对数的大小比较讲议

对数的大小比较分类讲议（关沮中学陆家顺）11、比较log3.4log8.5的大小；2 2解（单调性法：对数函数ylog2

2,所以它在）是增函数所以log2

3.4log2

8.52、若aln2b

ln3，c

ln5，试比较abc的大小关系。2 3 5解法一、底数相同（10），真数化同次根式，比较真数大小（法）89，∴ab.2532,∴ca. ∴cab解法二、作差法。∴ca∴ab.∴cab21：比较log3log3log3的大小5 6 7解法一（换底法）利用倒数关系化为同底比较。∵0log5log6log7，3 3 3∴log3log3log35 6 7解法二（图像法）其图像如图所示，由图可知log3log3log35 6 72：比较log与log1的大小3 13解：由对数的性质：1的对数是0可知log3

log1133、底数与真数都不相同的对数大小比较例1：比较log 7与log 6的大小6 7解法一（中间值法）log 7log 61,而log 6log 716 6 7 7∴log 7log 66 7解法二（图像法）其图像如图所示，由图可知log 7log 66 7例比较，log 0.9，log 0.8的大小；1.1 0.7解法一（中间值法）∵1.10.91，log 0.9log 10，1.1 1.10log 1log 0.8log 0.71，0.7 0.7 0.7∴1.10.9log 0.8log 0.90.7 1.1解法二（图像法）其图像如图所示，由图可知log 0.8log 0.90.7 1.1例3：比较log2

与log3

4的大小.解（放缩法）(利用当ab时，a2b22ab∴log2

.log 43另解：（放缩法）先作商再放缩lg3log3 lg2 lg23 lg23 2 log43

lg4lg2lg4 lg2lg4()2() lg2lg8

lg3lg2lg9

2lg231lg23( )22

( )22∴log 3log 42 3例4：比较log 与log 5的大小6 11解（指对数互化法）设log 3x,log 5y6 112 23362,53112 ∴3631132 2∴6x63113 ∴x∴xy,即log 3log 56 11

2,y23 34、含参对数大小的比较1例1：比较log22

log2

(a

a的大小。解（单调性法）a2a1(a1

1)2312 4 2∴log22

< log2

(a2a例2：比较loga

， loga

e(a0,a0)的大小解（分类思考法）当a1logalogae当0a1loga

log ea例3：已知logm

logn

4，比较mn的大小。解法一分类思考法

4

4，∴1

1 ，m①当m1，n1时，得0 1

n 1 ，

log4

m logn4log4

m logn4∴lognlogm，∴mn1．4 4②当0m1，0n1时，得1

0，log4

m logn4∴lognlogm，∴0nm1．4 4③当0m1，n1时，得logm0，log n0，4 4∴0m1，n1，∴0m1n．④当0n1m1时，不存在在。mn的大小关系为mn1或0nm1或0m1n．解法二（图像法）分类作图如下，由图可知 m，n的大小关系为mn1或0nm1或0m1n4f(x)

(x2

f(a),f(b),f(c)的2大小。

a b c解（特殊值法）0cba可设a14bc2所以f(a)log2162,