五年级奥数专题05：带余数除法

/7…，依题意知设这串数为a1,a2,a3, a1992,…，依题意知a1=1a2=1+1a3=1+1+2a4=1+1+2+3a5=1+1+2+3+4a1992=1+1+2+3+•••+1991=1+9961991因为9965=199-1,19915=3981-1,所以9961991的积除以5余数为1,1+9961991除以5的余数是2.因此,这串数左起第1992个数除以5的余数是2.9因为222222=2111111=21111001=211171113所以222222能被13整除.又因为2000=6333+2222…2=222…200+22~~X~T--'2000个19982213=1…9所以要求的余数是9.52设小明应扔n次，根据高斯求和可求出所扔石子总数为1+2+3+•-+n=—n(n+1)2…… 1依题意知，2n(n+1)能被106整除，因此可设3n(n+1)=106a即n(n+1)=212a又212a=2253a,根据n与n+1为两个相邻的自然数，可知22a=52(或54).当22a=52时,a=13.1当22a=54时,a=132,a不是整数，不符合题意舍去.因此，n(n+1)=5253=52(52+1),n=52，所以小明扔52次.76假设十万位和万位上填入两位数为 x,末两位上填入的数为 y,(十位上允许是 0),那么这个七位数可以分成三个部分3007200+10000X+y,3007200除以101的余数是26,10000X除以101的余数为X,那么当x+y+26的和是101的倍数时，这个七位数也是101的倍数.如：当y=1时，x=74；当y=2时，x=73,……而当y=76时，x=100,而0x99,x不可能是100,所以y也不可能是76.由此可知末两位数字是76时，这个七位数不管十万位上和万位上的数字是几 ，都不是101的倍数.1设这个自然数为m,且m去除63,90,130所得的余数分别为 a,b,c,则63-a,90-b,130-c都是m的倍数.于是(63-a)+(90-b)+(130-c)=283-(a+b+c)=283-25=258也是m的倍数.又因为258=2343.则m可能是2或3或6或43(显然m1,86,129,258)，但是a+b+c=25，故a,b,c中至少有一个要大于8(否则,a,b,c都不大于8,就推出a+b+c不大于24,这与a+b+c=25矛盾).根据除数m必须大于余数，可以确定m=43.从而a=20,b=4,c=1.显然,1是三个余数中最小的.15我们把1至IJ30共30个自然数根据除以7所得余数不同情况分为七组 .例如，除以7余1的有1,8,15,22,29这五个数，除以7余2的有2,9,16,23,30五个数，除以7余3的有3,10,17,24四个数，…要使取出的数中任意两个不同的数的和都不是7的倍数，那么能被7整除的数只能取1个，取了除以7余1的数，就不能再取除以7余6的数；取了除以7余2的数，就不能再取除以 7余5的数；取了除以7余3的数，就不能再取除以7余4的数.为了使取出的个数最多，我们把除以7分别余1、余2、余3的数全部取出来连同 1个能被7整除的数，共有5+5+4+1=15(个)所以，最多能取出15个数.10.347根据使组成的符合条件的三位数，其最大三位数尽可能小的条件，可知它们百位上的数字应分别选用 3,2,1;个位上的数字应分别选用 7,8,9.又根据最小的三位数是 3的倍数，考虑在1。9中应填5,得159.则在307,20被3除余2,余1,选用4,6分别填入圆圈中得347,268均符合条件.这样,最大三位数是347,次大三位数是268,最小三位数是159..每次放回后，桌面上的纸片数都增加 6的倍数，总数一定是6的倍数加5.而1991=6331+5，所以是可能的..解法一由(1)式得:8与a相乘的积加上余数 7,为第二次商，即8a+7为第二次商，同样地，第二次商与8相乘的积加上余数1,为第一次商，即8(8a+7)+1为第一次商，第一次商与 8相乘的积加上余数 1,为所求的自然数，即8[8(8a+7)+1]+1为所求的自然数.同理，由(2)式得所求的自然数为17(2a17+15)+4由此得方程8[8(8a+7)+1]+1=17(2a 17+15)+48(64a+57)+1=17(34a+15)+4512a+457=578a+25966a=198a=3因此，所求自然数为512a+457=5123+457=1993解法二TOC\o"1-5"\h\z依题意可知所求的自然数有两种表示方法 ：⑴@⑦①①(8) a<8(2)2a15⑥⑦ 2a<17根据数的十进制与其他数的进制的互化关系 ，可知所求的自然数是⑴a83+782+181+1=512a+457(2)2a172+15171+4=578a+259由此得512a+457=578a+259

因此，所求的自然数为512a+457=5123+457=1993［注］解法一根据被除数=除数商+余数”的关系式，由最后的商逐步推回到原来的自然数，需要一定的逆向思考能力，解法二要求小选手熟悉数的十进制与其他数进制之间的互化 ^.每人都要把手中的钱用完，而且尽可能多买几本书，意即3元一本的简装书要尽量多买，4元一本的精装书要尽量少买甚至不买.我们分三种情况进行讨论：(1)当钱数被3整除时，精装书就可以不买；(2)当钱数被3除余1时,3k+1=3(k-1)+4,精装书只要买1本淇中k为大于2的自然数.(3)当钱数被3除余2时,3k+1=3(k-2)+8,精装书只要买2本淇中k为大于2的自然数.在10至50这41个自然数中，被3除余1和2的数均各有14个.所以全班一共买精装书14+142=42(本).因为73=343<1991<2401=74,不考虑余数，能用空瓶换三次汽水，由于每7个空瓶可换一瓶汽水，原有空瓶不一定能被7整除,那么第二次以后换时要考虑上一次的余数 ，最多能用空瓶换四次汽水.173)=1707.2825173)=1707.28251991(1+-—772如果买1707瓶汽水，17077=243-6可换243瓶汽水，(243+6)