数列求和-错位相减、裂项相消(解析版)

数列求和一错位相减、裂项相消♦错位相减法错位相减法是求解由等差数列｛4｝和等比数列｛鼠｝对应项之积组成的数列｛cJ(即金=4鼠)的前几项和的方法.这种方法运算量较大,要重视解题过程的训练.在讲等比数列的时候，我们推导过等比数列的求和公式,其过程正是利用错位相减的原理,等比数列的通项其实可以看成等差数列通项a“(M=1)与等比数列通项b”的积.公式秒杀：S,=(A-n+B)q-8(错位相减都可化简为这种形式,对于求解参数A与8,可以采用将前1项和与前2项和代入式中，建立二元一次方程求解.此方法可以快速求解出结果或者作为检验对错的依据.)【经典例1】设数列｛4｝的前九项和为S”,若5=l,Sn=a„+i—1.(1)求数列｛an｝的通项公式；(2)设b,尸上一,求数列｛鼠｝的前n项和T„.Qn+1【答案】⑴%=2"-'(nGN-); (2)^=2-【解析】(1)因为Qi=l,Sn=a“+|-l.所以S|=Q2-1,解得出=2.当n22时，S,T=Q”-1,所以斯=Sn—Sn-\—%+］一%,所以2a„—q”+i,即~~=2.因为五=2也满足上式，所以｛a,J是首项为1,公比为2的等比数列，所以册=2"T(neN,).Q］(2)由(1)知a“+|=2",所以b“=±,所以7；=1X-1-+2x(y)-+3X(-i-)3+---+nx怎)”…①/1X(y)+2x(十)、 1-(n—1)X(y)"+nX(4)"+'…②【经典例2］已知等差数列｛a“｝的前n项和为S”,数列｛b,J为等比数歹I」,且5=，=1,S3=3h?=12.(1)求数列｛4｝,｛4，｝的通项公式；(2)若C"=a“b”+i，求数列｛cn｝的前n项和T„.【答案】(1)0n=3n—2,b,=4"t (2)^,=4+(n-l)4"+,【解析】

(1)设等差数列｛%｝的公差为d,等比数列｛b〃｝的公比为q,由题意得：3qi+3cJ=12,解得：d=3,所以=1+3(n—1)=3n—2,由助2=12得:"=4,所以q=&=4,Qi所以晨=4"T(2)cn=%b“+i=(3n-2)-4",则累=4+4x4?+7x4：'+…+(3n-2)4”①，47；=42+4x43+7x4'+…+(3n—2)4^1+l②,两式相减得：-3方=4+3x4?+3x4：'+3x4,+…+3x4"-(3n-2)4n+,=4+3x——(3n-2)4n+1=-124-(3-3n)4n+1,所以7；=4+如一1)4向【经典例3］已知各项均为正数的等比数列｛a,J的前“项和为S”,且S?=6,&=14.(1)求数列｛a„｝的通项公式；⑵若b,尸巨口，求数列｛0｝的前n项和T“.Q72【答案】(l)%=2"(neN") (2)7,=3一写3【解析】⑴设等比数列｛a“｝的公比为q,当q=1时，S,尸nai,所以S2=2qi=6,S3=3a)=14,无解.当q声1时，当q声1时，S,a=%(1—q")

i-q，所以7解得Qi=2,q=2或Q|=18,q=-乳舍).所以%=2x2"t=2rl(neN*).(2)b0=^i=^K所以％=»*+++…++ ①，则专4=/+赍+*+.2n—3.2n—1…+-^r-+-^T-②，①一②得,十—=5+①一②得,十—=5+号+3+看+—，2；舟11,c、，-'F7rl 2n-l_3 2n+32 2n+, 2 2n+,所以7；=3_2nJ3.【练习1】已知数列｛%｝满足5=1,an+,=2a„+l(nGN').(1)求数列｛为｝的通项公式：(2)求数列｛n(a”+1)｝的前n项和Sn.【答案】(1)0n=2"-1 (2)Sn=(n-l)-2n+1+2

【解析】(1)由%+1=20n+1得：a“+i+l=2(a“+l),又见+1=2,数列｛%+1｝是以2为首项，2为公比的等比数列，即+1=2”,/•0Ln=2"-1.⑵由⑴得：n(a„+1)=n-2";ASn=1x21+2x22+3x23+•••+(n-1)-2"-1+n-2",25n=1x22+2x234-3x21+-+(n-1)-2"+n-2"+1,n/1_nn\...-S„=2+22+23++2"—n-2n+1=—，-n-2n+1=(1-n)-2n+l-2,1—2.•.Sn=(n-l)-2"+1+2.【练习2】已知数列｛a,J的前几项和为S”,且S,尸2a,-1.(1)求｛%｝的通项公式；(2)设b“=na”,求数列｛b“｝的前n项和Tn.【答案】(1)%=2"T (2)7；=(n-l)-2r*+l【解析】(1)令n=1得S=%=2%—1,二%=1,当时，S”_i=2a“_1—1,则a”=S“一S"t=2a„—2an_”整理得0n=2a“_I,二卫-=2,二数列｛a“｝是首项为1,公比为2的等比数列，a„=2,,"';(2)由(1)得b,=na,=n-2n-',则7；,=1-2"+2•2'+3-22+-+n-2"-',27],=1•21+2-2*+3-2:,+-+n-2”,两式相减得一£=2"+2]+2?+2；'+…+2"T—n-2"=W-n-2",化简得7；=1-2"+n•2"=(n-1)1-z-2"+l.【练习3】已知数列｛a„｝的前n项和为S“，且3s”=4a”-2.(1)求｛%｝的通项公式；(2)设b“=a,.+i•log?%,,求数列｛，,｝的前n项和累.【答案】⑴%=22"-1 (2)7；=当+嗒5x2'2"+3【解析】(1)当ri=1时，3sl=4a1—2=3al，解得5=2.当n>2时，3on=3S”-3S”-i=4%—2—(4a„_i-2),整理得％=所以｛a,J是以2为首项，4为公比的等比数列，故“=2x4"t=22"T.(2)由(1)可知，hn=an+i-log2a„=(2n-1)X22n+1,则7；=1x2"+3x2$+…+(2n-1)x22n+I,47；=1x25+3x2，+…+(2n-1)x22n+3,则-37；=2:,+2"+2,+…+2如+2-(2n-1)x22"+:,6n—56n—596九一5

3=23+中;一6九一5

31—4 3个+i【练习4】已知数列｛4｝满足a,=l,a“+产二eN+).(1)求证数列｛,｝为等差数列；(2)设b“=7i(7i+l)a“，求数列｛b“｝的前ri项和S,,.【答案】(【答案】(1)证明见解析【解析】(2)S„=(n-l)-2n+1+2(1)由已知可得龄=4+2"nn+1，即^—(1)由已知可得龄=4+2"nn+1，即^—=—a“+i%.2nnn+1nn (on]+ -=1,—\Qr“lCLu是等差数列.(2)由(1)知，+(n—1)x1=m+1,=—"1、：.bn~n*2"CLnQ[ 72-r1S“=1•2+2•2?+3•2'4--+n-2"2Sn=l-22+2-2：'+…+(n-l)-2"+n-2,i+1相减得,-Sn=2+2?+2:,+-+2”-n-2n+l=2(；)-n-2Hl=2n+,-2-n-2n+,1—2.•.S„=(n-l)-2',+1+2♦裂项相消法把数列的通项拆成相邻两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.在消项时要注意前面保留第几项，最后也要保留相对应的倒数几项.例如消项时保留第一项和第3项，相应的也要保留最后一项和倒数第三项.常见的裂项形式：⑴_I一=±f±__!_).vn(n+fc)k'nn+k^⑶ 1 =J_/ 1 1 \''(2n-l)(2n+l)-212九一1—2九+1〃(3)石土(4)―2n+1—=_1 1 n2(n4-1)2n2(n4-1)2,⑸2n二］ 1.' (2n-l)(2n+1-1)-2n-1 2n+1-1*2n(4一-1)=2n27In(n-l-1)-+1九,(7) Tk±l = I I (2n-l)(2n+l)2n (2n-l)2n+1 (2n4-l)2n+2*

(—l)”(n+l) (-1)"+'(1(2n+l)(2n+3)-4\2n+l2n+3)/~~=(-l)n(Vn+Tn^T)= -(-ly-'T^T]Vn-vn-1L___= 1_____1 1n(n+1)(n+2) 2Ln(n+1) (n+1)(n+2)Jn,n!=(n+1)!—n!/-] / 1 i»(fc+i)!"fcr-(fc+i)!【经典例1】已知正项数列｛册｝中，5=1,a"】一0=1,则数列［―L—)的前99项和为( )I@n+l+&JA.4950 B.10 C.9 D.495(J【答案】C【解析】因为aM-M=l且就=1,所以，数列｛屋｝是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，a：=1+n—1=n,因为数列｛□“｝为正项数列，则a,=Vn,则讲：=舄+e=(下钉湍焉一百)=一否+后钉,所以,数列｛以±£的前99项和为-1+ —V2+>/3—,,,——99+V100=10—1=9.故选：C【经典例2】【经典例2】数列｛q“｝的通项公式为册=2tz+1

n2(n+1)2(ri€N”),该数列的前8项和为【答案】翁【解析】因为27i因为27i+1

n2(n+1)21 1 1 80=1-8T=8T-所以S,= …故答案为：察.O1【经典例3】【已知数列｛%｝的前n项和为S0=疗,若鼠=」一,则数列｛bn｝的前ri项和为_AQ/i+1【答案】号【解析】当72=1时，Qi=Si=F=1,当ri>2时，4=S“-Sn_\=n2—(n—1)2=2n—1,且当九=1时，2n—l=l=Qi,故数列｛an｝的通项公式为an=2n—1,

bH=---= L = 弓1；),'QnQ”+i(2n—1)(2n4-1)22n—12ti+1，则数列｛"J的前ri项和为：1[(i-J)+(J-1)+(1-7)+■--+(2^-2^)]=^[1-2^?]=2^+7-故答案为：。2n-F1【练习1】数列(.,)的前2022项和为( )A.«缪一L B.，4()普-1 c.V4043-1 D.V4045-1【答案】B【解析】解. 1 = +1--1 = +1--1Ryj2n4-1+y/2n-1-(V2n+1+V2n-1)(V2n+1-V2n^TT- 2-记｛，2n+i；5-J的前几项和为T",则四)22=｝(V3—VT+V5—V3+V7—V5+…+J4045—5/4043)=.(5/4045—1);故选：B【练习2】数列｛即｝的各项均为正数，与为其前几项和，对于任意的nW 总有4,S“，*成等差数列，又记bn= ,数列｛bj的前几项和方= .a2n+l'02n+3【答案】6【答案】6九+9【解析】由对于任意的nWN",总有册，S〃，q：成等差数列可得:2S”=%+，当71~2时可得2S,Li=a4_i+anT,所以2ar=2S”-2sn_[=*+an- -an.[,所以*—a„—o4t—an-x—0,所以(%+an_j)(an-q吁i-1)=0,由数列｛aJ的各项均为正数，所以%—%T=l,又71=1时*—Qn=。，所以。1=1,所以a„=n,,二1_ 1 =1_( 1 1 \"a2n+i・a2n+3 (2九+1)(2n+3) 2,2n+l 271+3，'T=—(- LJ： 1_J 1 1——)=JLfJ： 1——)=——H——“213 5 5 72n+l 2九+3， 2、32打+3，6九+9.故答案为：6Tl+9,原习3】击+*+鲁+…+房可= -【答案】一6七【解析】..k=一+1—1_J 1 *(fc-Fl)!~(fc+l)!一百-(k+l)!，.±.J_.A-lIm=1L_l_1 L+J L+. 1 1,1 1"2! 3! 4! (九+1)!- 2!十2! 3!十3! 4!十…十(九一1)!加十川(n+l)l](九+1)!,故答案为："岛T【练习4】设数列｛q〃｝满足s+4a2H—+(3n—2)a„=3n,(1)求｛斯｝的通项公式；(2)求数列｛肃1｝的前几项和空.【答案】(l)a„=、，-yon-z⑵£尸帚【解析】(1)解:数列｛%｝满足Qi+4q2H 卜(3n—2)a„=3n,当n=l时，得缶=3,n》2时，a1+402T 卜(3n—5)a„,i=3(n—1),两式相减得:(3n-2)4=3,.__3一4一3九一2，当n=l时，。1=3,上式也成立..门二3 .3n-2，(2)因为———= [JM；3n+l(3n-2)(3n+l)J=1 3n—2 3??,+1'TOC\o"1-5"\h\z•T=— -- - -| 1 ——・“ 1 4 4 7 3n-2 3n+l'=1 ——=——3n+l3n+r【练习5】已知数列｛q,J的前几项和为Sn，且2Sn=l—(1)求数列｛4｝的通项公式；

，求数列｛GJ的前几项和Tn5/71+1-，求数列｛GJ的前几项和Tn【答案】(l)a.=《 (2)7；=1—-7==3 vn+1【解析】(1)当n=l时，2四=25=1-。[,解得：Qi=[;o当nN2时,2a„=2Sn—2Sn-y=1—a„—1+an_1,即an=石qti,o数列｛4｝是以春为首项，4-为公比的等比数列，・・.a”=«J o 'J'J⑵由⑴-g川⑵由⑴-g川=1y/n4-1F一 1 . 1 1 . 1 1 , , 1 1 . 1 1一 1['='-F。-KFFi-FF-~【练习6】已知数列｛%｝中，2物+21a2+…+2%=』・2".(1)证明：｛a“｝为等比数列，并求伍“｝的通项公式；(2)设一=,求数列｛b.｝的前n项和S”.n(n+1)9n【答案】(1)证明见解析；a“=2"T(neN*)(2)集【解析】⑴解:2"。|+2"-%+…+2a„=n-2n,即为四+号+…+^7=" ①，又％+号+…+空= ②,①一②得券=1，即M=2"T(n>2),又当71=1时，5=1=21-1,故%=2"一(九€N*)；从而等=/7=2(nCN'),z所以｛4,｝是首项为1,公比为2的等比数列;⑵由⑴得几=端哥2nt

n八/2⑵由⑴得几=端哥2nt

n八/21 20\所以Sn= 1)■)n+1Tn+1—1.【练习7】记S”是公差不为零的等差数列｛%｝的前m项和，若$3=6,a：；是5和ag的等比中项.(1)求数列｛4｝的通项公式；(2)记bn=.I—，求数列｛”,｝的前20项和.Qna；i+l^n+2【答案】(l)a“=n,neN・(2)晦【答案】(【答案】(1)%=2几-1 (2)7；=n4-2n+l【解析】(1)由题意知曷=QI・Q9,设等差数列｛a,J的公差为d、则Q](Qi+8d)=(a]+2d):因为d#0,解得Qi=d又$3=3。]+3d=6,可得Q1=d=1,所以数列｛q,J是以1为首项和公差为1的等差数列，所以“=Qi+(ri—1)d=n,nWN*⑵由⑴可知^=n(n+1J(n+2)= -(n+iXn+2))，设数列｛〃｝的前71和为7；,则T=J_/_l 1_,_J 1_, . 1 ]n-2V1X2 2X3+2X3 3x4十n(n+l)(n4-l)(n+2)二1—(n+l)(n+2)｝所以笃尸/x©一£^)=撮所以数列｛b,J的前20和为捐【练习8】已知等差数列｛册｝满足Q：s=7,。5+。7=26,6几=(1)求数列｛a.｝,｛b0｝的通项公式：(2)数列｛6„｝的前n项和为S”,求S..【答案】(l)a„=2n+1,b,= /1, (2)S„=-,n.4n\n-Fl) 4(n4-17【解析】(1)由题意，可设等差数列｛a“｝的公差为d,则上+42ff二”，解得5=3,d=2,(2qi4-10a=26二a“=3+2(n-1)=2n+1;-b=-^—= 1 =_1—=-1—."就一1 (2n+l)2-l 4n2+4n4n(n+l),(2)V6"=4n(n+l)=T(^-dn-))Sn=T(1_T+T_l+-"+n_du)=T(1-^TT)=^TI)【练习9］已知正项数列｛七｝的前几项和为S“，且4、％+1、S“成等比数列，其中nGN'.(1)求数列｛4｝的通项公式；(2)设“.=/一,求数列｛鼠｝的前几项和7；.^n^n+1n【解析】⑴解:对任意的nWN',an>0,由题意可得4S〃=(%+l)2=a^-F2an+1.当n=1时，则4Q]=4S]=a；+2%+1,解得出=1,当 时,由4Sn=a"2a”+1可得4Sn_i=a〉i+2a“t+1,上述两个等式作差得4%=q：—an-i+2ari—20nt,即(4+an_i)(an-aTi-l-2)=0,因为％+an-i>0,所以，%—%t=2,所以，数列｛q,J为等差数列，且首项为1,公差为2,则an=1+2（n-1）=2n-1.小一八n(l+2n-l)(2)解：&二=~~2——"mik4S“ 47』4疗-1+1 11" %册+1(2zi—1)(2九+1)(2ti—1)(2九+1) (2n—1)(2n1)If1 1_\22n-1 2九十1〉因此,0=71+和一/+^Y+…+赤匕一分缶>)=n+寻丁【练习10】已知Sn是数列｛aj的前n项和，a1=1,.①VneN•，M+M+产4n：②数列愕｝为等差数列，且松｝的前3项和为6.从以上两个条件中任选一个补充在横线处，并求解：⑴求4；（2）设.=:+0,求数列｛b,t｝的前n项和Tn.【答案】（1）条件选择见解析，%=271-1（2）4=R（2九+1尸【解析】⑴解：选条件①：VnEN,,册+%>1=4n,得Qn+i+a“+2=4（n+1）,所以，a〃+2-Q”=4（n+l）—4n=4,即数列｛的1｝、｛电人｝GWN）均为公差为4的等差数列，于是a2k-\=ai4-4（fc—1）=4fc—3=2（2fc—1）—1,又%+电=4,a2=3,出人=&+4（k-1）=4k—1=2•（2k）—1,所以&=2n-1;选条件②：因为数列｛今｝为等差数列，且｛曰｝的前3项和为6,传丁十万■十丁一JX万一。，圻以下--2,所以｛今｝的公差为d'=^■—苧~=2-1=1,得到-=1+（九一1）=九，则S”=疗，n当n>2,%=S“一S,i="—（n—l）2=2n—1.又q1=1满足厮=2n-l,所以，对任意的nEN,an=2n-l.

⑵解：因为b"=(；慝＞=(2n-Wn+1)2=1[(2n-l)2-(2n+l)2]'所以方=瓦+b升已一/+=一春+…+石匕尸一访力]=U._ 1 1=2n(n+l)F(2n+l)2J-(2门+1)”【过关检测】一、单选题n2"D2n+1-n-2D.2nC.n2"D2n+1-n-2D.2nC.2M-n+lD2/i+22n【答案】B【解析】由S=———+•••-\---wn2 4 8 2"两式相减得会“=4+(y)'+(y)!+(y)'+,"+(y)"i-42n/1\"+l.. 1i-42n/1\"+l.. 1 (1\n+l2"j―2

2"i所以S“=2"j—2271故选：B.2.数列m・24的前刀项和等于（2.数列m・24的前刀项和等于（).A.n-2n-2n+2B.n-2"+,-2,,+1+2C.n-2n+1-2nD.n-2n+,-2"+1【答案】B【解析】解：设｛n・2”｝的前〃项和为S“,则S„=lx2'+2x22+3x2:,+---+n-2n,所以2s0=1x2?+2X23+…+(n-1)-2-+71・2血,①一②，得一S“=2+22+2：'+…+2”—71・232(1-2n)1-2-n-2n+l,所以S“=n-2"+1-2"+1+2.故选:B.3.已知等比数列｛<rn｝的前ri项和为Sn,若S3=7，S；=63,则数列｛nan｝的前几项和为（

A.—3+(7i+1)x2tt.B.3+(7i+1)x2nC.1+(n+1)x2nD.1+(n—1)x2n【答案】D【解析】设等比数列｛cm｝的公比为q,易知qWl,两式相除得1+4'=9,解得9=2,进而可得。1=1,所以cm=囚7nt=2n-1,所以nan=nx2n-1.设数列｛nan｝的前几项和为Th,则7Vi=1x2"+2x2】+3x2?+…+?ix2ti1,2T7i=1x21+2x22-F3x234-,••+九x2n,1_nn两式作差得一Tn—1+2+2?+…4-2n1—nx2n——：——nx2n——14-(1-n)x2n,i—2故Tn=14-(n-1)x2n.故选：D.TOC\o"1-5"\h\z4.已知等差数列｛%｝，&=3,函=6,则数列[二一J的前8项和为( ).IQn^n+1JA.B. C.-- D.25 5 5 5【答案】B【解析】由电=3,05=6可得公差d=。、©=1,所以Q,7=a?+(n—2)d=n+1,%%+】M+DM+2)n故选：B5.已知数列｛a“｝的前n项和为S„,S0+4=册+(n+1)-.记6“=-—，数列的前n项和为7；,则Z,的取值范围为(A•谒韦 B•[卷4] C.[y，+0°) D-[y-7)【答案】A【解析】因为数列｛a“｝中，Sn+4=q”+(九+1产，所以Sn+]+4=%十]+(n+2尸，所以&+|+4—(S”+4)=an+1—

%+2n+3,所以a“=2n+3.因为脱产以尢，所以b“=不百薪力=4（五片一寻万），所以方=4©与一击+…+百%—寻万）=4©一分为）.因为数列⑶1｝是递增数列,o 1 4 R A当ri=1时，Tn=,当九t+8时，———=--*0,Mt3，所以7^-&，V亍，所以7]j的取值范围为O«j I/ • Oo I[A当[而不入故选：A.6.已知数列满足a1+2a2+3a：$+…4-nan=n？，设b“=nan,则数列~)的前2022项和为IaQn+lJ()A4042 p2021 p4044 n2022A4043 ”4043 4045 口，4045【答案】D【解析】因为Qi+2a2+3a3+…+71。〃="①，当九=1时，%=1;当ri>2时，Qi+2q2+3q：i+…+(n-1)an-\=(n—1)“②，①一②化简得册=券工，当n=1时：Qi=2斗__-=1=1,也满足％=2"九L,所以%=与1-=2…，*=(2n—J(2n+l)=-1-露)所以的前2022项和,(1一,+i•一…+2X2^2—]—2X2；22+1=±(1 1 )=20222、 2x2022+1，4045,故选:D7.已知数列｛a“｝满足a1=1,且Q.=(1an)an+1,nGN,，则5Q2+a2a3+Q3Q』+ +。2020。2021=（）D.22021A-2021BD.22021【答案】B【解析】TOC\o"1-5"\h\za,.=(1+a“)a“+i,即a„+1=r,则J—= ]1 Qn+ia”d7二数列(，-｝是以首项卷=1,公差d=l的等差数列1 1则一=1+n—1=72,即5=一au n

. _ ] _i,,Qn%+L而而一元一亦7则a1a2+aja：\+。：口』+ +q202M重曰=1一彳+万一至十_J 1_J 1_2020十2020—2021—2021则数列｛鼠｝的前61项和为（A.7-V3 B.7C则数列｛鼠｝的前61项和为（A.7-V3 B.7C.8-V3 D.8【答案】C【解析】解：因为等差数列满足03=5,%=9,所以d=与~察=1,所以a”=Q：,+（ri—3）d=九+2,所以=I_f；/_r=，n+3—，n+2,令数列｛，J的前九项和为Sn,vn+3+vn+2所以数列｛b“｝的前n项和S”=>/4一\/3+V5—a/4+…+3-/九+2=5Ai+3-\/3,所以S（；i=8—V3.故选：C.9•设数列｛万+E｝的前几项和为冬，则（A.25Vsioo<25.5 B.25.5<Sl00<26C.26<S1()n<27D.27<S1IX)<27.5【答案】A【解析】由 迂 )=41+4 1 )］」+W(2n-l)(2n+l) 44n2-l 4V4n3-P4L2\(2n-1)(2n+1)/J4十If1 1A8V2n-12九+1八—+—(1——-I-- —+—(1——-I-- h 1 ?一4干3 3 52n-l12n+1)4+和1xn(n-bl)2九+1 2(2n+l)'Sinu=100x1012(2x100+1)%25.12,故选：A.10.已知数列｛an｝满足a“=1+2+4+…+2"T,则数列｛言三■｝的前5项和为（13TB•表r13TB•表C-3?【答案】D【解析】因为％=1+2+4+…+2"T=2"-1,0n+i=2"+i-l,,2" 2" (2"+,-1)-(2"-1) 1 1a„a,l+l(2n-l)(2n+1-l) (2n-l)(2n+1-1) 2"-l 2n+,-l'

所以(一--\前5项和为(" J-)+(―^ 一)h—1-(— r~r)=~~r Ianan^[J' 12】一1 22-Pv22-1 23-1>/ ^25-1 26-P 2-11=] 1=6226_1- 63-63故选:D11.己知数列｛%｝11.己知数列｛%｝的首项四=1,且满足％+1—册=2"（九GN*）,记数列Qn+1(a„+2)(Qn+i+2)的前几项和为备,若对于任意nWN*,不等式久>7；恒成立，则实数1的取值范围为（ ）A.",+8)B.("I■，+8) C[[,+8) D.A.",+8)【答案】C【解析】解：因为a”+1一Qn=2"(72€N*),所以。2—。1=21因一。2=2?,Q1一%=2'， ,Q〃一Qri=2"T,2(1—2"一|)所以a〃一Qi=21+2?+…+2"i= ；— =2"—2,(n>2),又Q[=1,即时=2”-1,所以+1=2",i—2.TOC\o"1-5"\h\z„ 册+1 2" 1 1所以 = = (a“+2)(%+i+2) (2"+l)(2n+1+l)2n+l2n+1+1*所以T=—— 1 -I =- <—2'+1 22+1 22+1 23+1 2"+1 2n+,+1 3 2"+1+1 3所以1的取值范围是[寺,+8).故选:C12.在数列｛4｝中，出=3,其前n项和S“满足S”=八（马翼），若对任意打€N+总有-11+ -+…+看14"亘成立,则实数/1的最小值为（ ）43n—1A.1 B. C. D.鼻j / j【答案】C【解析】当九>2时，2Sn=nan+7i,2Sn-i=（九一l）an-j4-（九一1）,两式相减，整理得（n—2）an=（n—1）。口-1—1①，又当C3时，（n—3）an_i=（n-2）an.2-1②，①一②，整理得（n—2）（%+4-2）=（2n—4）%t，又因n—2W0,得d+。叱2=247,从而数列｛aj为等差数列，当71=1时，Si=Q-y即。1='号一，解得。|=1,所以公差日=。2—。1=2,ctc,c .Ti（n-1）.q则a„=2n—I,Sn=naxH % a=7r,故当71>2时‘ +…+…+…+（2n—J（2n+l）=｝["寺+1-J+…却一^?），

易见)(1—o\1)随九的增大而增大，从而)(1—o\1)V士恒成立，所以1 故4的最小值为z\zn+1/ Z\ 271十i/Z Z1故选：C.二、填空题1.已知正项数列｛cm｝满足=2且an+i—2an2—cman+i=0,令fen=(九+2)cm,则数列｛bn｝的前8项的和等于—・【答案】4094【解析】由一+i-2雇一anau+l=0,得(an+i+an)(an+i—2an)=0,又 >0,所以an+i+an>0,所以an+l—2an=0,所以3H=2,Qn所以数列｛an｝是以2为首项，2为公比的等比数歹，所以0M=2x2"T=2",所以b“=(n+2)a„=(n+2)•2",令数列｛历i｝的前rz项的和为Tn,7；=3x2'+4x224---+9x2m)则2K=3X2?+4X2：'+…+9x2、-K=6+(22+23+…+28)-9X29=6+半篝-9X2。—Z=2-8X29=-4094,则7；=4094,故答案为：4094..已知数列｛an｝的前九项和为Sri,且Sn=2an—2,则数列|的前几项和Tn=【答案】2-nd-【答案】2-nd-22”【解析】解：•.•S7z=2cm—2, = —2(tz>2),设公比为q,两式相减得：an=2an—2an_1，即an=2an.x,n>2,又当九=1时，有Si=2ql2,解得：Qi=2,/.数列｛an｝是首项、公比均为2的等比数列，/.an=2n

又如=5+/+2+,•,+£，21 22 232n1小 1,2, .n-1,n歹/八一/+京+…+"^7~+^T，FA4,A椁Ie1,1,1, ,1n_t[1-(T)]n两式相戚得：彳丁门=彳+了+豆+…+万•一行= -y 下订,1-y整理得：如=2一梦2.故答案为：7%=2一堂2..将（1+xy（neN+）的展开式中炉的系数记为a“，则工+上+•••+二一= 02 Q：3 /015【答案】4028【答案】40282015【解析】(1+1)”的展开式的通项公式为714-1=或/,令k=2可得%=a=2<ng-“I-L=-2—=2(-J工)・%n(n-1)'n-lny,所以/+*+…+六=2（1-/）+2借一4）+—+2（薪厂壶）=2(1—_1_\40282015f=2(1—故答案为:4028故答案为:40282015,4.数列4.数列｛q”｝的前项九和为Sn，满足Ql=—］，且a〃+Qn+l=品小CN*）,则*【答案】2n【答案】2n

271+1【解析】由题意，数列｛a,J满足a„+a,1+(=,nr+2n可产, = 2 = 2 =_1 1_已付出nT十&n—(24_]产+2(2九_1)一(2n-l)(2n+l)一诟:T一而三T'-o_l1,1 1. . 1 1— 1 _2n所以s2n=¥-3+3一至+…+右二？一元钉=1一而不y=方钉，故答案为:虐T三、解钥R1.已知数列｛q/满足Qi=1，2an+ian+an+i-an=0.（1）求证:数列｛十｝为等差数列；（2）求数列｛a“a“+J的前n项和S,,.【答案】（1）证明见解析；⑵S，尸号•【解析】(1)令b=――因为b-b= -=—0>L=2Qn ”Qn+IQn册,M+l所以数列｛>｝为等差数列，首项为1,公差为2;(2)由(1)知：—=2n-l;故4=坛上J；所以0nM+i=(2n_1)1(2n+i)=5(-I一诟'T)；所以Sn=aia2+ +…+/%+1=*+ +-+(2n-i)；2n+l)=11」+工_:..+」 L_\=.?—■2a3 3 52n-l2n+l，2n+l*2.已知正项数列｛册｝的前n项和为S”，a“+L0n=3(neN*),且S3=18.(1)求数列｛an｝的通项公式；(2)若b“=」一,求数列他,｝的前n项和Q^Qn+l【答案】⑴a“=3n(2)7；=石%yn-f-y【解析】(1)•••%+L%=3,.•.数列｛a“｝是以公差为3的等差数列.又S；,=18,3al+9=18,a1=3,a„=3n.⑵由⑴知鼠=砌/&旬=»©一击)’于是£i+"+M“+b产和1一十)+(｝一专)+佶_｝)+・"+©―+)]=§(1_m)=^^.已知数列｛a,.｝的首项为3,且M—an+1=(an+1-2)(an-2).(1)证明数列｛dq｝是等差数列，并求｛4｝的通项公式：⑵若b“=(-1)"五号t，求数列他｝的前n项和S”.【答案】(1)证明见解析；a“=?+2⑵一l+(f"毋【解析】(1)因为0n一册+尸(an+i-2)(%—2),所(an-2)—(an+l—2)=(an+l—2)(%—2),则一。——\=1，所以数列(一是以丁Ly=1为首项，公差等于1的等差数列,.•.^■^•=1+(n-l)=n,即0n=《+2;(2)b“=(-1)”^Y