华东师大版九年级数学上册全册各章节课时教案教学设计（含教学反思）

华东师大版九年级数学上册教学设计TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"第21章二次根式 2\o"CurrentDocument"二次根式 2\o"CurrentDocument"二次根式的乘除 5\o"CurrentDocument"二次根式的加减 13\o"CurrentDocument"第22章一元二次方程 16\o"CurrentDocument"一元二次方程 16\o"CurrentDocument"一元二次方程的解法 19\o"CurrentDocument"实践与探索 32\o"CurrentDocument"第23章图形的相似 38\o"CurrentDocument"成比例线段 38\o"CurrentDocument"相似图形 44\o"CurrentDocument"相似三角形 48\o"CurrentDocument"中位线 64\o"CurrentDocument"位似图形 67\o"CurrentDocument"图形与坐标 70\o"CurrentDocument"第24章解直角三角形 76\o"CurrentDocument"测量 76\o"CurrentDocument"直角三角形的性质 79\o"CurrentDocument"锐角三角函数 81\o"CurrentDocument"解直角三角形 92\o"CurrentDocument"第25章随机事件的概率 102在重复试验中观察不确定现象 102随机事件的概率 105第21章二次根式二次根式教学目标.能用二次根式表示实际问题中的数量及数量关系，体会研究二次根式的必要性；.能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念及性质，会求二次根式中被开方数中字母的取值范围.教学重难点【教学重点】了解二次根式的概念及性质，会求二次根式中被开方数中字母的取值范围.【教学难点】用二次根式表示实际问题中的数量及数量关系.教学过程一、情境导入问题1：你能用带有根号的式子填空吗？(1)面积为3的正方形的边长为,面积为S的正方形的边长为.(2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m1则它的宽为m.(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与落下的高度小单位:m)满足关系力=5/,如果用含有力的式子表示1,则£=.问题2：上面得到的式子小,小,，而，分别表示什么意义？它们有什么共同特征？二、合作探究探究点一：二次根式的定义例1：下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？⑴(2)yJ—5；(3)y/(—7)2；(4)即3；(5)^j1—I；⑹43—x(xW3)；⑺人―x(x20);(8)y/(a-1)2；(9)-$/—V—5；(10)N(a—6)Yab20).解析：要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2,二是看被开方数是不是非负数.解:因为VTL用(一为#3—x(xW3),y](a—1)2,y](.a—b)2(a620)中的根指数都是2,且被开方数为非负数，所以都是二次根式.讴的根指数不是2,F，产Xx》O),［一步一5的被开方数小于0,所以不是二次根式.方法总结：判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“1”；(2)被开方数是非负数.探究点二：二次根式有意义的条件［类型—］根据二次根式有意义求字母的取值范围例2：求使下列式子有意义的x的取值范围.⑵耳⑶叵⑵耳⑶叵X-L x解析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0且分母不等于0,列不等式(组)求解.TOC\o"1-5"\h\z4 4 1解：(1)由题意得4—3x>0,解得xV三.当xV三时，/、有意义;3 3Q4—3x(2)由题忘得， 解得xW3且xW2.当xW3且a2时，"~丁有忘义；1x-2W0, x-2［x+520, 、/x+5(3)由题意得 解得x2-5且#0.当“2—5且/0时，X——有意义.1#0, x方法总结：含二次根式的式子有意义的条件：(D如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；(2)如果所给式子中含有分母，则除了保证二次根式中的被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零.［类型二］利用二次根式的非负性求解例3：(1)已知a、6满足(2a+8+|b—4|=0,解关于x的方程(a+2)x+Zr'=a—1；(2)已知x、y都是实数，且尸山一3+［3—x+4,求/的平方根.解析：(D根据二次根式的非负性和绝对值的非负性求解即可；(2)根据二次根式的非负性即可求得x的值，进而求得y的值，进而可求出/的平方根.

解：（D根据题意得[2a+解：（D根据题意得[2a+8=0,解得，r则（a+2）x+咛=a—1,即一2x+3=lb=小.-5,解得x=4；—320,（2）根据题意得《可 解得x=3.则y=4,故V=41'=64,[3一栏0,土乖^=±8,的土乖^=±8,的方法总结：二次根式和绝对值都具有非负性，几个非负数的和为0,这几个非负数都为0.探究点三：和二次根式有关的规律探究性问题例4：先观察下列等式，再回答下列问题.„1,1,1 ,1 1 111+^+1=1+|1

?+1] 12'叭人+1+亍=1+111+^+1=1+|1

?+1] 12'（D请你根据上面三个等式提供的信息，写出的结果；（2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式5为正整数）.解析：（D从三个等式中可以发现，等号右边第一个加数都是1,第二个加数是个分数，设分母为〃，第三个分数的分母就是〃+1,结果是一个带分数，整数部分是1,分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积；（2）根据（1）找的规律写出表示这个规律的式子.（2）A/I+3+（L户1+--^7=1为正整数）.方法总结：解答规律探究性问题，都要通过仔细观察找出字母和数之间的关系，通过阅读找出题目隐含条件并用关系式表示出来.三、板书设计.二次根式的定义一般地，我们把形如爪（a20）的式子叫做二次根式..二次根式有意义的条件被开方数（式）为非负数；、「有意义四、教学反思通过将新知识与旧知识进行联系与对比，随后由学生熟悉的实际问题出发，用已有的知识进行探究，由此引入二次根式.在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需要，体会到数学与实际生活间的紧密联系，以此充分激发学生学习的兴趣.21.2二次根式的乘除第1课时教学目标.掌握二次根式乘法法则；（重点）.会进行二次根式的乘法运算.（重点、难点）教学重难点【教学重点】二次根式乘法法则.【教学难点】进行二次根式的乘法运算.教学过程一、情境导入小颖家有一块长方形菜地，长店111,宽/m,那么这个长方形菜地的面积是多少？二、合作探究探究点：二次根式的乘法［类型一J二次根式的乘法法则成立的条件例1：式子'#2-x=N（x+1）~（2—x）成立的条件是（ ）

A.B.—1C.-D.—l<x<2fx+1^0,解析：根据题意得。、八解得—1WW2.故选C.方法总结：运用二次根式的乘法法则：兄(a20,620),必须注意被开方数均是非负数这一条件.［类型二］二次根式的乘法运算例2：计算：⑴小又乖;(2)出义洞;(3⑴小又乖;(2)出义洞;(3)6^27X(-3^3);解析：有理式的乘法运算律及乘法公式对二次根式同样适用，计算时注意最后结果要化为最简形式.解：⑴4*4=如不=标；(3)6y/27X(-3^3)=-18^/27X3=-18^81=-18X9=-162；•<36•<36632/=方法总结：在运算过程中要注意根号前的因数是带分数时，必须化成假分数，如果被开方数有能开得尽方的因数或因式，可先将二次根式化简后再相乘.三、板书设计四、教学反思在教学安排上，体现由具体到抽象的认识过程.对于二次根式的乘法法则的推导，先利用几个二次根式的具体计算，归纳出二次根式的乘法运算法则.在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，这样安排有助于学生缜密思考和严谨表达，更有助于学生合作精神的培养.第2课时教学目标.掌握积的算术平方根的性质；.会用积的算术平方根的性质对二次根式进行化简.教学重难点【教学重点】积的算术平方根的性质.【教学难点】用积的算术平方根的性质对二次根式进行化简.教学过程一、情境导入计算：(1)能><展与#4X25；⑵4又力与716X9.思考：对于4与，沟呢？从计算的结果我们发现/x十:历！这是什么道理呢？二、合作探究探究点一：积的算术平方根的性质例1：化简：(1)^/(-36)X16X(-9)；(2)^36+482；(3)人心+6春+9方.解析：主要运用公式(a20,620)和，P=a(a20)对二次根式进行化简.解：⑴7(一36)X16X(—9)=^/36X16X9=^/62X42X32=V^XX^/?=6X4X3=72；⑵#36?+48：=y)(12X3)2+(12X4)2=^/122X(32+42)=X胃=12X5=60；(3)yjx+Qxy+9xy="\jx(jr+3y)2 (x+3y),■\[^=\x+3y\\[x.方法总结：利用积的算术平方根的性质可以对二次根式进行化简.：探究点二：二次根式乘法的综合应用例2：小明的爸爸做了一个长为女明8ncm,宽为、48ncm的矩形木相框,还想做一个与它面积相等的圆形木相框，请你帮他计算一下这个圆的半径(结果保留根号).解析：根据矩形的面积公式、圆的面积公式，构造等式进行计算.解：设圆的半径为zvm.因为矩形木相框的面积为由588n义小8n=168n(cm2),所以nr=168n,r=2，I^cm(r=-24^舍去).答：这个圆的半径是2而cm.方法总结：把实际问题转化为数学问题，列出相应的式子进行计算，体现了转化思想.三、板书设计.二次根式的乘法法则：y[a,y[b—y[ab(a^0,620).积的算术平方根：y[ab-y/a•-\[b(a^O,620)四、教学反思在教学安排上，体现由具体到抽象的认识过程.对于二次根式的乘法法则的推导，先利用几个二次根式的具体计算，归纳出二次根式的乘法运算法则.在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，这样安排有助于学生缜密思考和严谨表达，更有助于学生合作精神的培养.第3课时教学目标.掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，会运用其进行相关运算;.能综合运用已学性质进行二次根式的化简与运算.教学重难点【教学重点】二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质.【教学难点】运用已学性质进行二次根式的化简与运算.教学过程一、情境导入计算下列各题，观察有什么规律？强平亚^49 \]49'm 16二、合作探究探究点一：二次根式的除法[类型一J二次根式的除法运算例1：计算：

(3)-^^=；(4)572ab\解析：本题主要运用二次根式的除法法则来进行计算，若被开方数是分数，则被开方数相除时，可先用除以一个数等于乘这个数的倒数的方法进行计算，再进行约分.(4)^/54-—5(4)^/54-—5方法总结：利用二次根式的除法法则进行计算时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”进行约分化简.［类型二］二次根式的乘除混合运算例2：计算：(2)原式=a?•b(2)原式=a?•b•aa2bi-探究点二：商的算术平方根的性质［类型—］利用商的算术平方根的性质确定字母的取值范围

例3：例3：若,则a的取值范围是()A.a<2B.a<2C.0<aV2D.a20a20,解析：根据题意得L 八解得0&aV2.故选C.、2—a>0,方法总结：运用商的算术平方根的性质:620),必须注意被开方方法总结：运用商的算术平方根的性质:620),必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件.［类型二］利用商的算术平方根的性质化简二次根式例4：化简：b>0,c>0).b>0,c>0).解析：运用商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根.⑵德制方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式.探究点三：最简二次根式例5：在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？并说明理由.(1)^45；(2)^/|；(3) 5(4)y/0.5；解析：根据满足最简二次根式的两个条件判断即可.解：(1)m=3乖，被开方数含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式；(2)^3 3，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式；(3)乎，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式;

被开方数含有小数，因此不是最简二次根式;被开方数含有小数，因此不是最简二次根式;（5）y（=、，］=¥，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式.方法总结：解决此题的关键是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（D被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式.探究点四：二次根式除法的综合运用例6：座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其周期计算公式为1=2其中T表示周期（单位：秒），/表示摆长（单位：米），49.8米/秒z,假若一台座钟摆长为0.5米，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声（n^3.14）?解析：由给出的公式代入数据计算即可.要先求出这个钟摆的周期，然后利用时间除周期得到次数.解：•••7=2兀、/瞿七1.42,丹=黑-42（次），，在1分钟内，该座钟大约发出了\/y.o I1.4%42次滴答声.方法总结：解决本题的关键是正确运用公式.用二次根式的除法进行运算，解这类问题时要注意代入数据的单位是否统一.三、板书设计.二次根式的除法运算.商的算术平方根.最简二次根式被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.四、教学反思在教学中应注重积和商的互相转换，让学生通过具体实例再结合积的算术平方根的性质，对比、归纳得到商的算术平方根的性质.在此过程中应给予适当的指导，可提出问题让学生有一定的探索方向.在设计课堂教学内容时，以提问的方式引出本节课要解决的问题，让学生自主探究，在探究过程中观察知识产生发展的全过程，从而让学生的学习情感和学习品质得到升华，学生的创新精神得到发展.21.3二次根式的加减教学目标.会将二次根式化为最简二次根式，掌握二次根式加减法的运算；.熟练进行二次根式的加减运算，并运用其解决问题；.正确地运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算，并把结果化简.教学重难点【教学重点】将二次根式化为最简二次根式，掌握二次根式加减法的运算.【教学难点】运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算，并把结果化简.教学过程一、情境导入小明家的客厅是长7.5m,宽5m的长方形，他要在客厅中截出两个面积分别为8m?和18nl2的正方形铺不同颜色的地砖，问能否截出？二、合作探究探究点一：同类二次根式例1：已知最简二次根式Y2a+6与二十夕3a-4能够合并同类项,求a+6的值.解析：利用最简二次根式的概念求出a,6的值，再代入a+6求解即可.解：,最简二次根式d2a+6与a.)3a—4能够合并同类项,，a+6=2,2a+6=3a—4,解得a=3,b——1, a+6=3+(―1)=2.方法总结：根据同类二次根式的概念求待定字母的值时，应该根据同类二次根式的概念建立方程或方程组求解.探究点二：二次根式的运算［类型一］二次根式的加减运算例2：计算：标一击一(啦)2+|2—4§|.解析：二次根式的加减运算应先化简，再合并同类二次根式.

解：原式=2十一半2+2-V3=[^2-1-lp3解：原式=2十一半2+2-V3=[^2-1-lp33=2^33.方法总结：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并时系数相加减，根式不变.［类型二］二次根式的四则运算(3),\/2—(4+2)4--^3.解析：先把各二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并后进行二次根式的乘法运算，然后进行加法运算.e,、h-1 /8 1 5 1 242 「解：(1)原式=1X9X'/不义/Xw=wX9X—=a/2；z\/o4oozy'3-(2)原式=(6/一乎+4/)+24+(=受*东+(=弓+(=5；(3)原式=隹_(/+2)+方=/一号工=蛆-1方法总结：二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式.3-［类型三］二次根式的化简求值2_12/ oA-格例4：先化简，再求值：」? a一/其中a=2+/,b=2一十.解析：先将原式化为最简形式，再将a与6的值代入计算即可求出.解:(a+b)(a—解:(a+b)(a—6)原式二 a.a-2ab~\-1)(a+b)(a—b)

a aa_a-\rb(a-b)2a—t)当a=2+/'0=2—小时'原式=；*$］；+?=泰=乎-方法总结：化简求值时一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值.化简时不能跨度太大，缺少必要的步骤易造成错解.［类型四］二次根式运算在实际生活中的应用例5：母亲节快到了，为了表示对妈妈的感恩，小号同学特地做了两张大小不同的正方形的壁画送给妈妈，其中一张面积为800cm°,另一张面积为450cm:他想如果再用金色细彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他手上现有1.2m长的金色细彩带，请你帮他算一算，他的金色细彩带够用吗？如果不够，还需买多长的金色细彩带(啦弋1.414,结果保留整数)？解析：先求出每张正方形壁画的边长，再根据正方形的周长公式求所需金色细彩带的长.解：镶壁画所用的金色细彩带的长为：4X(^800+^450)=4X(20^2+15^2)=140明Q197.96(cm).因为1.2m=120cm<197.96cm,所以小号的金色细彩带不够用.197.96-120=77.96^78(cm),即还需买78cm的金色细彩带.方法总结：利用二次根式来解决生活中的问题，应认真分析题意，注意计算的正确性与结果的要求.三、板书设计.同类二次根式.二次根式的加减一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化简成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并..二次根式的四则运算先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的.四、教学反思在授课过程中，要以学生为主体，进行探究性学习，让学生自己发现规律，得出结论.在例题的选择上可由简到难，符合学生的认知规律，便于学生掌握知识.在得到定义、法则的过程中，让学生经历发现、思考、探究的过程，体会学习知识的成功与快乐.第22章一元二次方程一元二次方程教学目标.理解一元二次方程及其相关概念，能够熟练地把一元二次方程化为一般形式..会应用一元二次方程的解的定义解决有关问题..在分析、揭示实际问题中的数量关系，并把实际问题转化为数学模型的过程中,感受方程是刻画现实世界中的数量关系的工具，增强对一元二次方程的感性认识.教学重难点【教学重点】一元二次方程及其相关概念，把一元二次方程化为一般形式.【教学难点】应用一元二次方程的解的定义解决有关问题.教学过程一、情境导入参加一次集会，如果有x个人，每两人之间都握一次手，共握了21次手，请你列出符合上述条件的方程，并判断方程是什么类型？二、合作探究探究点一：一元二次方程的概念［类型一］一元二次方程的识别例1：下列选项中，是关于"的一元二次方程的是()A.V+t=lB.3x—2xy—5y=0C.(x—1)(X—2)=3D.af+6x+c=0解析：选项A中的方程分母含有未知数，所以它不是一元二次方程；选项B中的方程含有2个未知数，所以它不是一元二次方程；当a=0时，选项D中的方程不含二次项，所以它不是一元二次方程，排除A、B、D,故选C.方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，必须将方程化简后再进行判断.一元二次方程的三个条件：一是方程两边都是整式；二是只含有一个未知数；三是未知数

的最高次数是2.上述三个条件必须同时满足，缺一不可.［类型二］利用一元二次方程的概念确定字母系数例2：关于X的方程G+1)/T+履+1=0是一元二次方程，则4的值为解析：由题意得'|4一解析：由题意得'|4一1|=2,次+1W0,"〃=3或〃=—1,

k#—1.：.k=3.方法总结：由一元二次方程的概念满足的条件：未知数最高次数为2,构造方程，解出字母取值，并利用二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值.探究点二：一元二次方程的一般形式例3：将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项.(1)32=5x；(2)9吹=16；2x(3%+1)=17；(3*—5)(*+1)=7*—2.解析：先分别将各方程化为一般形式，再指出它们的各部分的名称.解：(1)方程化为一般形式为3戈-5*—2=0,二次项系数是3,一次项系数是一5,常数项是一2.(2)方程化为一般形式为9/-16=0,二次项系数是9,一次项系数是0,常数项是一16.(3)方程化为一般形式为6产+2*—17=0,二次项系数是6,一次项系数是2,常数项是一17.(4)方程化为一般形式为3，-9X一3二0,二次项系数是3,一次项系数是一9,常数项是一3.方法总结：求一元二次方程的各项系数和常数项，必须先把方程化为一般形式，特别要注意确认各项系数和常数项一定要包括前面的符号.探究点三：列一元二次方程TOC\o"1-5"\h\z; ；1.4m• 12m例4：在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积为1.610?.已知床单的长是2m,宽是1.4m,求花边的宽度.请根据题意列出方程.解析：设花边的宽度为Am,则由图可知剩下部分的长为(2—2x)m,剩下部分的宽为（1.4—2x）m.,剩下部分面积为1.6m',.,.可列方程（2—2x）（1.4—2%）=1.6.方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当的设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确的列出方程.探究点四：一元二次方程的解［类型一］判断一元二次方程的解例5：方程“2—2*=0的解为（ ）A.乂=1,是=2B.为=0,x2=l1C.为=0,正=2D.Xi=~,x2=2乙解析：把各选项中未知数的值分别代入方程的左右两边，只有选项C中的及=0,取=2都能使方程*-2*=0的左右两边相等，所以选C.方法总结：判断一个未知数的值是否是一元二次方程的解，可以把未知数的值代入方程左右两边，能使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解.：［类型二］利用一元二次方程的解的意义求字母或代数式的值例6：已知1是关于x的一元二次方程（R—l）f+x+l=0的一个根，则加的值是（ ）A.1B.-1C.0D.无法确定解析：根据方程的根的概念，直接代入方程，左右两边相等，但考虑到是一元二次方程，所以二次项系数不能等于0.由此得，（ki）+1+1=0,解得/=一1,此时k1=-2W0,二加=—1.故选B.方法总结：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，在涉及方程根的题目中，我们一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来解决问题.三、板书设计|构建一兀二次方丽型A疏系数和常数项,I相关概念H一元二次方程|一般形式1 八J|解的概念J四、教学反思教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为数学问题，体会数学建模的思想方法.22.2一元二次方程的解法第1课时教学目标.学会根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程..运用开平方法解形如(x+而2=〃的方程..体验类比、转化、降次的数学思想方法，增强学习数学的兴趣.教学重难点【教学重点】根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程.【教学难点】运用开平方法解形如(x+勿)2=〃的方程.教学过程一、情境导入一个正方形花坛的面积为10,若设其边长为x,根据正方形的面积可列出怎样的方程？用怎样的方法可以求出所列方程的解呢？二、合作探究探究点：直接开平方法[类型用直接开平方法解一元二次方程例1：运用开平方法解下列方程：⑴4寸=9；(2)(*+3)2—2=0.解析：(1)先把方程化为V=a(a20)的形式；(2)原方程可变形为(*+3)2=2,则x+3是2的平方根，从而可以运用开平方法求解.9 3 3解：(1)由4f=9,得*=[,两边直接开平方，得'=±5，.•.原方程的解是才|=5，(2)移项，得(x+3)2=2.两边直接开平方，得x+3=±/.或x+3=一

...原方程的解是*=/-3,x尸—*\/2-3.方法总结：由上面的解法可以看出，一元二次方程是通过降次，把一元二次方程转化为一元一次方程求解的，这是解一元二次方程的基本思想；一般地，对于形如炉=a(a20)的方程，根据平方根的定义，可解得小=爪，x2=~y［a.［类型二］直接开平方法的应用例2：若一元二次方程a，'=6(a6>0)的两个根分别是勿+1与2h-4,则”= .a解析:a。—解析:a。—b,方程的两个根互为相反数，，/+1+2/Z7—4=0,一元二次方程aV=b(ab>0)的两个根分别是2与一2,Q故答案为4.［类型三］直接开平方法与方程的解的综合应用例3：若一元二次方程(a+2)f—ax+a?—4=0的一个根为0,则a=.解析：•••一元二次方程(a+2)f—ax+a2-4=0的一个根为0,.•.a+2W0且a?-4=0,，a=2.故答案为2.［类型四］直接开平方法的实际应用例4：有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm,宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，边长应为多少厘米？分析：要求新正方形的边长，可先求出原正方形和矩形的面积之和，然后再用开平方计算.解：设新正方形的边长为xcm,根据题意得y=ll?+13X8,即f=225,解得x=±15.因为边长为正，所以矛=-15不合题意，舍去，所以只取x=15.答：新正方形的边长应为15cm.方法总结：在解决与平方根有关的实际问题时，除了根据题意解题外，有时还要结合实际，把平方根中不符合实际情况的负值舍去.三、板书设计四、教学反思教学过程中，强调利用开平方法解一元二次方程的本质是求一个数的平方根的过程.同时体会到解一元二次方程过程就是一个“降次”的过程.第2课时教学目标.认识用因式分解法解方程的依据..会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.教学重难点【教学重点】用因式分解法解方程.【教学难点】用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.教学过程一、情境导入我们知道a6=0,那么a=0或6=0,类似的解方程(x+1)(、-1)=0时，可转化为两个一元一次方程x+l=0或%—1=0来解，你能求出(x+3)(x—5)=0的解吗？二、合作探究探究点一：用因式分解法解一元二次方程［类型利用提公因式法分解因式解一元二次方程碰1用因式分解法解下列方程：⑴V+5x=0；(2)(x-5)(*—6)=x~5.解析：变形后方程右边是零，左边是能分解的二次三项式，可用因式分解法.解：(1)原方程转化为x(x+5)=0,，x=0或x+5=0,原方程的解为乂=0,x2=一5；(2)原方程转化为(x—5)(x—6)—(x—5)=0,(x—5)[(x—6)—1]=0, (x—5)(x—7)=0,...x—5=0或x—7=0,.,.原方程的解为用=5,x2=l.[类型二]利用公式法分解因式解一元二次方程»用因式分解法解下列方程：⑴产一6才=-9；(2)4(x—3)z—25(x—2)2=0.解：(1)原方程可变形为：f-6x+9=0,则(*-3)2=0,.•.x—3=0,因此原方程的解为：乂=而=3.(2)[2(x—3)]2—[5(x—2)]0,[2(*—3)+5(x—2)][2(*—3)—5(x—2)]=0>(7x-— . 16 4—16)(―3x+4)=0,，7x—16=0或-3x+4=0,.,.原方程的解为为=万，是=§.方法总结：因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每一个因式分别为零，就得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.探究点二：用因式分解法解决问题狒1若a、6、c为的三边，且a、b、a~ac-ab+bc=0,试判断的形状.解析：先分解因式，确定a,b,c的关系，再判断三角形的形状.解：Va2—ac—ab+bc=0, (a—Z>)(a—c)=0, 6=0或a—c=0,...2=^;或a=6, a'为等腰三角形.三、板书设计四、教学反思利用因式分解法解一元二次方程，能否分解是关键，因此，要熟练掌握因式分解的知识，提高用分解因式法解方程的能力.在使用因式分解法时，先考虑有无公因式，如果没有再考虑公式法.第3课时教学目标了解配方的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤.2.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系，能够熟练地运用配方法解决有关问题.教学重难点【教学重点】配方的概念，运用配方法解一元二次方程.【教学难点】直接开平方法和配方法之间的区别和联系.教学过程一、情境导入李老师让学生解一元二次方程宗一6才一5=0,同学们都束手无策，学习委员考虑了一下，在方程两边同时加上14,再把方程左边用完全平方公式分解因式……，你能按照他的想法求出这个方程的解吗？二、合作探究探究点：配方法【类型一】配方颤1用配方法解一元二次方程？-4*=5时，此方程可变形为( )A.5+2v=1B.(x—2尸=1C.(x+2)2=9D.(*-2)2=9解析：由于方程左边关于x的代数式的二次项系数为1,故在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边写成完全平方式的形式，右边化简即可.因为y—4x=5,所以V—4x+4=5+4,所以(x—2尸=9.故选D.方法总结：用配方法将一元二次方程变形的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边，使方程的左边只留下二次项和一次项；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.［类型二］利用配方法解一元二次方程»用配方法解方程：f—4x+l=0.解析：二次项系数是1时，只要先把常数项移到右边，然后左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程配成(x+㈤2=〃(〃2o)的形式再用直接开平方法求解.解：移项，得4'=-1.配方，得V-4x+(—2/=-1+(—2产.即(x—2)2=3.解这个方程，得x一2= ，Xi=2+，5,x2=2—y［i.

方法总结：用配方法解一元二次方程，实质上就是对一元二次方程变形，转化成开平方所需的形式.［类型三］用配方解决求值问题解：原方程可化为(x+2)2+(j-3)2=0,.•.(x+2)2=0且(y—3)2=0,.・.*=-2且y［类型四］用配方解决证明问题硒！（1）用配方法证明2f—4x+7的值恒大于零；（2）由第（1）题的启发，请你再写出三个恒大于零的二次三项式.证明：（1）2*—4犬+7=2（/一2"）+7=2（「一2X+1—1）+7=2（*—1）2—2+7=2（入—1）2+5.*.*2（x—I）［。。, 2（x—1）?+525,即2系一4x+7卜5,故2,一4x+7的值恒大于零.（2）V—2x+3；2?—2x+5；3x2+6x+8等.［类型五］配方法与不等式知识的综合应用【例时证明关于x的方程（/-8加+17）f+2勿x+l=O不论"为何值时，都是一元二次方程.解析：要证明“不论勿为何值时，方程都是一元二次方程”，只需证明二次项系数犹-8勿+17的值不等于0.证明：•二次项系数/—8加+17=B—8加+16+1=（加一4尸+1,又•••山一4）220,二（加一4尸+1>0,即8加+17>0..,.不论以为何值时，原方程都是一元二次方程.三、板书设计।复习平方根与开平方n/复习完全平方声探索开平方法〔解一定二次方程.探索开平方法〔解一定二次方程.f探索配方法

解一关二法方程,［相关例题相关例题］四、教学反思教学过程中，强调配方法解方程就是将方程左边配成完全平方式的过程.因此需熟练掌握完全平方式的形式.第4课时教学目标.理解一元二次方程求根公式的推导过程；.会用公式法解一元二次方程.教学重难点【教学重点】一元二次方程求根公式的推导过程.【教学难点】用公式法解一元二次方程.教学过程一、情景导入如果这个一元二次方程是一般形式aV+6x+c=0(a#0),你能否用配方法的步骤求出它们的两根？请同学独立完成下面这个问题.问题：已知af+6x+c=O(aWO),且下一4ac20,试推导它的两个根为二—b+y]l/—4ac -b-\l4-4ac2a，“尸2a"二、合作探究探究点一：用公式法解一元二次方程1例11方程3步-8=7x化为一般形式是»其中a=,b=,c=,方程的根为.解析：将方程移项可化为3*2—7x—8=0.其中a=3,b——l,c=-8,因为5―4ac=(-7)2-4X3X(-8)=145>0,代入求根公式可得N=迂蚪.6故答案分别为3*2—7x—8=0,3,—7,—8,‘一4吗b方法总结：一元二次方程af+6x+c=0(aW0)的根是由方程的系数a,b,c确定的，只要确定了系数a,b,c的值，代入公式就可求得方程的根.«用公式法解下列方程：(1)一3f一5入+2=0;(2)2f+3x+3=0；3)—2x+1=0.解析：先确定ab,。及52-4〃的值，再代入公式求解即可.解：(1)-3/—5*+2=0,3/+5*-2=0.Va=3,6=5,c=-2,.•.^-4ac=52-4X3X(-2)=49>0,. -5+^49~5±7•,才=2X3=-6~，.'.Xi--,及二-2；(2)a=2,6=3,c=3,.,.Z?2-4ac=32-4X2X3=9-24=-15<0,原方程没有实数根；(3)a=l,b=—2,c—1,：.t)~4ac=(-2)2-4XlX1=O,. 2±V62±0••矛=2X1=2，.\Xi=X2=l.方法总结：用公式法解一元二次方程时，首先应将其变形为一般形式，然后确定公式中a,b,c的值，再求出62—4ac的值与“0”比较，最后利用求根公式求出方程的根(或说明其没有实数根).［类型二］一元二次方程解法的综合运用晒三角形的两边分别为2和6,第三边是方程/-10^+21=0的解，则第三边的长为()A.7B.3C.7或3D.无法确定解析：解一元二次方程”2—10*+21=0,得汨=3,X2=7.根据三角形三边的关系，第三边还应满足4<x<8.所以第三边的长x=l.故选A.方法总结：解题的关键是正确求解一元二次方程，并会运用三角形三边的关系进行取舍.三、板书设计四、教学反思经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程，探索求根公式，通过对公式的推导，认识一元二次方程的求根公式适用于所有的一元二次方程.体会数式通性，感受数学的严谨性和数学结论的确定性.提高学生的运算能力，并养成良好的运算习惯第5课时教学目标.理解并掌握一元二次方程根的判别式，能运用判别式，在不解方程的前提下判断一元二次方程根的情况；.通过一元二次方程根的情况的探究过程，体会从特殊到一般、猜想及分类讨论的数学思想，提高观察、分析、归纳的能力.教学重难点【教学重点】一元二次方程根的判别式.【教学难点】运用判别式在不解方程的前提下判断一元二次方程根的情况.教学过程一、情境导入老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小强突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道他是如何判断的吗？二、合作探究探究点一：一元二次方程的根的情况［类型一］判断一元二次方程根的情况颐1不解方程，判断下列方程的根的情况.(1)2f+3*—4=0；(2)V—x+.=0；(3)y—x+l=O.解析：根据根的判别式我们可以知道当Z/TacNO时，方程才有实数根，而^-4ac<0时，方程没有实数根.由此我们不解方程就能判断一元二次方程根的情况.解：(1)2炉+3*-4=0,a=2,8=3,。=一4,二〃一4ac=3'—4X2X(-4)=41>0....方程有两个不相等的实数根.(2)?—x+[=0,a=l,b=~l,c=；.万一4ac=(一1”-4X1义；=0..,.方程有两个相等的实数根.(3)y-x+l=0,a=l,b=-l,c=l..,.Z?2-4ac=(-l)2-4XlXl=-3<0.：.^j程没有实数根.方法总结：给出一个一元二次方程，不解方程，可由4ac的值的符号来判断方程根的情况.当"4ac>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当"4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当62—4acV0时，一元二次方程无实数根.[类型二]由一元二次方程根的情况确定字母系数的取值»已知关于x的一元二次方程仁一1)/-2*+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是()A.a>2B.a<2C.水2且aWlD.水一2解析：由于一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式大于0,得到一个不等式，再由二次项系数不为0知a—1不为0.即4—4(a—D>0且a—iwo,解得aV2且aWL选C.方法总结：若方程有实数根，则行一4ac20.由于本题强调说明方程是一元二次方程，所以，二次项系数不为0.因此本题还是一道易错题.[类型三]一元二次方程根的判别式与三角形的综合晒已知a,b,c分别是△48。的三边长，求证：关于x的方程^^+3+廿一+)*+1=0没有实数根.解析：欲证一元二次方程没有实数根，只需证明它的判别式A<0即可.由a,6,c是三角形三条边的长可知a,b,c都是正数.由三角形的三边关系可知a+力c,a+d>b,b+c>a.证明：为三角形一边的长，・・"2*0,••”2[+(/+。2一/)入+02=0是关于x的一元二次方程.A=(Z?2+(?2~a2)2—4Z?2c=(Z?2+c—a+2bc)(Z?2+c~a—2be)=[(6+c)‘一[(。-c)‘一才]=(b+c+a)(6+c—h)(b-c+a){b~c-a)=(a+b+c)[(，+c)—a][(a+Z?)—c\\_b—(a+c)].Va,b,c是三角形三条边的长，a>0,b>0,c>0,且a+Z?+c>0,a+Z?>c,b+c>a,a+c>b.，(b+c)—a>0,(a+b)—c>0,b—(a+c)<0,・，・(a+6+c)[(6+c)—a\[(a+Z?)—c][Z?—(a+c)]〈O,即△<0.・•・原方程没有实数根.方法总结：利用根的判别式与三角形的三边关系：常根据判别式得到关于三角形三边的式子，再结合三边关系确定△符号.［类型四］利用根的判别式解决存在性问题®in是否存在这样的非负整数m,使关于x的一元二次方程（2/Z?-1）x+1=0有两个不相等的实数根？若存在，请求出力的值；若不存在，请说明理由.解：不存在，理由如下：假设加力一（2/一l）x+l=0有两个不相等的实数根，则［一（2kl）］2-4/2〉0,解得舄.,加为非负整数，，加=0.而当加=0时，原方程/V—（2/Z7—Dx+l=0是一元一次方程，只有一个实数根，与假设矛盾....不存在这样的非负整数，使原方程有两个不相等的实数根.易错提醒：在求出力=0后，常常会草率地认为加=0就是满足条件的非负整数，而忽略了二次项系数不为0的这一隐含条件，因此解题过程中务必考虑全面.三、板书设计四、教学反思本节课是在一元二次方程的解法的基础上，学习根的判别式的应用.学生容易在计算取值范围的时候忘记二次项系数不能为零，这是本节课需要注意的地方，应予以特别强调.第6课时教学目标.探索一元二次方程的根与系数的关系..会不解方程利用一元二次方程的根与系数解决问题.教学重难点【教学重点】一元二次方程的根与系数的关系.【教学难点】利用一元二次方程的根与系数解决问题.教学过程一、情境导入一般地，对于关于x的方程f+px+g=O（p,g为已知常数，/_4°20）,试用求根公式求出它的两个解不、x2,算一算Xi+用、的值，你能得出什么结果？二、合作探究探究点：一元二次方程根与系数的关系［类型—］利用一元二次方程根与系数的关系求关于方程根的代数式的值颤1已知力、〃是方程2?一“-2=0的两实数根，则的值为（ ）mn1A.—1B."C・—~D.1解析：根据根与系数的关系，可以求出力+〃和侬的值，再将原代数式变形后，整体代入计算即可.因为以、〃是方程2-=0的两实数根，所以履mn=-1,一+—=n+m一+—=n+m2mn—12-故选C.方法总结：解题时先把代数式变形成与两根和、积有关的形式，注意前提：方程有两个实数根时，判别式大于或等于0.［类型二］根据方程的根确定一元二次方程«已知一元二次方程的两根分别是4和一5,则这个一元二次方程是（ ）A./-6x+8=0B.r+9x-l=0C.y-A-6=0D.父+x—20=0解析：,方程的两根分别是4和一5,设两根为用，及，则为+及=-1，*・X2=-20.如果令方程a*+6x+c=0中，a=l,则一6=—1,c=20..,.方程为 20=0.故选D.方法总结：先把所构造的方程的二次项系数定为1,利用一元二次方程根与系数的关系确定一元二次方程一次项系数和常数项.［类型三］根据根与系数的关系确定方程的解晒己知x=4是一元二次方程f-3x+c=0的一个根，则另一个根为.解析：设另一根为M，则由根与系数的关系得不+4=3,.•.乂=-1.故答案为”=一1.方法总结：解决这类问题时，利用一元二次方程的根与系数的关系列出方程即可解决.［类型四］利用一元二次方程根与系数的关系确定字母系数的I!关于x的方程x?—ax+2a=0的两根的平方和是5,则a的值是()A.-1或5B.1C.5D.-1解析：将两根平方和转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决.设方程两根为xz,由题意，得北+北=5.••.(乂+%)2—2乂生=5.X\+x2=a,%汨=2a,.,^2—2X24=5.解得a=5,在=-1.又=A=a?-8a,当a=5时，△<(),此时方程无实数根，所以舍去a=5.当a=-1时，A>0,此时方程有两实数根.所以取a=-1.故选D.方法总结：解答此类题的关键是将与方程两根有关的式子转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决问题.注意不要忽略题目中的隐含条件△》()，导致解答不全面.［类型五］一元二次方程根与系数的关系和根的情况的综合应用(WB已知小、也是一元二次方程(a—6)f+2ax+a=0的两个实数根.(1)是否存在实数a,使一及+及a=4+也成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；(2)求使(冬+1)(应+1)为负整数的实数a的整数值.解：(D根据题意，得△=(2a)2—4Xa(a—6)=24a20.解得a20.又,.,a—6W0,2a aW6.由根与系数关系得：为+质= 乂质= .由一乂+%而=4+莅得X\~\~x2a-o a-bOo ry Ozy+4=①泾，行+4=再,解得-24.经检验+4=①泾，解.即存在a=24,使-m+x/2=4+x2成立.2a o 6(2)原式=乂+及+乂屁+1= -+t+1=-为负整数，则6—a为一1或一2,a-ba—0 b—a-3,-6.解得a=7或8,9,12.三、板书设计四、教学反思教学过程中，强调一元二次方程的根与系数的关系是通过求根公式得到的，在利用此关系确定字母的取值时，一定要记住△20这个前提条件.22.3实践与探索第1课时教学目标.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题..继续探究实际问题中的数量关系，列出一元二次方程解应用题..通过探究体会列方程的实质，提高灵活处理问题的能力.教学重难点【教学重点】列出一元二次方程解应用题.【教学难点】用面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题.教学过程一、情境导入如图，在长为10cm,宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%,你能求出所截去小正方形的边长吗？二、合作探究探究点：用一元二次方程解决图形面积问题［类型一］利用面积构造一元二次方程模型的II用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米.若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于”的方程为()A.x(5+x)=6B.x(5—*)=6C.x(10—*)=6D.x(10—2x)=6解析：设一边长为x米，则另外一边长为(5—分米，根据它的面积为6平方米，即可列出方程得：*(5一入)=6,故选择B.方法总结：理解题意，恰当的设未知数，把题中相关的量用未知数表示出来，用相等关系列出方程.®IH现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，求小正方形的边长.解析：设小正方形的边长为xcm,则长方体盒子底面的长、宽均可用含x的代数式表示，再根据面积，即可建立等量关系，列出方程.解：设小正方形的边长为xcm,则可得这个长方体盒子的底面的长是(80—2x)cm,宽是(60—2£cm,根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面积，方程可列为(80-2x)(60-2%)=1500,整理得*-70*+825=0,解得用=55,为=15.又60—2X〉0,，x=55(舍)....小正方形的边长为15cm.方法总结：要从已知条件中找出关键的与所求问题有关的信息，通过图形求出面积，解题的关键是熟记各种图形的面积公式，列出符合题意的方程，整理即可.［类型二］整体法构造一元二次方程模型硒1如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米.设道路宽为x米，根据题意可列出的方程为.解析：解法一：把两条道路平移到靠近矩形的一边上，用含X的代数式表示草坪的长为(22-X)米，宽为U7—X)米，根据草坪的面积为300平方米可列出方程(22—X)(17-x)=300.解法二：根据面积的和差可列方程：22X17-22a—17A-+?=300.方法总结：解答与道路有关的面积问题，可以根据图形面积的和差关系，寻找相等关系建立方程求解；也可以用平移的方法，把道路平移构建特殊的图形，并利用面积建立方程求解.［类型三］利用•元二次方程解决动点问题B/APC硒！如图所示，在△力8。中，ZC=90°,AC=6cm,比三8cm,点P从点力出发沿边力。向点。以lcm/s的速度移动，点。从。点出发沿纺边向点月以2cm/s的速度移动.(1)如果只0同时出发，几秒钟后，可使△PC0的面积为8平方厘米？(2)点只0在移动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积等于△43。的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.解析：这是一道动态问题，可设出未知数，表示出所与的长，根据面积公式建立方程求解.解：⑴设xs后，可使的面积为8cnT'，所以RZ—xcm,PC=(6—x)cm,CQ=2xcm.则根据题意，得:•(6—x)・2x=8.整理，得c一6x+8=0,解这个方程，得莅=2,%=4.所以只0同时出发，2s或4s后可使△PC0的面积为8cm)(2)设点p出发x秒后，的面积等于△4?。面积的一半.则根据题意，得/6—x)•2x=*1X6X8.整理，得V-6x+12=0.由于此方程没有实数根，所以不存在使的面积等于△46。面积一半的时刻.三、板书设计图形面积问题四、教学反思与图形有关的问题是一元二次方程应用的常见题型，解决这类问题的关键是将不规则图形分割或补全成规则图形，找出各部分面积之间的关系，运用面积等计算公式列出方程；对图形进行分割或补全的原则：转化成为规则图形时越简单越直观越好.第2课时教学目标.掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题..会解有关“增长率”及“销售”方面的实际问题.教学重难点【教学重点】用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题.【教学难点】解有关“增长率”及“销售”方面的实际问题.教学过程一、情境导入月季花每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系.每盆植3株时，平均每株盈利4元;若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元.要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？二、合作探究探究点：用一元二次方程解决增长率问题［类型—］增长率问题硒I某工厂一种产品2019年的产量是100万件，计划2021年产量达到121万件.假设2019年到2021年这种产品产量的年增长率相同.(1)求2019年到2021年这种产品产量的年增长率；(2)2020年这种产品的产量应达到多少万件？解析：(D通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率；(2)依据求得的增长率,代入2020年产量的表达式即可解决.解：(1)设这种产品产量的年增长率为x，根据题意列方程得100(1+x)2=121,解得不=0.1,国=—2.1(舍去).答：这种产品产量的年增长率为10%.(2)100X(1+10%)=110(万件).答：2020年这种产品的产量应达到110万件.方法总结：增长率问题中可以设基数为a,平均增长率为x,增长的次数为n,则增长后的结果为a(l+x)”；而增长率为负数时，则降低后的结果为a(l—X)”.掰1某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万元，每月另需支付设备维护费5万元；从今年1月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达100万元，1至3月份生产收入以相同的百分率逐月增长，累计达364万元，3月份后，每月生产收入稳定在3月份的水平.(1)求使用新设备后，2月、3月生产收入的月增长率；(2)购进新设备需一次性支付640万元，使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？(累计利润是指累计生产收入减去旧设备维护费或新设备购进费)解析：(1)设2月，3月生产收入的月增长率为x,根据题意建立等量关系，即3个月之和为364万元，解方程时要对结果进行合理取舍；(2)根据题意，建立不等关系：前三个月的生产收入+以后几个月的收入减去一次性支付640万元大于或等于旧设备几个月的生产收入一每个月的维护费，然后解不等式.解：(1)设2月，3月生产收入的月增长率为x,根据题意有100+100(1+”)+100(1+x)2=364,即25Y+75x-16=0,解得，为=-3.2(舍)，x2=0.2,所以2月，3月生产收入的月增长率为20%.(2)设/个月后，使用新设备所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润，根据题意有364+100(1+20%)“加-3)-640290/一5加，解得，加212.所以，使用新设备12个月后所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润.方法总结：根据实际问题中的数量关系或是题目中给出的数量关系得到方程，通过解方程解决实际问题，当方程的解不只一个时，要根据题意及实际问题确定出符合题意的解.【类型二】利润问题领1一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元.该校最终向园林公司支付树苗款8800元.请问该校共购买了多少棵树苗？解析：根据条件设该校共购买了x棵树苗，根据“售价=数量X单价”就可求解.解：’.飞。棵树苗售价为120元X60=7200元<8800元，，该校购买树苗超过60棵.设该校共购买了x棵树苗，由题意得近120—0.55-60)］=8800,解得为=220,而=80.当冬=220时，120—0.5(220—60)=40<100,.,.为=220不合题意，舍去；当场=80时，120—0.5(80—60)=110>100,，%=80, ^=80.答：该校共购买了80棵树苗.方法总结：根据实际问题中的数量关系或题目中给出的数量关系得到方程，当求出的方程的解不只一个时，要根据题意及实际问题确定出符合题意的解.［类型三］方案设计问题的U菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.(1)求平均每次下调的百分率；(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由.分析：第(D小题设平均每次下调的百分率为x,列一元二次方程求出x,舍去不合题意的解；第(2)小题通过计算进行比较即可求解.解：(1)设平均每次下调的百分率为x,由题意，得5(1-*)2=3.2,解得乂=0.2=20%,%=1.8(舍去)....平均每次下调的百分率为20%；(2)小华选择方案一购买更优惠，理由如下：方案一所需费用为：3.2X0.9X5000=14400(元)；方案二所需费用为:3.2X5000—200X5=15000(元)，；14400V15000,...小华选择方案一购买更优惠.三、板书设计四、教学反思教学过程中，强调解决有关增长率及利润问题时，应考虑实际，对方程的根进行取舍.第23章图形的相似23.1成比例线段第1课时教学目标.知道线段的比的概念，会计算两条线段的比；.理解成比例线段的概念；.掌握成比例线段的判定方法.教学重难点【教学重点】线段的比的概念，成比例线段的概念，会计算两条线段的比.【教学难点】成比例线段的判定方法.教学过程一、情景导入请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗?OoO°••这些例子都是形状相同、大小不同的图形.它们之所以大小不同，是因为它们图上对应的线段的长度不同.二、合作探究探究点一：线段的比［类型—］求线段的比的U已知线段44=2.5m,线段a?=400cm,求线段月6与的比.解析：要求46和徵的比，只需要根据线段的比的定义计算即可，但注意要将46和⑦的单位统一.解：,.33=2.5m=250cm,.AB2505"6»=400-8,方法总结：求线段的比时，首先要检查单位是否一致，不一致的应先统一单位，再求比.【类型二】比例尺的物在比例尺为1：50000的地图上，量得甲、乙两地的距离是3cm,则甲、乙两地的实际距离是m.解析：根据“比例尺=髭岩”可求解.设甲、乙两地的实际距离为xcm,则有1：50000=3：x,解得x=150000.150000cm=1500m.故答案为1500.方法总结：理解比例尺的意义，注意实际尺寸的单位要进行恰当的转化.探究点二：成比例线段［类型一］判断线段成比例丽下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）A.3cm,4cm,5cm,6cm.4cm,8cm,3cm,5cmC.5cm,15cm,2cm,6cmD.8cm,4cm,1cm,3cm解析：将每组数据按从小到大的顺序排列，前两条线段的比和后两条线段的比相2 6等的四条线段成比例.四个选项中，只有C项排列后有故选C.方法总结：判断四条线段是否成比例的方法：（1）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前两条线段的比和后两条线段的比，看是否相等做出判断；（2）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等作出判断.［类型二］由线段成比例求线段的长硒1已知：四条线段a、b、c、d,其中a=3cm,6=8cm,c=6cm.(1)若a、b、c、"是成比例线段，求线段d的长度；(2)若b、a、c、d是成比例线段，求线段d的长度.解析：紧扣成比例线段的概念，利用比例式构造方程并求解.解：(1)由a、6、c、d是成比例线段，得r?即钎7解得416.故线段d的长度为16cm；(2)由6、a、c、”是成比例线段，得Bp|=>解得J=4-ad3d 49故线段d的长度为7cm.方法总结：利用比例线段关系求线段长度的方法：根据线段的关系写出比例式，并把它作为相等关系构造关于要求线段的方程，解方程即可求出线段的长.丽已知三条线段长分别为1cm,/cm,2cm,请你再给出一条线段，使得它的长与前面三条线段的长能够组成一个比例式.解析：因为本题中没有明确告知是求1, 2的第四比例项，因此所添加的线段长可能是前三个数的第四比例项，也可能不是前三个数的第四比例项，因此应进行分类讨论.解：若x：1=*\/2：2,则尸坐;若1：x=yf2：2,则x=y/2；若1：y/2=x：2,则入=/；若1：y［2=2：x,则*=2/.、历所以所添加的线段的长有三种可能，可以是当cm,V2cm,或2mcm.方法总结：若使四个数成比例，则应满足其中两个数的比等于另外两个数的比，也可转化为其中两个数的乘积恰好等于另外两个数的乘积.三、板书设计’线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段48,。的长度分别是勿，n,那么这两条线段的比就是它们长度的比，即46：Cgm：n,或写成吗=*CDn成比例线段：四条线段a,b,c,d,如果a与Z;的比段 等于c与删比，即那么这四条线段a,b,c,MU做成比例线段，<简称比例线段四、教学反思从丰富的实例入手，引导学生进行观察、发现和概括.在自主探究和合作交流过程中,适时引入新知识，并通过引导学生建立新的数学模型，开拓思维，提升学生认知能力.第2课时教学目标.了解平行线分线段成比例的基本事实及其推论；.会用平行线分线段成比例及其推论解决相关问题.教学重难点【教学重点】平行线分线段成比例的基本事实及其推论.【教学难点】用平行线分线段成比例及其推论解决相关问题.教学过程一、情景导入梯子是我们生活中常见的工具.如图是一个生产过程中不合格的左右不对称的梯子的简图，经测量,46=AAJ/BBJ/CCJ/DIX,那么45和5G相等吗？

二、合作探究探究点一：平行线分线段成比例的II如图，直线/〃/2〃，3,直线力。分别交这三条直线于点出B,C,直线如分别7交这三条直线于点〃，E,F,若46=3,DE—~,EF=4,求6c的长.解：,直线/人〃，3，且33,DE=^,EF=4,adnp...根据平行线分线段成比例可得DCEranEF 4 24即BC——*AB=---X3=—DE 1 12方法总结：利用平行线分线段成比例求线段长的方法：先确定图中的平行线，由此联想到线段之间的比例关系，结合待求线段和已知线段写出一个含有它们的比例关系式，构造出方程，解方程求出待求线段长.丽如图所示，直线下列比例式中成立的是（ ）解析:ahdc ADAF由平分线分线段成比例可知游出故解析:ahdc ADAF由平分线分线段成比例可知游出故A选项不成立；由济乐可知B选项不成立；由合制知C选项不成立；D选项成立.故选D.方法总结：应用平行线分线段成比例得到的比例式中，四条线段与两条直线的交点位置无关，关键是线段的对应,可简记为:嗦年点位置无关，关键是线段的对应,可简记为:嗦年 或全”全探究点二：平行线分线段成比例的推论[WB如图所示，在中，点〃，£分别在46,“"边上，DE//BC,若力〃：4Q3：4,AE=6,则4。等于( )AA.3B.4C.6D.8解析：由〃£〃a'可得%=有，即%》."C=8.故选D.易错提醒：在由平行线推出成比例线段的比例式时，要注意它们的相互位置关系，比例式不能写错，要把对应的线段写在对应的位置上.硒1如图，在△月6。的边44上取一点D,在4。上取一点E,使得AD=AE,直线DE和回的延长线相交于R求证：解析：本题无法直接证明，分析所要求证的等式中，有BP：CP,又含有初，故可考虑过点。作阳的平行线⑦便可以构造出万=凉此时只需证得但如即可.、n上e一一 4十一r\BPBDADAE证明：如图，过点。作*〃阳交初于点E则不产加-=-BPBD-AD=AE,：.DF=CE,方法总结：证明四条线段成比例时，如果图形中有平行线，则可以直接应用平行线分线段成比例的基本事实以及推论得到相关比例式.如果图中没有平行线，则需构造辅助线创造平行条件，再应用平行线分线段成比例的基本事实及其推论得到相关比例式.三、板书设计

「基本事实：两条直线被一组平行线所截，平行线八山丁 所得的对应线段成比例分线段《二二一推论：平行于三角形一边的直线与其他成比例I两边相交，截得的对应线段成比例四、教学反思通过教学，培养学生的观察、分析、概括能力，了解特殊与一般的辩证关系.再次锻炼类比的数学思想，能把一个复杂的图形分成几个基本图形，通过应用锻炼识图能力和推理论证能力.在探索过程中，积累数学活动的经验，体验探索结论的方法和过程,发展学生的合情推理能力和有条理的说理表达能力.23.2相似图形教学目标.了解相似多边形和相似比的概念；.会根据条件判断两个多边形是否为相似多边形；.掌握相似多边形的性质，能根据相似比进行相关的计算.教学重难点【教学重点】相似多边形和相似比的概念，根据条件判断两个多边形是否为相似多边形.【教学难点】相似多边形的性质，能根据相似比进行相关的计算.教学过程一、情景导入观察以下三组图形，每一组图形的对应边、对应角有什么关系呢？Z\如。1（1） （2） （3）二、合作探究探究点一：相似多边形的判定碰1下列图形都相似吗？为什么？（1）所有正方形；（2）所有矩形；（3）所有菱形；（4）所有等边三角形；（5）所有等腰三角形；（6）所有等腰梯形；（7）所有等腰直角三角形；（8）所有正五边形.解析：利用定义判断边数相同的多边形是否相似，要从两方面进行判断：（1）对应角相等；（2）对应边成比例，两者缺一不可.解：（1）相似，因为正方形每个角都等于90°,所以对应角相等，而每个正方形的边长都相等，所以对应边成比例；（2）不一定，虽然矩形的每个角都等于90°,对应角相等，但是对应边不一定成比例，如图①；图① 图②（3）不一定，每个菱形的四条边长都相等，所以两菱形的对应边一定成比例，但是它们的对应角不一定相等，如图②，显然两个菱形的对应角是不相等的；（4）相似，因为每个等边三角形的三条边都相等，所以两个等边三角形的对应边一定成比例，并且对应角都等于60°；（5）不一定，如图③，对应边不成比例，对应角不相等；图③ 图④（6）不一定，如图④，对应边不成比例，对应角不相等；（7）相似，因为等腰直角三角形的三个角分别是45°,45°,90°,所以对应角相等，而且每一个三角形的三边的比都是1：1：乖,所以对应边成比例；（8）相似，因为正五边形的各角都等于108°,所以对应角相等，而且正五边形的各边都相等，所以对应边成比例.方法总结：（1）相似多边形的定义也是相似多边形的判定方法，在判定两个多边形相似时，必须同时具备两点：对应角相等，对应边成比例.（2）在说明图形不相似时只需画图举出反例即可.（3）所有边数相等的正多边形都相似.探究点二：相似多边形的性质曲陶己知四边形4%