函数奇偶性的六类经典题型

奇偶性种类一：判断奇偶性[例1]判断以下函数奇偶性1）（且）2）3）4）5）解：（1）且∴奇函数（2），关于原点对称∴奇函数3），关于原点对称既奇又偶4）考虑特别情况考据：没心义；∴非奇非偶5）且，关于原点对称∴为偶函数种类二：依照奇偶性求解析式1.函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝＋1，则当x<0时，f(x)＝________.解析：∵f(x)为奇函数，x>0时，f(x)＝＋1，∴当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(＋1)，即x<0时，f(x)＝－(＋1)＝－－1.答案：－－12.求函数的解析式1）为R上奇函数，时，，解：时，∴∴2）为R上偶函数，时，解：时，∴种类三：依照奇偶性求参数1.若函数f(x)=xln（x+）为偶函数，则a=【解题指南】f(x)=xln（x+）为偶函数，即是奇函数，利用确定的值.【解析】由题知是奇函数，因此=，解得=1.答案：

1.2.函数

f(x)

＝为奇函数，则

a＝______.解析：由题意知，

g(x)

＝(x＋1)(x

＋a)为偶函数，∴a＝－1.答案：－13.已知f(x)＝3ax2＋bx－5a＋b是偶函数，且其定义域为[6a－1，a]，则a＋b＝( )A.

B．－1C．1

D．7解析：选A因为偶函数的定义域关于原点对称，因此6a－1＋a＝0，因此a＝.又f(x)为偶函数，因此3a(－x)2－bx－5a＋b＝3ax2＋bx－5a＋b，解得b＝0，因此a＋b＝.4.若函数f(x)＝－|x＋a|为偶函数，则实数a＝______.（特别值法）解析：由题意知，函数f(x)＝－|x＋a|为偶函数，则f(1)＝f(－1)，1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，∴a＝0.答案：0已知函数f(x)＝为奇函数，则a＋b＝________.（待定系数法）解析：当x>0时，－x<0，由题意得f(－x)＝－f(x)，因此x2－x＝－ax2－bx，从而a＝－1，b＝1，a＋b＝0.答案：06.（1），为何值时，为奇函数；2）为何值时，为偶函数。答案：（1）（恒等定理）∴时，奇函数2）∴（恒等定理）∴∴7.已知定义域为的函数是奇函数。（Ⅰ）求的值；（特别值法）（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；解析：（Ⅰ）简解：取特别值法因为是奇函数，因此=0，即又由f（1）=-f（-1）知（Ⅱ）由（Ⅰ）知，易知在上为减函数又因是奇函数，从而不等式：等价于，因为减函数，由上式推得：．即对所有有：，从而鉴识式种类四：范围问题1.已知

f(x)

是定义在

R上的奇函数，当

x≥0时，f(x)

＝x2＋2x，若

f(2

－a2)＞f(a)

，则实数

a的取值范围是

(

)A．(－∞，－1)∪

(2，＋∞)

B．(－1,2)C．(－2,1)解析：选C∵f(x)是奇函数，∴当图象如图中实线所示，结合图象可知f(x)

D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)x＜0时，f(x)＝－x2＋2x.作出函数是R上的增函数，由f(2－a2)＞f(a)

f(x)，得

的大体2－a2＞a，解得－

2＜a＜1.2.定义在

R上的奇函数

y＝f(x)

在(0，＋∞)上递加，且

f＝0，则满足

f(x)>0

的x的会集为

________．解析：由奇函数递加，且f＝0，

y＝f(x)

在(0，＋∞)上递加，且

f＝0，得函数

y＝f(x)

在(－∞，0)上f(x)>0时，x>或－<x<0.即满足f(x)>0的x的会集为.答案：3.已知函数

g(x)

是R上的奇函数，且当

x<0

时，g(x)

＝－ln(1

－x)，函数

f(x)

＝若

f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是A．(－∞，1)∪(2，＋∞)C．(1,2)

(

)B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D．(－2,1)解析：选

D

设x>0，则－

x<0.∵

x<0

时，g(x)

＝－ln(1

－x)，∴g(－x)＝－ln(1

＋x)．又∵

g(x)

是奇函数，∴

g(x)

＝ln(1

＋x)(x>0)

，∴

f(x)

＝其图象以下列图．由图象知，函数

f(x)

在R上是增函数．∵

f(2

－x2)>f(x)

，∴

2－x2>x，即－

2<x<1.因此实数

x的取值范围是

(－2,1)

．4.定义在R上的奇函数f(x)，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则不等式f(x)＜－1的解集是__________．解析：当x＜0时，－x＞0，∴f(x)＝－f(－x)＝－log2(－x)，∴f(x)＝∴f(x)＜－1或或0＜x＜或x＜－2.5.已知f(x)是奇函数，且当x＜0时，f(x)＝x2＋3x＋2.若当x∈[1，3]时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为( )A.

B．2C.

D．解析：选

A.设

x＞0，则－x＜0，因此

f(x)

＝－f(

－x)＝－[(

－x)2

＋3(－x)＋2]＝－x2＋3x－2.因此在[1，3]上，当x＝时，f(x)max＝；当x＝3时，f(x)min＝－2.因此m≥且n≤－2.故m－n≥.6.已知f(x)是定义在[－2,2]＝x2－2x＋m.若是关于任意的

上的奇函数，且当x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1，又已知函数g(x)x1∈[－2,2]，都存在x2∈[－2,2]，使得g(x2)＝f(x1)，那么实数

m的取值范围是

____________．解析都存在

由题意知，当x2∈[－2,2]

x∈[－2,2]，使得g(x2)

时，f(x)＝f(x1)

的值域为[－3,3]．因为对任意的，因此此时g(x2)的值域要包含[

x1∈－3,3]

[－2,2]，．又因为g(x)max＝g(－2)，g(x)min＝g(1)，因此g(1)≤－3且g(－2)≥3，解得－5≤m≤－2.种类五：奇偶性

+周期性则

1.f(x)是定义在f(6)的值等于(A．－B．－

R上的奇函数，满足)．C.D．－

f(x

＋2)＝f(x)

，当

x∈(0,1)

时，f(x)

＝2x－2，解析：f(6)＝－f(－6)＝－f(log26)＝－f(log26－2)＝－(2log26－2－2)＝－＝，应选C.2.定义在R上的偶函数f(x)满足对任意x∈R，都有f(x＋8)＝f(x)＋f(4)，且x∈[0,4]时，f(x)＝4x，则f(2011)的值为__________．解析：f(4)＝0，f(x＋8)＝f(x)，∴T＝8，f(2011)＝f(3)＝4－3＝1.种类六：求值1.已知函数f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x－1，则f的值为( )A．－2B．－C．2D.－1解析：当x∈(－2,0)时，－x∈(0,2)，又∵当x∈(0,2)时，f(x)＝2x－1，∴f(－x)＝2－x－1，又因为函数f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝2－x－1，∴x∈(－2,0)时，f(x)1－.∵－2＜log2＜0，∴f(log2)＝1－＝－2.应选A.答案：A2.已知f(x)为奇函数，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，则f(2)＝__________.解析：依照已知g(－2)＝f(－2)＋9，即

3＝－f(2)＋9，即f(2)＝6.答案：63.设f(x)

是定义在

R上的奇函数，当

x<0

时，f(x)

＝x＋ex(e

为自然对数的底数

)，则

f(ln6)的值为

________．由

f(x)

是奇函数得

f(ln6)

＝－f(

－ln6)

＝－(－ln6)

－e－ln6

＝ln6

－.答案：

ln6

－4.已知函数存在最大值

M和最小值

N,

则M＋N的值为

__________．5.设函数，若函数的最大值是

M，最小值是

m，则________.解析：本题是一道自编题，学生不假考虑就会想到对求导.事实上，理科学生，求导得，无法找到极值点，而文科学生不会对