2022-2023学年人教版初中数学专题《相似三角形》含答案解析

专题相似经典基础题二：相似三角形一、单选题1．（2021·河北保定·九年级期末）如图，点F是矩形ABCD的边CD上一点，射线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据矩形的性质得，由得到,从而得到＝，＝，则可对B、C进行判断；由得,从而得到＝，则可对A进行判断；由于＝，利用BC＝AD，则可对D进行判断．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∵∴又∵∴∴＝，＝，所以B选项结论正确，C选项错误；∵∴又∵∴∴＝，＝所以A选项的结论正确；∵BC＝AD∴＝所以D选项的结论正确．故选：C【点睛】本题考查矩形的性质，三角形相似的性质，根据图形找见相似的条件是解题的切入点．2．（2022·广西百色·九年级期末）如下图所示，在△ABC中，点D在线段AC上，且△ABC∽△ADB，则下列结论一定正确的是(

)A． B．C． D．【答案】A【分析】根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得解．【详解】解：∵△ABC∽△ADB，∴，∴AB2=AC•AD．故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握对应顶点的字母放在对应位置上并准确确定出对应边是解题的关键．3．（2019·陕西·西安高新一中实验中学九年级期末）如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（

）A．平分 B． C． D．【答案】C【分析】根据已知条件，再添加一组角相等，或者夹这个角的两边对应成比例即可判断两三角形相似，据此即可求解．【详解】解：在四边形中，已知，A．平分，则，可以判断相似；不符合题意；B．，可以判断相似；不符合题意；C．，即，不能判断相似；符合题意；D．，可以判断相似；不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．4．（2022·河南·测试·编辑教研五九年级期末）如图，若，，与交于点，且，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如图（见解析）所示，延长到，使，连结，则，根据等腰三角形的性质和三角形外角性质，可得，由于，则，于是可证明，然后利用相似三角形的相似比即可算出的值．【详解】解：如图所示，延长到，使，连结又∵，∴∴∵，∴又∵，∴∴即故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是构建与相似．5．（2021·四川·平昌县中小学教学研究室九年级期末）如图，在中，点P在边上，则在下列四个条件中：；；；，能满足与相似的条件是（

）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③【答案】A【分析】根据相似三角形的判定定理，结合图中已知条件进行判断．【详解】当，又∵，∴，故条件①能判定相似，符合题意；当，又∵，∴，故条件②能判定相似，符合题意；当，即，而，∴条件③不能判断相似，不符合题意；当，即，又∵，∴，故条件④能判定相似，符合题意；①②④能判定相似，故选：A．【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．二、填空题6．（2020··九年级期末）数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，把镜子放在离树的点E处，然后沿着直线后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，在用尺子量的，观察者目高，求树高为______m．【答案】4.5【分析】先证明，得出，然后代入数据求值即可．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，即，解得：．故答案为：4.5．【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，解题的关键是证明．7．（2019·四川·九年级期末）九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，旗杆的高度为_______________m．【答案】13.5【分析】利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求的长度分成了2个部分，和部分，其中，剩下的问题就是求的长度，利用，得出，把相关条件代入即可求得，于是得到结论．【详解】解：设与交于，，，，，，即：，，，．故答案为：13.5．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是把梯形问题转化成三角形问题，利用三角形相似比列方程来求未知线段的长度．8．（2022·河南三门峡·九年级期末）如图，在直角坐标系xOy中，，，连接AB并延长到点C，连接CO，若，则点C的坐标为______．【答案】【分析】先利用待定系数法求出直线的解析式为，从而可设点的坐标为，过点作轴于点，从而可得，再根据正切的定义可得，然后根据相似三角形的性质可得，从而可得，最后在中，利用正切三角函数建立方程，解方程求出的值，由此即可得出答案．【详解】解：设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，设点的坐标为，如图，过点作轴于点，则，，，，，，，，，，在中，，解得，经检验，是所列分式方程的解，则，所以点的坐标为，故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数、相似三角形的性质、正切等知识点，熟练掌握相似三角形的性质和待定系数法是解题关键．9．（2022·河南南阳·九年级期末）在中，，过点B作射线．动点D从点A出发沿射线方向以每秒3个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线方向以每秒2个单位的速度运动．过点E作交射线于F，G是中点，连接．设点D运动的时间为t，当与相似且点D位于点E左侧时，t的值为_____________．【答案】3或##或3【分析】若与相似，分情况讨论，则或，由相似三角形的性质可求解．【详解】解：如下图：，是的中点，．点D位于点E左侧时，即，，解得：，，若与相似，则或，或，或故答案为：3或．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是利用分类讨论思想解决问题．10．（2022·江西吉安·九年级期末）在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.5m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，它的影子QN＝1.8m，MN＝0.8m，木竿PQ的长度为_____．【答案】3.2m【分析】连接AC，过点M作MF⊥PQ，根据同一时刻物体影子与实际高度成比例得，进行计算即可得PF的长度，即可得．【详解】解：如图所示，连接AC，过点M作MF⊥PQ，∵PQ⊥QN，MN⊥QN，∴四边形FQNM是矩形，∴FQ=MN=0.8，∵同一时刻物体影子与实际高度成比例，∴，∴，∴PF=2.4，∴PQ=PF+FQ=2.4+0.8=3.2（m），故答案为：3.2m．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是运用相似三角形的知识解决实际问题时，要能够从实际问题中抽象出简单的数学模型，然后列出相关数据的比例关系式，从而求出结论．三、解答题11．（2022·黑龙江·肇源县第二中学九年级期末）如图，在矩形中，点、分别在边、上，∽，，，，求的长．【答案】【分析】由∽，，，，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得DF的长，然后利用勾股定理，求EF的长．【详解】解：∵△ABE∽△DEF，∴，∵，，，∴，解得：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，∴EF＝．故选：C．【点睛】此题考查了相似三角形的性质、矩形的性质以及勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．12．（2020··九年级期末）如图，在的方格纸中，每个小正方形边长都是，是格点三角形（顶点在方格顶点处）．(1)在图1中画格点，使与相似，相似比为．(2)在图2中画格点，使与相似，面积比为．（注：图、图在答题纸上．）【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据，相似比为，得，即的各边长扩大两倍；（2）根据，面积比为，则相似比为：，得，即的各边长扩大倍．【详解】（1）画法不唯一，如下图1：由题意得，，，，∵，相似比为，∴，∴的各边长扩大两倍，∴，，．（2）画法不唯一，如图2：由（1）得：，，，∴，面积比为，∴相似比为：，∴，∴的各边长扩大倍，∴，，．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方．13．（2020··九年级期末）如图，四边形中，，，E为的中点．(1)求证：．(2)若，，连结DE交AC于点F，求的值．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由，得到，由直角三角形斜边上中线性质得到，则，得到，又由即可得到结论；（2）由，得到，求得，得到，由，得到，进一步即可得到结论．【详解】（1）证明：∵，∴，∵E为的中点，∴，∴，∴，∵，∴．（2）解：如图，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边上中线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．14．（2021·江苏·仪征市古井中学九年级期末）如图，在平行四边形中，E为边上一点，连接，F为线段上一点，且．(1)求证：∽；(2)若，，，求的长．【答案】(1)见解析(2)12【分析】（1）根据平行四边形的性质，推出，即可进行证明；（2）根据平行四边形对边相等，相似三角形对应边成比例，即可进行求解．【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形，∴，∴，∵，∴．（2）∵，∴，∵，∴，即，解得：．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法以及相似三角形对应边成比例．15．（2021·广东珠海·九年级期末）如图，点O是坐标原点，△OBA∽△DOC，边OA、OC都在x轴的正半轴上．已知点B的坐标为（12，16），∠BAO＝∠OCD＝90°，OD＝10，反比例函数的图象经过点D，交AB边于点E．（1）求该反比例函数的解析式；（2）求BE的长．【答案】（1），（2）12【分析】（1）由相似可求得点在坐标，把点的坐标代入反比例函数解析式即可求得比例系数的值；（2）把的横坐标代入反比例函数解析式，能求得长，．【详解】解：（1），．，，．在中，，，不妨令，，，解得：，．．点在函数的图象上，．．（2）是图象与的交点，．．【点睛】本题考查了相似三角形的对应边成比例，求反比例解析式、解题的关键是掌握垂直于轴的直线上的点的横坐标相等；过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式．16．（2022·广西梧州·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米．点P从点O开始沿OA向点A以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BO向点O以1厘米/秒的速度移动．当一点运动到终点时，另一点也随之停止．如果P、Q同时出发，用t(秒)表示移动的