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文档简介
13.3.2等边三角形第2课时
含30°角的直角三角形的性质葫芦岛第六初级中学13.3.2等边三角形第2课时含30°角的直角三角▼性质:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.ABCD
如图,△ADC是△ABC的轴对称图形,因此AB=AD,∠BAD=2×30°=60°,从而△ABD是一个等边三角形.再由AC⊥BD,可得BC=CD=AB.性质▼性质:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么【证法1】在△ABC
中,∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠B=60°.延长BC到D,使BD=AB,连结AD,则△ABD
是等边三角形.又∵AC⊥BD,已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°.求证:BC=AB.ABCD
证明方法:倍长法∴
BC=AB.
∴BC=
BD.
【证法1】在△ABC中,∵∠C=90°,∠A=30°EABC【证法2】在BA上截取BE=BC,连结EC.
∵∠B=60°,BE=BC,∴△BCE是等边三角形,
∴∠BEC=60°,BE=EC.∵∠A=30°,∴∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30°=30°,∴AE=EC,∴AE=BE=BC,∴AB=AE+BE=2BC.∴
BC=AB.
证明方法:截半法EABC【证法2】在BA上截取BE=BC,连结EC.★含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.▼应用格式:∵
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,
ABC∴
BC=AB.
人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).★含30°角的直角三角形的性质在直角三角形中,如果判断下列说法是否正确:(1)直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的一半.
(2)三角形中30°角所对的边等于最长边的一半.(3)直角三角形中较短的直角边是斜边的一半。
(4)直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍.√人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).判断下列说法是否正确:√人教版八年级上数学课件13.3.
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,CD是斜边AB上的高,AD=3cm,则AB的长度是(
)A.3cmB.6cmC.9cmD.12cm注意:运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时,要分清线段所在的直角三角形.D解析:在Rt△ABC中,∵CD是斜边AB上的高,∴∠ADC=90°,∴∠ACD=∠B=30°.在Rt△ACD中,AC=2AD=6cm.在Rt△ABC中,AB=2AC=12cm.∴AB的长度是12cm.故选D.例1人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B
如图,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA交OB于C,PD⊥OA于D,若PC=3,则PD等于(
)A.3B.2C.1.5D.1解析:如图,过点P作PE⊥OB于E.∵PC∥OA,∴∠AOP=∠CPO,∴∠PCE=∠BOP+∠CPO=∠BOP+∠AOP=∠AOB=30°.又∵PC=3,∴PE=1.5.∵∠AOP=∠BOP,PD⊥OA,∴PD=PE=1.5.故选C.EC例2人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).如图,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥O方法总结:含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时,关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形.人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).方法总结:含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合
如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线.CD与DB有怎样的数量关系?请说明理由.解:理由如下:∵DE⊥AB,∴∠AED=∠BED=90°.∵DE是∠ADB的平分线,∴∠ADE=∠BDE.又∵DE=DE,∴△AED≌△BED(ASA),例3人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是在Rt△ACD中,∵∠CAD=30°,∴AD=BD,∠DAE=∠B.∵∠BAD=∠CAD=∠BAC,∴∠BAD=∠CAD=∠B.∵∠BAD+∠CAD+∠B=90°,∴∠B=∠BAD=∠CAD=30°.∴CD=AD=BD,即CD=DB.人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).在Rt△ACD中,∵∠CAD=30°,∴AD=BD,∠DAE方法总结:含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据,如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时,要联想此性质.人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).方法总结:含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一想一想:图中BC、DE分别是哪个直角三角形的直角边?它们所对的锐角分别是多少度?
如图是屋架设计图的一部分,点D
是斜梁AB的中点,立柱BC、DE
垂直于横梁AC,AB=7.4cm,∠A=30°,立柱BC、DE
要多长?ABCDE例4人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).想一想:图中BC、DE分别是哪个直角三角形的直角边?它们ABCDE解:∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°,∴BC=AB,DE=AD,∴BC=AB=×7.4=3.7(m).又AD=AB,∴DE=AD=×3.7=1.85(m).即立柱BC的长是3.7m,DE的长是1.85m.人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).ABCDE解:∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°,
已知:等腰三角形的底角为15°,腰长为20.求腰上的高.ACBD15°15°20解:过C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D.∵∠B=∠ACB=15°
(已知),∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°,))∴CD=AC=×20=10.例5人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).已知:等腰三角形的底角为15°,腰方法总结:在求三角形边长的一些问题中,可以构造含30°角的直角三角形来解决.本题的关键是作高,而后利用等腰三角形及外角的性质,得出30°角,利用含30°角的直角三角形的性质解决问题.方法总结:在求三角形边长的一些问题中,可以构造含30°角的直1.如图,一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下,倒下部分与地面成30°角,这棵树在折断前的高度为()A.6米B.9米C.12米D.15米2.某市在旧城改造中,计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境,已知∠A=150°,这种草皮每平方米售价a元,则购买这种草皮至少需要()A.300a元B.150a元C.450a元D.225a元BB1.如图,一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下,倒下部4.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,若AB=10,则BC
=
.55.如图,Rt△ABC中,∠A=30°,AB+BC=12cm,则AB=______.ACB83.如图,在△ABC
中,∠ACB=90°,CD
是高,∠A=30°,AB=4,则BD=
.A
B
C
D
1第3题图第5题图4.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,若AB=6.在△ABC中,∠C=90°,∠B=15°,DE是AB的垂直平分线,BE=5,则求AC的长.解:连结AE.∵DE是AB的垂直平分线,∴BE=AE,∴∠EAB=∠B=15°,∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°.∵∠C=90°,∴AC=AE=BE=2.5.6.在△ABC中,∠C=90°,∠B=15°,DE是AB的垂7.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°
,D是BC的中点,DE⊥AB于E点,求证:BE=3EA.证明:∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°.∵D是BC的中点,∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∠BAD=∠DAC=60°,∴AB=2AD.∵DE⊥AB,∴∠AED=90°,∴∠ADE=30°,∴AD=2AE,∴AB=4AE,∴BE=3AE.7.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,D是内容在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半使用要点找准30°的角所对的直角边,点明斜边注意前提条件:直角三角形中课堂总结含30°角的直角三角形的性质内容在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角人教版八年级上数学课件含°角的直角三角形的性质13.3.2等边三角形第2课时
含30°角的直角三角形的性质葫芦岛第六初级中学13.3.2等边三角形第2课时含30°角的直角三角▼性质:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.ABCD
如图,△ADC是△ABC的轴对称图形,因此AB=AD,∠BAD=2×30°=60°,从而△ABD是一个等边三角形.再由AC⊥BD,可得BC=CD=AB.性质▼性质:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么【证法1】在△ABC
中,∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠B=60°.延长BC到D,使BD=AB,连结AD,则△ABD
是等边三角形.又∵AC⊥BD,已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°.求证:BC=AB.ABCD
证明方法:倍长法∴
BC=AB.
∴BC=
BD.
【证法1】在△ABC中,∵∠C=90°,∠A=30°EABC【证法2】在BA上截取BE=BC,连结EC.
∵∠B=60°,BE=BC,∴△BCE是等边三角形,
∴∠BEC=60°,BE=EC.∵∠A=30°,∴∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30°=30°,∴AE=EC,∴AE=BE=BC,∴AB=AE+BE=2BC.∴
BC=AB.
证明方法:截半法EABC【证法2】在BA上截取BE=BC,连结EC.★含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.▼应用格式:∵
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,
ABC∴
BC=AB.
人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).★含30°角的直角三角形的性质在直角三角形中,如果判断下列说法是否正确:(1)直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的一半.
(2)三角形中30°角所对的边等于最长边的一半.(3)直角三角形中较短的直角边是斜边的一半。
(4)直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍.√人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).判断下列说法是否正确:√人教版八年级上数学课件13.3.
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,CD是斜边AB上的高,AD=3cm,则AB的长度是(
)A.3cmB.6cmC.9cmD.12cm注意:运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时,要分清线段所在的直角三角形.D解析:在Rt△ABC中,∵CD是斜边AB上的高,∴∠ADC=90°,∴∠ACD=∠B=30°.在Rt△ACD中,AC=2AD=6cm.在Rt△ABC中,AB=2AC=12cm.∴AB的长度是12cm.故选D.例1人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B
如图,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA交OB于C,PD⊥OA于D,若PC=3,则PD等于(
)A.3B.2C.1.5D.1解析:如图,过点P作PE⊥OB于E.∵PC∥OA,∴∠AOP=∠CPO,∴∠PCE=∠BOP+∠CPO=∠BOP+∠AOP=∠AOB=30°.又∵PC=3,∴PE=1.5.∵∠AOP=∠BOP,PD⊥OA,∴PD=PE=1.5.故选C.EC例2人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).如图,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥O方法总结:含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时,关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形.人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).方法总结:含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合
如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线.CD与DB有怎样的数量关系?请说明理由.解:理由如下:∵DE⊥AB,∴∠AED=∠BED=90°.∵DE是∠ADB的平分线,∴∠ADE=∠BDE.又∵DE=DE,∴△AED≌△BED(ASA),例3人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是在Rt△ACD中,∵∠CAD=30°,∴AD=BD,∠DAE=∠B.∵∠BAD=∠CAD=∠BAC,∴∠BAD=∠CAD=∠B.∵∠BAD+∠CAD+∠B=90°,∴∠B=∠BAD=∠CAD=30°.∴CD=AD=BD,即CD=DB.人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).在Rt△ACD中,∵∠CAD=30°,∴AD=BD,∠DAE方法总结:含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据,如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时,要联想此性质.人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).方法总结:含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一想一想:图中BC、DE分别是哪个直角三角形的直角边?它们所对的锐角分别是多少度?
如图是屋架设计图的一部分,点D
是斜梁AB的中点,立柱BC、DE
垂直于横梁AC,AB=7.4cm,∠A=30°,立柱BC、DE
要多长?ABCDE例4人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).想一想:图中BC、DE分别是哪个直角三角形的直角边?它们ABCDE解:∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°,∴BC=AB,DE=AD,∴BC=AB=×7.4=3.7(m).又AD=AB,∴DE=AD=×3.7=1.85(m).即立柱BC的长是3.7m,DE的长是1.85m.人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).ABCDE解:∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°,
已知:等腰三角形的底角为15°,腰长为20.求腰上的高.ACBD15°15°20解:过C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D.∵∠B=∠ACB=15°
(已知),∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°,))∴CD=AC=×20=10.例5人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质(共22张PPT).已知:等腰三角形的底角为15°,腰方法总结:在求三角形边长的一些问题中,可以构造含30°角的直角三角形来解决.本题的关键是作高,而后利用等腰三角形及外角的性质,得出30°角,利用含30°角的直角三角形的性质解决问题.方法总结:在求三角形边长的一些问题中,可以构造含30°角的直1.如图,一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下,倒下部分与地面成30°角,这棵树在折断前的高度为()A.6米
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