人教A版高中数学必修同步解三角形优秀3课件

第2课时解三角形的实际应用举例——高度、角度问题第2课时1人教A版高中数学必修同步解三角形优秀3课件21.仰角和俯角(1)前提:在视线所在的垂直平面内.(2)仰角:视线在水平线以上时,视线与水平线所成的角.(3)俯角:视线在水平线以下时,视线与水平线所成的角.1.仰角和俯角3【思考】为了测量某建筑物的高度通常需要构造的三角形其所在平面与地面什么关系?提示:构造的三角形其所在平面与地面垂直.【思考】42.视角从眼睛的中心向物体两端所引的两条直线的夹角,如图所示,视角50°指的是观察该物体的两端视线张开的角度.2.视角5【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)俯角和仰角都是对于水平线而言的. (

)(2)仰角与俯角所在的平面是铅垂面. (

)(3)从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系为α+β=180°.(

)【素养小测】6提示:(1)√.由俯角和仰角的定义可知此说法正确.(2)√.由仰角与俯角的定义可知.(3)×.画出示意图如图,由图可知α=β.提示:(1)√.由俯角和仰角的定义可知此说法正确.72.小强站在地面上观察一个建在山顶上的建筑物,测得其视角为α,同时测得观察该建筑物顶部的仰角为β,则小强观测山顶的仰角为 (

)A.α+β B.α-β C.β-α D.α2.小强站在地面上观察一个建在山顶上的建筑物,测得其视角为α8【解析】选C.如图所示,设小强观测山顶的仰角为γ,则β-γ=α,因此γ=β-α.【解析】选C.如图所示,93.如图所示为一角槽,已知AB⊥AD,AB⊥BE,并测量得AC=3mm,BC=2

mm,AB=

mm,则∠ACB=______.

3.如图所示为一角槽,已知AB⊥AD,AB⊥BE,并测量得10【解析】在△ABC中,由余弦定理得cos∠ACB=因为∠ACB∈(0,π),所以∠ACB=答案:

【解析】在△ABC中,由余弦定理得114.在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°,60°,则塔高为______

米.

4.在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为312理得BD2=EB2+ED2-2EB·EDcos∠BED=22+(+1)2-(1)求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时,走了几分钟;经测量,AB=1040m,BC=500m,则sin∠BAC等于_____.为了测量某建筑物的高度通常需要构造的三角形其所在平面与地面什么关系?如图在离地面高400m的热气球上,观测到行20分钟到达E处,测得塔AB位于北偏东60°(∠DEB=仰角为65°,求此山的高度.【解析】(1)在△ABE中,tan∠AEB=,所以BE=2,则DC=2+2,t分钟,则t=20km/h,方向为北偏东60°.他在点A处发现桃树顶端点C的仰角大小为45°,往正前方走4米后,在点B处发现桃树顶端点C的仰角大小为75°.所以∠ABC=30°,易知∠ACB=15°,在此基础上,选择恰当的三角形(至少一条边长)作为突破口,用正弦定理和余弦定理求出有关量,还应注意解直角三角形知识的应用.AC=2海里,∠BAC=135°,在Rt△AMD中,∠MAD=45°,MD=400m,CD=30米,并在点C测得塔顶A的仰角为60°,求塔高AB.所以AC=2,即两山顶A,C之间的距离为2km.M的海拔高度为10000-3660≈6340(m).(2)DE=6(+1)×=+1,在△BED中,由余弦定(1)刚发现走私船时,求两船的距离;【解析】如图所示,理得BD2=EB2+ED2-2EB·EDcos∠BED=213山的高度MN=200米,塔高为AB,CN=MB=米,AC=(米).所以塔高AB=200-(米).答案:

山的高度MN=200米,塔高为AB,CN=MB=米,14类型一测量仰角(或俯角)求高度问题【典例】1.如图在离地面高400m的热气球上,观测到山顶C处的仰角为15°,山脚A处的俯角为45°.已知∠BAC=60°,则山的高度BC为 (

)A.700m

B.640m

C.600m

D.560m类型一测量仰角(或俯角)求高度问题152.某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°,沿倾斜角为20°的斜坡前进1000m后到达D处,又测得山顶的仰角为65°,求此山的高度.(精确到1m,参考数据:sin35°≈0.5736,

≈1.414)2.某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°,沿倾斜16【思维·引】1.在△MAC中,三个角和AM可求,根据正弦定理可求AC,进而可求山的高度BC;2.根据基线AD=1000m,可先在△ABD中,由正弦定理求AB,然后在Rt△ABC中求山的高度BC.【思维·引】1.在△MAC中,三个角和AM可求,根据正弦定理17【解析】1.选C.如图,过点M作MD⊥AB,垂足为D.【解析】1.选C.如图,过点M作MD⊥AB,垂足为D.18在Rt△AMD中,∠MAD=45°,MD=400m,AM=在△MAC中,∠AMC=45°+15°=60°,∠MAC=180°-45°-60°=75°,所以∠MCA=180°-∠AMC-∠MAC=45°.在Rt△AMD中,∠MAD=45°,MD=400m,19由正弦定理,得AC=在Rt△ABC中,BC=ACsin∠BAC=400=600(m).由正弦定理,得AC=202.如图,过点D作DE∥AC交BC于E,因为∠DAC=20°,所以∠ADE=160°,于是∠ADB=360°-160°-65°=135°.2.如图,过点D作DE∥AC交BC于E,因为∠DAC=20°21又∠BAD=35°-20°=15°,所以∠ABD=30°.在△ABD中,由正弦定理,得AB=在Rt△ABC中,BC=ABsin35°≈811(m).答:此山的高度约为811m.又∠BAD=35°-20°=15°,所以∠ABD=30°.22【内化·悟】两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上,此类测量高度问题的解题思路是什么?提示:放在直角三角形中,根据所给的边、角的关系,求出与所求高相关的一条边的长,然后再求高.【内化·悟】23【类题·通】测量仰角(或俯角)求高度问题(1)基本思路:构造含建筑物高度的三角形,用正、余弦定理解答.【类题·通】24(2)构造三角形的方法①如图1所示,取经过建筑物AB底部B的基线上两点H,G,用同样高度的两个测角仪DH和CG测量得仰角β,α,测量两个测角仪的距离,构成△ACD.(2)构造三角形的方法25②如图2所示,在建筑物CD顶部的竖立物体BC,分别在B,C两处测量俯角α,β,构成△ABC.

②如图2所示,在建筑物CD顶部的竖立物体BC,分别在B,C两26思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)山顶C处的仰角为15°,山脚A处的俯角为45°.【典例】如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上因为AB=1040m,BC=500m,2×2×(+1)×=6,到的数据:≈1.【解析】(1)在△ABC中,因为AB=(2-2)海里,为了测量某建筑物的高度通常需要构造的三角形其所在平面与地面什么关系?第二步,利用所学知识和方法解决这个数学问题,其中的关键在于如何将实际问题数学化,也就是说如何将实际问题等价转化成一个数学问题.所以AE=2AB=2,CE=在△CBD中,根据正弦定理,得(1)求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时,走了几分钟;游客从A处同时出发匀速步行,甲的速度是乙的速度的(1)基本思路:构造含建筑物高度的三角形,用正、余弦定理解答.在△ABC中,由正弦定理,2km B.故缉私船沿南偏东60°方向,需47分钟才能追上走私船.在Rt△ABE中,tanα=CD=30米,并在点C测得塔顶A的仰角为60°,求塔高AB.而∠CBD=120°,在△BCD中,根据正弦定理,可得在△ACE中,由余弦定理得AC2=AE2+CE2-2×AE×CE×【习练·破】要航测某座山的海拔高度,如图,飞机的航线与山顶M在同一个铅垂面内,已知飞机的飞行高度为海拔10000m,速度为900km/h,航测员先测得M山顶的俯角为30°,经过40s(已飞过M点)后又测得M山顶的俯角为45°,求山顶的海拔高度.(精确到m)(可能要用到的数据:

≈1.414,

≈1.732,

≈2.449)思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)【习练·破】要航测某座27人教A版高中数学必修同步解三角形优秀3课件28【解析】900km/h=250m/s,AB=250×40=10000(m),在△ABM中,由正弦定理得

BM=作MD⊥AB于点D,则MD=BMsin45°=【解析】900km/h=250m/s,29==5000(-1)≈3660(m),M的海拔高度为10000-3660≈6340(m).答:M的海拔高度为6340m.==5000(-1)≈3660(m)30【加练·固】在社会实践中,小明观察一棵桃树.他在点A处发现桃树顶端点C的仰角大小为45°,往正前方走4米后,在点B处发现桃树顶端点C的仰角大小为75°.【加练·固】在社会实践中,小明观察一棵桃树.他在点A处发现桃31(1)求BC的长.(2)若小明身高为1.70米,求这棵桃树顶端点C离地面的高度(精确到0.01米,其中

≈1.732).(1)求BC的长.32【解析】(1)在△ABC中,∠CAB=45°,∠DBC=75°,则∠ACB=75°-45°=30°,AB=4,由正弦定理得

解得BC=4(米).【解析】(1)在△ABC中,∠CAB=45°,∠DBC=7533(2)在△CBD中,∠CDB=90°,BC=4,所以DC=4sin75°,因为sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=则DC=2+2,所以CE=3.70+2≈3.70+3.464≈7.16(米).(2)在△CBD中,∠CDB=90°,BC=4,所以D34答:(1)BC的长为4米;(2)这棵桃树顶端点C离地面的高度为7.16米.答:(1)BC的长为4米;(2)这棵桃树顶端点C离地面35类型二测量方向角求高度问题【典例】如图,某人在塔的正东方向上的C处,在与塔垂直的水平面内,沿南偏西60°的方向以每小时6千米的速度步行了1分钟以后,在点D处望见塔的底端B在东北方向上,已知沿途塔的仰角∠AEB=α,α的最大值为60°.类型二测量方向角求高度问题36(1)求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时,走了几分钟;(2)求塔的高AB. 世纪金榜导学号(1)求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时,走了几分钟37【思维·引】(1)要顺利求解本题,其关键是确定沿CD测塔的仰角,其最大仰角在何处达到,该处与C点间的距离是多少.(2)求得最大仰角处与塔底间的距离,就能在相应的直角三角形中,求得塔高.【思维·引】(1)要顺利求解本题,其关键是确定沿CD测塔的仰38【解析】(1)依题意知,在△DBC中∠BCD=30°,∠DBC=180°-45°=135°,CD=6000×=100(m),∠D=180°-135°-30°=15°,由正弦定理得【解析】(1)依题意知,在△DBC中∠BCD=30°,39所以BC=在Rt△ABE中,tanα=所以BC=在Rt△ABE中,tanα=40因为AB为定长,所以当BE的长最小时,α取最大值60°,这时BE⊥CD.当BE⊥CD时,在Rt△BEC中,EC=BC·cos∠BCE=50(-1)·=25(3-)(m),设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时,走了t分钟,则t=因为AB为定长,所以当BE的长最小时,α取最大值41(2)由(1)知,当α取得最大值60°时,BE⊥CD,在Rt△BEC中,BE=BC·sin∠BCD,所以AB=BE·tan60°=BC·sin∠BCD·tan60°=50(-1)·

·=25(3-)(m),即所求塔高为25(3-)m.(2)由(1)知,当α取得最大值60°时,BE⊥CD,42【素养·探】在测量方向角求高度问题中,经常利用核心素养中的直观想象和数学运算,通过审题运用空间想象作出示意图(通常是立体图),同时要注意有关简单的涉及空间图形的问题.在此基础上,选择恰当的三角形(至少一条边长)作为突破口,用正弦定理和余弦定理求出有关量,还应注意解直角三角形知识的应用.【素养·探】43将本例的条件改为“如图,某人由南向北行驶,在C处测得塔AB在北偏东15°(∠ECB=15°)方向上,匀速向北骑行20分钟到达E处,测得塔AB位于北偏东60°(∠DEB=60°)方向上,此时测得塔顶A的仰角为60°,若塔高为2

千米”.将本例的条件改为“如图,某人由南向北行驶,在C处测44人教A版高中数学必修同步解三角形优秀3课件45(1)此人骑行的速度是每小时多少千米?(2)若此人继续骑行10分钟到达D处,问此时塔AB位于D处的南偏东什么方

(1)此人骑行的速度是每小时多少千米?46【解析】(1)在△ABE中,tan∠AEB=,所以BE=2,因为∠DEB=60°,∠ECB=15°,所以∠EBC=45°.在△BCE中,由正弦定理得CE==2(+1),所以此人骑行的速度是每小时6(+1)千米.【解析】(1)在△ABE中,tan∠AEB=,所以B47(2)DE=6(+1)×=+1,在△BED中,由余弦定理得BD2=EB2+ED2-2EB·EDcos∠BED=22+(+1)2-2×2×(+1)×=6,(2)DE=6(+1)×=+1,在△BED48所以BD=,在△BED中,由正弦定理得sin∠BDE=

所以∠BDE=45°,所以塔AB位于D处的南偏东45°.所以BD=,在△BED中,由正弦定理得sin∠BDE49【类题·通】测量方向角求高度问题(1)基本思路方向角属于水平面的角度,而仰角属于铅垂面内的角,所以此类问题的图形通常是立体图形.解题的基本思路是把目标高度转化为三角形的边长,从而把空间问题转化为平面内解三角形问题.【类题·通】50(2)基本方法首先在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥,再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或几个三角形,从而求出高度.(2)基本方法51【习练·破】(2019·龙岩高二检测)如图,某景区欲在两山顶A,C之间建缆车,需要测量两山顶间的距离.已知山高AB=1km,CD=3km,在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°,山顶C的仰角为60°,∠AEC=150°,则两山顶A,C之间的距离为 (

)【习练·破】52A.2

km B.3

kmC.4

km D.3

kmA.2km B.3km53【解析】选A.AB=1,CD=3,∠AEB=30°,∠CED=60°,∠AEC=150°,所以AE=2AB=2,CE=【解析】选A.AB=1,CD=3,∠AEB=30°,∠CE54在△ACE中,由余弦定理得AC2=AE2+CE2-2×AE×CE×cos∠AEC=4+12-2×2×所以AC=2,即两山顶A,C之间的距离为2km.在△ACE中,由余弦定理得AC2=AE2+CE2-2×AE×55【加练·固】如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30米,并在点C测得塔顶A的仰角为60°,求塔高AB.

【加练·固】56人教A版高中数学必修同步解三角形优秀3课件57【解析】在△BCD中,∠CBD=180°-15°-30°=135°;由正弦定理得所以BC=在Rt△ABC中,AB=BCtan∠ACB=15tan60°=15(米).答:塔高AB为15米.【解析】在△BCD中,∠CBD=180°-15°-30°=158类型三测量角度问题角度1角度问题【典例】如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的倾斜度为15°,向山顶前进100m到达B处,又测得C对于山坡的倾斜度为45°,若CD=50m,山坡对于地平面的坡度为θ,则cosθ等于 (

)类型三测量角度问题59人教A版高中数学必修同步解三角形优秀3课件60【思维·引】由题意可知△ADC可解,角θ与∠BDC有密切关系.【思维·引】由题意可知△ADC可解,角θ与∠BDC有密切关系61【解析】选C.在△ABC中,由正弦定理,即所以AC=100.在△ADC中,由正弦定理得

所以cosθ=sin(θ+90°)=【解析】选C.在△ABC中,由正弦定理,62角度2求航向的角度【典例】(2019·南通高一检测)如图,在海岸A处,发现南偏东45°方向距A为(2

-2)海里的B处有一艘走私船,在A处正北方向,距A为2

海里的C处的缉私船立即奉命以10

海里/时的速度追截走私船. 世纪金榜导学号

角度2求航向的角度63人教A版高中数学必修同步解三角形优秀3课件64(1)刚发现走私船时,求两船的距离;(2)若走私船正以10

海里/时的速度从B处向南偏东75°方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?并求出所需要的时间(精确到分钟,参考数据:

≈1.4,

≈2.5)(1)刚发现走私船时,求两船的距离;65【思维·引】(1)直接用余弦定理求BC;(2)利用方程思想,设出缉私船行驶的时间和截获走私船的地点,利用正弦定理构建方程求出时间.

【思维·引】(1)直接用余弦定理求BC;66【解析】(1)在△ABC中,因为AB=(2-2)海里,AC=2海里,∠BAC=135°,由余弦定理,得BC

=4(海里).【解析】(1)在△ABC中,因为AB=(2-2)海里,67(2)根据正弦定理,可得sin∠ABC=所以∠ABC=30°,易知∠ACB=15°,设缉私船应沿CD方向行驶t小时,才能最快截获(在D点)走私船,如图所示.(2)根据正弦定理,可得sin∠ABC=68则有CD=10t(海里),BD=10t(海里).而∠CBD=120°,在△BCD中,根据正弦定理,可得sin∠BCD=所以∠BCD=45°,∠BDC=15°,所以∠ACD=60°.在△CBD中,根据正弦定理,得则有CD=10t(海里),BD=10t(海里).69解得t=小时≈0.78小时≈47分钟.故缉私船沿南偏东60°方向,需47分钟才能追上走私船.解得t=小时≈0.78小时≈47分钟.70【内化·悟】解应用题的基本步骤是什么?【内化·悟】71提示:第一步,先分析问题,抓住实际问题中的数量关系,将其转化成一般数学问题;第二步,利用所学知识和方法解决这个数学问题,其中的关键在于如何将实际问题数学化,也就是说如何将实际问题等价转化成一个数学问题.提示:第一步,先分析问题,抓住实际问题中的数量关系,将其转化72【类题·通】1.有关仰角和俯角的问题(1)建筑物顶部无法到达或高度过高而无法测量时,通常采用解三角形的方法解决,在构造三角形时,一般利用与地面垂直的直角三角形,此时应注意仰角的应用.(2)但在某些情况下,仍需根据正、余弦定理来解三角形.【类题·通】732.测量角度问题画示意图的基本步骤2.测量角度问题画示意图的基本步骤74【习练·破】1.在一次抗洪抢险中,某救生艇发动机突然发生故障停止转动,失去动力的救生艇在洪水中漂行,此时,风向是北偏东30°,风速是20km/h;水的流向是正东,流速是20km/h,若不考虑其他因素,救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东______,大小为______km/h.

【习练·破】75【解析】如图,表示水流,表示风,由平行四边形法则在菱形OACB中,∠AOB=60°,由余弦定理知OC2=202+202-800cos120°=1200,故OC=20,∠COY=30°+30°=60°.故救生艇的合速度大小为20km/h,方向为北偏东60°.【解析】如图,表示水流,表示风,由平行四边76答案:60°

20

答案:60°20772.游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路.线路1是从A沿直线步行到C,线路2是先从A沿直线步行到景点B处,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行,甲的速度是乙的速度的

倍,甲走线路2,乙走线路1,最后他们同时到达C处.经测量,AB=1040m,BC=500m,则sin∠BAC等于_____.

2.游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路.78人教A版高中数学必修同步解三角形优秀3课件79【解析】依题意,设乙的速度为xm/s,则甲的速度为xm/s,因为AB=1040m,BC=500m,所以解得:AC=1260m,【解析】依题意,设乙的速度为xm/s,80在△ABC中,由余弦定理得cos∠BAC=所以sin∠BAC=答案:

在△ABC中,由余弦定理得cos∠BAC=81第2课时解三角形的实际应用举例——高度、角度问题第2课时82人教A版高中数学必修同步解三角形优秀3课件831.仰角和俯角(1)前提:在视线所在的垂直平面内.(2)仰角:视线在水平线以上时,视线与水平线所成的角.(3)俯角:视线在水平线以下时,视线与水平线所成的角.1.仰角和俯角84【思考】为了测量某建筑物的高度通常需要构造的三角形其所在平面与地面什么关系?提示:构造的三角形其所在平面与地面垂直.【思考】852.视角从眼睛的中心向物体两端所引的两条直线的夹角,如图所示,视角50°指的是观察该物体的两端视线张开的角度.2.视角86【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)俯角和仰角都是对于水平线而言的. (

)(2)仰角与俯角所在的平面是铅垂面. (

)(3)从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系为α+β=180°.(

)【素养小测】87提示:(1)√.由俯角和仰角的定义可知此说法正确.(2)√.由仰角与俯角的定义可知.(3)×.画出示意图如图,由图可知α=β.提示:(1)√.由俯角和仰角的定义可知此说法正确.882.小强站在地面上观察一个建在山顶上的建筑物,测得其视角为α,同时测得观察该建筑物顶部的仰角为β,则小强观测山顶的仰角为 (

)A.α+β B.α-β C.β-α D.α2.小强站在地面上观察一个建在山顶上的建筑物,测得其视角为α89【解析】选C.如图所示,设小强观测山顶的仰角为γ,则β-γ=α,因此γ=β-α.【解析】选C.如图所示,903.如图所示为一角槽,已知AB⊥AD,AB⊥BE,并测量得AC=3mm,BC=2

mm,AB=

mm,则∠ACB=______.

3.如图所示为一角槽,已知AB⊥AD,AB⊥BE,并测量得91【解析】在△ABC中,由余弦定理得cos∠ACB=因为∠ACB∈(0,π),所以∠ACB=答案:

【解析】在△ABC中,由余弦定理得924.在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°,60°,则塔高为______

米.

4.在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为393理得BD2=EB2+ED2-2EB·EDcos∠BED=22+(+1)2-(1)求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时,走了几分钟;经测量,AB=1040m,BC=500m,则sin∠BAC等于_____.为了测量某建筑物的高度通常需要构造的三角形其所在平面与地面什么关系?如图在离地面高400m的热气球上,观测到行20分钟到达E处,测得塔AB位于北偏东60°(∠DEB=仰角为65°,求此山的高度.【解析】(1)在△ABE中,tan∠AEB=,所以BE=2,则DC=2+2,t分钟,则t=20km/h,方向为北偏东60°.他在点A处发现桃树顶端点C的仰角大小为45°,往正前方走4米后,在点B处发现桃树顶端点C的仰角大小为75°.所以∠ABC=30°,易知∠ACB=15°,在此基础上,选择恰当的三角形(至少一条边长)作为突破口,用正弦定理和余弦定理求出有关量,还应注意解直角三角形知识的应用.AC=2海里,∠BAC=135°,在Rt△AMD中,∠MAD=45°,MD=400m,CD=30米,并在点C测得塔顶A的仰角为60°,求塔高AB.所以AC=2,即两山顶A,C之间的距离为2km.M的海拔高度为10000-3660≈6340(m).(2)DE=6(+1)×=+1,在△BED中,由余弦定(1)刚发现走私船时,求两船的距离;【解析】如图所示,理得BD2=EB2+ED2-2EB·EDcos∠BED=294山的高度MN=200米,塔高为AB,CN=MB=米,AC=(米).所以塔高AB=200-(米).答案:

山的高度MN=200米,塔高为AB,CN=MB=米,95类型一测量仰角(或俯角)求高度问题【典例】1.如图在离地面高400m的热气球上,观测到山顶C处的仰角为15°,山脚A处的俯角为45°.已知∠BAC=60°,则山的高度BC为 (

)A.700m

B.640m

C.600m

D.560m类型一测量仰角(或俯角)求高度问题962.某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°,沿倾斜角为20°的斜坡前进1000m后到达D处,又测得山顶的仰角为65°,求此山的高度.(精确到1m,参考数据:sin35°≈0.5736,

≈1.414)2.某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°,沿倾斜97【思维·引】1.在△MAC中,三个角和AM可求,根据正弦定理可求AC,进而可求山的高度BC;2.根据基线AD=1000m,可先在△ABD中,由正弦定理求AB,然后在Rt△ABC中求山的高度BC.【思维·引】1.在△MAC中,三个角和AM可求,根据正弦定理98【解析】1.选C.如图,过点M作MD⊥AB,垂足为D.【解析】1.选C.如图,过点M作MD⊥AB,垂足为D.99在Rt△AMD中,∠MAD=45°,MD=400m,AM=在△MAC中,∠AMC=45°+15°=60°,∠MAC=180°-45°-60°=75°,所以∠MCA=180°-∠AMC-∠MAC=45°.在Rt△AMD中,∠MAD=45°,MD=400m,100由正弦定理,得AC=在Rt△ABC中,BC=ACsin∠BAC=400=600(m).由正弦定理,得AC=1012.如图,过点D作DE∥AC交BC于E,因为∠DAC=20°,所以∠ADE=160°,于是∠ADB=360°-160°-65°=135°.2.如图,过点D作DE∥AC交BC于E,因为∠DAC=20°102又∠BAD=35°-20°=15°,所以∠ABD=30°.在△ABD中,由正弦定理,得AB=在Rt△ABC中,BC=ABsin35°≈811(m).答:此山的高度约为811m.又∠BAD=35°-20°=15°,所以∠ABD=30°.103【内化·悟】两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上,此类测量高度问题的解题思路是什么?提示:放在直角三角形中,根据所给的边、角的关系,求出与所求高相关的一条边的长,然后再求高.【内化·悟】104【类题·通】测量仰角(或俯角)求高度问题(1)基本思路:构造含建筑物高度的三角形,用正、余弦定理解答.【类题·通】105(2)构造三角形的方法①如图1所示,取经过建筑物AB底部B的基线上两点H,G,用同样高度的两个测角仪DH和CG测量得仰角β,α,测量两个测角仪的距离,构成△ACD.(2)构造三角形的方法106②如图2所示,在建筑物CD顶部的竖立物体BC,分别在B,C两处测量俯角α,β,构成△ABC.

②如图2所示,在建筑物CD顶部的竖立物体BC,分别在B,C两107思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)山顶C处的仰角为15°,山脚A处的俯角为45°.【典例】如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上因为AB=1040m,BC=500m,2×2×(+1)×=6,到的数据:≈1.【解析】(1)在△ABC中,因为AB=(2-2)海里,为了测量某建筑物的高度通常需要构造的三角形其所在平面与地面什么关系?第二步,利用所学知识和方法解决这个数学问题,其中的关键在于如何将实际问题数学化,也就是说如何将实际问题等价转化成一个数学问题.所以AE=2AB=2,CE=在△CBD中,根据正弦定理,得(1)求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时,走了几分钟;游客从A处同时出发匀速步行,甲的速度是乙的速度的(1)基本思路:构造含建筑物高度的三角形,用正、余弦定理解答.在△ABC中,由正弦定理,2km B.故缉私船沿南偏东60°方向,需47分钟才能追上走私船.在Rt△ABE中,tanα=CD=30米,并在点C测得塔顶A的仰角为60°,求塔高AB.而∠CBD=120°,在△BCD中,根据正弦定理,可得在△ACE中,由余弦定理得AC2=AE2+CE2-2×AE×CE×【习练·破】要航测某座山的海拔高度,如图,飞机的航线与山顶M在同一个铅垂面内,已知飞机的飞行高度为海拔10000m,速度为900km/h,航测员先测得M山顶的俯角为30°,经过40s(已飞过M点)后又测得M山顶的俯角为45°,求山顶的海拔高度.(精确到m)(可能要用到的数据:

≈1.414,

≈1.732,

≈2.449)思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)【习练·破】要航测某座108人教A版高中数学必修同步解三角形优秀3课件109【解析】900km/h=250m/s,AB=250×40=10000(m),在△ABM中,由正弦定理得

BM=作MD⊥AB于点D,则MD=BMsin45°=【解析】900km/h=250m/s,110==5000(-1)≈3660(m),M的海拔高度为10000-3660≈6340(m).答:M的海拔高度为6340m.==5000(-1)≈3660(m)111【加练·固】在社会实践中,小明观察一棵桃树.他在点A处发现桃树顶端点C的仰角大小为45°,往正前方走4米后,在点B处发现桃树顶端点C的仰角大小为75°.【加练·固】在社会实践中,小明观察一棵桃树.他在点A处发现桃112(1)求BC的长.(2)若小明身高为1.70米,求这棵桃树顶端点C离地面的高度(精确到0.01米,其中

≈1.732).(1)求BC的长.113【解析】(1)在△ABC中,∠CAB=45°,∠DBC=75°,则∠ACB=75°-45°=30°,AB=4,由正弦定理得

解得BC=4(米).【解析】(1)在△ABC中,∠CAB=45°,∠DBC=75114(2)在△CBD中,∠CDB=90°,BC=4,所以DC=4sin75°,因为sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=则DC=2+2,所以CE=3.70+2≈3.70+3.464≈7.16(米).(2)在△CBD中,∠CDB=90°,BC=4,所以D115答:(1)BC的长为4米;(2)这棵桃树顶端点C离地面的高度为7.16米.答:(1)BC的长为4米;(2)这棵桃树顶端点C离地面116类型二测量方向角求高度问题【典例】如图,某人在塔的正东方向上的C处,在与塔垂直的水平面内,沿南偏西60°的方向以每小时6千米的速度步行了1分钟以后,在点D处望见塔的底端B在东北方向上,已知沿途塔的仰角∠AEB=α,α的最大值为60°.类型二测量方向角求高度问题117(1)求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时,走了几分钟;(2)求塔的高AB. 世纪金榜导学号(1)求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时,走了几分钟118【思维·引】(1)要顺利求解本题,其关键是确定沿CD测塔的仰角,其最大仰角在何处达到,该处与C点间的距离是多少.(2)求得最大仰角处与塔底间的距离,就能在相应的直角三角形中,求得塔高.【思维·引】(1)要顺利求解本题,其关键是确定沿CD测塔的仰119【解析】(1)依题意知,在△DBC中∠BCD=30°,∠DBC=180°-45°=135°,CD=6000×=100(m),∠D=180°-135°-30°=15°,由正弦定理得【解析】(1)依题意知,在△DBC中∠BCD=30°,120所以BC=在Rt△ABE中,tanα=所以BC=在Rt△ABE中,tanα=121因为AB为定长,所以当BE的长最小时,α取最大值60°,这时BE⊥CD.当BE⊥CD时,在Rt△BEC中,EC=BC·cos∠BCE=50(-1)·=25(3-)(m),设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时,走了t分钟,则t=因为AB为定长,所以当BE的长最小时,α取最大值122(2)由(1)知,当α取得最大值60°时,BE⊥CD,在Rt△BEC中,BE=BC·sin∠BCD,所以AB=BE·tan60°=BC·sin∠BCD·tan60°=50(-1)·

·=25(3-)(m),即所求塔高为25(3-)m.(2)由(1)知,当α取得最大值60°时,BE⊥CD,123【素养·探】在测量方向角求高度问题中,经常利用核心素养中的直观想象和数学运算,通过审题运用空间想象作出示意图(通常是立体图),同时要注意有关简单的涉及空间图形的问题.在此基础上,选择恰当的三角形(至少一条边长)作为突破口,用正弦定理和余弦定理求出有关量,还应注意解直角三角形知识的应用.【素养·探】124将本例的条件改为“如图,某人由南向北行驶,在C处测得塔AB在北偏东15°(∠ECB=15°)方向上,匀速向北骑行20分钟到达E处,测得塔AB位于北偏东60°(∠DEB=60°)方向上,此时测得塔顶A的仰角为60°,若塔高为2

千米”.将本例的条件改为“如图,某人由南向北行驶,在C处测125人教A版高中数学必修同步解三角形优秀3课件126(1)此人骑行的速度是每小时多少千米?(2)若此人继续骑行10分钟到达D处,问此时塔AB位于D处的南偏东什么方

(1)此人骑行的速度是每小时多少千米?127【解析】(1)在△ABE中,tan∠AEB=,所以BE=2,因为∠DEB=60°,∠ECB=15°,所以∠EBC=45°.在△BCE中,由正弦定理得CE==2(+1),所以此人骑行的速度是每小时6(+1)千米.【解析】(1)在△ABE中,tan∠AEB=,所以B128(2)DE=6(+1)×=+1,在△BED中,由余弦定理得BD2=EB2+ED2-2EB·EDcos∠BED=22+(+1)2-2×2×(+1)×=6,(2)DE=6(+1)×=+1,在△BED129所以BD=,在△BED中,由正弦定理得sin∠BDE=

所以∠BDE=45°,所以塔AB位于D处的南偏东45°.所以BD=,在△BED中,由正弦定理得sin∠BDE130【类题·通】测量方向角求高度问题(1)基本思路方向角属于水平面的角度,而仰角属于铅垂面内的角,所以此类问题的图形通常是立体图形.解题的基本思路是把目标高度转化为三角形的边长,从而把空间问题转化为平面内解三角形问题.【类题·通】131(2)基本方法首先在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥,再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或几个三角形,从而求出高度.(2)基本方法132【习练·破】(2019·龙岩高二检测)如图,某景区欲在两山顶A,C之间建缆车,需要测量两山顶间的距离.已知山高AB=1km,CD=3km,在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°,山顶C的仰角为60°,∠AEC=150°,则两山顶A,C之间的距离为 (

)【习练·破】133A.2

km B.3

kmC.4

km D.3

kmA.2km B.3km134【解析】选A.AB=1,CD=3,∠AEB=30°,∠CED=60°,∠AEC=150°,所以AE=2AB=2,CE=【解析】选A.AB=1,CD=3,∠AEB=30°,∠CE135在△ACE中,由余弦定理得AC2=AE2+CE2-2×AE×CE×cos∠AEC=4+12-2×2×所以AC=2,即两山顶A,C之间的距离为2km.在△ACE中,由余弦定理得AC2=AE2+CE2-2×AE×136【加练·固】如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30米,并在点C测得塔顶A的仰角为60°,求塔高AB.

【加练·固】137人教A版高中数学必修同步解三角形优秀3课件138【解析】在△BCD中,∠CBD=180°-15°-30°=135°;由正弦定理得所以BC=在Rt△ABC中,AB=BCtan∠ACB=15tan60°=15(米).答:塔高AB为15米.【解析】在△BCD中,∠CBD=180°-15°-30°=1139类型三测量角度问题角度1角度问题【典例】如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的倾斜度为15°,向山顶前进100m到达B处,又测得C对于山坡的倾斜度为45°,若CD=50m,山坡对于地平面的坡度为θ,则cosθ等于 (

)类型三测量角度问题140人教A版高中数学必修同步解三角形优秀3课件141【思维·引】由题意可知△ADC可解,角θ与∠BDC有密切关系.【思维·引】由题意可知△ADC可解,角θ与∠BDC有密切关系142【解析】选C.在△ABC中,由正弦定理,即所以AC=100.在△ADC中,由正弦定理得

所以cosθ=sin(θ+90°)=【解析】选C.在△ABC中,由正弦定理,143角度2求航向的角度【典例】(2019·南通高一检测)如图,在海岸A处,发现南偏东45°方向距A为(2

-2)海里的B处有一艘走私船,在A处正北方向,距A为2

海里的C处的缉