线性代数：第四章 向量空间

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第四章向量空间2

定义4.1.1

任意n个(实)数a1,a2,…,an

构成的如下的元有序组 (a1,a2,…,an)

称为n维(实)向量,每一ai称为此向量的第i个分量.

如上定义的n维向量也称为行向量.n维向量也可以用列的形式写出,称为列向量:其中，b1,b2,…,bn 为任意（实）数.如无特别申明，n维向量均为实向量.3

向量的相等两个向量=(a1,a2,…,an),和=(b1,b2,…,bn)相等，当且仅当ai=

bi,i=1,2,…,n,并记为=.零向量分量全为零的向量称为零向量，记为

O=(0,0,…,0)

负向量任一向量=(a1,a2,…,an)的各分量反号得到的向量称为的负向量，记为=(a1,

a2,…,

an)

4向量的和设=(a1,a2,…,an)，=(b1,b2,…,bn).则与的和为

+=(a1+b1,a2+b2,…,an+

bn)

数乘向量设=(a1,a2,…,an)，k是任一实数，则数k与向量的积为

k=k(a1,a2,…,an)=(ka1,

ka2,…,

kan)向量的差设=(a1,a2,…,an)，=(b1,b2,…,bn).则与的差为

=(a1b1,a2b2,…,an

bn)

5定义4.1.3

设W是的Rn一个非空子集.如果(i)对任意的,∈W，均有+∈W;(ii)对任意的∈W和任意的k∈R，有k∈W.则称W是Rn的一个子空间.定义4.1.2

设Rn是所有n维向量的全体，并且在Rn

上定义了向量的加法和数乘运算，则称Rn

为n维（实）向量空间.6例.

W为

中所有形式为的向量的集合，W为一向量子空间？8

由维数相同的一些向量构成的集合,称为向量组.

定义4.2.1设，为m个数，称向量为向量组的一个线性组合.9定义4.2.3

设1,2,…,mRn，Rn.如存在m个数l1,l2,…,lmR使得

=l11+l22+…+lmm则称向量可由向量组1,2,…,m线性表出.

10例1.任何一个n维向量a=(a1,a2,…,an)都是n维向量组e1=(1,0,0),e2=(0,1,0,,0),,en=(0,0,,0,1)的线性组合.

因为

o=0a1+0a2++0as例2.零向量是任何一组向量的线性组合.

因为称为Rn的初始单位向量组.11例判断向量是否可以由向量组线性表出?12线性方程组13例

给定线性方程组则方程AX=b可表示为

a1x1+a2x2++anxn=b,

或者方程组的向量形式14例判断向量是否可以由向量组线性表出?例.

a,b取何值时,向量可由向量组线性表出？16例.

a,b取何值时,线性方程组有解,并求其解.17例判断向量是否可以由向量组线性表出?18§4.3线性相关与线性无关19

定义4.3.1设1,2,…,m是向量空间V的一组向量.如存在一组不全为零的数k1,k2,…,km使得

k11+k22

+…+kmm=O

则称1,2,…,m是线性相关的；否则，当且仅当k1,k2,…,km全为零时

k11+k22

+…+kmm=O

则称1,2,…,m是线性无关的.

例.一个零向量线性相关;

而一个非零向量线性无关.

21（列）向量组线性相关

齐次线性方程组AX=0有非零解其中矩阵A=(a1,a2,,an).

向量组线性无关

AX=0只有零解232425

定理4.3.1向量组

(m2)线性相关的充分必要条件是此向量组中至少有一个向量是其余向量的线性组合.二.性质逆否命题：向量组

(m2)线性无的充分必要条件是此向量组中任何一个向量都不能由其余向量线性表出.

定义4.3.2设1,

2,…,

m和1,

2,…,

s是两组向量.如果每一i

均可由1,

2,…,

m线性表出,则称向量组1,

2,…,

s可由向量组1,

2,…,

m线性表出;进一步,如果向量组1,

2,…,

m也可由向量组1,

2,…,

s线性表出,则称两向量组等价.27

定理4.3.2设向量组1,

2,…,

m可由向量组1,

2,

…,

s线性表出,并且m>s.则1,

2,…,

m线性相关.

推论如向量组1,

2,…,

m线性无关，并且可由向量组1,

2,…,

s线性表出,则必有ms.28推论4.3.1

两组线性无关的向量组如果等价则所含向量个数相等.推论4.3.2

多于n个的n维向量组线性相关.定义

设向量组(A):称向量组(B)为向量组(A)的延长向量组.命题

若向量组(A)线性无关,则延长向量组(B)也线性无关.逆否命题

若向量组(A)的延长向量组(B)线性相关,则向量组(A)也线性相关.3132§4.4向量空间的基和维数

定义4.4.1向量空间V中一组向量1,

2,…,

m如满足(i)

1,

2,…,

m线性无关;(ii)

V中任一向量可由此向量组线性表出.则称1,

2,…,

m为V中的一个基.333435

定理4.4.1设1,2,…,s和1,2,…,t均为向量空间W的基.那么必有s=t.

定义4.4.2一向量空间V{O}时,V的任一基所含向量个数称为的V维数;当V={O}时,称V的维数为0.例如二维向量组

§4.5极大无关组与向量组的秩37定义4.5.1称一向量组1,2,…,m的部分向量组i1,i2,…,ir(i1i2…ir)为一极大线性无关组(简称极大无关组),如果(i)i1,i2,…,ir线性无关;(ii)每一j,1jm,

可由i1,i2,…,ir

线性表出.

一个向量组的任意一个极大线性无关组所含向量的个数是向量组本身固有的一个量.向量组V与其任意一个极大线性无关组是可以相互线性表示的;

(2)由向量组等价的传递性可知,向量组V的任意两个极大线性无关组相互等价;

(3)向量组V的每一个极大线性无关组所含向量的个数总是相等的.

40

定理4.5.1

一向量组的任意两个极大无关组所含向量个数相等.

定义4.5.2一向量组的任一极大无关组所含向量的个数称为此向量组的秩.41例１求向量组

1=(0,2,6,0,8)T，2=(1,3,2,0,4)T,

3=(1,2,5,0,0)T，4=(3,8,5,2,11)T的秩，一个极大无关组，并将此极大无关组外的向量（如果有）用此极大无关组线性表出．

对列向量组进行行的初等变换不改变列向量组向量之间的线性关系.43例１求向量组

1=(1,0,2,1)，2=(1,2,0,1),

3=(2,1,3,0)，4=(2,5,1,4)的秩，一个极大无关组，并将此极大无关组外的向量（如果有）用此极大无关组线性表出．

定理4.5.3

设向量组1,

2,…,

m可由向量组1,

2,

…,

s线性表出,则

R(1,

2,…,

m)

≤R(1,

2,

…,

s).推论

两个等价的向量组有相同的秩.45

定理4.5.2

设向量i1,i2,…,ir是向量组1,2,…,m的一个极大无关组.则i1,i2,…,ir是向量空间Span(2,…,m)的一个基.

46例１求向量组

1=(1,0,2,1)，2=(1,-1,3,1),

3=(2,1,3,0)，4=(2,5,1,4)的秩，一个极大无关组，并将此极大无关组外的向量（如果有）用此极大无关组线性表出．

47例１求向量组

1=(1,0,2,1)，2=(1,-1,3,1),

3=(2,1,3,0)，4=(2,5,1,4)的秩，一个极大无关组，并将此极大无关组外的向量（如果有）用此极大无关组线性表出．

48§4.6矩阵的秩

定义4.6.1一矩阵的行向量组的秩称为的行秩;而其列向量组的秩称为的列秩.

定理4.6.1

初等行变换和初等列变换均不改变矩阵的行秩和列秩.50

定理4.6.2

矩阵的行秩与列秩相等.

由于任意矩阵的行秩与列秩相等，则统称一矩阵的行秩和列秩为此矩阵的秩,并记一矩阵A的秩为r(A).

推论4.6.1

一n阶方阵可逆的充分必要条件是r(A)=n.例

求下列矩阵的秩52

定理4.6.2

矩阵的行秩与列秩相等.

由于任意矩阵的行秩与列秩相等，则统称一矩阵的行秩和列秩为此矩阵的秩,并记一矩阵A的秩为r(A).

定理4.6.1

初等行变换和初等列变换均不改变矩阵的行秩和列秩.例

求矩阵的秩

定理4.6.3

矩阵A的秩为r当且仅当A中存在一不为零的r阶子式，并且A的所有r+1阶子式全为零.

推论4.6.1

一n阶方阵可逆的充分必要条件是r(A)=n.例

求下列矩阵的秩例

已知矩阵的秩为2，求参数a,b.5758§4.７线性方程组解的讨论

一.齐次线性方程组的基础解系和通解59

定理４.7.1齐次线性方程组AX=0有非零解的充分必要条件为系数矩阵A的秩r<n；而只有零解的充分必要条件为A的秩r＝n．

定理4.7.2如果向量1,2是齐次线性方程组AX=0解向量，k是任意常数，则1＋2，k1均是AX=0的解向量．60

定义４.7.1一齐次线性方程组如有非零解，则称其一组解向量为此齐次线性方程组的一个基础解系，若线性无关;(2)方程组AX=0的任意一个解均可由线性表示；

61例.

求线性方程组的通解.62例.

求线性方程组的通解.

定理4.7.3

设齐次线性方程组AX=0的系数矩阵的秩为r<n，则齐次线性方程组的基础解系由nr个解向量组成．证:

因为r(A)=r<n,所以对方程组的增广矩阵(A,0)施以初等行变换,可化为如下的形式:即Ax=0与下面的方程组同解:其中xr+1,xr+2,,xn为自由未知量.对n-r个自由未知量分别取可得方程组的n-r个解.现在来证明v1,v2,,vn-r就是方程组的一个基础解系.其次再证明Ax=0的任意一个解都是v1,v2,,vn-r的线性组合.因为所以即v是的v1,v2,,vn-r线性组合.

所以v1,v2,,vn-r是方程组(3.9)的一个基础解系,因此方程组(3.9)的全部解都可以表示为

c1v1+c2v2++cn-rvn-r

(c1,c2,,cn-r为任意常数)

71为何对自由变元xr+1,xr+2,…,xn

给出（18）式中的nr组赋值，基于如下两个原因：1)对应的nr个向量线性无关；2)便于计算出对应的首项变元的值．72定义４.7.2设齐次线性方程组(16)的系数矩阵的秩为r＜n，而向量组1,2,…,n-r

是其基础解系，则称向量

k11+k22+…+kn-rn-r为(16)的通解，其中k1,k2,…,kn-r为任意常数．73例１求下述齐次线性方程组的通解.例.

求线性方程组的通解.75二.非齐次的线性方程组的解的讨论

设非齐次线性方程组

AX=(20)其中A=(aij)mn,X=(x1,x2,…,xn)T,＝(b1,b2,…,bm)T,并且b1,b2,…,bm不全为零.上述方程组有解时,其解与对应的齐次线性方程组

AX=O

(21)的解有着密切的联系.76

定义4.7.5

称齐次线性方程组（21）为线性方程组（20）的导出方程组．

定理4.7.4设矩阵A的秩为r，0是非齐次线性方程组(20)的一个特定的解向量，而1,2,…,n-r是导出方程组(21)的一个基础解系，则非齐次线性方程组的全部解(也称为(20)的通解)为

0+k11+k22+…+kn-rn-r（22）其中k1,k2,…,kn-r为任意常数．77

推论4.7.5线性方程组（20）AX=b的任意两个解的差是其导出方程组（21）AX=0的一个解；线性方程组(20)的一个解与其导出方程组(21)的一个解的和是线性方程组(20)的一个解.结合第一章的讨论,得如下结论.

定理4.7.6

设线性方程组(20)的系数矩阵的秩为r,增广矩阵的秩为r'.那么

(i)

rr'

,则方程组(20)无解;

(ii)

r=r'=n,则方程组(20)的解唯一;

(iii)

r=r‘<n,