;②离散型随机变量X的方差DX反映了X取值的平均水平;③离散型随机变量X的期望EX反映了X取值的波动水平;④离散型随机变量X的方差DX反映了X取值的波动水平.微练习1答案

④解析

①错误,因为离散型随机变量X的期望EX反映了X取值的平均水平.②错误,因为离散型随机变量X的方差DX反映了随机变量偏离于期望的平均程度.③错误,因为离散型随机变量的方差DX反映了X取值的波动水平,而随机变量的期望EX反映了X取值的平均水平.④正确,由方差的意义可知.答案④微练习2已知随机变量X,DX=,则X的标准差为

.

微练习2二、方差的性质若X是随机变量,Y=aX+b也是随机变量,则DY=D(aX+b)=a2DX.名师点析特例方差意义a=0Db=0常数的方差等于0a=1D(X+b)=DX随机变量与常数之和的方差与随机变量的方差相同b=0D(aX)=a2DX常数与随机变量的乘积的方差是随机变量的方差的a2倍二、方差的性质特例方差意义a=0Db=0常数的方差等于0a=微练习已知随机变量ξ的方差Dξ=4,且随机变量η=2ξ+5,则Dη=

.答案

16解析

由D(aξ+b)=a2Dξ,得Dη=D(2ξ+5)=22×Dξ=16.微练习答案16解析由D(aξ+b)=a2Dξ,得Dη=课堂篇探究学习课堂篇探究学习探究一求离散型随机变量的方差例1袋中有20个大小相同的球,其中记为0号的有10个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,ξ表示所取球的标号,求ξ的分布列、均值和方差.探究一求离散型随机变量的方差例1袋中有20个大小相同的球,其新教材高中数学第六章概率离散型随机变量的方差课件北师大版选择性必修第一册故ξ的分布列为

故ξ的分布列为延伸探究在本例条件下,若η=aξ+b,Eη=1,Dη=11,试求a,b的值.解

由D(aξ+b)=a2Dξ=11,E(aξ+b)=aEξ+b=1,及Eξ=1.5,Dξ=2.75,得2.75a2=11,1.5a+b=1,解得a=2,b=-2或a=-2,b=4.延伸探究在本例条件下,若η=aξ+b,Eη=1,Dη=11,反思感悟

(1)求离散型随机变量X的方差的步骤①理解X的意义,写出X的所有可能的取值;②求X取每一个值的概率;③写出随机变量X的分布列;④由均值、方差的定义求EX,DX.(2)对于变量间存在关系的方差,在求解过程中应注意方差性质的应用,如D(aξ+b)=a2Dξ,这样处理既避免了求随机变量η=aξ+b的分布列,又避免了繁杂的计算,简化了计算过程.反思感悟(1)求离散型随机变量X的方差的步骤变式训练1甲、乙两人进行定点投篮游戏,投篮者若投中,则继续投篮,否则由对方投篮,第一次由甲投篮;已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为

在前3次投篮中,乙投篮的次数为ξ,求ξ的分布列、期望和方差.变式训练1甲、乙两人进行定点投篮游戏,投篮者若投中,则继续投新教材高中数学第六章概率离散型随机变量的方差课件北师大版选择性必修第一册故ξ的分布列为

故ξ的分布列为探究二方差的实际应用例2甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零件数相等,所得次品数分别为ξ,η,ξ和η的分布列如下:试对这两名工人的技术水平进行比较.探究二方差的实际应用例2甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每由Eξ=Eη知,两人出次品的平均数相同,技术水平相当,但Dξ>Dη,可见乙的技术比较稳定.由Eξ=Eη知,两人出次品的平均数相同,技术水平相当,但Dξ反思感悟

均值仅体现了随机变量取值的平均大小,而方差则说明了随机变量取值的稳定程度.因此,我们可以利用均值和方差的意义分析、解决实际问题.当我们希望实际的平均水平比较理想时,不但要比较它们的均值,还应看它们相对于均值的偏离程度;如果我们希望比较稳定时,应先考虑方差,再考虑均值是否接近.反思感悟均值仅体现了随机变量取值的平均大小,而方差则说明了变式训练2有甲、乙两名学生,经统计,他们在解答同一份数学试卷时,各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示:甲

分数X8090100概率P0.20.60.2乙分数Y8090100概率P0.40.20.4试分析两名学生的成绩水平.变式训练2有甲、乙两名学生,经统计,他们在解答同一份数学试卷解

甲同学成绩的期望与方差分别为EX=80×0.2+90×0.6+100×0.2=90,DX=(80-90)2×0.2+(90-90)2×0.6+(100-90)2×0.2=40.乙同学成绩的期望与方差分别为EY=80×0.4+90×0.2+100×0.4=90,DY=(80-90)2×0.4+(90-90)2×0.2+(100-90)2×0.4=80,所以甲同学成绩稳定,乙同学成绩波动大.解甲同学成绩的期望与方差分别为素养形成随机变量的方差与高考典例1(2020全国3,理3)在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为

A.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.2素养形成随机变量的方差与高考A.p1=p4=0.1,p2=p解析

四个选项的数据都具有对称性,平均数均为2.5,其中B选项的数据中,极端值最多,数据波动程度最大,故选B.答案

B解析四个选项的数据都具有对称性,平均数均为2.5,其中B选典例2(2019浙江,7)设0<a<1.随机变量X的分布列是

则当a在(0,1)内增大时,(

)A.DX增大

B.DX减小C.DX先增大后减小 D.DX先减小后增大典例2(2019浙江,7)设0<a<1.随机变量X的分布列是答案

D答案D方法点睛方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.计算随机变量的方差及标准差也是高考热点,有时单独考查,有时和分布列、均值结合在一起考查,主要体现学生的运算求解能力及逻辑思维能力,充