人教版八年级上数学课件含°角的直角三角形的性质

13.3.2等边三角形第2课时

含30°角的直角三角形的性质葫芦岛第六初级中学13.3.2等边三角形第2课时含30°角的直角三角▼性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.ABCD

如图，△ADC是△ABC的轴对称图形，因此AB=AD,∠BAD=2×30°=60°，从而△ABD是一个等边三角形.再由AC⊥BD,可得BC=CD=AB.性质▼性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么【证法1】在△ABC

中，∵∠C=90°，∠A=30°,∴∠B=60°．延长BC到D，使BD=AB，连结AD，则△ABD

是等边三角形．又∵AC⊥BD,已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.求证：BC=AB．ABCD

证明方法：倍长法∴

BC=AB．

∴BC=

BD．

【证法1】在△ABC中，∵∠C=90°，∠A=30°EABC【证法2】在BA上截取BE=BC，连结EC.

∵∠B=60°，BE=BC，∴△BCE是等边三角形，

∴∠BEC=60°，BE=EC.∵∠A=30°，∴∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30°=30°，∴AE=EC，∴AE=BE=BC，∴AB=AE+BE=2BC.∴

BC=AB．

证明方法：截半法EABC【证法2】在BA上截取BE=BC，连结EC.★含30°角的直角三角形的性质

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.▼应用格式：∵

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，

ABC∴

BC=AB．

人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).★含30°角的直角三角形的性质在直角三角形中，如果判断下列说法是否正确：（1）直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的一半.

（2）三角形中30°角所对的边等于最长边的一半.（3）直角三角形中较短的直角边是斜边的一半。

（4）直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍．√人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).判断下列说法是否正确：√人教版八年级上数学课件13.3.

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是(

)A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．D解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm.在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.故选D.例1人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B

如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于(

)A．3B．2C.1.5D．1解析：如图，过点P作PE⊥OB于E.∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.故选C.EC例2人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥O方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合

如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．解：理由如下：∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.∵DE是∠ADB的平分线，∴∠ADE＝∠BDE.又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA)，例3人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.∵∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.∴CD＝AD＝BD，即CD＝DB.人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴AD＝BD，∠DAE方法总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).方法总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一想一想：图中BC、DE分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？

如图是屋架设计图的一部分，点D

是斜梁AB的中点，立柱BC、DE

垂直于横梁AC，AB=7.4cm，∠A=30°，立柱BC、DE

要多长？ABCDE例4人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).想一想：图中BC、DE分别是哪个直角三角形的直角边？它们ABCDE解：∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°，∴BC=AB,DE=AD，∴BC=AB=×7.4=3.7(m).又AD=AB,∴DE=AD=×3.7=1.85(m).即立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).ABCDE解：∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°，

已知:等腰三角形的底角为15°,腰长为20.求腰上的高.ACBD15°15°20解:过C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D.∵∠B=∠ACB=15°

(已知),∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°，))∴CD=AC=×20=10.例5人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).已知:等腰三角形的底角为15°,腰方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含30°角的直角三角形来解决．本题的关键是作高，而后利用等腰三角形及外角的性质，得出30°角，利用含30°角的直角三角形的性质解决问题.方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含30°角的直1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为()A．6米B．9米C．12米D．15米2.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要()A．300a元B．150a元C．450a元D．225a元BB1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部4.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,若AB=10,则BC

=

.55.如图，Rt△ABC中，∠A=30°，AB+BC=12cm，则AB=______.ACB83.如图，在△ABC

中，∠ACB=90°，CD

是高，∠A=30°，AB=4，则BD=

.A

B

C

D

1第3题图第5题图4.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,若AB=6.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE=5，则求AC的长．解：连结AE.∵DE是AB的垂直平分线，∴BE=AE，∴∠EAB=∠B=15°，∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°．∵∠C=90°，∴AC=AE=BE=2.5．6.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂7.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°

，D是BC的中点，DE⊥AB于E点，求证：BE=3EA.证明：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°.∵D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC=60°，∴AB=2AD.∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∴∠ADE=30°，∴AD=2AE，∴AB=4AE，∴BE=3AE.7.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是内容在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半使用要点找准30°的角所对的直角边，点明斜边注意前提条件：直角三角形中课堂总结含30°角的直角三角形的性质内容在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角人教版八年级上数学课件含°角的直角三角形的性质13.3.2等边三角形第2课时

含30°角的直角三角形的性质葫芦岛第六初级中学13.3.2等边三角形第2课时含30°角的直角三角▼性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.ABCD

如图，△ADC是△ABC的轴对称图形，因此AB=AD,∠BAD=2×30°=60°，从而△ABD是一个等边三角形.再由AC⊥BD,可得BC=CD=AB.性质▼性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么【证法1】在△ABC

中，∵∠C=90°，∠A=30°,∴∠B=60°．延长BC到D，使BD=AB，连结AD，则△ABD

是等边三角形．又∵AC⊥BD,已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.求证：BC=AB．ABCD

证明方法：倍长法∴

BC=AB．

∴BC=

BD．

【证法1】在△ABC中，∵∠C=90°，∠A=30°EABC【证法2】在BA上截取BE=BC，连结EC.

∵∠B=60°，BE=BC，∴△BCE是等边三角形，

∴∠BEC=60°，BE=EC.∵∠A=30°，∴∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30°=30°，∴AE=EC，∴AE=BE=BC，∴AB=AE+BE=2BC.∴

BC=AB．

证明方法：截半法EABC【证法2】在BA上截取BE=BC，连结EC.★含30°角的直角三角形的性质

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.▼应用格式：∵

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，

ABC∴

BC=AB．

人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).★含30°角的直角三角形的性质在直角三角形中，如果判断下列说法是否正确：（1）直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的一半.

（2）三角形中30°角所对的边等于最长边的一半.（3）直角三角形中较短的直角边是斜边的一半。

（4）直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍．√人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).判断下列说法是否正确：√人教版八年级上数学课件13.3.

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是(

)A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．D解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm.在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.故选D.例1人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B

如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于(

)A．3B．2C.1.5D．1解析：如图，过点P作PE⊥OB于E.∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.故选C.EC例2人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥O方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合

如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．解：理由如下：∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.∵DE是∠ADB的平分线，∴∠ADE＝∠BDE.又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA)，例3人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.∵∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.∴CD＝AD＝BD，即CD＝DB.人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴AD＝BD，∠DAE方法总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).方法总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一想一想：图中BC、DE分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？

如图是屋架设计图的一部分，点D

是斜梁AB的中点，立柱BC、DE

垂直于横梁AC，AB=7.4cm，∠A=30°，立柱BC、DE

要多长？ABCDE例4人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).想一想：图中BC、DE分别是哪个直角三角形的直角边？它们ABCDE解：∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°，∴BC=AB,DE=AD，∴BC=AB=×7.4=3.7(m).又AD=AB,∴DE=AD=×3.7=1.85(m).即立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).ABCDE解：∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°，

已知:等腰三角形的底角为15°,腰长为20.求腰上的高.ACBD15°15°20解:过C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D.∵∠B=∠ACB=15°

(已知),∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°，))∴CD=AC=×20=10.例5人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).已知:等腰三角形的底角为15°,腰方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含30°角的直角三角形来解决．本题的关键是作高，而后利用等腰三角形及外角的性质，得出30°角，利用含30°角的直角三角形的性质解决问题.方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含30°角的直1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为()A．6米