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文档简介
2023高考数学模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为A. B. C.2 D.2.已知函数有两个不同的极值点,,若不等式有解,则的取值范围是()A. B.C. D.3.已知抛物线的焦点为,是抛物线上两个不同的点,若,则线段的中点到轴的距离为()A.5 B.3 C. D.24.阿波罗尼斯(约公元前262~190年)证明过这样的命题:平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点,间的距离为2,动点与,的距离之比为,当,,不共线时,的面积的最大值是()A. B. C. D.5.党的十九大报告明确提出:在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享,进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响,在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验,根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图,最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是()A. B.C. D.6.已知椭圆的右焦点为F,左顶点为A,点P椭圆上,且,若,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.7.设,,,则的大小关系是()A. B. C. D.8.甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去三个不同社区进行帮扶活动,每人只能去一个社区,每个社区至少一人.其中甲必须去社区,乙不去社区,则不同的安排方法种数为()A.8 B.7 C.6 D.59.如图,网格纸是由边长为1的小正方形构成,若粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A. B. C. D.10.设是虚数单位,复数()A. B. C. D.11.已知函数,其中,,其图象关于直线对称,对满足的,,有,将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象,则函数的单调递减区间是()A. B.C. D.12.函数的图象在点处的切线为,则在轴上的截距为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知点P是直线y=x+1上的动点,点Q是抛物线y=x2上的动点.设点M为线段PQ的中点,O为原点,则14.已知正四棱柱的底面边长为,侧面的对角线长是,则这个正四棱柱的体积是____.15.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落.小球在下落的过程中,将3次遇到黑色障碍物,最后落入袋或袋中.己知小球每次遇到黑色障碍物时,向左、右两边下落的概率都是,则小球落入袋中的概率为__________.16.已知全集,,则________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知不等式的解集为.(1)求实数的值;(2)已知存在实数使得恒成立,求实数的最大值.18.(12分)如图,在四棱锥中,底面是边长为2的菱形,,.(1)证明:平面平面ABCD;(2)设H在AC上,,若,求PH与平面PBC所成角的正弦值.19.(12分)已知f(x)=|x+3|-|x-2|(1)求函数f(x)的最大值m;(2)正数a,b,c满足a+2b+3c=m,求证:20.(12分)已知直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;(2)设点,直线与曲线交于,两点,求的值.21.(12分)已知函数.(1)设,求函数的单调区间,并证明函数有唯一零点.(2)若函数在区间上不单调,证明:.22.(10分)已知数列为公差不为零的等差数列,是数列的前项和,且、、成等比数列,.设数列的前项和为,且满足.(1)求数列、的通项公式;(2)令,证明:.
2023学年模拟测试卷参考答案(含详细解析)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【答案解析】由给定的三视图可知,该几何体表示一个底面为一个直角三角形,且两直角边分别为和,所以底面面积为高为的三棱锥,所以三棱锥的体积为,故选A.2.C【答案解析】
先求导得(),由于函数有两个不同的极值点,,转化为方程有两个不相等的正实数根,根据,,,求出的取值范围,而有解,通过分裂参数法和构造新函数,通过利用导数研究单调性、最值,即可得出的取值范围.【题目详解】由题可得:(),因为函数有两个不同的极值点,,所以方程有两个不相等的正实数根,于是有解得.若不等式有解,所以因为.设,,故在上单调递增,故,所以,所以的取值范围是.故选:C.【答案点睛】本题考查利用导数研究函数单调性、最值来求参数取值范围,以及运用分离参数法和构造函数法,还考查分析和计算能力,有一定的难度.3.D【答案解析】
由抛物线方程可得焦点坐标及准线方程,由抛物线的定义可知,继而可求出,从而可求出的中点的横坐标,即为中点到轴的距离.【题目详解】解:由抛物线方程可知,,即,.设则,即,所以.所以线段的中点到轴的距离为.故选:D.【答案点睛】本题考查了抛物线的定义,考查了抛物线的方程.本题的关键是由抛物线的定义求得两点横坐标的和.4.A【答案解析】
根据平面内两定点,间的距离为2,动点与,的距离之比为,利用直接法求得轨迹,然后利用数形结合求解.【题目详解】如图所示:设,,,则,化简得,当点到(轴)距离最大时,的面积最大,∴面积的最大值是.故选:A.【答案点睛】本题主要考查轨迹的求法和圆的应用,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题.5.D【答案解析】根据四个列联表中的等高条形图可知,图中D中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大,它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果,故选D.6.C【答案解析】
不妨设在第一象限,故,根据得到,解得答案.【题目详解】不妨设在第一象限,故,,即,即,解得,(舍去).故选:.【答案点睛】本题考查了椭圆的离心率,意在考查学生的计算能力.7.A【答案解析】
选取中间值和,利用对数函数,和指数函数的单调性即可求解.【题目详解】因为对数函数在上单调递增,所以,因为对数函数在上单调递减,所以,因为指数函数在上单调递增,所以,综上可知,.故选:A【答案点睛】本题考查利用对数函数和指数函数的单调性比较大小;考查逻辑思维能力和知识的综合运用能力;选取合适的中间值是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.8.B【答案解析】根据题意满足条件的安排为:A(甲,乙)B(丙)C(丁);A(甲,乙)B(丁)C(丙);A(甲,丙)B(丁)C(乙);A(甲,丁)B(丙)C(乙);A(甲)B(丙,丁)C(乙);A(甲)B(丁)C(乙,丙);A(甲)B(丙)C(丁,乙);共7种,选B.9.C【答案解析】
根据三视图还原为几何体,结合组合体的结构特征求解表面积.【题目详解】由三视图可知,该几何体可看作是半个圆柱和一个长方体的组合体,其中半圆柱的底面半圆半径为1,高为4,长方体的底面四边形相邻边长分别为1,2,高为4,所以该几何体的表面积,故选C.【答案点睛】本题主要考查三视图的识别,利用三视图还原成几何体是求解关键,侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.10.D【答案解析】
利用复数的除法运算,化简复数,即可求解,得到答案.【题目详解】由题意,复数,故选D.【答案点睛】本题主要考查了复数的除法运算,其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.11.B【答案解析】
根据已知得到函数两个对称轴的距离也即是半周期,由此求得的值,结合其对称轴,求得的值,进而求得解析式.根据图像变换的知识求得的解析式,再利用三角函数求单调区间的方法,求得的单调递减区间.【题目详解】解:已知函数,其中,,其图像关于直线对称,对满足的,,有,∴.再根据其图像关于直线对称,可得,.∴,∴.将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像.令,求得,则函数的单调递减区间是,,故选B.【答案点睛】本小题主要考查三角函数图像与性质求函数解析式,考查三角函数图像变换,考查三角函数单调区间的求法,属于中档题.12.A【答案解析】
求出函数在处的导数后可得曲线在处的切线方程,从而可求切线的纵截距.【题目详解】,故,所以曲线在处的切线方程为:.令,则,故切线的纵截距为.故选:A.【答案点睛】本题考查导数的几何意义以及直线的截距,注意直线的纵截距指直线与轴交点的纵坐标,因此截距有正有负,本题属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.3【答案解析】
过点Q作直线平行于y=x+1,则M在两条平行线的中间直线上,当直线相切时距离最小,计算得到答案.【题目详解】如图所示:过点Q作直线平行于y=x+1,则M在两条平行线的中间直线上,y=x2,则y'=2x=1,x=1点M为线段PQ的中点,故M在直线y=x+38时距离最小,故故答案为:32【答案点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题,转化为切线问题是解题的关键.14.【答案解析】Aa设正四棱柱的高为h得到故得到正四棱柱的体积为故答案为54.15.【答案解析】记小球落入袋中的概率,则,又小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落,小球将落入袋,所以有,则.故本题应填.16.【答案解析】
利用集合的补集运算即可求解.【题目详解】由全集,,所以.故答案为:【答案点睛】本题考查了集合的补集运算,需理解补集的概念,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2)4【答案解析】
(1)分类讨论,求解x的范围,取并集,得到绝对值不等式的解集,即得解;(2)转化原不等式为:,利用均值不等式即得解.【题目详解】(1)当时不等式可化为当时,不等式可化为;当时,不等式可化为;综上不等式的解集为.(2)由(1)有,,,,即而当且仅当:,即,即时等号成立∴,综上实数最大值为4.【答案点睛】本题考查了绝对值不等式的求解与不等式的恒成立问题,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.18.(1)见解析;(2)【答案解析】
(1)记,连结,推导出,平面,由此能证明平面平面;(2)推导出,平面,连结,由题意得为的重心,,从而平面平面,进而是与平面所成角,由此能求出与平面所成角的正弦值.【题目详解】(1)证明:记,连结,中,,,,,,平面,平面,平面平面.(2)中,,,,,,,,,,平面,∴,连结,由题意得为的重心,,,,平面平面平面,∴在平面的射影落在上,是与平面所成角,中,,,,.与平面所成角的正弦值为.【答案点睛】本题考查面面垂直的证明,考查线面角的正弦值的求法,考查线线、线面、面面的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.19.(1)(2)见解析【答案解析】
(1)利用绝对值三角不等式求得的最大值.(2)由(1)得.方法一,利用柯西不等式证得不等式成立;方法二,利用“的代换”的方法,结合基本不等式证得不等式成立.【题目详解】(1)由绝对值不等式性质得当且仅当即时等号成立,所以(2)由(1)得.法1:由柯西不等式得当且仅当时等号成立,即,所以.法2:由得,,当且仅当时“=”成立.【答案点睛】本小题主要考查绝对值三角不等式,考查利用柯西不等式、基本不等式证明不等式,属于中档题.20.(1);(2)【答案解析】
(1)利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可;(2)将直线参数方程代入圆的普通方程,可得,,而根据直线参数方程的几何意义,知,代入即可解决.【题目详解】(1)直线的参数方程为(为参数),消去;得曲线的极坐标方程为.由,,,可得,即曲线的直角坐标方程为;(2)将直线的参数方程(为参数)代入的方程,可得,,设,是点对应的参数值,,,则.【答案点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化,直线参数方程的几何意义,是一道容易题.21.(1)为增区间;为减区间.见解析(2)见解析【答案解析】
(1)先求得的定义域,然后利用导数求得的单调区间,结合零点存在性定理判断出有唯一零点.(2)求得的导函数,结合在区间上不单调,证得,通过证明,证得成立.【题目详解】(1)∵函数的定义域为,由,解得为增区间;由解得为减区间.下面证明函数只有一个零点:∵,所以函数在区间内有零点,∵,函数在区间上没有零点,故函数只有一个零点.(2)证明:函数,则当时,,不符合题意;当时,令,则,所以在上单调增函数,而,又∵区间上不单调,所以存在,使得在上有一个零点,即,所以,且,即两边取自然对数,得即,要证,即证,先证明:,令,则∴在上单调递增,即,∴①在①中令,∴令∴,即即,∴.【答案点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间和零点,考查利用导数证明不等式,考查分类讨论的数学思想方法,考查化归与转化的数学思想
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