天津市河东区2021-2022学年高二上学期期末考试数学试题（解析版）

天津市河东区2021-2022学年高二上学期

期末考试数学试题本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟.答卷时，考生务必将K答案》答在答题卡的相应位置.考试结束后，将答题纸交回.祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：.请同学们把（答案）1按要求填写在答题卡上规定区域内，超出答题卡区域的K答案?无效！.本卷共9小题，每小题4分，共36分.一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.V'll.双曲线34 的焦点坐标为（ ）A"0）B（均①C（±L°）D（±7，。）K答案2AK解析』由题意得双曲线的焦点在x轴上，且T=3,"=4,：.c=yJa2+b-=>/7（ 双曲线的焦点坐标为（土近，°）.故选：A..如果抛物线炉=火的准线是直线》=1,那么它的焦点坐标为（ ）A.。,。）b.（2，°）CH，。）d.（T°）K答案XDK解析』由于抛物线的准线是直线》=1,所以它的焦点为（T'°）.故选：DTOC\o"1-5"\h\z.已知双曲线的一条渐近线为*一6'=°,且一个焦点坐标是（一2°）,则双曲线的标准方程是（ ）2 2 2 22x X2 2y y2y V X XA.3=1B.3 =1C.3=1D.3 =1r解析x由题设，双曲线实轴为x轴，且渐近线为x-6y=°,r2-=1...双曲线的标准方程是3故选：B.已知抛物线V=4x的焦点为F,P为抛物线上一点，过点户向准线作垂线，垂足为Q,若/叮Q=60。，则四|=（）A.1B.2C.3 D.4K答案2DK解析］］根据题意作出简图，如图所示：根据抛物线的定义可知「Qi,结合"=600,可得/\FPQ为等边三角形，所以』PQF=NQFN=60°,在RtZXQN尸中,因为⑼=2,所以囱=4,所以附=4故选：D.pp C:《一与=1（。>0,6>0）.已知心,%分别为双曲线«-b2 的左，右焦点，双曲线q上的点a满足|A耳卜2|AK|,且的中点在y轴上，则双曲线C的离心率为（）+1A.2B.KC,2D,百+1K答案》BR解析｝1设"（一仁①，五式g°）,双曲线C上的点A满足|A6t2|A8］,A耳的中点。在

y轴上，可得口闾二口周"包闫明1,二人心,月名,即有AE’x轴，A的横坐标为。，如图所示：在直角三角形A耳八中，"*月=60°,tanZf；Af；=^=-^T=V3可得 4 ,2e_/z即为/二即氐2_2e_途=0,e>lf1I- B= 解得e=J3,或 也（不合题意，舍去卜b〃= (〃b〃= (〃£N*),设a,J%+1，.已知数列｛“"｝是公差不为零的等差数列，若4=5,且S,=TOC\o"1-5"\h\z则数列出｝的前"项和5”为（ ）\o"CurrentDocument"n \ \ nA.3«+9b,3〃+9c.a+3d,n+3（答案XAK解析W数列｛“/是公差不为零的等差数列，设公差为“，[%=5n7x6 椁=3、=42卜4+3=42I2，解得WT,所以cin=6?|+（7?—l）d=3+，—1=/?+2b= — 所以"（〃+2）（〃+3）〃+2〃+3S=1_1+1_1++_J 1_=1__1=n所以数列｛"｝的前〃项和“3445n+2n+33n+33n+9故选：A..在正项等比数列｛""｝中，吩7=3,则数列｛l°g3。"｝的前9项和为（）TOC\o"1-5"\h\zH9 15 13A.2 B.2 C.2 D.2K答案》B29log3ax+log3a2+・・・+log3%=]og3（Q]〃）•••a8a9）=log332=—K解析X由题意知- ' 2故选：B.8,已知数列｛"J满足2""+1=4+4。用且6=1,则“2022的值为（A.1B.2 C.4D.一4K答案》AK解析］因为数列｛“力满足血川=4+4凡+|且。3=1,所以2%=4+。2%,2%=4+%%,所以%= %=4乂2a2=4+。]生2%=4+a4a5所以4=4，6=-2又2。6=4+%。6,所以“6=1所以=4,々2=-2,〃3=1，%=4M5=一2,=1所以数列｛"/是周期为3的周期数列，所以%。22="674x3=%=1.故选：A.9.我国古代数学名著《算法统宗》记有行程减等问题：三百七十八里关，初行健步不为难次日脚痛减一半，六朝才得到其关.要见每朝行里数，请公仔细算相还.意为：某人步行到378里的要塞去，第一天走路强壮有力，但把脚走痛了，次日因脚痛减少了一半，他所走的路程比第一天减少了一半，以后几天走的路程都比前一天减少一半，走了六天才到达目的地.请仔细计算他每天各走多少路程?在这个问题中，第四天所走的路程为（ ）A.96 B.48C.24D.12K答案HcK解析』由题意可知：每天所走的里程构成公比为2的等比数列.— ——-=378,.*.x=192 /j丫1-1 192x-=24第一天走了X里， 2 .第4天走了121故选：C.第n卷注意事项：.用黑色墨水的钢笔或签字笔将［答案》写在答题卡相应位置上..本卷共11小题，共64分.二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.10.设各项均为正数的等差数列｛"」的前〃（〃eN"）项和为$5=20,且％7是与与””的等比中项，则数列｛"」的公差d为.K答案》1k解析》设各项均为正数的等差数列｛"”｝的公差为因为4t是生与知的等比中项，所以a-。2=%即，, f5x41=20 5a,+—J=201 2 2 7所以（6） 2" .（%+54-1）2=（4+"）（4+10"）,解得d=l或17（舍）.经检验满足题意.故K答案》为：I.11.若数列也）的通项公式凡=2”,其前5项和$5=K答案52-2K解析》数列｛""｝的通项公式为=2”2〃+i -2，故数列｛%｝首项为2公比为2的等比数列,SL-U.2所以1-2 .故《答案』为：26-2.12.已知数列｛叫的前〃项和为S.,若q=10,%_加=_2,则5„的最大值为K答案》30工解析》由""一明=—2可得数列｛叫是以4=10正以为首项，一2为公差的等差数列,所以％=10-2(71-1)=12-2//”=12—,解得〃W6.所以4，。2,…%>0,%=°，%,4，・,・，。〃<0c__q_6x(lO+o)贝点”的最大值为5-6= - =30故工答案》为：30.13.已知3是数列｛%｝的前〃项和，，,=14〃一〃2则。“=若看=同+同+同+…+同,则金=K答案》15-2〃 218(解析XSH,则S，t=14(〃T)_(〃_i)2(〃？2)两式作差得到…—河当〃=1时f=13成立,故得到…一2%当〃47时，*=/+1闻+同+…+|a[=a+&+F=a3+；2〃)〃_(14_")〃当在8时，7同+同+闻+—+....+%_(%+%+…+%)八7-3』=257*98-若叽98-(14-〃)〃=〃2—14〃+98TJ(14-〃)〃,〃47故得到： 〔斤一14〃+98,〃28,4=218故K答案U为：4=15-2〃；G=218

2 22 2C:^-r+-=l(a>b>0)14.已知椭圆b-过右焦点F且斜率为6的直线与椭圆C相交于AF=-FB48两点，若 2,则椭圆C的离心率为2（答案H3」解析』如图,作AD垂直右准线交右准线于点D,作BC垂直右准线交右准线于点C,作A£垂直8C于点£,一1一AF一1一AF=-FB由2 ,设=也同=2/则|的=3加所以I明平。|住仁又直线A6的斜率为百，所以NA5£=NA&=60：cosZABEcosZABE-所以\AB\~3eX215.若方程4-，t-l 所表示的曲线为C,给出下列命题:①若C为椭圆，则实数f的取值范围为（L4）；

②若c为双曲线，则实数f的取值范围为（h/）u（4”）；③曲线c不可能是圆；其中真命题的序号为.（把所有正确命题的序号都填在横线上）K答案》@@2 2xty1 1 =1（解析』方程4/-I所表示的曲线为C,①若C为椭圆，则需要满足‘4-①若C为椭圆，则需要满足‘4-f>0f—1>0n<4一，工，一11</<45t手一2=姓1，|故①不正确;②若C为双曲线，则满足（4一,）（/-= 或，＞4,故②正确;③当曲线C为圆，则需要满足4-f>0t—1>0 <4-r=r-lI</<45=f=③当曲线C为圆，则需要满足4-f>0t—1>0 <4-r=r-lI</<45=f=一2,故③错误;④若。为椭圆，且长轴在x轴上，则需耍满足三.16.解:4T>0t-l>04-力f-14-r>t-\=叱1，|,故④正确;解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.已知照圆的方程为9炉+4/=36,写出它的长轴长、短轴长和焦点坐标.2 2 £+£=1椭圆的方程9^+4丁2=36化为标准方程为4 9因为9＞4,所以焦点在＞轴上，/=9,尸=4所以/=&2_82=5,a=3,b=2,所以c=6,所以长轴长为方=6,短轴长为26=4,焦点坐标为仅'8），（°,一途）.1 7/\ sSn=—(alt-^\}[neN17.已知正项数列—的前〃项和为4 、(1)求“1、%;(2)求证：数列｛《J是等差数列.TOC\o"1-5"\h\z4=一(4+1) _](1)解：由已知条件得：4 a>=l又有 +1)[即嫉-2a「3=0解得4=T(舍)或%=3..E,-S„_]=-+if-十।)一]=J[d-41+2(%-%)]•• 9即4%=片一+2a„-2a，一，・4一。3+2%-2%=0•，.(%+41)(4-4.1-2)=0•，...an_q,T_2=0即a“—a“T=2(〃i2),经过验证"=1也成立，所以数列｛4｝是首项为1,公差为2的等差数列.18.已知抛物线C的顶点在原点，对称轴是坐标轴，旦经过点A(4.2),产为抛物线的焦点.(1)求抛物线C的方程；(2)若8(4,1),P为抛物线上一动点，求忸耳+归目的最小值.解：(1)①当抛物线的焦点在x轴上时，设抛物线：y1=2px(p>0),又...抛物线过A(4,2),，4=8p即0 2,...抛物线方程为V=X；②当抛物线的焦点在y轴上时，设抛物线：x2=2py(p>0),•..抛物线过A(4,2),，16=4p；.p=4,抛物线方程为f=8y,综上抛物线方程：丁=》或『=8%(2)①当抛物线：f=8y,如图则当AP、B三点共线时，P在R8之间时，户目+归却取得最小值,此时I"㈤依|=|所|,又尸(°,2),B(4,1),.•.|FB|=V47TF=Vi7j,(|E+|P8|)1nhi=如②当抛物线：V=x时，过P作PM_L准线/于M,.•.四卜附，...(附1+陷)由=(1尸叫+阀二当B、P、M共线时，俨月+忙园取得最小值，又准线/：“一4,J7此时|明+|用=|尸闾+|啊=忸”|=彳17综上：最小值为‘万或4.仁，-，19.已知中心在原点，焦点为£(一2,0),工(2，。)的椭圆经过点(2'2)(1)求椭圆方程；TOC\o"1-5"\h\z‘十 ’(2)若M是椭圆上任意一点，交椭圆于点a,用名交椭圆于点"求旧7住回的值.\o"CurrentDocument"2 2=+二=1(〃>/?>0)解：(1)设椭圆方程为矿b-由椭圆定义知：7泗fl)+信2)+㈢=2而即"(2)法一：以左焦点为极点，6K为极轴建立极坐标系,p= p= C则椭圆的极坐标方程为 l-ecos0(e为离心率且c).ep ep设A（02,乃+。），贝，"用dl-ecos。，]+ecos。|MK|_l+ecos（9_2 ] |“用_21M用】.|fJA|1-ecos。1-ecos。即忻川eP闾2|M-…•―，—]同理，有住用ep

MFt\\MF2\21M制 21gl 2(|M£|+|M5|) 4a2,4x10、146A|\F2B\epep ep b~6 3法二：设历，A,々在左准线 c上的射影分别为Mi,A,Q如下图,I”卜等闸=gc4|M|=^R|_R|

厂丁上卜1叫一2|呐\AM\|Af；|+|F；M|-1回一也_|初——由相似形及和分比定理得A用 Mlcec'c|^|2\MFt\ \MF2\2\MF2\恒耳|-eb^_ 忸用一eb^_\MF.\ \MF,\ 2n . .n\MF.\ \MF,\ 2n . .n狗 BE eb2Vl " । 2174a2 40 14—2=-；-2= 2=—b2 6 320.已知等差数列MJ中，4=2,%=3