新北师大版七年级下册数学（全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习）（提高版）（家教、补习、复习用）

1、北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习幂的运算（提高）【学习目标】1. 掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）；能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.【要点梳理】要点一、同底数幂的乘法性质(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指

2、数。即（都是正整数）.要点二、幂的乘方法则 (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广： (，均为正整数)（2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.要点三、积的乘方法则 (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广： (为正整数). （2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：要点四、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计

3、算时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质1、计算：(1)；(2) 【答案与解析】解：（1） （2）【总结升华】（1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式（2）在幂的运算中，经常用到以下变形： 类型二、幂的乘方法则2、计算：（1）； （2）；（3）； （4） 【答案与解析】解：（1）（2）（3）（4）【总结升华】（1）运用幂的乘方法则

4、进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆（2）幂的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式3、（2015春南长区期中）已知2x=8y+2，9y=3x9，求x+2y的值【思路点拨】根据原题所给的条件，列方程组求出x、y的值，然后代入求解【答案与解析】解：根据2x=23（y+2），32y=3x9，列方程得：，解得：，则x+2y=11【总结升华】本题考查了幂的乘方，解题的关键是灵活运用幂的乘方运算法则举一反三：【变式】已知，则 【答案】5；提示：原式 原式5.类型三、积的乘方法则4、计算：（1） （2）【思路点拨】利用积的乘方的运算性质进行计算

5、.【答案与解析】解：（1）（2）【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方（2）注意系数及系数符号，对系数1不可忽略举一反三：【变式1】下列等式正确的个数是( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】A； 提示：只有正确；【变式2】（2015春泗阳县校级月考）计算：（1）a4（3a3）2（4a5）2（2）（2）20（）21【答案】（1）a4（3a3）2（4a5）2=a49a616a10=9a1016a10=25a10；（2）（2）20（）21=（）20=1=5、（2016秋济源校级期中）已知x2m=2，求（2x3m）2（3xm）2的值【

6、思路点拨】根据积的乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可得已知条件，根据已知条件，可得计算结果【答案与解析】解：原式=4x6m9x2m=4（x2m）39x2m=42392=14【总结升华】本题考查了幂的乘方与积得乘方，先由积的乘方得出已知条件是解题关键北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习【巩固练习】一.选择题1下列计算正确的是( ) A. B.C. D.2的结果是( ) A.0 B. C. D. 3下列算式计算正确的是( ) A. B.C. D.4可以写成( ) A. B. C. D.5下列计算中，错误的个数是( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5

7、个6（2016盐城）计算（x2y）2的结果是（）Ax4y2 Bx4y2 Cx2y2 Dx2y2二.填空题7化简：(1)_；(2)_8.直接写出结果：(1)； (2)；(3)若，则_9.（2016春靖江市期末）已知2m+5n+3=0，则4m32n的值为 10.若，用，表示可以表示为 11.（2015杭州模拟）已知a=255，b=344，c=433，d=522，则这四个数从大到小排列顺序是 12.若整数、满足，则 ， ， 三.解答题13.若，求的值14.（2014春吉州区期末）已知ax=2，ay=3求：（1）ax+y的值；（2）a3x的值；（3）a3x+2y的值15. 已知，则 .【答案与解析】一

8、.选择题1. 【答案】B；【解析】；.2. 【答案】A； 【解析】.3. 【答案】D； 【解析】；.4. 【答案】C；【解析】；.5. 【答案】B； 【解析】错误.6. 【答案】D；【解析】解：aa3=a4，选项A不正确；a4+a3a2，选项B不正确；（a2）5=a10，选项C不正确；（ab）2=a2b2，选项D正确故选：D二.填空题7. 【答案】； 【解析】； .8. 【答案】； 【解析】（3）.9. 【答案】； 【解析】4m32n=22m25n=22m+5n，2m+5n+3=0，2m+5n=3，4m32n=23=10.【答案】；【解析】11.【答案】bcad；【解析】解：a=255=321

9、1，b=8111，c=6411，d=2511，81643225，bcad故答案为：bcad12.【答案】6，6，3；【解析】 .三.解答题13.【解析】解：，原式.14.【解析】解：（1）ax+y=axby=23=6；（2）a3x=（ax）3=（2）3=8；（3）a3x+2y=（a3x）（a2y）=（ax）3（ay）2=（2）332=89=7215.【解析】解：； ；，北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习同底数幂的除法【学习目标】1. 会用同底数幂的除法性质进行计算2. 掌握零指数幂和负整数指数幂的意义3掌握科学记数法【要点梳理】要点一、同底数幂的除法法则同底数幂相除，

10、底数不变，指数相减，即（0，都是正整数，并且）要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算. （2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.要点二、零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（0）要点诠释：底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.要点三、负整数指数幂任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即（0，是正整数）.引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，

11、以前所学的幂的运算性质仍然成立.（、为整数，）；（为整数，） （、为整数，）.要点诠释：是的倒数，可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如（），（）.要点四、科学记数法的一般形式（1）把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中是正整数，（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即的形式，其中是正整数，.用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法.【典型例题】类型一、同底数幂的除法1、计算：（1）；（2）；（3）；（4）【思路点拨】利用同底数幂相除的法则计算(2)、(4)两小题要注意符号【答案与解析】解：（1）（2）（3）（4）【总结升华】（1）运用法则进行计算的关键是看底数是

12、否相同（2）运算中单项式的系数包括它前面的符号2、计算下列各题：（1） （2）（3） （4）【思路点拨】（1）若被除式、除式的底数互为相反数时，先将底数变为相同底数再计算，尽可能地去变偶次幂的底数，如（2）注意指数为1的多项式如的指数为1，而不是0 【答案与解析】解：（1）（2）（3）（4）【总结升华】底数都是单项式或多项式，把底数作一个整体利用同底数幂的除法法则进行计算3、已知，求的值【答案与解析】解： 当，时，原式【总结升华】逆用同底数除法公式，设法把所求式转化成只含，的式子，再代入求值本题是把除式写成了分数的形式，为了便于观察和计算，我们可以把它再写成除式的形式举一反三：【变式】（201

13、5春苏州）已知以=2，=4，=32则的值为【答案】解： =8，=16，=81632=4，故答案为：4类型二、负整数次幂的运算4、计算：（1）；（2）【答案与解析】解：（1）；（2）【总结升华】要正确理解负整数指数幂的意义举一反三：【变式】计算：【答案】解： 5、 已知，则的值_【答案与解析】解： ， ， ， 【总结升华】先将变形为底数为3的幂，然后确定、的值，最后代值求举一反三：【变式】计算：（1）；（2）；【答案】解：（1）原式（2）原式类型三、科学记数法6、（2014秋福州）观察下列计算过程：（1）=，=，=（2）当a0时，=，=，=,由此可归纳出规律是：=（a0，P为正整数）请运用上述规

14、律解决下列问题：（1）填空：=；=（2）用科学记数法：3= （写成小数形式）（3）把0.00000002写成如（2）的科学记数法的形式是： 【答案与解析】 解：（1）=； =；（2）3=0.0003，（3）0.00000002=2【总结升华】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中1|a|10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习【巩固练习】一.选择题1. （2015桂林）下列计算正确的是（）A B= C+= D=2.下列计算中正确的是( )A.B.C.D. 3近似数0.33万表示为（ ）A3.3B3.30

15、00C3.3D0.334的结果是（ ）ABC2D05.将这三个数按从小到大的顺序排列为（）ABCD6.下列各式中正确的有（ ）；A2个B3个C4个D1个二.填空题7. _，_8. _,_,_.9 _，_10一种细菌的半径为0.0004，用科学记数法表示为_.11“神威一号”计算机运算速度为每秒384000000000次，其运算速度用科学记数法表示，为_次/秒12（2015春江西）若=-2, =-，则= 三.解答题13（2015春吉州）已知=3，=5求：（1）的值；（2）的值； （3）的值14用小数表示下列各数：（1）8.5（2）2.25（3）9.0315. 先化简，后求值：，其中.【答案与解析

16、】一.选择题1. 【答案】A；【解析】A、，正确； B、=，错误；C、+=，错误； D、=b3b3=b6，错误；故选A.2. 【答案】C； 【解析】； ； .3. 【答案】C； 【解析】0.33万33003.3.4. 【答案】C； 【解析】.5. 【答案】A； 【解析】，所以.6. 【答案】D； 【解析】只有正确；.二.填空题7. 【答案】3； 【解析】.8. 【答案】； 【解析】.9.【答案】； 【解析】；.10.【答案】；11.【答案】；12.【答案】-32； 【解析】解：，=4=32.三.解答题13.【解析】解：（1）=35=15；（2）=27； （3）=2=52=14.【解析】解：（1

17、）8.50.0085（2）2.250.0000000225（3）9.030.0000903 15.【解析】解：原式 当时，原式.北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习整式的乘法（提高）【学习目标】1. 会进行单项式的乘法,单项式与多项式的乘法,多项式的乘法计算2. 掌握整式的加、减、乘、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律简化运算.【要点梳理】要点一、单项式的乘法法则单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用

18、. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.要点二、单项式与多项式相乘的运算法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即.要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的

19、问题. （2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.要点三、多项式与多项式相乘的运算法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：.【典型例题】类型一、单项式与单项式相乘1、 计算：

20、（1）（2）【答案与解析】解：（1） （2）【总结升华】凡是在单项式里出现过的字母，在其结果也应全都有，不能漏掉.注意运算顺序，有同类项，必须合并.类型二、单项式与多项式相乘2、计算： （1）（2）【思路点拨】先单项式乘多项式去掉括号，然后移项、合并进行化简【答案与解析】解：（1）（2）【总结升华】（1）本题属于混合运算题，计算顺序仍然是先乘除、后加减，先去括号等混合运算的结果有同类项的需合并，从而得到最简结果（2）单项式与多项式的每一项都要相乘，不能漏乘、多乘（3）在确定积的每一项的符号时，一定要小心举一反三：【变式】（2014秋台山市校级期中）化简：x（x1）+2x（x+1）3x（2x5）

21、【答案】解：原式=x2x+2x2+2x6x2+15x=3x2+16x3、（2014秋德惠市期末）先化简，再求值3a（2a24a+3）2a2（3a+4），其中a=2【思路点拨】首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算即可【答案与解析】解：3a（2a24a+3）2a2（3a+4）=6a312a2+9a6a38a2=20a2+9a，当a=2时，原式=20492=98【总结升华】本题考查了单项式乘以多项式以及整式的化简求值整式的化简求值实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点举一反三：【变式】若，求的值【答案】解：，当时，原式类型三、多项式与多项式相乘

22、4、（2016秋天水期中）若（x2+nx+3）（x23x+m）的展开式中不含x2和x3项，求m，n的值【思路点拨】缺项就是多项式中此项的系数为零，此题中不含x2和项，也就是x2和项的系数为0，由此得方程组求解【答案与解析】解：原式的展开式中，含x2的项是：mx2+3x23nx2=（m+33n）x2，含x3的项是：3x3+nx3=（n3）x3，由题意得：，解得【总结升华】解此类问题的常规思路是：将两个多项式乘法依据乘法法则展开，合并同类项，再根据题意由某些项的系数为零，通过解方程（组）求解举一反三：【变式】在 的积中，项的系数是5，项的系数是6，求、【答案】解：因为项的系数是5，项的系数是6，所

23、以，解得.北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习【巩固练习】一.选择题1（2016台湾）计算（2x24）（2x1x）的结果，与下列哪一个式子相同？（）Ax2+2 Bx3+4 Cx34x+4 Dx32x22x+42下列各题中，计算正确的是( )A. B.C . D.3. 如果与2的和为，1与的差为，那么化简后为( )A.B.C.D.4. 如图，用代数式表示阴影部分面积为( )A. B. C.D.5结果是的式子是( )A .(4)( 2)2B .(4)C .(4) D .(4)6. 已知：，则的值为（ ） A.1 B.0 C. D.1二.填空题7. 已知，则_.8.（2015

24、春无锡校级期中）如果（x+1）（x22ax+a2）的乘积中不含x2项，则a= 9. 之积中含项的系数为 .10.（2016春莘县期末）若（am+1bn+2）（a2n1b2n）=a5b3，则m+n的值为 .11. 观察下列各式：；根据这些式子的规律，归纳得到： .12.把展开后得，则 三.解答题13.（2015春聊城校级月考）计算（1）（2a2b）2（ab）3（2）已知am=2，an=3，求a2m+3n的值14.先阅读后作答：我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式，实际上还有一些等式也可以用这种方式加以说明，例如： ，就可以用图1的面积关系来说明 根据图2写出一个等式 ； 已知

25、等式：，请你画出一个相应的几何图形加以说明15.已知的展开式中不含和项，求的值 【答案与解析】一.选择题1. 【答案】D； 【解析】（2x24）（2x1x）=（2x24）（x1）=x32x22x+4故选：D2. 【答案】D；【解析】； .3. 【答案】A； 【解析】，4. 【答案】C ； 【解析】阴影部分面积为.5. 【答案】D； 【解析】 6. 【答案】A； 【解析】两式相减得，将代入得.二.填空题7. 【答案】8； 【解析】8. 【答案】； 【解析】解：原式=x32ax2+a2x+x22ax+a2=x3+（12a）x2+（a22a）x+a2，不含x2项，12a=0，解得a=，故答案为：9.

26、 【答案】12； 【解析】用多项式的乘法展开式子，得项的系数为12.10.【答案】； 【解析】已知等式整理得：am+2nb3n+2=a5b3，可得，解得：m=，n=，则m+n=，故答案为：.11.【答案】；12.【答案】365； 【解析】展开后得当时，； 当时，.三.解答题13.【解析】解：（1）原式=4a4b2a3b3=a7b5；（2）a2m+3n=（am）2（an）3=427=108 14.【解析】解： 如图所示：15.【解析】解：因为展开式中不含和项，所以，解得，.北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习乘法公式（提高）【学习目标】1. 掌握平方差公式、完全平方公式的

27、结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.【要点梳理】要点一、平方差公式平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如（3）指数变化：如

28、（4）符号变化：如（5）增项变化：如（6）增因式变化：如要点二、完全平方公式 完全平方公式：两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 要点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.要点四、补充公式； ；.【典型例题】类型一、平方差公式的应用1、计算(21)()( )()(

29、)()1【思路点拨】本题直接计算比较复杂，但观察可以发现21与21，与，与等能够构成平方差，只需在前面添上因式（21），即可利用平方差公式逐步计算.【答案与解析】 解：原式(21)(21)( )()()()() 1 ()( )( )()()()1 11【总结升华】对于式子较为复杂的数的计算求值问题，不妨先仔细观察，看是否有规律，然后去解决，会事半功倍，提高解题能力举一反三：【变式1】计算： (1)(2)()( )( )( )【答案】解：(1)原式(3)(3)()()() (2)原式()( )( )( ) ()( )( )()( )【变式2】（2015内江）（1）填空：（ab）（a+b）= ；（

30、ab）（a2+ab+b2）= ；（ab）（a3+a2b+ab2+b3）= （2）猜想：（ab）（an1+an2b+abn2+bn1）= （其中n为正整数，且n2）（3）利用（2）猜想的结论计算：2928+27+2322+2【答案】解：（1）（ab）（a+b）=a2b2；（ab）（a2+ab+b2）=a3+a2b+ab2a2bab2b3=a3b3；（ab）（a3+a2b+ab2+b3）=a4+a3b+a2b2+ab3a3ba2b2ab3b4=a4b4；故答案为：a2b2，a3b3，a4b4；（2）由（1）的规律可得：原式=anbn，故答案为：anbn；（3）2928+27+2322+2=（21）

31、（28+26+24+22+2）=3422、（2014春牟定县校级期末）新实验中学校园正在进行绿地改造，原有一正方形绿地，现将它每边都增加3米，面积则增加了63平方米，问原绿地的边长为多少？原绿地的面积又为多少？【答案与解析】解：设原绿地的边长为x米，则新绿地的边长为x+3米，根据题意得，（x+3）2x2=63，由平方差公式得，（x+3+x）（x+3x）=63，解得，x=9；原绿地的面积为：99=81（平方米）；答：原绿地的边长为9米，原绿地的面积为81平方米【总结升华】本题主要考查了平方差公式的应用，两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差；（a+b）（ab）=a2b2，熟练应用平方

32、差公式可简化计算举一反三：【变式】解不等式组： 【答案】解： 由得，由得， 不等式组的解集为类型二、完全平方公式的应用3、运用乘法公式计算：（1）；（2）【思路点拨】（1）是一个三项式的平方，不能直接运用完全平方公式，可以用加法结合律将化成，看成与和的平方再应用公式；（2）是两个三项式相乘，其中与完全相同，与，分别互为相反数，与平方差公式特征一致，可适当添加括号，使完全相同部分作为“一项”，互为相反数的部分括在一起作为“另一项”【答案与解析】解：（1）原式（2）原式【总结升华】配成公式中的“”“”的形式再进行计算.举一反三：【变式】运用乘法公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)【答案

33、】 解：(1) () () (2) 2(1)2(1) (3)(4) 4、已知ABC的三边长、满足，试判断ABC的形状【思路点拨】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系【答案与解析】 解： ， ，即即 ，即， ABC为等边三角形【总结升华】式子体现了三角形三边长关系，从形式上看与完全平方式相仿，但差着中的2倍，故想到等式两边同时扩大2倍，从而得到结论举一反三：【变式】多项式的最小值是_.【答案】4； 提示：，所以最小值为4.北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习【巩固练习】一.选择题1下列各多项式相乘，可以用平方差公式的有( ) A.4个B.3个C.2

34、个D.1个2. 若是完全平方式，则值是（ ）A. B. C. D. 13.下面计算正确的是( )A.原式(7)7()B.原式(7)7() C.原式(7)(7) D.原式(7)(7)4(3)(9)(3)的计算结果是( )A.81B.81C. 81D.815下列式子不能成立的有( )个 A.1B.2C.3D.46（2015春开江县期末）计算2015220142016的结果是（）A2 B1 C0 D1二.填空题7多项式是一个完全平方式，则_8. 已知，则的结果是_.9. 若把代数式化为的形式，其中，为常数，则_.10.（2015春深圳期末）若A=（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，则

35、A的末位数字是 11对于任意的正整数，能整除代数式的最小正整数是_.12. 如果63，那么的值为_.三.解答题13.计算下列各值. 14.（2015春成华区月考）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4=2202，12=4222，20=6242，因此4、12、20都是这种“神秘数”（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？试说明理由；（2）试说明神秘数能被4整除；（3）两个连续奇数的平方差是神秘数吗？试说明理由15. 已知：求的值.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】B； 【解析】，可用平方差公式.2. 【答案】B； 【解析】，所以1.3. 【答案】

36、C；4. 【答案】C；【解析】(3)(9)(3).5. 【答案】B； 【解析】，不成立.6. 【答案】D； 【解析】解：原式=20152（20151）（2015+1）=20152（201521）=2015220152+1=1，故选D.二.填空题7. 【答案】16； 【解析】，16.8. 【答案】23； 【解析】.9. 【答案】3；【解析】，1，4.10.【答案】6； 【解析】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（21）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，=（221）（22+1）（24+1）（28+1）+1，=（241）（24+1）（28+1）+1，=（281

37、）（28+1）+1，=（2161）（216+1）+1，=2321+1，因为232的末位数字是6，所以原式末位数字是6故答案为：611.【答案】10； 【解析】利用平方差公式化简得10，故能被10整除.12.【答案】4；【解析】.三.解答题13.【解析】解：（1）原式（2）原式（3）原式（4）原式14.【解析】解：（1）是，理由如下：28=8262，2012=50425022，28是“神秘数”；2012是“神秘数”；（2）“神秘数”是4的倍数理由如下：（2k+2）2（2k）2=（2k+2+2k）（2k+22k）=2（4k+2）=4（2k+1），“神秘数”是4的倍数；（3）设两个连续的奇数为：2k

38、+1，2k1，则（2k+1）2（2k1）2=8k，而由（2）知“神秘数”是4的倍数，但不是8的倍数，所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数15.【解析】解：.北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习整式的除法（提高）【学习目标】1. 会进行单项式除以单项式的计算2. 会进行多项式除以单项式的计算【要点梳理】要点一、单项式除以单项式法则单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.要点诠释：（1）法则包括三个方面：系数相除；同底数幂相除；只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式. （2）单项式除法的实质

39、即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项式的结果仍为单项式.要点二、多项式除以单项式法则多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即要点诠释：（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式. （2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化. 【典型例题】类型一、单项式除以单项式1、先化简，再求值，其中，【答案与解析】解：原式 当，时， 【总结升华】这道单项式的混合运算比较繁琐，在运算中一定要抓住两个要点，即同底数幂相乘，同底数幂相除，还要注意系数和符号的运算千万不

40、要弄错2、观察下列单项式：，2，4，8，16，（1）计算一下这里任一个单项式与前面相连的单项式的商是多少？据此规律请你写第个单项式；（2）根据你发现的规律写出第10个单项式【思路点拨】（1）利用单项式除单项式的法则计算：（2）2；4（2）2；其他几个式子也按相同方式进行都得同一个结果，由此可得出第个单项式为；（2）并用此公式可写出第10个单项式的结果【答案与解析】解：（1）2，；（2）第个单项式为，则第10个为512【总结升华】本题考查学生的观察分析能力，根据系数、的指数的变化得出规律是解题的关键类型二、多项式除以单项式3、计算：（1）；（2）；（3）【思路点拨】（1）（2）将被除式先化简后再

41、进行除法计算（3）中看作一个整体，然后再按多项式除以单项式的法则计算【答案与解析】解：（1）原式 （2）原式（3）原式【总结升华】（1）混合运算时要注意运算顺序，注意其中括号所起的作用（2）在解题时应注意整体思想的应用，如第（3）题举一反三：【变式1】先化简，再求值（1），其中，；（2）已知，求的值【答案】解：（1）原式当，时，原式（2）原式由已知，得，即【变式2】（2014秋梁平县校级期中）计算：（2a2b3）2（3ab2）3（a2b3）【答案】解：原式=（4a4b627a3b6）（a2b3）=6a2b3+ab34、已知一个多项式除以多项式所得的商式是，余式是，求这个多项式【答案与解析】解：

42、 所求的多项式为【总结升华】本题的关键是明确“除式、被除式、商式和余式”的关系：被除式除式商式余式，应牢记这一关系式举一反三：【变式】（2015春淮北期末）已知一个三角形的面积为3x26xy+9x，其中一条边上的高是6x，则这条边的长是 【答案】x2y+3解：因为一个三角形的面积为3x26xy+9x，其中一条边上的高是6x，可得：2（3x26xy+9x）6x=x2y+3，故答案为：x2y+3北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习【巩固练习】一.选择题1.（2015广元）下列运算正确的是（）A（ab2）3（ab2）2=ab2 B3a+2a=5a2C（2a+b）（2ab）=2

43、a2b2 D（2a+b）2=4a2+b22若，则值是( )A.1B.2C.1，2D.2，13的结果是( ) A.8B.8C.2D.84下列计算中错误的是( )A.B.C.D.5. 已知与一个多项式之积是，则这个多项式是( )A. B.C.D.6. 计算除以后，得商式和余式分别为（ ）A商式为3，余式为 B商式为3，余式为8C商式为38，余式为 D商式为38，余式为0二.填空题7.（2015宝应县校级模拟）计算：（21x4y335x3y2+7x2y2）（7x2y）=_.8. 一个长方形的面积是（）平方米，其长为（）米，用含有的整式表示它的宽为_米.9. (1)已知3，2，_ (2)已知6，8，_

44、10. 已知A是关于的四次多项式，且AB，那么B是关于的_次多项式11. 若M，那么整式M_12若3，6，12，之间的数量关系是_三.解答题13先化简，再求值：，其中2，314（2014春北京校级月考）（4a37a3b2+12a2b）（2a）215. 是否存在常数、使得能被整除？如果存在，求出、的值，否则请说明理由.【答案与解析】一.选择题1.【答案】A；【解析】解：A、（ab2）3（ab2）2=a（32）b（64）=ab2，故本选项正确；B、3a+2a=（3+2）a=5a，故本选项错误；C、（2a+b）（2ab）=4a2b2，故本选项正确；D、（2a+b）2=4a2+4ab+b2，故本选项错

45、误；故选：A2. 【答案】A； 【解析】，所以，1.3. 【答案】A； 【解析】.4. 【答案】D； 【解析】.5. 【答案】C； 【解析】这个多项式为.6. 【答案】A； 【解析】商式余式.二.填空题7. 【答案】3x2y2+5xyy； 【解析】解：原式=21x4y3（7x2y）35x3y2（7x2y）+7x2y2（7x2y）=3x2y2+5xyy8. 【答案】（）；【解析】根据长方形的宽面积长，再利用整式的除法求解即可9. 【答案】(1)；(2)； 【解析】；.10.【答案】三；11.【答案】； 【解析】M.12【答案】； 【解析】，所以.三.解答题13.【解析】解：原式 当2，3时，原式

46、.14.【解析】解：（4a37a3b2+12a2b）（2a）2=（4a37a3b2+12a2b）4a2=aab2+3b15. 【解析】解：设 由等式左右两边对应系数相等可得：, , , 解得：，所以、是存在的.北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习整式的乘除全章复习与巩固（提高）【学习目标】1. 掌握幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；2. 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较

47、简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；【知识网络】【要点梳理】要点一、幂的运算1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.2.幂的乘方： (为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.3.积的乘方： (为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.4.同底数幂的除法：(0, 为正整数，并且).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1.6.负指数幂：（0，是正整数）. 要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.要点二、整式的乘法和除法1.单项式乘以

48、单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“”“”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“”连结，最后写成省略加号的代数和的形式根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：.4.单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只

49、在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：要点三、乘法公式1.平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2. 完全平方公式：；两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.【典型例题】类型一

50、、幂的运算1、（2015春南长）已知，求x+2y的值【思路点拨】根据原题所给的条件，列方程组求出x、y的值，然后代入求解【答案与解析】解：根据，列方程得：，解得：，则x+2y=11【总结升华】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则2、（1）已知，比较的大小.（2）比较大小。【答案与解析】解：（1）， 所以； （2），所以【总结升华】（1）转化为同指数不同底数的情况进行比较，指数转化为6；（2）转化成比较同底数不同指数，底数转化为3.类型二、整式的乘除法运算3、要使的结果中不含的一次项，则等于( ) A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D；【解析】先进行

51、化简，得：，要使结果不含的一次项，则的一次项系数为0，即：0.所以.【总结升华】代数式中不含某项，就是指这一项的系数为0.举一反三：【变式】若的乘积中不含的一次项，则等于_【答案】；类型三、乘法公式4、计算：(1)；(2)【思路点拨】（1）中可以将两因式变成与的和差.（2）中可将两因式变成与的和差.【答案与解析】 解：(1)原式 (2)原式 .【总结升华】(1)在乘法计算中，经常同时应用平方差公式和完全平方公式(2)当两个因式中的项非常接近时，有时通过拆项用平方差公式会达到意想不到的效果 举一反三：【变式】（2015春常州期中）计算：（x+2y+z）（x+2yz）【答案】5、已知，求代数式的值

52、.【思路点拨】将原式配方，变成几个非负数的和为零的形式，这样就能解出.【答案与解析】解： 所以所以.【总结升华】一个方程，三个未知数，从理论上不可能解出方程，尝试将原式配方过后就能得出正确答案.举一反三：【变式】配方，求_.【答案】解：原式所以，解得所以.6、求证：无论为何有理数，多项式的值恒为正数【答案与解析】解：原式 所以多项式的值恒为正数.【总结升华】通过配方，将原式变成非负数正数的形式，这样可以判断多项式的正负.举一反三： 【变式】证明:不论为何值 , 多项式的值一定小于0. 【答案】证明： , , 原式一定小于0.北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习【巩固练习

53、】一.选择题1若二项式加上一个单项式后构成的三项式是一个完全平方式，则这样的单项式的个数有（ ） A1个 B2个 C3个 D4个2. 下列运算正确的是（ ）A. B.C. D.3. 对于任意的整数，能整除代数式的整数是( )A.4B.3C.5D.24若，且，那么必须满足条件( )A.都是正数B. 异号，且正数的绝对值较大C.都是负数D. 异号，且负数的绝对值较大5化简的结果是（ ） A B25 C D以上都不对6（2015日照）观察下列各式及其展开式：请你猜想的展开式第三项的系数是（）A36B45C55D667. 下列各式中正确的有（ ）个：； ； ； ； A. 1 B. 2 C. 3 D.

54、48如图：矩形花园ABCD中，AB，AD，花园中建有一条矩形道路LMPQ及一条平行四边形道路RSTK若LMRS，则花园中可绿化部分的面积为( )A B C D二.填空题9. 如果是一个完全平方式，则等于_10.若，则用含的代数式表示为_11.已知，则 12若，化简_13.（2015春成都）已知A=（2x+1）（x1）x（13y），B=x2xy1，且3A+6B的值与x无关，则y=14. 设实数，满足，则_，_.15. 16如果，那么的值为_ _三.解答题17已知，求的值18. ，求_.19.计算：20. （2015内江）（1）填空：= ；= ；= （2）猜想：= （其中n为正整数，且n2）（3）

55、利用（2）猜想的结论计算：【答案与解析】一.选择题1. 【答案】D；【解析】可以是，.2. 【答案】C；3. 【答案】C； 【解析】.4. 【答案】B； 【解析】由题意，所以选B.5. 【答案】B； 【解析】原式.6. 【答案】B； 【解析】解： 第8个式子系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1；第9个式子系数分别为：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1；第10个式子系数分别为：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1，则展开式第三项的系数为45故选B7. 【答案】D； 【解析】正确.8. 【答案】C； 【解析】可绿化面积为.二

56、.填空题9. 【答案】； 【解析】.所以.10.【答案】【解析】，.11.【答案】3； 【解析】.12.【答案】 【解析】因为，所以，原式.13.【答案】2； 【解析】解：A=（2x+1）（x1）x（13y）=2x22x+x1x+3xy=2x22x+3xy1B=x2xy1，3A+6B=6x26x+9xy36x26xy6=6x+3xy9=（6+3y）x9，由结果与x无关，得到6+3y=0，解得：y=2故答案为：214.【答案】2；4； 【解析】等式两边同乘以4，得： .15.【答案】； 【解析】原式.16.【答案】4； 【解析】由题意得.三.解答题17.【解析】解：.18.【解析】解：所以因为，

57、等式两边同除以，0.19.【解析】解：.20.【解析】解：（1）=；=；=（2）由（1）的规律可得：原式=，（3）北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习两条直线的位置关系（提高）知识讲解【学习目标】1. 初步理解同一平面内的两直线的位置关系，初步认识相交线和平行线；2.了解对顶角、补角、余角，知道对顶角相等、等角的余角相等、等角的补角相等，并能解决一些实际问题；3. 理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；4. 理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离.【要点梳理】要点一、同一平面内两条直线的位置关系同一平面内，两条直线的位置关系：相交和平行.

58、要点诠释：（1）平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.两直线平行，用符号“”表示. 如下图，两条直线互相平行，记作ABCD或ab.（2）互相重合的直线通常看做一条直线，两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行.（3）相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线，这个公共点叫做交点. 两条直线相交只有一个交点.要点二、对顶角、补角、余角1.余角与补角（1）定义：如果两个角的和是180，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角类似地，如果两个角的和是90，那么这两个角互为余角简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角（2）性质：同角（等角）的余角相等同角（

59、等角）的补角相等要点诠释：(1)互余互补指的是两个角的数量关系，而与它们的位置无关(2)一个锐角的补角比它的余角大902.对顶角（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角要点诠释：(1)对顶角满足的条件：相等的两个角；有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.(2)只有两条直线相交时，才能产生对顶角两条直线相交时，除了产生对顶角外，还会产生邻补角，邻补角满足的条件：有公共顶点；有一条公共边，另一边互为反向延长线.（3）邻补角一定互为补角，但互为补角的角不一定是邻补角.（2）性质：对顶角相等要点三、垂线1垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中

60、，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足如下图要点诠释：(1)记法：直线a与b垂直，记作：； 直线AB和CD垂直于点O，记作：ABCD于点O.(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：CDAB2垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)要点诠释： (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线