2023-2024学年九年级上学期数学(北师大版)第一次月考试卷附详细答案

2023-2024学年九年级上学期数学(北师大版)第一次月考试卷▼(上册1.1～2.4)▼题号一二三四五六总分累分人得分说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，作答时间120分钟.一、单项选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内.错选、多选或未选均不得分.1.下列方程是一元二次方程的是()A.3x-1=0B.ax2+bx+c=0(a，b，C.x²+x=3D.3x2-2xy-5y2=02.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是()A.对角线互相垂直B.对边相等C.对角相等D.是中心对称图形3.一元二次方程x2=4的解为()A.x=2B.x=4C.x1=-2，x2=2D.x1=-4，x2=44.如图，若四边形ABCD是平行四边形，则下列结论中错误的是()A.当AC⊥BD时，它是菱形B.当AC=BD时，它是矩形C.当∠ABC=90°时，它是矩形D.当AB=BC时，它是正方形AADCBO5.已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有一个非零实数根c，则b+c的值为()A.1B.-1C.0D.26.如图，把一张矩形纸片ABCD按如下方法进行两次折叠：第一次将DA边折叠到DC边上得到DA´，折痕为DM，连接A´M，CM，第二次将△MBC沿着MC折叠，MB边恰好落在MD边上.若AD=1，则AB的长为()AABDCCDBB´A´ABCDMA´MA.32B.2C.3D.2二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7.把一元二次方程x(x-3)=4化成ax2+bx+c=0的一般形式，其中a=1，则常数项c=______.8.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，如果∠ADB=25°，那么∠AOB的度数为______.第8题图第8题图ADCBO第12题图ADBCPE第11题图ABCOxy9.若关于x的方程x2-2x+1-k=0有两个相等的实数根，则k的值为______.10.若关于x的一元二次方程ax2=b(ab＞0)的两个根分别为m与2m-6，则m的值为______.11.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO是正方形，已知点A的坐标为(2，1)，则点C的坐标为______.12.如图，在菱形ABCD中，AB=20，∠A=45°，点E在边AB上，AE=13，点P从点A出发，沿着A→D→C→B的路线向终点B运动，连接PE，若△APE是以AE为腰的等腰三角形，则AP的长可以是______.三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13.(1)解方程：x2-2x-(2)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，∠A=30°，BC=2，求CD的长.AADBC14.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点C作BD的平行线交AB的延长线于点E.求证：AC=CE.AABCDEO15.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，若OB=2，S菱形ABCD=4，求AE的长.AADBCEO16.如图，△ACB和△CED都是等腰直角三角形，点B，C，E在同一直线上，且E是BC的中点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹).(1)在图1中，作□ABMC.(2)在图2中，作正方形ACBN.图1图1ADCBEA图2CDEB17.如图，矩形绿地的长为12m，宽为9m，将此绿地的长、宽各增加相同的长度后，绿地面积增加了72m2，求绿地的长、宽增加的长度.9m9m12m四、解答题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18.设关于x的一元二次方程为x2+bx+c=0.在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程.①b=2，c=1；②b=1，c=2；③b=3，c=-1；④b=-3，c=2.注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分.19.定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足b=a+c，那么我们称这个方程为“完美方程”.(1)下面方程是“完美方程”的是______.(填序号)①x2-4x+3=0；②2x2+x+3=0；③2x2-x-(2)已知3x2+mx+n=0是关于x的“完美方程”，若m是此“完美方程”的一个根，求m的值.20.如图，在□ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的点，连接BE，DF，BE与DF交于点P，BE=DF.添加下列条件之一使□ABCD成为菱形：①CE=CF；②BE⊥CD，DF⊥BC.(1)你添加的条件是_______(填序号)，并证明.(2)在(1)的条件下，若∠A=45°，△BFP的周长为4，求菱形的边长.AAFCDEPB五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21.【阅读】解方程：(x-1)2-5(x解：设x-1=y，则原方程可化为y2-5y+4=0，解得y1=1，y2当y=1时，即x-1=1，解得x=2；当y=4时，即x-1=4，解得所以原方程的解为x1=2，x2=5.上述解法称为“整体换元法”.【应用】(1)若在方程x-1x-3(2)请运用“整体换元法”解方程：(2x-3)2-(2x-3)-22.如图1，在□ABCD中，点E，F在对角线AC上，AE=CF，DE⊥AC，过点D作DG∥AC交BF的延长线于点G.(1)求证：四边形DEFG是矩形.(2)如图2，连接DF，BE，当∠DFG=∠BEF时，判断四边形DEFG的形状，并说明理由.图1图1EFABCDG图2ABDGCFE六、解答题(本大题共12分)23.【课本再现】(1)如图1，在正方形ABCD中，F为对角线AC上一点，连接BF，DF.你能找出图中的全等三角形吗？结论猜想：图中的全等三角形有__________(不必证明).【知识应用】(2)如图2，P为DF延长线上一点，且BP⊥BF，DP交BC于点E.判断△BPE的形状，并说明理由.【拓展提升】(3)如图3，过点F作HF⊥BF交DC的延长线于点H.①求证：HF=DF.②若AB=3+1，∠CBF=30°，请直接写出CH的长.图1图1ABCDFA图2BPDCEF图3ABDHCF2023-2024学年九年级上学期数学(北师大版)第一次月考试卷参考答案▼(上册1.1～2.4)▼题号一二三四五六总分累分人得分说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，作答时间120分钟.一、单项选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内.错选、多选或未选均不得分.1.下列方程是一元二次方程的是()A.3x-1=0B.ax2+bx+c=0(a，b，C.x²+x=3D.3x2-2xy-5y2=01.解：A是一元一次方程，B当a≠0时是一元二次方程，C是一元二次方程，D是二元二次方程，故选C。2.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是()A.对角线互相垂直B.对边相等C.对角相等D.是中心对称图形2.解：菱形对角线互相垂直而平行四边形不一定具有，故选A。3.一元二次方程x2=4的解为()A.x=2B.x=4C.x1=-2，x2=2D.x1=-4，x2=43.解：一元二次方程x2=4的解为x=±2，故选C。4.如图，若四边形ABCD是平行四边形，则下列结论中错误的是()A.当AC⊥BD时，它是菱形B.当AC=BD时，它是矩形C.当∠ABC=90°时，它是矩形D.当AB=BC时，它是正方形4.解：当AC⊥BD时，它是菱形，正确；当AC=BD时，它是矩形，正确；当∠ABC=90°时，它是矩形，正确；当AB=BC时，它是菱形不一定是正方形，故选D。AADCBO5.已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有一个非零实数根c，则b+c的值为()A.1B.-1C.0D.25.解：将x=c(c≠0)代入x2+bx+c=0得c2+bc+c=0，则c+b+1=0，b+c=-1，故选B。6.如图，把一张矩形纸片ABCD按如下方法进行两次折叠：第一次将DA边折叠到DC边上得到DA´，折痕为DM，连接A´M，CM，第二次将△MBC沿着MC折叠，MB边恰好落在MD边上.若AD=1，则AB的长为()AABDCCDBB´A´ABCDMA´MA.32B.2C.3D.26.解：由翻折的性质知∠MDC=∠MDA=12∠ADC=45°，B´C=BC=AD=1，∠CB´M=∠CBM=90°，∴△CB´D为等腰直角三角形，∴CD=2B´C=2，故AB=CD=2，选B二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7.把一元二次方程x(x-3)=4化成ax2+bx+c=0的一般形式，其中a=1，则常数项c=7.解：x(x-3)=4即x2-3x-4=0，当a=1时，b=-3，c=-8.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，如果∠ADB=25°，那么∠AOB的度数为______.8.解：在矩形ABCD中，∵AC=BD，OA=OC，OB=OD，∴OA=OD，∴∠ADB=∠CAD，故∠AOB=∠ADB+∠CAD=2∠ADB=50°。EEFPPQ第8题图ADCBO第12题图ADBCPE第11题图ABCOxy9.若关于x的方程x2-2x+1-k=0有两个相等的实数根，则k的值为______.9.解：判别式=4-4(1-k)=0，解得k=0。10.若关于x的一元二次方程ax2=b(ab＞0)的两个根分别为m与2m-6，则m的值为______.10.解：由韦达定理知m+2m-6=0，解得m=2。11.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO是正方形，已知点A的坐标为(2，1)，则点C的坐标为______.11.解：过A作AF⊥x轴于F，过C作CE⊥x轴于E，∵∠AOF+∠COE=∠OCE+∠COE=90°，∴∠AOF=∠OCE，又∵AO=OC，∠AFO=∠OEC=90°，∴△AFO≌△OEC(AAS)，∴CE=OF=2，OE=AF=1，故点C的坐标为(-1，2)。12.如图，在菱形ABCD中，AB=20，∠A=45°，点E在边AB上，AE=13，点P从点A出发，沿着A→D→C→B的路线向终点B运动，连接PE，若△APE是以AE为腰的等腰三角形，则AP的长可以是______.12.解：当点P在AD上时：=1\*GB3①当AP=AE时，AP=AE=13；=2\*GB3②当AE=PE时，△AEP为等腰直角三角形，此时AP=2AE=132。当点P在CD上时，∵点P到AB的距离=22AD=102＞13，∴此时无满足条件的P点。当点P在BC上时，只能是AE=PE，BE=AB-AE=20-13=7，过P作PQ⊥AB交AB延长线于Q，∵四边形ABCD为菱形，∠A=45°，∴∠PBQ=45°，∴BQ=PQ，令BQ=PQ=t，则EQ=BE+BQ=7+t，在Rt△PEQ中，有EQ2+PQ2=PE2，即(7+t)2+t2=132，解得t=±5(舍去负值)，则PQ=BQ=5，AQ=AB+BQ=25，由勾股定理知AP=PQ2+AQ2=25+625=526，故AP的长可以是13、132或526。三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13.(1)解方程：x2-2x-(2)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，∠A=30°，BC=2，求CD的长.AADBC13.解：(1)x2-2x-x2-2x+1=2(x-1)2x-1=±∴x1=1+2，x2=1-(2)∵∠ACB=90°，D为AB的中点，∴CD=AD=12∵∠A=30°，BC=2，∴AB=2BC=4故CD=12AB=14.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点C作BD的平行线交AB的延长线于点E.求证：AC=CE.AABCDEO14.解：∵四边形ABCD为矩形，∴AC=BD，CD∥AB∵BD∥CE，∴四边形BECD为平行四边形，∴CE=BD又∵AC=BD，∴AC=CE15.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，若OB=2，S菱形ABCD=4，求AE的长.AADBCEO15.解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，BD=2OB=4，BC=AB，AC=2OA∵S菱形ABCD=4，∴AC=4×2÷4=2，则OA=1由勾股定理知AB=OA2+OB2=12∵S△ABC=12S菱形ABCD=2，∴AE=2S△ABC16.如图，△ACB和△CED都是等腰直角三角形，点B，C，E在同一直线上，且E是BC的中点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹).(1)在图1中，作□ABMC.(2)在图2中，作正方形ACBN.MMMNO图1ADCBEA图2CDEB16.解：(1)∵∠BAC=45°，∠ACD=∠ACB+∠DCE=135°，∴AB∥CD，∵E为BC中点，∴当BC为□ABMC对角线时，对角线交点就是E点，故连接AE并延长交CD延长线于点M，易证△AEB≌△MEC(AAS)，∴AB=CM，故四边形ABMC是平行四边形。(2)由(1)得到□ABMC后，延长DE交AB交于点O，连接CO并延长交MB延长线于点N，四边形ACBN为正方形。17.如图，矩形绿地的长为12m，宽为9m，将此绿地的长、宽各增加相同的长度后，绿地面积增加了72m2，求绿地的长、宽增加的长度.9m9m12m17.解：设绿地的长、宽增加的长度为xm，依题意(9+x)(12+x)-12×9=72即(x+24)(x-3)=0解得x1=-24(舍去)，x2=3答：绿地的长、宽增加的长度均为3m。四、解答题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18.设关于x的一元二次方程为x2+bx+c=0.在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程.①b=2，c=1；②b=1，c=2；③b=3，c=-1；④b=-3，c=2.注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分.18.解：若方程x2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则判别式=b2-4c＞0选③b=3，c=-1，此时b2-4c=32-4×(-1)=13＞0x2+3x-1x2+3x+94=(x+32)2=x+32=±∴x1=-3+132，x219.定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足b=a+c，那么我们称这个方程为“完美方程”.(1)下面方程是“完美方程”的是______.(填序号)①x2-4x+3=0；②2x2+x+3=0；③2x2-x-(2)已知3x2+mx+n=0是关于x的“完美方程”，若m是此“完美方程”的一个根，求m的值.19.解：(1)“完美方程”有③。(2)∵3x2+mx+n=0是关于x的“完美方程”，∴m=3+n将x=m代入3x2+mx+n=0得3m2+m2+n=0，即4m2+m-3=0，亦即(4m-3)(m+1)=0∴m1=34，m2=-20.如图，在□ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的点，连接BE，DF，BE与DF交于点P，BE=DF.添加下列条件之一使□ABCD成为菱形：①CE=CF；②BE⊥CD，DF⊥BC.(1)你添加的条件是_______(填序号)，并证明.(2)在(1)的条件下，若∠A=45°，△BFP的周长为4，求菱形的边长.AAFCDEPB20．解：(1)②，证明如下∵BE=DF，∠BCE=∠DCF，∠BEC=∠DFC=90°∴△BEC≌△DFC(AAS)，∴BC=DC又∵四边形ABCD为平行四边形，∴□ABCD是菱形(2)∵□ABCD是菱形，∴∠C=∠A=45°又∵BE⊥CD，DF⊥BC，∴△BCE与△DCF为等腰直角三角形，则CE=BE∠CBE=∠CDF=45°，∴△BPF与△DPE为等腰直角三角形由(1)知△BEC≌△DFC，∴CF=CE，又∵CB=CD，∴FB=ED又∵∠CBE=∠CDF，∠PFB=∠PED=90°，∴△PFB≌△PED(AAS)∴FP=EP，∴BE=BP+EP=BP+FP∴BC=BF+CF=BF+CE=BF+BE=BF+BP+FP=△BFP的周长=4故菱形的边长4五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21.【阅读】解方程：(x-1)2-5(x解：设x-1=y，则原方程可化为y2-5y+4=0，解得y1=1，y2当y=1时，即x-1=1，解得x=2；当y=4时，即x-1=4，解得所以原方程的解为x1=2，x2=5.上述解法称为“整体换元法”.【应用】(1)若在方程x-1x-3(2)请运用“整体换元法”解方程：(2x-3)2-(2x-3)-21.解：(1)∵y=x-1x，∴x-1x-3xx-(2)设2x-3=y，则原方程可化为y2-y-2=0，即(y+1)(y-解得y1=-1，y2=2当y=-1时，即2x-3=-1，解得x当y=2时，即2x-3=2，解得x=原方程的解为x1=1，x2=522.如图1，在□ABCD中，点E，F在对角线AC上，AE=CF，DE⊥AC，过点D作DG∥AC交BF的延长线于点G.(1)求证：四边形DEFG是矩形.(2)如图2，连接DF，BE，当∠DFG=∠BEF时，判断四边形DEFG的形状，并说明理由.图1图1EFABCDG图2ABDGCFE22.解：(1)证明：∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°∵DG∥AC，∴∠EDG=180°-∠DEC=90∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC∴∠DAE=∠BCF，又∵AE=CF，∴△DAE≌△BCF(SAS)∴∠BFC=∠DEA=90°，∴∠EFG=∠BFC=90°故四边形DEFG是矩形(2)四边形DEFG是正方形由(1)知△DAE≌△BCF，∴DE=BF又∵∠EFG=∠DEA=90°，