历年考研数学二历年真题

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1-8小题,每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在等厚纸指定位置上.2TOC\o"1-5"\h\z(1)曲线y= 的渐近线条数 ()X--1(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(2)设函数/(x)=(e'-l)(e2:2>7/-〃)，其中”为正整数，则/'(0)= ()(A)(一1严(〃一I)! (B)(-l)"(n-l)! (C)(-l)"-'n! (D)(一1)”〃！(3)设>0(〃=1,2,3…)，Sn=ax+az+ai+-+an,则数列｛S“｝有界是数列｛%｝收敛的()(A)充分必要条件 (B)充分非必要条件(0必要非充分条件 (D)非充分也非必要(4)设lk=J：『sinxdx,6=1,2,3),则有()(A)/,</2</3 (B)Z3</2</, (C)I2<I3<Ix(D)Z2<Z,<I3(5)设函数/(x,y)为可微函数，且对任意的x,y都有空豆>0,空M<0,则使不等式/(3,凶)>/(々,>2)成立的oxdy一个充分条件是()(A)Xj>x2,y1<y2(B)为>%,%>% (。 \<x2.yx<y2(D)x[<X2，y,>y2(6)设区域。由曲线丫=5亩X/=(6)设区域。由曲线丫=5亩X/=±1»=1围成，则 =(A)71(B)2'0⑺设q=0w0、1(0-2：-r=i(D)-n,其中cpc2,c3,c4为任意常数,则下列向量组线性相关的为(B)ap(B)apa2,a4(C)apa3,a4(D)a2,a3,a4(8)设A(8)设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且0,01 0.若「二㈤,4,%),。=(四+%,a2，aj则0Taq='100、'100、’200>’200、(A)020(B)010(0010(D)020、0()1,1002J()2,、001>二、填空题：9T4小题,每小题4分，共24分.请将答案写在等厚纸指定位置上.(9)设y=y(x)是由方程f-y+i=e，所确定的隐函数，则吨.dx~(10)limnf -rH- 4 1—： -“->811+n2+nn+nr, 1| dZ2&(11)f由刀+一，其中函数〃“)可微，则x才+y—(11)(12)微分方程ydx+(x-3/)dy=0满足条件y11=1的解为y=.(13)曲线y(13)曲线y=x?+x(x<0)上曲率为V2,二一的点的坐标是2(14)设A为3阶矩阵，|A|=3,A*为A伴随矩阵，若交换A的第1行与第2行得矩阵8,则|氏4*卜.三、解答题：15-23小题，共94分.请将解答写在等型纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)1+X1已知函数/(x)=——: ,记〃=sinxxA。(I)求。的值；(II)若x-0时，/(x)-。与/是同阶无穷小，求常数％的值.x2+y2求函数/（尤,y）=xJk的极值.(17)(本题满分12分)过(0,1)点作曲线L:y=liu-的切线,切点为4,又乙与x轴交于B点，区域。由L与直线AB围成,求区域D的面积及。绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)(本题满分10分)计算二重积分JJpdb,其中区域。为曲线r=1+(^。(04。4幻与极轴围成.D(19)(本题满分10分)已知函数/(%)满足方程f"(x)+f'(x)-2 =0及fn(x)+f{x)=2ex,(I)求/(x)的表达式；di)求曲线产/，)£/(-产。的拐点.(20)(本题满分10分)证明xln上H，+cosx21+土，(-l<x<1).1—x 2Q)证明方程x"+x"T+…+X=1(〃>1的整数)，在区间内有且仅有一个实根;12/(H)记(I)中的实根为茗，证明limx“存在，并求此极限.(22)(本题满分11分)M«o(n(a00 I0J(I)计算行列式|A|；(II)当实数a为何值时，方程组Ax=力有无穷多解，并求其通解.'101、已知A=] ,二次型/（和％2，工3）=/（A，A）x的秩为2,、。。f（I）求实数a的值；（II）求正交变换x=Qy将/化为标准形.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：广8小题,每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的,请将所选

项前的字母填在笞呼纸指定位置上..已知当X—>0时,函数/(x)=3sinx-sin3x与ex"是等价无穷小，则Ak=l,c=4Bk=a,c=-4Ck=3,c=4Dk=3,c=-4.已知/Xx)在x=o处可导，田(0)=0,则=x-►0 XA-2/X0)B-广(0) C八0) D0.函数/(x)=ln|(x-l)(x-2)(x-3)|的驻点个数为A0B1C2D3.微分方程y-22y=eZv+e"7(2>0)的特解形式为Aa(e&+"*)Box(e疝+"疝)Cx(ae^+be^) +be-Ax)5设函数/（x）具有二阶连续导数，且/。）＞0,/'（0）〉0,则函数7=/。）111/（30在点（0,0）处取得极小值的一个充分条件A/（0）＞l，r（0）＞0B/（0）＞l，r（0）＜0C/（0）＜l，r（0）＞0D/（0）＜l，r（0）＜0.设/=「Insinxdx,/=「Incotxdx,K=「Incosxiix则人，、K的大小关系正Jo Jo JoAI＜J＜K BKK＜JCJ＜I＜KDK＜J＜I.设A为3阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B,再交换B的第二行与第一行得单位矩阵。记1OOOO1,1OOOO1,o1oj则A=.=111,名OOOA[g BP~'P2CP2P}D鸟-'匕8设A=（%,4,。3，。4）是4阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若（1,0,1,01是方程组Ax=0的一个基础解系，则A*x=0的基础解系可为Aava3 Bava2 Calya2,a3Da2,a3,a4二填空题..1+2*J.hm（ 尸= xtO2.微分方程y+y=e~xcosx满足条件y(0)=0的解y=rx Jlu.曲线y=tan<x<一u.曲线y=Jo 4.设函数f(X)=(0,x<0° >。，则寸(x)dx=

.设平面区域D由y=x,圆x?+y2=2y及y轴所组成，则二重积分“肛面=D.二次型/(X1，X2,X3)=Xj24-3x22+x324-2XjX24-2XjX34-2x2x3,则f的正惯性指数为三解答题fvln(l+r)Jr.已知函数/(x)=△ ,设lim/(幻=lim/(x)=0,试求a的取值范围。Xa XT+OO XTO+1A1

x=-r+r+-

J3 316.设函数y=y(x)有参数方程］丫=1,3_日，,求y=y(x)的数值和曲线尸y(x)的凹凸区间及拐点。.设z=/(q,yg(x))，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，且在x=l处取得极值g(l)=l,求a2zdxdyx=l,y=ldxdyx=l,y=l.设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l:y=y(x)与直线y=x相切于原点，记a是曲线1在点(x,y)外切线的倾角也=虫，求y(x)的表达式。dxdx.证明：1）对任意正整数n,都有」一＜ln（l+!）＜L〃+1nn2）设4=1+—+ —-Inn｛n=1,2,...），证明｛。“｝收敛。2n.一容器的内侧是由图中曲线绕y旋转一周而成的曲面，该曲面由/+'2=2武＞29，/+丁2=。4_1）连接而成。（1）求容器的容积。（2）若从容器内将容器的水从容器顶部全部抽出，至少需要多少功？（长度单位：m；重力加速度为gm/s2：水的密度为lOUg/mD.已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数，且f(1,y)=0,f(x,1)=0,jjf(x,y)dxdy=a,其中DD={(x,y)|0<x<1,0<y<1},计算二重积分/="盯［刀(x,y)dxdy□D(22)(本题满分”分)设向量组区=(1,0,1)。«2=(0.1,1/,%=(1,3,5尸不能由向量组舟=(1.1,1)、夕2=(123)。-=(34a)T线性表示。(I)求。的值:(II)将40,从用药,见,4线性表示。'-11、00(1)函数/(幻='-11、00(1)函数/(幻=的无穷间断点数为23.A为三阶实矩阵，R(A)=2,且A00k-11>求A的特征值与特征向量；(2)求A2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：小题,每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在管厚纸指定位置上.(A)0. (B)l. (C)2. (D)3. [ ]|(2)设v.”是一阶线性非齐次微分方程j，'tp(x)y=g(x)的两个特解.若常数2,〃使7“十〃乃是该方程的解，4乂-〃”是对应的齐次方忌的解，则(3)曲线y=/与曲线y=alnx(a=0)相切,则。=(A)4e(B)3e(C)2e(D> [ ](4)没用"是正整数，则反常积分[1如”7.的收敛性：0(4)没用"是正整数，则反常积分[(A)仅冽与值有关. (B)仪”与值有关.(C)与m.n值都有关一 (D)与孙“值都无关.(5)设函数z=i(x.v)由方程产(工.三)=0确定，其中F为可微函数，11/强0.则XX(A)x.(B)z.(C)-x.nn/(6)limyV_2L—-=犷+广)(A) 7^'. (B)f(irl -dv.JoJ。(l+x)(l+y-). J。J°(l+x)(l+y)(C)[知] d\' (D)广dr「 r•rfr.J。Jo(l+x)(l+y), J。Jo(l+x)(l+v2)'(7)设向最组I:ai.g「.a,可由向杭组口:任自…线性表小，则列命题正确的是(A)若向晟组I线性无关，则Ms.(B)若向鼠组I线性相关则r〉s.(C)若向眼组II线性无关，则呼5.(D)若向量组II线性相关，则r>5一[](8)期为4阶实对称矩阵，1U@40一若一4的秩为3,则/与相似于二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答国纸指定位置上(9)3阶常系数线性齐次微分方程V-2./+y'-2y=0的通解为y=(10)曲线y==+]的渐近线方程为-(11)函数V=ln(1-匕-)在*=0处的〃阶导数(0)=(12)当更84乃时，对数螺线r=，的瓠长为(13)已知一个长方形的长/以2m/s的速率增加，宽w以3cMs的速率增加.则当/=12e.w=5cn时，它的对角线增加的速率为.

(14)设X,B为3阶矩阵，且Ia1=3,1B1=2,41+5尸2,则|.-1+5-1|=.三、解答题：1J23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)求函数〃 的单调区间与极值(16)(本题满分10分)(I)比较J；I加“[ln(l+t)]ndt与|\"|Inr曲(”=1,2,-)的大小，说明理由;(II)记川ln(l+f)]"df(”=1,2,.),求极限limwB.JO(17)(本题满分11分)设函数＞=/(*)设函数＞=/(*)由参数方程＜T=”+广■~ 所确定.y="(r)其中夕⑺具有2阶导数.4(1+0.求函数夕«).且"(1)=’."'(1)=6.已知以=4(1+0.求函数夕«).（18）（本题满分10分）一个高为/的柱体形长油罐,底面是长轴为2a,短轴为力的椭圆，现将射油罐平放,当油罐中油而高度为上b时（如图）.计算油的质感（长度单位为洲,质鼠单位为杷,油的密度为常数pkg/"）【分析】先求油的体积，实叼，只需求楠回的部分面积.【详解】建立如图所示的直角坐标系.则油罐底面椭圆（19）（本题满分11分）r-~HC'^ll0,确设函数“=〃”）具有:阶连续偏导数，且满足等式餐+12语+50,确定。.b定。.b的值，便等式在变换g=x+qv.〃=x+如下化简为c2u座n0.（20X本题满分10分）计算贵积分”？sin8Jl-r'cos28drd6.其中D=｛（r.，）|04r4seca.046w臼｝.d 4(21)(本题满分10分)设函数人x)在闭区间［0,1］上连续,在开区间(0.1)内可导，山(0尸0.刀尸\证明：存在9e(0.1).〃e(1J)，使得/'(W①户铲+rf(22)(本题满分11分)已知线性方程组一q=b存在2个不同的解,(I)求人。：(II)求方程组.公=8的通解.'0-14'设'0-14'设4=-13a4a0正交矩阵。使用区40为对角矩阵，若0的第1列为;(121)。求”,Q-2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1〜8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(1)函数〃x)==匚的可去间断点的个数，则()sinnx(A)l. (fi)2. (C)3. (Q)无穷多个.(2)当x—>0时，/(x)=x-sinox与g(x)=/ -bx)是等价无穷小，则()a=\yb=——. a=1,/?=—.(C)a=—1,Z?=——. (D)a=—1,/?=--.6 6 6 6(3)设函数z=/(x,y)的全微分为dz=xdc+，则点(0,0)()(A)不是/(x,y)的连续点.(8)不是的极值点.(C)是/(x,y)的极大值点.(。)是/(x,y)的极小值点.(4)设函数连续，则f(%y)dy+「dyj：'f(x,y)dx=()(A)[“'J："(x,yW)', ⑻j'dxj4Vf(x,y)dy.(C)[d),[f(x,y)dx.(O).jdyj(5)若/'"(x)不变号，且曲线y=f(x)在点(1,1)上的曲率圆为M+y2=2,则/(x)在区间(1,2)内()(A)有极值点，无零点.(8)无极值点，有零点.(C)有极值点，有零点.(。)无极值点，无零点.(6)设函数y=/(x)在区间[-1,3]上的图形为：则函数b(x)=J；/(f)力的图形为()

(oa、(7)设A、B均为2阶矩阵，A*,B*分别为A、B的伴随矩阵。若小|=2,旧|=3,则分块矩阵 的伴随矩阵为()(8)©・设A,'0、2A*'0、2B"P均为38*、o>3A*、o,3阶?⑻.(D).回阵，PT为P的转'0、3A*'0、3B*置矩做2B*、0>2A*、o;:,且pTAP=<10、。010o'()2,»若P=a】fC(4).1、o"20、0/3)1100100、02/0、02;Q=(a1+a99a.)9(5).3<z3),f\112、00」002、00则Q0、02>0、02,rAQ为()二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

x=e-u~du(9)曲线J」0在(0,0)处的切线方程为y=t2ln(2-f2)(10)已知[ek^dx=1,则k= J—00(11)limf1""sinnxdx- n->coJQd2yI(12)设(幻是由方程xy+/=x+l确定的隐函数，则一4皿二 dx“(13)函数y=留在区间(04]上的最小值为’200、(14)设a,万为3维列向量，6T为0的转置,若矩阵4T相似于000,则—、000,三、解答题：15—23小题，共94分,请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(1-cosx)[x~ln(l+tanx)](15)(本题满分9分)求极限lim^ 乂 工(16)(本题满分10分)io(16)(本题满分10分) )dx(x>0)

x[2(17)(本题满分10分)设z=/(x+y,x-y,孙)，其中/具有2阶连续偏导数，求dz与一-dxdy(18)(本题满分10分)设非负函数y=y(x)(xN0)满足微分方程xy‘一y'+2=0,当曲线y=y(x)过原点时，其与直线x=l及y=0围成平面区域。的面积为2,求。绕y轴旋转所得旋转体体积。(19)(本题满分10分)求二重积分,D其中0={(%,,)|(工—1)2+('_1)2<2,卜2彳)(20)(本题满分12分)

JTTT设、=、。)是区间(5，或内过(-金，三)的光滑曲线，当-乃＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0«x＜乃时，函数y(x)满足y"+y+x=O。求y(x)的表达式(21)(本题满分11分)(I)证明拉格朗日中值定理：若函数/(x)在［a,可上连续，在(a,b)可导，则存在j€(a,b),使得〃b)-/(a)=r(3(b-a)(H)证明：若函数"X)在x=0处连续,在(0后)伍＞0)内可导，且limf'(x)=A,则//(O)存在，且＜'(0)=4。(22)(本题满分(22)(本题满分11分)设4=—1、0-1r-r11，*1-4-2)[-2,（1）求满足&的所有向量（H）对（I）中的任一向量刍/3,证明：。，自2,刍线性无关。（23）（本题满分11分）设二次型/（玉,%2，X3）=町2+@石+（°-1）片+2百巧一232项（I）求二次型f的矩阵的所有特征值；31）若二次型/的规范形为犬+£,求。的值。2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题：1〜8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(1)设/(x)=x2(x—1)(x—2),则，(x)的零点个数为()(A)0 (B)1. (C)2 (D)31tJ(2)曲线方程为y=/(x)函数在区间［0,0上有连续导数，则定积分L在()JO(A)曲边梯形ABOD面积.(8)梯形ABOD面积.(C)曲边三角形ACO面积.(。)三角形ACO面积.(3)在下列微分方程中，以丁=。£‘+。2(：0$2*+。3$也2》(6，。2，03为任意常数)为通解的是()/+y--4y-4y/+y--4y-4y=0/+/+4y'+4y=0(C)/(C)/-y'-4y+4y=0(。)y'-y+4y-4y=0(C)E-A可逆，E+A(C)E-A可逆，E+A可逆.(O)E—A可逆，E+A不可逆.(5)设函数/(x)在(-8,+8)内单调有界，｛%｝为数列，下列命题正确的是()(A)若｛怎｝收敛，则｛/(x,,)｝收敛. (8)若｛%｝单调，则｛f(x.)｝收敛.(C)若｛/(%)｝收敛，则｛%｝收敛. (。)若｛/(乙)｝单调，则｛x.｝收敛.(6)设函数/连续，若＞(〃#)=H )二)/dy,其中区域。“为图中阴影部分，则竺=(C)vf(u)(7)设A为〃阶非零矩阵，E为"阶单位矩阵.若川=0,则()(A)E-A不可逆，E+A不可逆. (8)E-A不可逆，E+A可逆.121(8)设4= ，则在实数域上与A合同的矩阵为()21-22-1-2—121-2-21二、填空题：9T4小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9)已知函数/(x)连续，且lim「c°s[V(x)]=],则/(o)

(ex-l)f(x)(9)(10)微分方程+ -xdy=0的通解是丁=.(11)曲线sin(孙)+ln(y—x)=x在点(0,1)处的切线方程为2(12)曲线y=(x-5)户的拐点坐标为.(13)设Z平T，则乳2)=一•(XJox](14)设3阶矩阵A的特征值为2,3,九.若行列式12Al=-48,则；1=—三、解答题：15—23题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.「sinx-sin(sinx\]sinx(15)(本题满分9分)求极限lim^= 一乂——x(16)(本题满分10分)设函数y=y(X)由参数方程,设函数y=y(X)由参数方程,x=x(t)产 确定，其中x«)是初值问题y=J()ln(l+〃W〃dx、_xc 2te=0dtxr-0=°a2V的解,求dx(17)(本题满分(17)(本题满分9分)求积分•ixarcsinx,i—, ax.°VT7(18)(本题满分11分)求二重积分JJmax(孙,1Wxdy,其中O={(x,y)|0WxW2,0WyW2}D(19)(本题满分11分)设/(x)是区间[0,+8)上具有连续导数的单调增加函数，且/(0)=1.对任意的re[0,+oo),直线x=0,x=t,曲线y=/(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f(x)的表达式.(20)(本题满分11分)(1)证明积分中值定理：若函数/(外在闭区间［。,村上连续，则至少存在一点，使得£7(x)dx=/(T7)0-a)⑵若函数g(x)具有二阶导数，且满足8(2)＞例1)，8(2)＞］：例对公，证明至少存在一点自€(1,3),使得"'《)＜()(21)(本题满分11分)求函数〃=x2+y2+z2在约束条件z=/+y2和x+y+z=4下的最大值与最小值.（22）（本题满分12分）'2a 1 、a22a,, T设矩阵A=.../] ,现矩阵4满足方程4乂=8,其中*=（%「、%”），8=（1,0/一,0）,<a2«Jnxn（1）求证|A|=（〃+l）a"；（2）。为何值，方程组有唯一解，并求司：（3）。为何值，方程组有无穷多解，并求通解.（23）（本题满分10分）设A为3阶矩阵，a”a2为A的分别属于特征值T,1特征向量，向量满足=。2+。3，（1）证明名,。2，。3线性无关;(2)令尸=(囚,。2，。3)，求2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1〜10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(1)当xf0+时，与正等价的无穷小量是

(A)1-e"(B)In 广(C)yjl-F^~x—1 (D)1—cosVx1—yJx(2)函数/(x)=⑻苫在卜巴句上的第一类间断点是x=xe*-e(A)0(B)1(A)0(B)1(C)4(D)i(3)如图，连续函数y=/(x)在区间[-3,-2],[2,3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[一2,0],[0,2]的图形分别是直径为2的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设尸(x)=1/Q)dr,则下列结论正确的是:TOC\o"1-5"\h\z3 5(C)F(3)=-F(2) (D)F(3)=一一尸(一2) [ ]4 4(4)设函数/(幻在x=0处连续，下列命题错误的是：(A)若lim/^存在，则/(0)=0 (B)若lim"x)+,(r)存在,则/(0)=0.xtOy xtO v(C)若lim^^存在，则/'(0)=0(D)若存在,贝！|/'(0)=0.xtOX x—>0 X[](5)曲线y='+ln(l+e、)的渐近线的条数为(A)0. (B)1. (C)2. (D)3. [ ](6)设函数/(x)在(0,+8)上具有二阶导数，且/"(x)>0,令““=/(〃)，则下列结论正确的是:(A)若I/]〉/，则｛““｝必收敛.(B)若I/]〉与，则｛““｝必发散(C)若〃]<〃2>则｛〃“｝必收敛.(D)若对<“2"则｛”“｝必发散. [(7)二元函数;>(x,y)在点(0,0)处可微的一个充要条件是[ ](A)lim[f(x,y)-/(0,0)]=0.⑻.也电但2=0,且xtO % >'->0 ylim/零―m(*,y)/0,0)Jx2+y2lim民'(x,0)-f：(0,0)]=0,且limFf；(0,y)-f；(0,0)1=0.(8)设函数/(x,y)连续，则二次积分「心「/(x,y)dy等于J—Jsinj2(A)「dy「f(x,y)dr ⑻「dy「f(x,y)d.rJOJ"+arcsiny JOJ^-arcsmyW^-4-aicsiny rIr乃一arcsiny工f(x,y)dx (D)£dyj£/(x,y)ck2 2(9)设向量组四,a”％线性无关，则下列向量组线性相关的是线性相关，则(A)a}-a2,a2-a3,a3-a} (B)a,+a2,a2+a3,ai+a](C)(Z]-2%%—2a3,%-2al.(D)a,+2a2,a2+2a3,a3+2at. [ ],2-1-P'100、(10)设矩阵A=-12-1,B二010,则A与8「1—12,、000,(A)合同且相似 (B)合同，但不相似.(0不合同，但相似. (D)既不合同也不相似 [ ]二、填空题：11〜16小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.、arctanx-sinx(11)hm = .10x(12)曲线x=cosf+COS-'上对应于「=£的点处的法线斜率为 .y=1+sinf 4(13)设函数y=—,则y(")(0)=2x+3(14)二阶常系数非齐次微分方程y"-4y+3y=2e2x的通解为y= .(15)设/(“力)是二元可微函数，z=f[-,~(xy),则上-#=

dxdyr00(16)设矩阵A=0、o100、01 0 a,则43的秩为001000；三、解答题：17〜24小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)jr(本题满分10分)设/(x)是区间0,-上单调、可导的函数,

4且满足广⑺d，=JJcosr-sin, dr,sinr+cosr其中/T是/的反函数，求/(X).(18)(本题满分11分)___X设。是位于曲线y=JLi2"(。alowxv+qo)下方、x轴上方的无界区域.(I)求区域。绕x轴旋转一周所成旋转体的体积丫(a)；(H)当a为何值时，V(a)最小？并求此最小值.(19)(本题满分10分)求微分方程y"(x+y'2)=y'满足初始条件y(l)=y'⑴=1的特解.(20)(本题满分11分)已知函数/(“)具有二阶导数，且/(0)=1,函数y=y(x)由方程y—xe'i=1所确定,dz设Zdz设Z=/'(】ny-sinx),求瓦d2z、旬'内(21)(本题满分11分)设函数/(x),g(x)在可上连续，在(。向内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明:存在交(附),使得/"C)=g"C).x2,Ixl+lyKl<22)(本题满分11分)设二元函数/(x,y)=： 1 ，计算二重积分JJ/(x,y)db,其I、，，=' * ) D[ylx+y(23)(本题满分11分)xl+x2+x3=O设线性方程组＜%+2》2+畛=0与方程％+2/+/=。一1有公共解，求。的值及所有公共解.X1+4x2+a~x3=0(24)(本题满分11分)设三阶对称矩阵A的特征向量值4=1,4=2,4=-2，/=(1,一1,1厂是A的属于4的一个特征向量，记B=A5-4A7+E,其中E为3阶单位矩阵.(I)验证因是矩阵3的特征向量，并求8的全部特征值与特征向量；(II)求矩阵8.2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题：1一6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上―(1)曲线x+4si”的水平渐近线方程为 5^-2cosx1cx. 2,n⑵设函数/。)=«用。仙，仆在x=o处连续，则4=-x=0(3)广义积分J;(3)广义积分J;xdx

(0)2(4)微分方程y'=V(1"—的通解是(5)设函数y=y(x)由方程y=l-xe-v确定，则—I= dr(6)设矩阵A=,E为2阶单位矩阵，矩阵8满足8A=8(6)设矩阵A=二、选择题：7—14小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(7)设函数y=/(x)具有二阶导数，且/'(x)〉0,/"(x)>0,Ax为自变量x在点七处的增量，Ay与dy分别为/(x)在点超处对应的增量与微分，若Ax〉O,则[](A)0<dy<Ay. (B)0<Ay<dy.(C)Ay<dy<0. (D)dy<Ay<0.(8)设/(x)是奇函数，除x=0外处处连续，x=0是其第一类间断点，则是(A)连续的奇函数. (B)连续的偶函数(C)在x=0间断的奇函数 (D)在x=0间断的偶函数.[](9)设函数g(x)可微，h(x)=e'+gM,h\l)=l,g'(l)=2,则g⑴等于(A)In3-1. (B)-ln3-l.TOC\o"1-5"\h\z(C)-In2-1. (D)In2-1. [ ](10)函数y=Ge'+C2e-2x+xev满足的一个微分方程是(A) 2y=3xe". (B)yn-yf-2y=3eA.(C)y"+y'_2y=3xe*. (D)y"+y'-2y=3e". [ ](11)设/(x,y)为连续函数，则，jdej/(rcose,rsin6)nk等于V2 72(A).ckj'/(x,y)dy. (B)£2 '/(x,y)dy.(C)/回后/(x,y)dx. (D) f(x,y)ck. [ 1(12)设/(x,y)与尹(x,y)均为可微函数，且外'(x,y)HO,已知(公,%)是/(x,y)在约束条件q(x,y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是 [](A)若，'(毛,%)=0,则｛'(%,%)=0.(B)若，'(X°,%)=0,则(%,%)¥().(O若，'(％,%)ho,则f：(x°,%)=0.(D)若，'(%,%)#0,则《(%,%)¥().(13)设区,。2,…,区均为〃维列向量，A为mx〃矩阵，下列选项正确的是 [](A)若%,线性相关，则…,A%线性相关.(B)若四。2,…,火线性相关，则AT.A%，…，线性无关.(C)若名,。2,线性无关，则Az1,Ka2,…,Az,线性相关.(D)若4,。2,…,巴线性无关，则…，Az,线性无关.‘110、(14)设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得8,再将8的第1列的一1倍加到第2列得。，记尸=010、0°L则C=P'AP. (B)C=PAP'.C=PtAP. (D)C=PAPr. [ ]三、解答题：15—23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)试确定A,B,C的值，使得e*(l+8r+Cx2)=l+Ax+o(x3),其中。(丁)是当xf0时比丁高阶的无穷小.«分mn(16)(本题满分10分)求[dx.计算二重积分八一计算二重积分八一:町一,dxdy..\+x+y(17)(本题满分10分)设区域O={(x,y)|x2+y2wi,xNO卜(18)(本题满分12分)设数列{x,J满足0＜为〈万,X,”]=sinx"("=l,2/-)(I)证明limx“存在，并求该极限；(II)计算lim“TOO 〃T8(19)(本题满分10分)证明：当0＜。＜匕＜)时，/7sin/74-2cos/7+^/7＞。sin。+2cos。+乃。.司满足等嗤+彖。•(20)司满足等嗤+彖。•设函数/(〃)在(0,+0。)内具有二阶导数，且z=/("(I)验证/(“)+£^=0；U(II)若/⑴=0J'⑴=1,求函数/(〃)的表达式.（21）（本题满分12分）r—4-1已知曲线£的方程4~ '。20）（I）讨论/的凹凸性；（口）过点（—1,0）引力的切线，求切点（七,%）,y=4t-f并写出切线的方程；（III）求此切线与/（对应于x4%的部分）及x轴所围成的平面图形的面积.（22）（本题满分9分）已知非齐次线性方程组xt+x2+x3+x4=-1,4%+3尤2+5w一%=-1有3个线性无关的解.（1）证明方程组系数矩阵4的秩「（4）=2；（IDaxA+x2+3x3+bx4=1求a,b的值及方程组的通解.（23）（本题满分9分）设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量%=（-1,2,-1），&2=（0,-1,1），是线性方程组由:=0的两个解.（I）求A的特征值与特征向量；（II）求正交矩阵。和对角矩阵A,使得Q「AQ=A.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题二、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)(1)设y=(l+sinx)",则dy=.3(14-Y)2(2)曲线y -的斜渐近线方程为.['—^_= .Jo(2-x2)71-x2(4)微分方程肛'+2y=xlnx满足y(l)= 的解为 .9(5)当x-0时，a(x)=与/(x)=Jl+xarcsinx-Jcosx是等价无穷小，则k=(6)设%,%，%均为3维列向量，记矩阵A=(al,a2,a3),B=(a1+a2+a3,al+2a2+4a3,at+3a2+9a3),如果同=1,那么冏=.二、选择题(本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内),则f(x)在(-oo,+oo)内[(7)设函数/(x)=,则f(x)在(-oo,+oo)内[“TOOV

(A)处处可导.(B)恰有一个不可导点.(A)处处可导.(B)恰有一个不可导点.(0恰有两个不可导点.(D)至少有三个不可导点.(8)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，ON"表示"M的充分必要条件是N"，则必有[F(x)是偶函数Of(x)是奇函数.F(x)是奇函数Of(x)是偶函数.(0F(x)是周期函数Of(x)是周期函数.F(x)是单调函数Of(x)是单调函数.Y=/~+2/(9)设函数y=y(x)由参数方程〈~ '确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是y=ln(l+Z)(10)设区(10)设区域£>={(x,y)k2+y<4,x>0,y>0},f(x)为D上的正值连续函数，a,b为常数，则(A)-ln2+3.8(B)--ln2+3.8(0-81n2+3.(D)81n2+3.!!即"M1(0(0(a+b)7r.小、a+b(D) n2ab兀.ab—n.2(11)设函数“(》,旷)=例》+)0+0(》一＞)+「'材。)力，其中函数e具有二阶导数，w具有一阶导数，则必有Jx-y小d2ud2u5、3% 小52ud2u小d2ud2u(A)—=v.(B)—=—.(0——=—. (D)——.dx2dy2 dx2dy2dxdydy2 dxdyZ(12)设函数/(x)=—5—，则[]口-1x=0,x=l都是f(x)的第一类间断点.x=0,x=l都是f(x)的第二类间断点.(0 x=0是f(x)的第一类间断点，x=l是f(x)的第二类间断点.(D)x=0是f(x)的第二类间断点，x=l是f(x)的第一类间断点.(13)设儿,4是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为%,a2，则％，4%+。2)线性无关的充分必要条件是[](A)4B°• (B)42Ho.(02]=0. (D)22=0.(14)设A为n2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B,A*,8*分别为A,B的伴随矩阵，则](0交换A*的第1列与第2列得8*. (B)交换A”的第1行与第2行得8*.

(0交换A*的第1列与第2列得一B*. (D)交换A*的第1行与第2行得一8*.三、解答题(本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分11分)设函数f(x)连续，且/(0)。0,求极限lim业 .(16)(本题满分11分)如图，G和分别是y=』(l+e*)和y=e*的图象，过点(0,1)增函数的图象.过。2上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线//。所围图形的面积为S](x)；。2，。3与4所围图形的面积为$2(/).如果S](x)=S2(y),求曲线C3的方程x=e(y).(17)(本题满分11分)的曲线G是一单调和ly.t己C1,。2与总 有a1234X/2分别是曲连续导数，计如图，曲线的曲线G是一单调和ly.t己C1,。2与总 有a1234X/2分别是曲连续导数，计算定积分£(/+x)/"(x)dx.(18)(本题满分12分)用变量代换x=cosr(0＜，＜7)化简微分方程(1一/»"-个'+y=0,并求其满足y=1,/| =2的x=0 x=0特解.(19)(本题满分12分)已知函数f(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1.证明:(I)存在&w(O,l),使得/C)=l一自；(II)存在两个不同的点774e(O,l),使得/(〃)/'(G=L(20)(本题满分10分)已知函数z=f(x,y)的全微分dz=2xdx-2ydy,并且f(l,1,)=2.求f(x,y)在椭圆域0={(x,y)x2+上1}上的最大值和最小值.4(21)(本题满分9分)计算二重积分JJ,+旷2_40,其中O={(x,y)|0<x<l,0<y<l}.I)(22)(本题满分9分)确定常数a,使向量组a,=(l,l,a)r,a2=(l,a,l)r,a3=(a,l,l)r可由向量组=(1,1,a)7,P2=(-2,a,4)。夕3=(-2,。,。)7'线性表示，但向量组凡夕2，P3不能由向量组%，%，。3线性表示,(23)(本题满分9分)'123'已知3阶矩阵A的第一行是(a,4c),a,4c不全为零，矩阵6=246(k为常数)，且AB=O,求线性方36k程组Ax-0的通解.2004年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上.)(1)设〃x)=Iim 则/(x)的间断点为x=—.“T8心Z+1x=/3+3/+1(2)设函数y(x)由参数方程《 确定，则曲线y=y(x)向上凸的x取值范围为一..y=t3-3t+l(3)亡dx_L——(4)设函数z=z(x,y)由方程Z=e2x-3z+2y确定，则3玄+包= .dxdy(5)微分方程(y+3公-2xdy=0满足儿=1=抵的特解为•‘210、(6)设矩阵A=120,矩阵8满足ABA*=2R4*+E,其中A*为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则、。ob|叫= --二.选择题(本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(7)把xf时的无穷小量a=j；cosJ力，夕tanJF力，/=(飞小尸力排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是[]a,y,/3.p,a. (D)(3,y,a.(8)设f(x)=k(l—x)|,则[]X=0是/@)的极值点，但(0,0)不是曲线旷=/(幻的拐点.x=0不是f(x)的极值点，但(0,0)是曲线y=/(x)的拐点.x=0是/(x)的极值点，且(0,0)是曲线y=/(x)的拐点.x=0不是/(x)的极值点，(0,0)也不是曲线y=/(x)的拐点.limIn"(1+—)2(1+—)2•••(1+—)2等于［"->8ynn n(A)In2xdx. (B)2jInxdx.(C)2jln(l+x)<Zx. (D)jln2(l+(10)设函数/(x)连续，且/'(0)>0,则存在b>0,使得[]/(x)在(0,刃内单调增加./(x)在(一。0)内单调减小.(C)对任意的xe(0,6)有/(x)>/(0).(D)对任意的xe(-S,0)有/(x)>/(0).(11)微分方程y"+y=x2+l+sinx的特解形式可设为y*=ax+ +c+x(Asinx+Bcosx).y*=x(ax^+/?x+c+Asinx+Bcosx).y*=ax2+6x+c+Asinx.y*=ax^+bx+c+Acosx

(12)设函数/(“)连续，区域。=恒，刈/+丁-y},则Jj/(xy)dxdy等于[]J：闵孙协.2j：dyJ(，'f(xyWx.sin6cos6)dr.J。de/。fir~sin^cosO')rdr(13)设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得8,再把3的第2列加到第3列得C,则满足AQ=C的可逆矩阵。为[的可逆矩阵。为[]'010、100.J。1,'010、(C)100.、。11,(14)设A,8为满足A3'010、101.、。。L'011、(D)100.、。。1>0的任意两个非零矩阵，则必有[]A的列向量组线性相关，8的行向量组线性相关.A的列向量组线性相关，8的列向量组线性相关.A的行向量组线性相关，8的行向量组线性相关.A的行向量组线性相关，8的列向量组线性相关.三.解答题(本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分10分)求极限lim4k2+cosx[_]lodI3J设函数/(x)在(-00,+8)上有定义，在区间［0,2］上，/(x)=x(x2-4),若对任意的x都满足f(x)=kf(x+2),其中k为常数.(I)写出/(x)在［一2,0］上的表达式；(H)问左为何值时，/(x)在x=0处可导.(17)(本题满分11分)设y(x)=］：asinrm，⑴证明/(X)是以万为周期的周期函数；(［I)求/(X)的值域.曲线y=—^―-与直线X=0,》=晨/>0)及、=0围成一曲边梯形.该曲边梯形绕X轴旋转一周得一旋转体,其体积为VQ),侧面积为S"),在x=r处的底面积为E(r).(I)求S⑺V(r)的值；(H)计算极限lim双•.(I)求S⑺V(r)4(19)(本题满分12分)设e<a<b<e2,证明h?b-ln2a>-yS-a).（20）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000依的飞机,着陆时的水平速度为700匕”/人.经测试,减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为k=6.0xlO6）.问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少？注依表示千克，痴〃表示千米/小时.a7a7a27（21）（本题满分10分）设7=/（%2-/2,6"），其中/具有连续二阶偏导数，求，，，，^dxoydxoy设有齐次线性方程组(1+d)xx+x2+x3+x4=0,2X[4-(2+a)x2+2x3+2x4=0,3x)+3x2+(3+0)X3+3x4=0,4xj+4x2+4x34-(4+a)x4=0,试问。取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.工结(23)(本题满分9分)’12-3、设矩阵-14-3的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化.,1a5,总结一下2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一.填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)।(1)若X-0时，(1-ax2)^-1与xsinx是等价无穷小，则a=.(2)设函数y=f(x)由方程盯+21nx=y4所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是.(3)y=2,的麦克劳林公式中炉项的系数是.(4)设曲线的极坐标方程为「=6""(。〉0),则该曲线上相应于。从0变到27的一段弧与极轴所围成的图形的面积为.-1-11一(5)设a为3维列向量，a7■是a的转置.若=-11-1,则1-11o'a=.-1or⑹设三阶方阵A,B满足=E，其中E为三阶单位矩阵，若A=020,则怛卜.-201二、选择题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设{6,},{/?“},&}均为非负数列，且lima“=0,limb.=1,limc“=oo,则必有[]n—>30 n—>00 "Tao(A)an<hn对任意n成立. (B)bn<c„对任意n成立.(0极限lim%c“不存在. (D)极限limb“c”不存在.3(3(2)设a,,”2kx"Tgx"dx,则极限limna„等于(A)(1+e)2+1.TOC\o"1-5"\h\z3 3(C)(1+1户+1. (D)(l+e)5-l. [(3)已知y=—匚是微分方程y'=上+°(土)的解，则如工)的表达式为[]Inx xy y2 2(A)- (B)Xx2 X2(0一。. (D)y y(4)设函数f(x)在(-8,+00)内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有[](A)一个极小值点和两个极大值点.(B)两个极小值点和一个极大值点.(0两个极小值点和两个极大值点.(D)三个极小值点和一个极大值点.(A)/1>/2>1. (B)1>/,>/2.(0/2>/,>1. (D)1>12>/].(6)设向量组I：%,a2，…,%可由向量组口：夕2,…，4线性表示，则】〕(A)当r<s时，向量组H必线性相关. (B)当r>s时，向量组II必线性相关.(0当r<s时，向量组I必线性相关.(D)当r>s时，向量组I必线性相关.三、(本题满分10分)设函数/(x)=>ln(l+ax31)x—设函数/(x)=>6,e"、+ —cix―1.Xxsin. 4x=0是f(x)的可去间断点？问a为何值时，f(x)在x=0x=0是f(x)的可去间断点？四、（本题满分9分）设函数y=y（x）由参数方程4（f〉l）所确定，求；?1,JlU“carctanxxe五、（本题满分9分）计算不定积分dx.六、(本题满分12分)设函数y=y(x)在(-oo,+8)内具有二阶导数，且y'H0,x=x(y)是y=y(x)的反函数."2 j(1)试将x=x(y)所满足的微分方程咨+(y+sinx)(—)3=0变换为y=y(x)满足的微分方程:dy- dy(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y'(0)=|的解.七、(本题满分12分)讨论曲线y=41nx+k与y=4x+ln4x的交点个数.八、(本题满分12分)设位于第一象限的曲线y=f(x)过点(立,,)，其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的交点为Q,且线段PQ22被x轴平分.(1)求曲线y=f(x)的方程；(2)已知曲线丫=$%*在［0,1］上的弧长为/,试用/表示曲线y=f(x)的弧长s.九、(本题满分10分)有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=e(y)(yNO)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为2m.根据设计要求，当以3，//min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以勿〃？/min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体).(1)根据t时刻液面的面积，写出t与e(y)之间的关系式；(2)求曲线x=°(y)的方程.(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分.)十、(本题满分10分)设函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，在开区间(a,b)内可导，且/'(x)>0.若极限lim〃2%一。)存在,证明：x—a(1)在(a,b)内f(x)>0;(2)在(a,b)内存在点使.？二"一=；ff{x}dx/⑹Ja(3)在(a,b)内存在与⑵中自相异的点心使/①)(从-/)=r/(X)必:.

十一、（本题满分10分）2若矩阵2若矩阵A=802a相似于对角阵A,试确定常数a的值；并求可逆矩阵P使尸T/1P=A.06十二、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为/,:ax+2by+3c=0,l2:bx+2cy+3a=0, /3:ex+lay+3b=0.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=O.2002年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题一、填空题（本题共5小题,每小题3分，满分15分）l-gtanx设函l-gtanx设函数即场x<0go在x=。处连续，则一).TOC\o"1-5"\h\z.位于曲线y= （0<x<+oo）下方，x轴上方的无界图形的面积为（ ）..W+y'2=0满足初始条件y（O）=l,y，（0）=4的特解是（ ）...1rL7tL2^Ln/r, 、.lim—[ll+cos——I-JI+cos——H 1-JI4-cos——]=（ ）.、nynvn‘0-2-2、.矩阵2 2 -2的非零特征值是（ ）.2-22,二、单项选择题（本题共5小题,每小题3分，满分15分.）.函数/（“）可导，丁=/（一）当自变量x在x=-l处取得增量-=-0.1时，相应的函数增量Ay的线性主部为0.1,则/,(1)=-1； (B)0.1；1； (D)0.5.

.函数/(x)连续，则下列函数中，必为偶函数的是(A)J"(〃)力； (B)£72(/)Jr；(c)(，)-/(-，)]力；(D)^t[f(t)+f(-t)]dt..设y=f(x)是二阶常系数微分方程/+py'+qy= 满足初始条件y(0)=y'(0)=0的特解，则极限1而31+%)Dy(x)(A)不存在； (B)等于1： (C)等于2； (D)等于3..设函数/(x)在R+上有界且可导，则(A)当lim/(x)=0时,必有limff(x)=0；XT+OO X—>400(B)当limfr(x)存在时，必有limfr(x)=0；X—>+8 X—>4-00(C)当limf(x)=O时，必有lim/'(x)=0；x—>0+ x—>0+(D)当lim/'(x)存在时，必有lim/'(x)=0.x->0+ xf0+.设向量组名,。2，。3线性无关，向量/1可由线性表示，而向量/2不能由％，。2，。3线性表示，则对于任意常数左必有(A)四,。2,13,攵/1+夕2线性无关；⑻％,。2，二3，女£|+夕2线性相关；(C)%,。203,4+32线性无关;+女夕2线性相关.三、(本题满分6分)已知曲线的极坐标方程为r=l-cos。，求该曲线对应于。=/处的切线与法线的直角坐标方程.四、(本题满分7分)设函数>四、(本题满分7分)设函数>=/(%)=<(e'+l)20<x<l,求函数F(x)=/：/")力的表达式.五、(本题满分7分)已知函数/(外在/?+上可导，/(x)>0,lim/(x)=1,且满足.f(x+hx)rlim(- fM六、(本题满分7分)求微分方程xdy+(x-2y)dx=0的一个解y=y(x),使得由曲线y=y(x)与直线x=l,x=2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体的体积最小.七、(本题满分7分)某闸门的形状与大小如图所示，其中直线/为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD,下部由二次曲线与线段AB所围成.当水面与闸门的上断相平时，欲使闸门矩形部分与承受的水压与闸门下部承受的水压之比为5：4,闸门矩形部分的高/?应为多少？八、(本题满分8分)设0<x“<3,x“+]= (3-)(«=1,2,3,—).证明：数列｛%｝的极限存在，并求此极限.九、(本题满分8分)设上〉4>0,证明不等式2?"2<In"<3ci~+b~ b—ci y/ab卜、(本题满分8分)设函数/(x)在x=0的某邻域具有二阶连续导数，且/(0)/'(0)/"(0)#0・证明：存在惟一的一组实数4c,使得当人->0时,af(h)+bf(2h)+cf(3h)-/(0)=og4^一、(本题满分6分)已知A,B为三阶方阵，且满足24-力=8-4£.⑴证明：矩阵A-2E可逆；’1-20、⑵若8=120,求矩阵A.、002,

十二、（本题满分6分）已知四阶方阵A二（4,%。3。4）， 均为四维列向量，其中02，。3，。4线性无关，ax=2a2-a3.若/=%+%+4+%，求线性方程组Av二夕的通解.2001年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题一、填空题（本题共5小题,每小题3分，满分15分），3—x—Jl+xTOC\o"1-5"\h\z1、lim =（ ）.I 厂+x—22、曲线e2"y-cos（孙）=e-l在点（0,1）处的切线方程为：（ ）.-£3、Jt（x3+sin2x）cos2xdx=（ ）.4、微分方程4、微分方程y'arcsinx+f,一=1满足>G）=0的特解为：（1a］1a］、1有无穷多解，则a=（-2,'a5、方程组1J二、单项选择题（本题共5小题,每小题3分，满分15分.）x<11、/（x）="!।则/'（/"1、/（x）="国〉1

2、x—>0时，(1-cosx)ln(l+/)是比xsinx"高阶的无穷小，而xsinx"是比e'—l高阶的无穷小，则正整数〃等于(A)1；(B)2；(C)3；(D)4.3、曲线y=(x—l)2(x—3)2的拐点的个数为(A)0；(B)1；(C)2；(D)3.4、函数/(X)在区间(1-6,1+6)内二阶可导，/(x)严格单调减小，且/⑴寸'(1)=1,则(A)在(1-8,1)和(1,1+5)内均有/(x)<x；(B)在(1-8,1)和(1,1+8)内均有f(x)>%；(C)在(1-8,1)内有f(x)<X,在(1,1+5)内有f(x)>X；(D)在(1-6,1)内有/(x)>jc,在(1,1+5)内有/(幻<x.5、设函数/(x)在定义域内可导，y=/(x)的图形如右图所示：则y=/'(x)的图形为()(A) [(A) [ a三、(本题满分6分)求J4小小dx(2r+1)J1+x2fsinx四、(本题满分7分)求函数/(x)=lim(学)疝，-疝，的表达式，并指出函数/(X)fsinx五、(本题满分7分)设夕二P(x)是抛物线y=4上任意一点M(x,y)(x>1)处的曲率半径，s=s(x)是该抛物线上介于点A(1,1)与M之间的弧长，计算30耍-(虫了的值(曲率K=—ds2ds (1+y叼六、(本题满分7分)/(x)在［0,+8)可导，/(0)=0,且其反函数为g(x).若J："g(r)力=X，'，求/(x).七、(本题满分7分)设函数/(x),g(x)满足/(x)=g(x),g\x)=2ex-f(x)且八。)=。，g(0)=2,求窗一—小八、(本题满分9分)设L为一平面曲线，其上任意点P(x,y)(x>0)到原点的距离，恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L过点(0.5,0).1、求L的方程2、求L的位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围成的图形的面积最小.九、(本题满分7分)一个半球型的雪堆，其体积的融化的速率与半球面积S成正比比例系数K>0.假设在融化过程中雪堆始终保持半球形状，已知半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的〃8,问雪堆全部融化需要多少时间？卜、(本题满分8分)/(x)在［-a,a］上具有二阶连续导数，且/(0)=01、写出/(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；2、证明在卜a,a］上至少存在一点〃，使//"①)=f(x)dxJ-aqH^一（本题满分6分）已知A=1J00、1011>,B=‘011、101J10,且满足AXA+BXB=AXB+BXA+E,求X.十二、（本题满分6分）设%,。2，%，。4为线性方程组AX=。的一个基础解系，A=«i+ta2,^2=%+r%，户3=%+桃4,q=4+『%,其中t为实常数试问t满足什么条件时笈,乩,四，尸4也为AX=o的一个基础解系.2000年全国硕士研究生入学统一考试一、填空题TOC\o"1-5"\h\zarctanx-xlim r-= .i】n(1+2x)设函数y=y(x)由方程2"=x+y所确定，则dy|,=。广也=1(x+7) '曲线y=(2x-1)e’的斜渐近线方程为./1 0 00)~2 3 ° °,E为4阶单位矩阵，且B=(E+A)T(E-A),则(E+B)"=0-450v0 0 -67)二、选择题6・设函数〃工)=一J在(-8,+8)内连续,且lim/(x)=0.则常数a,b满足a+e L-s(A)a<0,6<0. (B)a>0,6>0.(C)aW0,6>0. (D)a0,6<0. [ ]设函数/(%)满足关系式/"(*)+[/'(工)了=%且/'(0)=0.则(A)/(0)是/(%)的极大值.(B)/(0)是/(工)的极小值.(C)点(0J(0))是曲线y=/«)的拐点.TOC\o"1-5"\h\z(D)/(0)不是/(工)的极值，点(0,/(0))也不是曲线y=/(%)的拐点. 【 】设函数f(G,g(工)是大于零的可导函数，且f'G)g(x)-/(x)g'(x)<0,则当a<x<6时，有(A)f(x)g(b)>/(6)g(x). (B)/(x)g(a)>/(a)g(x).(C)/(x)g(x)>f(b)g(b). (D)/(*)g(x)>/(a)g(a). 【 ]若lim(皿*必必=0,则|面红4城为(A)0. (B)6. (C)36. (D)oo. [ ]具有特解为=e\y2=2xe-\y3=3e'的3阶常系数齐次线性微分方程是(A) -y"-yr+y=0. (B)/"+/-/-y=0.(C)尸-6y"+Uy'-6y=0. (D)f-2y"-y'+2y=0. [ ]三、解答题设/(Inx)=m(1：一,计算ff(工)12.12.设工0＞平面上有正方形〃=|(x,y)IOw*wl,OwyW"及直级人工+y="，三0).若S(t)表示正方形“位于直线/左下方部分的面积，试求［S(f)d“x注0).13.求函数/(x)=?ln(l+x)在工=0处的a阶导数/"(0)(nN3)."设函数S(x)=£Icos/Idz,(1)当n为正整数，且“IT近工<3+1)f时，证明：2nWS(")<2(n+1)；(2)求lim9Q.*-*+«•xV V某湖泊的水量为匕每年排入湖泊内含污染物4的污水量为《，流入湖泊内不含4的水量为《，流出湖泊的水量为亨.已知1999年年底湖中4的含量为5%,超过国家规定指标.为了治理污水，从2000年年初起，限定排入湖泊中含月污水的浓度不超过号.问至多需经过多少年，湖泊中污染物4的含量降至m0以内？(注:设湖水中A的浓度是均匀的.)16.设函数/(工)在［0,宣］上连续，且［/(%)&=0,^/(x)cosxdx=0.试证明：在(0,it)内至少存在两个不同的点统f2,使八&)=/(&)=0.16.已知/(x)是周期为5的连续函数,它在工=0的某个邻域内满足关系式/(1+sim;)-y(1-sinx)=8x+a(%)其中a(x)是当工—0时，比工高阶的无穷小，且人动在工=1处可导，求曲线y=/(工)在点(6/(6))处的切线方程.设曲线y=ax2(a>0,xMO)与y=1交干点4,过坐标原点°和点A的直线与曲线，=ax2围成一平面图形.问a为何值时，该图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最大?最大体积是多少?

函数/(x)在［0,+8)上可导J(0)=1，且满足等式广(工)+/U)-七仙曲=0(I)求导数广(x)；(2)证明：当xN0时,成立不等式:e"Wf(x)W1.20.设口=2 =，Y=0,A乙g「,B=0%,其中0，是？的转置，求解方程2B:A2x=A4x+B4x+r21.已知向量组⑶(0\1I?、一21.已知向量组⑶(0\1I?、一1,2,月3=(b\1与向量组6(3\0(9)%=6具有相同的秩,且鱼可由%,%，%线性表示，求。，6的值.<-7J思想总结：（不够好的地方）1999年全国硕士研究生入学统一考试（数学二）一、填空题（本・共5小・，每小・3分•於分15分）（x=/sin2cTOC\o"1-5"\h\z（1）曲线< 在点（0,1）处的法线方程为 .11y=e*cost（2）设函数y=3（工）由方程ln（x2+y）=x3y+sinx确定，则乎= ax*»o（3）f23+5亚= .Jx-ox+13（4）函数,=.二在区间上的平均值为 .71-x2 22（5）微分方程7-47=e”的通解为.二、选择・（本・共5小・，每小・3分，戏分15分）（D设〃工）=«石x2g（x）x<0其中g（H）是有界函数，则/（工）在工=0处（A）极跟不存在 （B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可导 （D）可导[]⑵设a（z）=（d£,?（工）=，（1++ 则当工f0时,a（工）是.（工）的（A）高阶无穷小 （B）低阶无穷小（C）同阶但不等价的无穷小 （D）等阶无穷小(3)设/(X)是连续函数,F(n)是/(X)的原函数，则(A)当/(x)是奇函数时，尸(#)必是值函数(B)当/(x)是他函数时,F(n)必是奇函数(C)当人工)是周期函数时,FQ)必是周期函数 、(D)当？(工)是单漏增函数时,FQ)必是单阳增雨虬'.，，・一.[](4)“对注意给定的e6(0,1),就存在正整敷汛,当时，恒有I工“-alW2e”是数列|工，收叙于。的(A)充分条件但非必要条件(B)必要条件但非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件又非必要条件2 _2(5)记行列式“3H-32 _2(5)记行列式“3H-3•»4工的个数为(A)l(B)22H-12工一22x-3为/(工，则方程/U)=o的根3H-24工-53宓-5； * '4x-35H-74工-3I(03 (D)4 j三、(本班满分5分)的./I+tan工-/i+血〉* --工3(1+工】-工2四，本・调分6分）计算啰区da五、（本国・分7：分）求初值问题《9.■(y+，工2+y2)dx-工dy=0(x>0).的解.六、（本・清分7分）为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口（见图）.巳知井深30m,抓斗自直400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升建度为3m/s.在提升过程中，污泥以20N/S的速度从抓斗缓陂中漏掉.现将抓起小x污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作会少焦耳的功？（说明：①lNxlm=lJ;m,N,s,J分别表示米，牛ft,秒.焦耳.②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.）七、(本JH设分8分)已知函数y=7土’；、2.求(1)函数的增减区间及极值；(2)函数图形的凹凸区间及拐点；(3)函数图形的渐近线.八、(本・0分8分)3.设的数〃工)在闭区间上具有三阶连续导效,且/■(-1)=o,/(i)=i,r«3.=O.CE明：在开区间(-1.1)内至少存在一点使广(6)=

九、(本1■,分8分)设函数近工)(工二0)二阶可导，且yz(x)>0—(0)=1.过曲线〉=y(工)上任意一点P(x,>)作该曲线的切线及工轴的垂线，上述两直线与工轴所囹成的三角形的面积记为区间［0,工］上以y=虫工)为曲边的曲边梯形面积记为S2,并设251-Sa恒为1,求此曲线y=y(x)的方程，十、(本・就分7分)设/(x)是区间［0,+8)上单调减少且非负的连续函数,.=S/<*>-f"/(x)dx(n=1,