突破2023年高考数学题型之2022年数学高考真题(全国通用)专题40圆锥曲线中的最值与范围问题(含详解)

专题40圆锥曲线中的最值与范围问题【高考真题】g］在线段AB（2022•浙江）如图，已知椭圆上+丁=1.设A,B是椭圆上异于P（0,1）的两点，且点g］在线段AB上，直线必融分别交直线y=-；x+3于C,。两点.⑴求点P到椭圆上点的距离的最大值;1.解析⑴设。（24cos。，sin。）是椭圆上任意一点，P（0,⑴求点P到椭圆上点的距离的最大值;1.解析⑴设。（24cos。，sin。）是椭圆上任意一点，P（0,1）,则IPQ|2=12cos20+(I-sin0)2=13-1Isin2g-2sin。=-11卜in6+(「144144+—4—,1111当且仅当sin8=-‘时取等号，故IPQI的最大值是吆叵1111⑵设直线AB:y=H+L直线A8方程与椭圆三+/2 12-=1联立,可得（标+4卜2+丘-1=0设4（、，》），8（巧,y2）,所以＜V.-1因为直线抬：丁=小一x+1与直线丫=则xc=为_ 4a*1X|+2»—2 (2*+1)X|—1ICD4+:=避_炉+_L123+—12同理可得=4工2x2+2y2-2(2k+l)x2—1'2(22+1)为-1(2女+1)勺-1=2>/5=2>/5 司一向 =2/5 的一应[(2k+ +l)x2-1] (2A+1):司工2_(24+1)(再+巧)+1当且仅当《=怖时取等号，故的最小值为述.（2022•全国甲理）设抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为F,点。（P，。），过尸的直线交C于M,N两点.当直线MC垂直于x轴时，\MF\=3.（1）求C的方程：（2）设直线MRND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MMAB的倾斜角分别为当a-力取得最大值时，求直线AB的方程.解析（1）抛物线的准线为x=-],当A/£）与x轴垂直时，点M的横坐标为p,此时|MF|=p+5=3,所以P=2,所以抛物线C的方程为丁=4x；（2）设N?f），A?，.》），d?'"，直线 =，犯+1,[x=my+1由｛2:可得y2-4my-4=0,A>0,y]y2=-4,[y=4xk= 4 _y3-y4-4由斜率公式可得视_党_,_川+力，，-际—其一%+%，4 4 4 4直线='二-y+2,代入抛物线方程可得y2-也二hy-8=O,A>0,y,y3=-8,所以*=2力，同理可得以=2%，4 _ 4kMN所以 --7―=^7~~7—7=~~z~丫3+丫42（y,+y2） 2又因为直线MMA8的倾斜角分别为a,夕，所以&AB=tan/=^=号■,若要使a-£最大，则/e（0,]）,tana-tan^_k1+tanatantana-tan^_k1+tanatanp\+2k2—+2k~k-设an=2%=2Q0,则tan(a")=V,当且仅当1=2%即2=①时，等号成立，所以当a一4最大时，kAB=显,k 2 2设直线A8:x=\/^y+”,代入抛物线方程可得丁-4夜y-4〃=0,A>0,y3y4=-4n=4yiy2=-16,所以n=4,所以直线48:1=①丫+4..最值问题的常用方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解..范围问题常用方法(1)利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的取值范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系，(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.(4)利用基本不等式求出参数的取值范围.(5)利用函数的值域求范围问题的关键是建立关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标变量的取值范围.在建立函数的过程中，要根据题目的其他已知条件把要求的量都用已知变量表示出来，同时要注意变量的取值范围.【题型突破】.(2020・新高考全国H)已知椭圆C：方用=l(a＞历＞0)过点M(2,3),点A为其左顶点，且AM的斜率为;.(1)求C的方程；(2)点N为椭圆上任意一点，求△4MN的面积的最大值..(2020•浙江)如图，已知椭圆Ci：^+^=1,抛物线Q：y=2pxS＞0),点4是椭圆G与抛物线C2的交点，过点A的直线/交椭圆G于点8,交抛物线C2于点M(8,M不同于A).(1)若。=专，求抛物线C2的焦点坐标：(2)若存在不过原点的直线I使M为线段A8的中点，求p的最大值..如图所示，点A,8分别是椭圆系+式=1长轴的左、右端点，点尸是椭圆的右焦点，点尸在椭圆上,人且位于x轴上方，PALPF.(1)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴A8上的一点，点M到直线4P的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值..(2021・全国乙)已知抛物线C：始=20)，0»0)的焦点为尸，且尸与圆M：3+0+4)2=1上点的距离的最小值为4.(1)求p的值；(2)若点P在M上，PA,P8是C的两条切线，A,8是切点，求△MB面积的最大值..已知抛物线G：尸=4》和C2：必=2叫(/»0)的焦点分别为Fi，F2,点「(-1,一1)且(。为坐标原点).(1)求抛物线C2的方程；(2)过点O的直线交Ci的下半部分于点M,交Ci的左半部分于点M求△PMN面积的最小值..在平面直角坐标系中，。为坐标原点，圆。交x轴于点Q,尸2,交y轴于点Bi，Bi，以S，员为顶点，R,22分别为左、右焦点的椭圆E恰好经过点(1,乎)(1)求椭圆E的标准方程：(2)设经过点(-2,0)的直线/与椭圆E交于M,N两点，求的面积的最大值..已知椭圆Ci：a+g=l(a>b>0)的焦距是2,点P为G上一动点，且满足P与点4(一a,0),A2(a,0)连线斜率之积为一；.(2)当点尸在x轴上方时，过P点作椭圆Ci的切线/交抛物线C2：/=丫于4,B两点，点P关于原点O的对称点为。求△QAB面积的最小值..椭圆c：*1■*im»>0)的离心率为半，短轴一个端点到右焦点的距离为小(1)求椭圆C的方程；(2)设斜率存在的直线/与椭圆C交于A,8两点，坐标原点。到直线/的距离为坐，求△AOB面积的最大值.9.已知椭圆的两个焦点为凡(一1,0),22(1,0)，且椭圆与直线y=x一5相切.(1)求椭圆的方程；(2)过Q作两条互相垂直的直线/i，12,与椭圆分别交于点P,。及M,N,求四边形PMQN面积的最小值..已知椭圆方程为，+苧=1,若抛物线(=2pyS>0)的焦点是椭圆的一个焦点.(1)求该抛物线的方程；(2)过抛物线焦点尸的直线/交抛物线于A,8两点，分别在点A,8处作抛物线的切线，两条切线交

于P点，则4FB的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时对应的直线/的方程；若不存在，请说明理由.SV2 ] L.设椭圆C：)+中=13>6>0)的左顶点为A，上顶点为8,已知直线AB的斜率为\AB\=y[5.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线/：x=my-l与椭圆C交于不同的两点M,N,且点。在以MN为直径的圆外(其中。为坐标原点)，求机的取值范围..(2019•全国U)已知Fi，B是椭圆C：，+==l®>6>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点.(1)若△POB为等边三角形，求C的离心率：(2)如果存在点P,使得PQLPB，且△F1PF2的面积等于16,求人的值和a的取值范围..在平面直角坐标系g中，设椭圆，+方=l(a»>0)的离心率是e,定义直线尸专为椭圆的“类准线”，已知椭圆C的“类准线”方程为丫=±4巾，长轴长为8.(1)求椭圆C的标准方程；(2)。为坐标原点，A为椭圆C的右顶点，直线/交椭圆C于E,尸两不同点(点E,/与点A不重合),且满足AELAF,若点P满足2/=无+5>,求直线AP的斜率的取值范围..已知椭圆C：捻+*=l(a>6>0)过点(0,<2),离心率为e=坐,记椭圆C的右焦点为凡过点尸且斜率为k的直线交椭圆于尸，。两点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M(出,0),求的的取值范围..已知椭圆C：点+1=136>0)的离心率6=坐，直线x+小厂1=0被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为、2.(1)求椭圆C的方程；(2)过点M(4,0)的直线/交椭圆于A,8两个不同的点，且求7的取值范围..如图，已知M(l,2)为抛物线C：V=2px(p>0)上一点，过点。(2,—2)的直线与抛物线C交于A,B两点(A,B两点异于M),记直线4M,8M的斜率分别为h,k2.⑴求⑴求%必的值;(2)记AAMD' 的面积分别为S，当力可1,2]时,艘的取值范围.17.已知椭圆E：](a>b>0),Ft17.已知椭圆E：](a>b>0),Ft，尸2为其左、右焦点，Bs，星为其上、下顶点，四边形F181F2B2的面积为2.(1)求椭圆E的长轴4A2的最小值，并确定此时椭圆E的方程;(2)对于(1)中确定的椭圆E,设过定点M(-2,0)的直线/与椭圆E相交于P,0两点，若而=7府力,当aeg，3时，求△OPQ的面积S的取值范围..已知A,B是x轴正半轴上两点(A在8的左侧)，且HB|=a(a>0),过A,B分别作x轴的垂线，与抛物线9二2〃*/?〉。)在第一象限分别交于£),C两点.(I)若。=p，点A与抛物线k=2px的焦点重合，求直线。。的斜率；(2)若O为坐标原点，记△OCQ的面积为S，梯形ABCZ)的面积为52，求普的取值范围.02.已知抛物线G：/=外过点(2,1),椭圆C2的两个焦点分别为F2,其中F2与抛物线G的焦点重合，过人且与长轴垂直的直线交椭圆C2于A,B两点,且|AB|=3.(1)求抛物线G与椭圆C2的方程；(2)若曲线G是以坐标原点为圆心，以|。川为半径的圆，动直线/与圆G相切，且与椭圆C2交于N两点，若△OMN的面积为S,求S的取值范围.y2 J.已知椭圆C：R+京=im>6>0)的左、右焦点分别为F1，尸2,离心率为P是椭圆C上的一个动点.当P是C的上顶点时，△FiPB的面积为小.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设斜率存在的直线P3与C的另一个交点为Q,是否存在点7V，0),使得|TP|=|7Q|?若存在，求出r的取值范围；若不存在，请说明理由.专题40圆锥曲线中的最值与范围问题【高考真题】g］在线段AB（2022•浙江）如图，已知椭圆上+丁=1.设A,B是椭圆上异于P（0,1）的两点，且点g］在线段AB上，直线必融分别交直线y=-；x+3于C,。两点.⑴求点P到椭圆上点的距离的最大值;1.解析⑴设。（24cos。，sin。）是椭圆上任意一点，P（0,⑴求点P到椭圆上点的距离的最大值;1.解析⑴设。（24cos。，sin。）是椭圆上任意一点，P（0,1）,则IPQ|2=12cos20+(I-sin0)2=13-1Isin2g-2sin。=-11卜in6+(「144144+—4—,1111当且仅当sin8=-‘时取等号，故IPQI的最大值是吆叵1111⑵设直线AB:y=H+L直线A8方程与椭圆三+/2 12-=1联立,可得（标+4卜2+丘-1=0设4（、，》），8（巧,y2）,所以＜V.-1因为直线抬：丁=小一x+1与直线丫=则xc=为_ 4a*1X|+2»—2 (2*+1)X|—1ICD4+:=避_炉+_L123+—12同理可得=4工2x2+2y2-2(2k+l)x2—1'2(22+1)为-1(2女+1)勺-1=2>/5=2>/5 司一向 =2/5 的一应 [(2k+ +l)x2-1] (2A+1):司工2_(24+1)(再+巧)+1当且仅当《=怖时取等号，故的最小值为述.（2022•全国甲理）设抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为F,点。（P，。），过尸的直线交C于M,N两点.当直线MC垂直于x轴时，\MF\=3.（1）求C的方程：（2）设直线MRND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MMAB的倾斜角分别为当a-力取得最大值时，求直线AB的方程.解析（1）抛物线的准线为x=-],当A/£）与x轴垂直时，点M的横坐标为p,此时|MF|=p+5=3,所以P=2,所以抛物线C的方程为丁=4x；（2）设N?f），A?，.》），d?'"，直线 =，犯+1,[x=my+1由｛2:可得y2-4my-4=0,A>0,y]y2=-4,[y=4xk= 4 _y3-y4-4由斜率公式可得视_党_,_川+力，，-际—其一%+%，4 4 4 4直线='二-y+2,代入抛物线方程可得y2-也二hy-8=O,A>0,y,y3=-8,所以*=2力，同理可得以=2%，4 _ 4kMN所以 --7―=^7~~7—7=~~z~丫3+丫42（y,+y2） 2又因为直线MMA8的倾斜角分别为a,夕，所以&AB=tan/=^=号■,若要使a-£最大，则/e（0,]）,tana-tan^_k1+tanatantana-tan^_k1+tanatanp\+2k2—+2k~k-设an=2%=2Q0,则tan(a")=V,当且仅当1=2%即2=①时，等号成立，所以当a一4最大时，kAB=显,k 2 2设直线A8:x=\/^y+”,代入抛物线方程可得丁-4夜y-4〃=0,A>0,y3y4=-4n=4yiy2=-16,所以n=4,所以直线48:1=①丫+4..最值问题的常用方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解..范围问题常用方法(1)利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的取值范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.(4)利用基本不等式求出参数的取值范围.(5)利用函数的值域求范围问题的关键是建立关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标变量的取值范围.在建立函数的过程中，要根据题目的其他已知条件把要求的量都用已知变量表示出来,同时要注意变量的取值范围.【题型突破】1.(2020.新高考全国H)已知椭圆C：a+1=1(。>">0)过点M(2,3),点A为其左顶点，且AM的斜率为;.(1)求C的方程；(2)点N为椭圆上任意一点，求△4MN的面积的最大值.1.解析⑴由题意可知直线AM的方程为y—3=/-2),即x-2y=-4.当y=0时，解得x=-4,所以〃=4.-2.y2由椭圆C：方=1(4>/>0)过点A/(2,3),4Q可得读+>=1,解得〃=12.所以C的方程为立+W=1.io12(2)设与直线AM平行的直线方程为如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N,此时△4"代的面积取得最大值.

x—2y=m9联立＜x2 可得3（m+2y）2+4）N=48,化简可得16尸+12,〃y+3m48=0,'元+五=L所以4=14462-4X16(3m2-48)=0,即标=64,解得m=±8,与AM距离比较远的直线方程为x-2y=8,点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，即4=卑±=¥71+4 ,由两点之间的距离公式可得=#(2+4)2+32=34.所以△AMN的面积的最大值为《X3小X今后=18.2.(2020•浙江)如图，已知椭圆Ci：5+尸=1,抛物线C2：V=2px(p>0),点A是椭圆Ci与抛物线C22.的交点，过点A的直线/交椭圆G于点交抛物线Cz于点M(8,M不同于A).(1)若(1)若P=点，求抛物线C1的焦点坐标;(2)若存在不过原点的直线1使M为线段AB的中点，求p的最大值.2.解析⑴由?=强，得抛物线C2的焦点坐标是战0).2.⑵由题意可设直线/：x=my+t(m^O,#0),点&无()，yo).将直线/的方程代入椭圆G：、+)2=1,得(M+Zy+Z/n/y+z2—2=0,2P（加+2）所以点”的纵坐标加2P（加+2）将直线/的方程代入抛物线C2：y2=2px,得y2—2Pmy—2p/=0,所以冲m=-2pr,解得yo=3.因此x0=2P3.因此x0=2P（加+2）22'由与+货=1，得也=4(加+篇+21m.，"+看)>160,当且仅当„1=,，时，P取到最大值1法.如图所示，点A,8分别是椭联+i1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上,且位于x轴上方，PAA.PF.(1)求点(1)求点P的坐标;(2)设M是椭圆长轴A8上的一点，点M到直线4P的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.

3.解析(1)由已知可得点4(-6,0),尸(4,0),设点。的坐标是(x,y),则崩=(x+6,y),FP=(x—4,y),VM±PF,：.APFP=09则＜.(x+6)(x—4)+32=0,3可得Z^+Qx—18=0,得或x=-6.由于y>0,故x=1,于是y=^2-.•.点P的坐标是(I,鸣.(2)由(1)可得直线AP的方程是x—小y+6=0,点3(6,0).设点M的坐标是(见0),则点M到直线AP的距离是也去生，于是应"色=|"7-6|,又一解得,〃=2.由椭圆上的点(x,y)到点町的距离为d,得if=(x—2)2+y2=jr2—4x+4+20—^x2=^a—^2+15,由于一6<xM6,由寅x)=[(x-3?+15的图象可知，当x=亍时，d取最小值，且最小值为4.(2021•全国乙)已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为尸，且尸与圆M：9+。+4)2=1上点的距离的最小值为4.(1)求p的值；(2)若点P在M上，PA,P8是C的两条切线，A,8是切点，求△用B面积的最大值.4.解析(1)由题意知M(0,-4),F(0,亨)，圆M的半径r=l,所以|MFl-r=4,即，+4-1=4,解得p=2.(2)由⑴知,抛物线方程为/=4y,由题意可知直线A8的斜率存在，设A(x”f),B(X2,苧)，直线A8的方程为y=fcr+b,y=kx~\~b,联立得、 消去y得/-4履一4b=0,lf=4y,则4=16F+16b>0(※bxi+m=4A,mx2=-4"所以|A8|=W+N|xi—X2|=-\/l+A2-7(xi+%2)2—4xiX2=4y]1+F••公+b・因为r=4y,即y=],所以y'=1,则抛物线在点A处的切线斜率为5，

在点A处的切线方程为y一j=翔一xi),即y=上一烹同理得抛物线在点8处的切线方程为、=小一苧，即尸(2怎-b).因为点F在圆M上，所以软2+(4—6)2=1①,且一1W2七1,一1%一月1,.,.一圣丛3<h<5,满足你)式.设点P设点P到直线A8的距离为d,则4=I2R+2臼S+女2所以S△附(F+b)3.曰小1一(4—b)2—〃+8〃—15由①得，证= 4 = 4 ，令，=K+b,则t=~~—,且3务5.一乂+12b—15因为，= 4 在［3,5］上单调递增，所以当6=5时，，取得最大值，/max=5,此时上=0,所以△PAB面积的最大值为2M.5.己知抛物线Ci：炉=4》和C2：r=2内S>0)的焦点分别为Q,F2,点P(—1,一1)且FiBLORO为坐标原点).(1)求抛物线C2的方程；(2)过点。的直线交G的下半部分于点M,交C2的左半部分于点M求面积的最小值.5.解析⑴；「i(i,o),《0, ...能=(一1,£),f7sop=(-i,0(-1,-1)=1-^=0,；.p=2,.•.抛物线C2的方程为/=4'(2)设过点O的直线的方程为y=Jb级<0),\y2=4x, ,44、联立1 得(Ax)』4x,解得M(良，7,y=kx,/=4y,联立｛ '>得M4%,4&2),y=kx9从而\MN]=yJ\+k2 4d=\l+炉隹_4«)>点尸到直线MN的距离d=J1+1,,诉”c1诉”c1UI所以S"一£不及2(1一左)(1一公)

k232=2-),令I+*W-2).则SAPMAT=2(r-2)(/+l),...△BMN的面积为...△BMN的面积为S=^\MN\-d=3^*2(2—4尸)V(1+2公产.t—1令1+2F-GfG[l,2),得公一2.3个^^=37^^=3、当H即俘GU，2))时，s有最大值，；.AF?MN的面积的最大值是平.7.已知椭圆Ci：，+g=l(a>b>0)的焦距是2,/-i+H=3a/-2Q-1)2+8-Snm—此时人一9^.点P为C1上一动点，且满足P与点4(-4,0),A2(a,当，=-2,即女=一1时，Sapmn取得最小值，最小值为&即当过原点的直线方程为y=-x时，△HWN的面积取得最小值8.6.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，圆。交x轴于点F”/2,交y轴于点以，Bi,以S，员为顶点,Fi，尸2分别为左、右焦点的椭圆E恰好经过点(1,阴.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设经过点(-2,0)的直线/与椭圆E交于M,N两点，求△F?MN的面积的最大值.6.解析(1)由题意得椭圆E的焦点在x轴上.设椭圆E的标准方程为，+乐=13>6>0),焦距为2c,则b=c,.••岸=炉+/=2炉，.•.椭圆E的标准方程为最+£=1.•••椭圆E经过点(1,乎)，.•巧今+忘=1,解得〃=1.二椭圆E的标准方程为5+^=1.(2):•点(-2,0)在椭圆E外，.•.直线/的斜率存在.设直线/的斜率为&,则直线/：y=k(x+2).设Mgyi).Ng,次).。=十+2),由<炉.消去y,得(1+2d)/+8产工+8k2—2=0.[尹严1,—8^2 81c—2 1...xi+x2=,_lc,,，xik,」,，,/=643—4(1+2公)(8尸-2)>0,解得OWKv;.I十2人” 1十2Ar Z 2—4k2-\MN\=yjl+k2\x\—xi\=2\]l+k、J.+？支产二•点&(1,0)到直线/的距离d=丁内六,

0)连线斜率之积为一去⑴0)连线斜率之积为一去⑴求椭圆G的方程:(2)当点P在x轴上方时，过P点作椭圆Ci的切线/交抛物线C2：炉=、于4,8两点，点P关于原点O的对称点为Q.求△QAB面积的最小值..解析⑴设尸(刈，yo)(x#a),则七.内=丁位3=-1，即可+挈=1,二2拄=-

J xo-raxo-axo~az2a-a-且c=l,，a2=2,〃=1,即椭圆Cl的方程为5+^=1.(2)设切线/的方程为y=U+m,A(xi,yi),8(m,”),产+六1,由，2, 得(2炉+1)^+44加%+2加2=0,j=Ax+〃i,又/=16Bn2-4(2〃2+1)(2/-2)=0,得m2=2l^+\.y=jf2,再由〃 得x2一独一m=0,y=kx+m.4=d+4/〃>0,即加2+8/〃-1>0,即m>—4+，T7或/〃V—4一巾》由题知"?>0,且评之1,.•.mNl,/8|=卜1+3比—xz\—yl1+lcsS...sS...当|AB|最大时，△AOS的面积取得最大值5=2*|4阴3,*与二=苧.9.已知椭圆的两个焦点为人(-1,0),F2(l,0),且椭圆与直线y=x一小相切.(1)求椭圆的方程；(2)过Q作两条互相垂直的直线小12,与椭圆分别交于点P,。及M,N,求四边形PMQN面积的最小值.9.解析(1)设椭圆方程为，+g=l(a>b>0),因为它与直线y=x—\/5只有一个公共点，《+j所以方程组J标方'只有一组解，y=X-y[i消去y,整理得((？+6)/—2，5标；|：+3。2—。2〃=0.所以4=(—2，5a2)2—4(“2+方!)(3。2_02〃)=0,化简得苏+加=3.又焦点为尸1(-1,0),F2(l,o),所以"2—〃=1,联立上式解得"2=2,6=1.所以椭圆的方程为5+^=1.点O点O到直线A8的距离d=+口•・•点。为点P关于原点的对称点.Saabq=2Smbo=\AB\d=\m^\[^+4m= 丝土等__1.ifj-+8/77-1显然函数y(w)=|w|A/ 2 (mNl)为增函数，,Saab齿/(1)=2..椭圆C：捻+*=1(°期＞0)的离心率为坐短轴一个端点到右焦点的距离为小(1)求椭圆C的方程；(2)设斜率存在的直线/与椭圆C交于A,B两点,坐标原点O到直线/的距离球，求△AOB面积的最大值.cy]6.解析(1)设椭圆的半焦距为c,依题意知，3'・"=小,b=l,・,•所求椭圆方程为1+炉=1.(2)设A(xi,yi),B(X2,J2).设直线A8的方程为y=fcr+m.由已知借二乎’得加=孤中)・把丫=丘十/〃代入椭圆方程，整理，得(3fc2+l)x2+6hnx+3m2—3=0./=36乃加一4(3攵2+1)(3"於-3)=360一\2m2+12X).・I—6km3(m2-1).,.X|+x2=3Q+],x“2=3d+i•..|AB|-=(1+")(M—xi)-=(1+K)[(3标+]广-3.+112(K+1)(31+1—加)3(公+1)(91+1)(3/+l)2 =(3/+l)2 = (33+1>1222 12 12=3+9/+6/+l=3+ ] ("W0)W3+2X3+6=4・9乃+1+6当且仅当9K=J,即时等号成立.K," J当A=0时，|4用=小，综上所述HB|max=2.(2)若直线PQ的斜率不存在(或为0),若直线P。的斜率存在，设为依IW0),则直线MN的斜率为一;.K所以直线PQ的方程为y=kx+h设P(xi,yi),。(及,”),彳+.=1，联立方程得J2'.y=kx~\-k,则X|+X2=2^-22k2+1'则X|+X2=2^-22k2+1'*武2=2%2+］，所以|PQI=、I所以|PQI=、I+尸kLX2|=21c+\443+至+1。Q_］ 、24F+&+10、（1+R）［l6V—4（2F—2）（2产+I）］R+l同理可得|“可=2gX注记.斫以S 闿卜明川 底+厅 -+2d+l （ 32所以SH逑彩PMQN- 2 _4XQ+的（2产+1）―4X23+5公+2_4X ：Z.K"ijK-i乙,4X（/一而不元m）=4X24^+4+10-因为4R+'+1022\^44卷+10=18（当且仅当3=1时取等号），综上所述，四边形PWQN面积的最小值为瓦.10.己知椭圆方程若+Y=1,若抛物线/=2处3>0)的焦点是椭圆的一个焦点.(1)求该抛物线的方程；(2)过抛物线焦点尸的直线/交抛物线于A,8两点，分别在点A,8处作抛物线的切线，两条切线交于P点，则△FB的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时对应的直线/的方程；若不存在，请说明理由.10.解析(1)由椭圆;+，=1,知标=4,b2=3.Ac=y/a2—b2=-\/4—3=1.

又抛物线r=240>0)的焦点是椭圆的一个焦点..*•2=1•则P=2.于是抛物线的方程为x2=4.v.(2)由抛物线方程r=4y知，尸(0,1).易知直线/的斜率存在，则设直线/的方程为y=H+l.丫=区+1由，'消去y并整理，得/一4h一4=0.且/=(-4%)2—4(—4)=16d+16>0.设Agyi),8a2,”)，则xi+.t2=4k,即—=—4.对y=?求导，得尸本；•直线”的斜率公户去则直线A尸的方程为y—yi=y(.r—xi),即y=yr—同理得直线8P的方程为{XI+x2…M=-5-=2k,即尸(2七-1)._四_

泄_4__匕\AB\=yj1+^|xi—xal=\1+F寸(X|+x2)2—4x\X2=.1+/7(软)2+16=4(1+3)，点P到直线A8的距离4=峪¥=2行至，1 , 2所以的面积S=]x4(1+d)x241+公=4(1+卜524,当且仅当k=0时等号成立.故△以B面积的最小值为4,此时直线/的方程为y=l.11.设椭圆C：a+京=l(a>b>0)的左顶点为4,上顶点为B,已知直线AB的斜率为g,|AB|=小.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线/：》=冲一1与椭圆C交于不同的两点M,N,且点。在以为直径的圆外(其中。为坐标原点)，求机的取值范围.II.解析(1)由已知得A(-a,0),8(0,b),修，可得〃=4,拄=1,lyja2+b1=y[5,则椭圆C的方程为z+y2=l.(2)设Mgyi),Mm，”),x=my—1,由<x2、 得(加+4)/一2/ny—3=0.〔彳+尸1,4=(2⑼2+12(4+加)=16/+48>0,,2m 一3”+，2=衣,，冲衣,由题意得NMQV为锐角，即痂•赤>0,:.OMON=x\xi-^y\yi>Q,又x\xi=(tny\—1)(my2-1)=62yly2一加3+”)+1.-3 2m2 1-4/n~•'•xix2+yiy2=(l+w2)yiy2-/n(.vi+y2)+1=(1+加),+病一彳+而+>=4+mi>0>,”2《，解得一品”制.二，"的取值范围为(一；，1).12.(2019•全国H)已知Q,B是椭圆C：去+/=13>6>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点.(1)若△POB为等边三角形，求C的离心率：(2)如果存在点P,使得PQLF/Z且△QPB的面积等于16,求b的值和。的取值范围.12.解析(1)连接PQ(图略).由△尸。尸2为等边三角形可知，在△QPB中，ZFiPF2=90°,|PB|=c,|PQ尸小c,于是勿=|PQ|+|PB|=(W+l)c,故C的离心率为e=彳=木—I.(2)由题意可知，若满足条件的点P(x,y)存在，则由升2c=16,iU(.=T'即出|=16,①，x2+y2=c2,②，又5+*=1.③由②③及a2=b1+c2得尸=7.又由①知y=号，故占=4.由②③及标=加+/得x2=^-h2)t所以从而足=〃+/22加=32,故当b=4,正时，存在满足条件的点P.所以。=4,〃的取值范围为［4、「，+°°).

13.在平面直角坐标系xOy中，设椭圆5+力=1(。》＞0)的离心率是e,定义直线产专为椭圆的“类准线”，已知椭圆C的“类准线”方程为y=±45，长轴长为8.(1)求椭圆C的标准方程；(2)0为坐标原点，A为椭圆C的右顶点，直线/交椭圆C于E,尸两不同点(点E,尸与点A不重合),且满足若点P满足2舁=无+5＞,求直线AP的斜率的取值范围.13.解析(1)由题意得/=§=4小，勿=8,。2=抉+/,联立以上3个式子，可得标=16,6=12,Q=4.所以椭圆C的标准方程为Io12(2)由(1)得A(4,0).易知直线/不与x轴平行.当直线轴时，不妨设点E在点F上方.因为AE_LAF,所以直线,AE的倾斜角为135。，所以直线4E的方程为y=-x+4.y=x+4,4.由彳x2y2得—32x+16=0,解得工=弓或x=4(舍去)，[讳+E 74所以XE=XF=1X£,疗分别为点E,F的横坐标).由2办=9+办得呜，0),直线4尸的斜率为0.当直线/不垂直于x轴时，设E(xi,yi),F(X2,y2),直线/： —4A,后0).y=kx+t9由v2_消去y并整理，得(3+4炉濡+弘〃+4产-48=0..正+12=1则/=（8h）2—4（3+4尸）（4产-48）＞0,即16炉一1+12X）,（*）X\+X28公 4及一48X\+X23+4汽'XlX2=3+4le'所以AtA^"=（xi—4＞（及-4）+9*=（制一4＞（及-4）+（履|+。（筋2+。=（1=（1+22）X[X2+（七一4）（即+也）+16+1=7户+32灯+16公=0,即7户+32%/+16r=0,即7户+32%/+16r=0,所以(7/+软)"+4女)=0,解得/=一亍•且，满足(*)式.所以2办=降+群=。|+及，川+丫2)=(一1粉5,3：：J，所以4公 313+4R'3+4则直线AP的斜率kAP则直线AP的斜率kAP3t3+4产4kt3+4公—43r_k16炉+4/+12=8公+77,品+工当A<0时，8%+£—2\Jsk^=-4>/14,此时一当A<0时，8%+£当QO时，8k+，N2、18k此时0＜公/^^.KNK DO综上可得，直线AP的斜率的取值范围为一噤，噤］..已知椭圆C：，+苴=1（。＞6＞0）过点（0,啦），离心率为e=当,记椭圆C的右焦点为凡过点尸且斜率为人的直线交椭圆于P,Q两点.（1）求椭圆C的标准方程;%=小，（2）若线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M（xo,O）,求沏的取值范围.14.解析（1）由题意可知＜«=5=坐，＜a2=h2+c2f产=6,解得卜=2,［（2=4.故椭圆C的标准方程为看+*=1.(2)依题意，尸(2,0),直线PQ的方程为y=&(x-2),■—+"-=|联立方程组J62消去y并整理得(3公+1)始一12aH~12公-6=0,y=k(x—2).4=(一12炉)2—4(123—6)(3。+1)=24(二+1)>0,12A2 —44设P（xi,y。、0（X2,、2）,故即+"2=3、不j，力+'2=攵（汨+12）—4攵=§m，设PQ的中点为N,则6炉 -2k设PQ的中点为N,则6炉 -2k\3R+1'3k2+1/，因为线段尸。的垂直平分线与戈轴交于点M（x（）,0）,①当左=0时，那么即=0；_2k3公+］②当厚0时，kMN，k=I»即一6〃2 注=—।，解得x（）=3一+1-3*+「3+BKT, 一1 4 4 (4s因为22>o,所以3+1>3,0< 即沏£(0,§k23+表综上，X0的取值范围为［0,5}.已知椭圆C：*+1=1(4>">0)的离心率6=坐，直线x+小y-1=0被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为、(1)求椭圆c的方程：(2)过点仞(4,0)的直线/交椭圆于A,8两个不同的点，且求2的取值范围..解析(1)因为原点到直线x+巾y-1=0的距离为接所以©2+(当下=炉俗>0),解得6=1.又/吟=—W，得a=2.所以椭圆C的方程为，+炉=1.(2)当直线/的斜率为。时，%=“M,|M8|=12.当直线/的斜率不为。时，设直线/：x=my+4,A(Xl,yi),8(X2,”)，x=/ny+4,联立方程,x2. 得(川2+4))2+86/+12=0.［了+户1,由zl=64m2-48(/n2+4)>0,得m2>12,12所以看， “十44=眼川也8|=#加+1伙1|7加+1间=(加+1)如刈=，；二”=12(1-“/J.3 3 39由切2>12,得。(切2+4<正，所以彳4<12.故力的取值范围是(苧，12..如图，已知M(l,2)为抛物线C：产=2川5>0)上一点，过点。(2,—2)的直线与抛物线C交于A,B两点(A,8两点异于M),记直线AM,8M的斜率分别为A：i，他.16.解析(1)将点M(l,2)代入抛物线C:V=2px得p=2,所以抛物线C的方程为炉=4厂设直线AB的方程为x=<v+2)+2,代入抛物线C的方程，消去x得)?一46)，一8〃7—8=0.设点A(xi,yi),8(x2,yz),则yi+y2=4m,y\y2=—(8/n+8),,,_2力一2_.vi_2力-2_ 16 = 16 =_12xi—Im—1城_；近_1 (yi+2)(m+2)yi”+2(yi+”)+4 '4-14-1所以上次2=—4.4(2)由(1)知公=市]£"，2],所以川+2仁[2,4].q,_4 4 4_2”+2，y+2y2+2 '所以曾=第二叶9=('"”2)一6[1，4].17.已知椭圆氏V+5=l(a>6>0)，R,B为其左、右焦点，Bi，&为其上、下顶点，四边形QB1F2B2的面积为2.(1)求椭圆E的长轴4A2的最小值，并确定此时椭圆E的方程；(2)对于(1)中确定的椭圆£,设过定点M(—2,0)的直线/与椭圆E相交于P,Q两点，若流=刀1位,当时，求△OPQ的面积S的取值范围.17.解析(1)依题意四边形F181F2B2的面积为2bc,，26c=2,■:\AtA2\=2a=2帜=必后应=2小,当且仅当，=c=l时等号成立，此时。=,，，长轴4A2的最小值为2也，此时椭圆E的方程为]+炉=1.x=ty-2,(2)依题意，可设直线/：X="一2,联立得, 得(产+2)«—4"+2=0,由/>0,得户>2.[尹=1,设尸(即，yi),(2(X2,J2)»卜+”=走，由根与系数的关系得1 ? 由称=1M0,得乃=勾明吠=沟工.

4/(1+A) ①2A+v+2=-X'货=产+2,②尸+2'A+v+2=-X(J竽),・.・y=>l+B+2在人£（；,上单调(J竽),*磊音与<於<4,满足/>0.। 2\l2\li2——2△OPQ的面积S=Sao”0—5ao“尸引0MM—丫2|=卜1一丫2|=4(yi+y2)2—4yiy>= -设m=y[p--2,则m£，_i_r .」设m=y[p--2,则m£/一m-+2,..S—加+4— 4-〃，十一

m上单调递减,4•.•上单调递减,4•.•》=加+一在〃/£/m；.S关于m单调递增，.'.△OP。的面积SG18.已知A,8是x轴正半轴上两点（A在B的左侧），且H8|=a（a>0）,过4,8分别作x轴的垂线,与抛物线产=2*5>0）在第一象限分别交于D,C两点.（1）若。=0，点A与抛物线炉=2px的焦点重合，求直线CD的斜率;（2）若。为坐标原点，记△OCQ的面积为S,梯形4BCD的面积为52,求3的取值范围.O218.解析18.解析（1）由题