《几何证明举例》课件-(公开课获奖)2022年青岛版2-

第五章几何证明初步几何证明举例（2）第五章几何证明初步几何证明举例（2）1一、预习诊断1.等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm,则它的周长是

；2.等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,则它的周长是

。3.等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为_______。等腰三角形一个角为80°，它的另外两个角是

一、预习诊断1.等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm21.进一步掌握证明的基本步骤和书写格式。2.能用“公理”和“已经证明的定理”为依据，证明等腰三角形的性质定理和判定定理。教学目标教学目标3回顾与思考1.什么叫等腰三角形？2.根据本册第二章的学习你知道等腰三角形的哪些性质？3.这些性质你是怎样得到的？这些性质都是真命题吗？你能用逻辑推理的方法对它们进行证明吗？回顾与思考1.什么叫等腰三角形？4二、精讲点拨证明性质定理1：等腰三角形的两个底角相等

（简称：等边对等角）已知：如图,在△ABC中,AB=AC.求证：∠B=∠C分析：常见辅助线做法（1）作底边上的高（2）作顶角的平分线（3）作底边上的中线通过添加辅助线把三角形ABC分成两个全等的三角形，只要证得被分成的两个三角形全等即可得∠B=∠CABCD二、精讲点拨证明性质定理1：等腰三角形的两个底角相等ABCD5CBA等腰三角形的性质定理1:等腰三角形的两个底角相等。在△ABC中，∵AC=AB（已知）∴∠B=∠C（等边对等角）

通过证明我们发现:等腰三角形的两个底角相等是真命题。可以作为证明其他命题的依据。符号表示：CBA等腰三角形的性质定理1:等腰三角形的两个底角相等。在△6交流与发现

根据以上证明，我们还可以得到结论：等腰三角形底边上的高平分底边并且平分顶角。即得到∠BAD=∠CAD与BD=CD，于是得

性质定理2：

等腰三角形的顶角平分线﹑底边上的中线﹑底上的高互相重合(简称“三线合一”).交流与发现根据以上证明，我们还可以得到结论：等腰三角形底7ACBDACBD∥∥⑵∵AB=AC,图⑵图⑶∟12∥ACBD12性质定理2符号语言的应用∟⑴∵AB=AC,∴AD⊥BC,BD=CD.∠1=∠2,∴AD⊥BCBD=CD,∠1=∠2.⑶∵AB=AC,AD⊥BC∴BD=CD,∠1=∠2.图⑴∟∥12ACBDACBD∥∥⑵∵AB=AC,图⑵图⑶∟12∥ACBD8交流与发现你能写出“性质定理1：等腰三角形的两个底角等”的逆命题吗？如何证明这个逆命题是正确的？如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（简称等角对等边）已知：如图,在△ABC中,∠B=∠C.求证：AB=AC分析：是不是仍然可以做辅助线将原三角形分成两个全等的三角形呢?试试看。ABCD交流与发现你能写出“性质定理1：等腰三角形的两个底角等”的逆9等腰三角形的判定定理:如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（简称等角对等边）CBA符号表示：在△ABC中，∵∠B=∠C（已知）∴AC=AB（等角对等边）

等腰三角形的判定定理:如果一个三角形的两个角相等，那么这两个10利用等腰三角形的性质定理和判定定理证明：学以致用1、等边三角形的每个内角都是60°2、三个角都相等的三角形是等边三角形。利用等腰三角形的性质定理和判定定理证明：学以致用1、等边三角11如果一个三角形的每个内角都等于600

，那么这个三角形是等边三角形。

2.当等腰三角形的顶角是600时这个逆命题是真命题1.当等腰三角形的一个底角等于600角时

思考：“等边三角形的每个内角都等于600”的逆命题是什么？这个逆命题是真命题吗？有一个角是600的等腰三角形是等边三角形吗？交流与发现如果一个三角形的每个内角都等于600，那么这个三角形是等边12例2：已知：在△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，DE⊥BC，交BC于点E，交CA的延长线于点F。求证：AD=AF分析：从已知出发先由已知AB=AC利用“等边对等角”推得∠B=∠C，再由等角的余角相等推得∠BDE=∠F,进而得到∠ADF=∠F,最后根据“等角对等边”推出AD=AF例2：已知：在△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，DE13练一练1.已知，如图D是⊿ABC内的一点，且DB=DC，BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,求证：AB=ACCBAD练一练1.已知，如图D是⊿ABC内的一点，且DB=DC，BD14应用练习2.在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC．3.如图，△ABC是等边三角形，

BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE．（1）∠E等于多少度？（2）△DBE是什么三角形？为什么？应用练习2.在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交3.15三、系统总结

1.等腰三角形的判定方法有下列两种：①定义，②判定定理

2.等腰三角形的判定定理与性质定理的区别条件和结论刚好相反

3.运用等腰三角形的判定定理时，应注意

在同一个三角形中

三、系统总结1.等腰三角形的判定方法有下列两种：16确定二次函数的表达式确定二次函数的表达式17学习目标1、会利用待定系数法求二次函数的表达式；（重点）2、能根据已知条件，设出相应的二次函数的表达式的形式，较简便的求出二次函数表达式。（难点）学习目标1、会利用待定系数法求二次函数的表达式；（重点）18课前复习思考二次函数有哪几种表达式？

一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)

顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)

交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)

课前复习思考二次函数有哪几种表达式？一般式：y=a19例题选讲解：所以，设所求的二次函数为y=a(x＋1)2-6由条件得：点(2,3)在抛物线上，代入上式，得3=a（2+1）2-6,得a=1所以，这个抛物线表达式为y=(x＋1)2-6即：y=x2+2x－5例1例题封面因为二次函数图像的顶点坐标是（－1，－6），已知抛物线的顶点为（－1，－6），与轴交点为（2，3）求抛物线的表达式？例题选讲解：所以，设所求的二次函数为y=a(x＋1)20例题选讲解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c将A、B、C三点坐标代入得：a-b+c=616a+4b+c=69a+3b+c=2解得：所以：这个二次函数表达式为：a=1,b=-3,c=2y=x2-3x+2已知点A（－1,6）、B（2,3）和C（2,7），求经过这三点的二次函数表达式。oxy例2例题封面例题选讲解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c将21例题选讲解：所以设所求的二次函数为y=a(x＋1)(x－1）由条件得：已知抛物线与X轴交于A（－1，0），B（1,0）并经过点M（0,1），求抛物线的表达式？yox点M(0,1)在抛物线上所以：a(0+1)(0-1)=1得：

a=-1故所求的抛物线表达式为y=-(x＋1)(x-1)即：y=－x2+1例题例3封面因为函数过A（－1，0），B（1,0）两点

：例题选讲解：所以设所求的二次函数为y=a(x＋1)(x22小组探究1、已知二次函数对称轴为x=2，且过（3，2）、（-1,10）两点，求二次函数的表达式。2、已知二次函数极值为2，且过（3，1）、（-1,1）两点，求二次函数的表达式。解：设y=a(x-2)2-k解：设y=a(x-h)2+2小组探究1、已知二次函数对称轴为x=2，且过（3，2）、（-23例题选讲有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里(如图所示)，求抛物线的表达式．例4设抛物线的表达式为y=ax2＋bx＋c，解：根据题意可知抛物线经过(0，0)，(20，16)和(40，0)三点可得方程组通过利用给定的条件列出a、b、c的三元一次方程组，求出a、b、c的值，从而确定函数的解析式．过程较繁杂，评价封面练习例题选讲有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度例24例题选讲有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里(如图所示)，求抛物线的表达式．例4设抛物线为y=a(x-20)2＋16解：根据题意可知∵点(0，0)在抛物线上，通过利用条件中的顶点和过原点选用顶点式求解，方法比较灵活评价∴所求抛物线表达式为封面练习例题选讲有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度例25用待定系数法求函数表达式的一般步骤:1、设出适合的函数表达式；2、把已知条件代入函数表达式中，得到关于待定系数的方程或方程组；3、解方程（组）求出待定系数的值；4、写出一般表达式。用待定系数法求函数表达式的一般步骤:1、设出适合的函数26课堂小结求二次函数表达式的一般方法：已知图象上三点或三对的对应值，通常选择一般式已知图象的顶点坐标、对称轴或和最值通常选择顶点式已知图象与x轴的两个交点的横x1、x2，通常选择交点式。yxo封面确定二次函数的表达式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式。课堂小结求二次函数表达式的一般方法：已知图象上三点或27第五章几何证明初步几何证明举例（2）第五章几何证明初步几何证明举例（2）28一、预习诊断1.等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm,则它的周长是

；2.等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,则它的周长是

。3.等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为_______。等腰三角形一个角为80°，它的另外两个角是

一、预习诊断1.等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm291.进一步掌握证明的基本步骤和书写格式。2.能用“公理”和“已经证明的定理”为依据，证明等腰三角形的性质定理和判定定理。教学目标教学目标30回顾与思考1.什么叫等腰三角形？2.根据本册第二章的学习你知道等腰三角形的哪些性质？3.这些性质你是怎样得到的？这些性质都是真命题吗？你能用逻辑推理的方法对它们进行证明吗？回顾与思考1.什么叫等腰三角形？31二、精讲点拨证明性质定理1：等腰三角形的两个底角相等

（简称：等边对等角）已知：如图,在△ABC中,AB=AC.求证：∠B=∠C分析：常见辅助线做法（1）作底边上的高（2）作顶角的平分线（3）作底边上的中线通过添加辅助线把三角形ABC分成两个全等的三角形，只要证得被分成的两个三角形全等即可得∠B=∠CABCD二、精讲点拨证明性质定理1：等腰三角形的两个底角相等ABCD32CBA等腰三角形的性质定理1:等腰三角形的两个底角相等。在△ABC中，∵AC=AB（已知）∴∠B=∠C（等边对等角）

通过证明我们发现:等腰三角形的两个底角相等是真命题。可以作为证明其他命题的依据。符号表示：CBA等腰三角形的性质定理1:等腰三角形的两个底角相等。在△33交流与发现

根据以上证明，我们还可以得到结论：等腰三角形底边上的高平分底边并且平分顶角。即得到∠BAD=∠CAD与BD=CD，于是得

性质定理2：

等腰三角形的顶角平分线﹑底边上的中线﹑底上的高互相重合(简称“三线合一”).交流与发现根据以上证明，我们还可以得到结论：等腰三角形底34ACBDACBD∥∥⑵∵AB=AC,图⑵图⑶∟12∥ACBD12性质定理2符号语言的应用∟⑴∵AB=AC,∴AD⊥BC,BD=CD.∠1=∠2,∴AD⊥BCBD=CD,∠1=∠2.⑶∵AB=AC,AD⊥BC∴BD=CD,∠1=∠2.图⑴∟∥12ACBDACBD∥∥⑵∵AB=AC,图⑵图⑶∟12∥ACBD35交流与发现你能写出“性质定理1：等腰三角形的两个底角等”的逆命题吗？如何证明这个逆命题是正确的？如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（简称等角对等边）已知：如图,在△ABC中,∠B=∠C.求证：AB=AC分析：是不是仍然可以做辅助线将原三角形分成两个全等的三角形呢?试试看。ABCD交流与发现你能写出“性质定理1：等腰三角形的两个底角等”的逆36等腰三角形的判定定理:如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（简称等角对等边）CBA符号表示：在△ABC中，∵∠B=∠C（已知）∴AC=AB（等角对等边）

等腰三角形的判定定理:如果一个三角形的两个角相等，那么这两个37利用等腰三角形的性质定理和判定定理证明：学以致用1、等边三角形的每个内角都是60°2、三个角都相等的三角形是等边三角形。利用等腰三角形的性质定理和判定定理证明：学以致用1、等边三角38如果一个三角形的每个内角都等于600

，那么这个三角形是等边三角形。

2.当等腰三角形的顶角是600时这个逆命题是真命题1.当等腰三角形的一个底角等于600角时

思考：“等边三角形的每个内角都等于600”的逆命题是什么？这个逆命题是真命题吗？有一个角是600的等腰三角形是等边三角形吗？交流与发现如果一个三角形的每个内角都等于600，那么这个三角形是等边39例2：已知：在△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，DE⊥BC，交BC于点E，交CA的延长线于点F。求证：AD=AF分析：从已知出发先由已知AB=AC利用“等边对等角”推得∠B=∠C，再由等角的余角相等推得∠BDE=∠F,进而得到∠ADF=∠F,最后根据“等角对等边”推出AD=AF例2：已知：在△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，DE40练一练1.已知，如图D是⊿ABC内的一点，且DB=DC，BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,求证：AB=ACCBAD练一练1.已知，如图D是⊿ABC内的一点，且DB=DC，BD41应用练习2.在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC．3.如图，△ABC是等边三角形，

BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE．（1）∠E等于多少度？（2）△DBE是什么三角形？为什么？应用练习2.在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交3.42三、系统总结

1.等腰三角形的判定方法有下列两种：①定义，②判定定理

2.等腰三角形的判定定理与性质定理的区别条件和结论刚好相反

3.运用等腰三角形的判定定理时，应注意

在同一个三角形中

三、系统总结1.等腰三角形的判定方法有下列两种：43确定二次函数的表达式确定二次函数的表达式44学习目标1、会利用待定系数法求二次函数的表达式；（重点）2、能根据已知条件，设出相应的二次函数的表达式的形式，较简便的求出二次函数表达式。（难点）学习目标1、会利用待定系数法求二次函数的表达式；（重点）45课前复习思考二次函数有哪几种表达式？

一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)

顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)

交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)

课前复习思考二次函数有哪几种表达式？一般式：y=a46例题选讲解：所以，设所求的二次函数为y=a(x＋1)2-6由条件得：点(2,3)在抛物线上，代入上式，得3=a（2+1）2-6,得a=1所以，这个抛物线表达式为y=(x＋1)2-6即：y=x2+2x－5例1例题封面因为二次函数图像的顶点坐标是（－1，－6），已知抛物线的顶点为（－1，－6），与轴交点为（2，3）求抛物线的表达式？例题选讲解：所以，设所求的二次函数为y=a(x＋1)47例题选讲解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c将A、B、C三点坐标代入得：a-b+c=616a+4b+c=69a+3b+c=2解得：所以：这个二次函数表达式为：a=1,b=-3,c=2y=x2-3x+2已知点A（－1,6）、B（2,3）和C（2,7），求经过这三点的二次函数表达式。oxy例2例题封面例题选讲解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c将48例题选讲解：所以设所求的二次函数为y=a(x＋1)(x－1）由条件得：已知抛物线与X轴交于A（－1，0），B（1,0）并经过点M（0,1），求抛物线的表达式？yox点M(0,1)在抛物线上所以：a(0+1)(0-1)=1得：

a=-1故所求的抛物线表达式为y=-(x＋1)(x-1)即：y=－x2+1例题例3封面因为函数过A（－1，0），B（1,0）两点

：例题选讲解：所以设所求的二次函数为y=a(x＋1)(x49小组探究1、已知二次函数对称轴为x=2，且过（3，2）、（-1,10）两点，求二次函数的表达式。2、已知二次函数极值为2，且过（3，1