2025年高考数学模拟卷新高考专用

2025年高考数学全真模拟卷01（新高考专用）

（考试时间：120分钟;满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写

在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.（5分）（2024•陕西西安•三模）若集合4={司经三2},8={-3,-1,0,1,3},则（）

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{0,1,3}D.{-3,-1,0,1,3}

【解题思路】先求解根式不等式，化简集合H然后再根据集合交集运算规则即可求解.

【解答过程】依题意得力={x\^c<2}=[0,4],则力CB=[0,1,3）.

故选：C.

2.（5分）（2024•湖南衡阳•模拟预测）若复数z=*，则工的虚部为（）

3—1z

A.-2iB.2iC.2D.-2

【解题思路】利用复数除法运算法则计算，然后求虚部即可.

r航型;#理】工=匕1L（3T）（1T）=3-l-4i_1_9i

zl+i（l+i）（l-i）

所以工的虚部为-2.

Z

故选：D.

TTTTT

3.（5分）（2024•湖北武汉•一模）已知向量a=（—1,2）,b=（x,4）,且则网=（）

A.4V5B.4V3C.2V5D.8

【解题思路】先应用向量垂直数量积为0求参，再根据模长公式求模长即可.

T—TT

【解答过程】因为a_L8所以=—lx%+2x4=0,所以久=8,

因为力=（8,4）,所以b=V82+42=4V5.

故选：A.

4.（5分）（2024•江西九江•三模）若2sin（a+§=cos（a—/）,则tan（a—§=（）

A.-4-V3B.-4+V3C.4-V3D.4+V3

【解题思路】设0=a—也则原等式可化为2sin（0+m=cos（0—£）,化简后求出tan0即可.

【解答过程】令0=aY，则a=0+g

OO

所以由2sin+§=cos（仇一方），

得2sin+g=cos（S一*

即2cosQ=jcos/?+[sinS，

即sinb=（4—V3）cosjff,得tan£=4—V3,

所以tan（a—：）=tan^?=4—V3,

故选：C.

5.（5分）（2024•浙江•模拟预测）清代的苏州府被称为天下粮仓，大批量的粮食要从苏州府运送到全国各

地.为了核准粮食的数量，苏州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以计算粮食的多少，五斗为一斛，而一只官斛

的容量恰好为一斛，其形状近似于正四棱台，上口为正方形，内边长为25cm,下底也为正方形，内边长为

50cm,斛内高36cm,那么一斗米的体积大约为立方厘米？（）

A.10500B.12500C.31500D.52500

【解题思路】利用棱台的体积公式和可计算得出答案.

【解答过程】一斛米的体积为u=]（s上+S下+Js上S下）h=1x（252+502+25x50）x36=

52500（5?）,

因为五斗为一斛，所以一斗米的体积为三=10500（5?）,

故选：A.

------------x—

6.（5分）（2024•陕西安康•模拟预测）已知函数/（久）=14x4，-43是R上的单调函数，则实数a

loga（4x）-l,x>-

的取值范围是（）

A.（0,1）B.（1,V3]C.（1,V3）D.（1,3）

【解题思路】根据题意，结合分段函数的单调性的判定方法，结合对数函数的性质，列出关于a的不等式，

即可求解.

1

【解答过程】根据题意，当X夫时，/）=--；=U，可得/⑺在（—8,司上递增，

f一-x<2

要使得函数f（x）=4A4，-4是R上的单调函数，

^loga（4x）-l,x>-

则满足Q>1,且loga（4X：）-1之一会了解可得lvawb,

4

所以实数a的取值范围为（L码.

故选：B.

7.（5分）（2024・湖北武汉•模拟预测）设3>0,已知函数/（%）=sin（33%-；）sinQ3%+9在（0m）上

恰有6个零点，则3取值范围为（）

A（*；]B.（*裔C.（g,g]D,信用

【解题思路】令/（X）=0,解方程得x=笔如或久=笔如，在区间（0,2取6个零点即可.

izci）iz&）

【解答过程】由题意可知,

令/(%)=sin(3a)%—sin+弋)=0,

即sin\3(JOX—：)=0或sin(23%+

)

即％=(4fc+lTl或支(6/C4-1)TI

12a)12a)

当%>0时，零点从小到大依次为％=Il5K7TI9Tl13n17TT19K

12a)'12a)"12a)"12a)'12a)'12s112a)

H也士K

因此有五17n</Tr->w19

即3e(11121

\12r12]

故选：B.

8.(5分)(2024•陕西安康•模拟预测)已知函数人久)的定义域为R,函数FQ)=f(l+K)-(1+久)为偶函

数，函数GQ)=八2+3X)-1为奇函数，则下列说法错误的是()

A.函数/Q)的一个对称中心为(2,1)B./(0)1

C.函数f(x)为周期函数，且一个周期为4D./(1)+/(2)+/(3)+/(4)=6

【解题思路】对于A,由GQ)为奇函数，则G(—x)=—G(x),再将G(x)=/(2+3x)-1代入化简可求出对

称中心；对于B,由选项A可得/'(2)=1,再由F(x)为偶函数可得/(I+x)-/'(1一%)=2%,令x=l可求

出/0);对于C,由f(x)的图象关于点(2,1)对称，结合f(0)=-1求出/(4)进行判断；对于D,利用赋值法

求解判断.

【解答过程】对于A,因为G(x)=/(2+3x)-1为奇函数，

所以G(—x)=—G(x),即f(2-3%)—1=-\f(2+3x)-1],

所以f(2-3x)+/(2+3x)=2,所以f(2—尤)+f(2+x)=2,

所以函数f(x)的图象关于点(2,1)对称，所以A正确，

对于B,在/'(2—x)+/(2+x)=2中，令x=0,得2/(2)=2,得/(2)=1,

因为函数尸(x)=/(I+x)-(1+x)为偶函数,所以尸(-x)=F(x),

所以/'(1-%)-(1-%)=/(I+%)-(1+%),

所以/'(1+x)-f(l-x)=2工,

令％=1,则/2)-/0)=2,所以1一/(0)=2,得/(0)=-1,所以B正确，

对于C,因为函数/(久)的图象关于点(2,1)对称，/0)=-1,

所以/'(4)=3,所以外0)=/(4),

所以4不是f(x)的周期，所以C错误，

对于D,在/(2-为+/(2+式)=2中令％=1,则/(1)+/(3)=2,

令x=2,则f(0)+f(4)=2,因为f(0)=—1,所以/(4)=3,

因为-2)=1,所以f(l)+f(2)+f(3)+f(4)=6,所以D正确，

故选：C.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.(6分)(2024・四川成都•模拟预测)已知X,丫都是服从正态分布的随机变量，且X~N(〃i，戊)，丫〜可(如,餐),

其中〃I，〃2€R，ge2eR+,则下列命题正确的有()

A.E(X)=Ml

B.D(X)=

C.若〃i=2,6=1,贝l」P(XW1)+P(XW3)=1

D.若%="2=0，6=2,y=3,则P(|X|<1)>P(|Y|<1)

【解题思路】由正态分布的期望公式及方差公式即可判断AB；由正态分布的对称性即可判断C；由方差的

性质即可判断D.

【解答过程】对于A,由正态分布的期望公式得，E(X)=〃i，故A正确；

对于B,由正态分布的方差公式得，D(X)=决，故B错误；

对于C,由正态分布的对称性得，P(X<1)=P(X>3),

所以P(X<1)+P(XW3)=P(X23)+P(XW3)=1,故C正确；

对于D,由〃i=〃2=0，=2,<T2=3,贝!!才=4,登=9,

根据方差的性质知，X分布更集中，所以P(|X|<1)>P(\Y\<1),故D正确；

故选：ACD.

10.(6分)(2024•河北衡水•三模)已知函数/(久)=炉一小尤=2是函数/(x)的一个极值点，则下列

说法正确的是()

A.m=3B.函数/(x)在区间(一1,2)上单调递减

C.过点(1,一2)能作两条不同直线与y=/(久)相切D.函数y=+2有5个零点

【解题思路】求得八%)=3/—2m,根据〃2)=0,可判定A正确；由八x)=3x(x—2),利用导数的符

号求得函数f(x)的单调区间，可判定B错误；设过点(1,-2)且与函数y=f(久)相切的切点为(&。0)，求得

切线方程，列出方程求得右的值，可判定C错误；令/㈤=t,作出函数的图象，得到—1<〃<0<以<t3,

进而的函数零点的个数，可判定以D正确.

【解答过程】对于A中，由函数f(%)=/一7nx2,可得f'(%)=3，-

因为x=2是函数/(%)的一个极值点，可得;"'(2)=3x22—2mx2=0,

解得皿=3,经检验适合题意，所以A正确；

对于B中，由/''(X)=3久(x-2),令/''(%)=0,解得刀1=0或右=2,

当％e(-8,o)时，/(%)>0；当xe(0,2)时，/(%)<0；当xe(2,+8)时，/(%)>0,

故/(久)在区间(-8,0)上递增，在区间(0,2)上递减，在区间(2,+8)上递增，所以B错误；

对于C中，设过点(1,-2)且与函数y="久)相切的切点为(%o，yo)，

则该切线方程为y—f(XQ)(X—1)—2=(3%Q—6xg)(x—1)—2,

由于切点(久o，yo)满足直线方程，贝1JfOo)=(3就一6%o)(x()-1)-2=就一3就，

整理得2（%o—1）（福一2*o+l）=0,解得%o=l，所以只能作一条切线，所以C错误;

对于D中，令f（x）=t,则/（t）=—2的根有三个，如图所示，-1<口<0<t2<打，

所以方程/'（X）=ti有3个不同根，方程fO）=H和7'0）=13均有1个根,

故y=/1/（£）］+2有5个零点，所以D正确•

11.（6分）（2024・广东江门•一模）已知曲线E:*+萼=1,则下列结论正确的是（）

48

A.y随着x增大而减小

B.曲线E的横坐标取值范围为［-2,2］

C.曲线E与直线y=-1.4%相交，且交点在第二象限

D.MO。,%）是曲线E上任意一点，则|夜出+为|的取值范围为（。⑷

【解题思路】首先对x、y分类讨论分别得到曲线方程，画出曲线图形，数形结合判断A、B,由双曲线的渐

近线与y=-1,4X的关系判断C,由点到直线的距离公式得到|四与+%|,即点MOo，%）到直线&x+y=0

的距离的倍，求出直线加久+y+c=0与曲线。+。=1（x20,yNO）相切时c的值，再由两平行线将的

距离公式求出I或而+为|的最大值，即可判断D.

【解答过程】因为曲线E:学+粤=1,

48

当乂20,丫20时。+==1,则曲线E为椭圆£+《=1的一部分；

当无>0,y<0时。一二=1,则曲线E为双曲线。一二=1的一部分，

4848

且双曲线的渐近线为y=±岳;

当比<0,y>0时4―。=1,则曲线E为双曲线二—。=1的一部分，

8484

且双曲线的渐近线为y=±V2%；

可得曲线的图形如下所示：

由图可知y随着x增大而减小，故A正确；

曲线E的横坐标取值范围为R,故B错误；

因为一1.4>-近，所以曲线E与直线y=-1.4%相交，且交点在第四象限，故C错误；

因为+yo|—V3x，o，吐,即点y°）到直线+y=0的距昌的倍，

1询+建

22

当直线近％+y+c=0与曲线？+?=1（%>0,y>0）相切时，

4o

兰十丈=1

由48,消去y整理得4/+2鱼“+—8=0,

,V2x+y+c=0

则4=（2&c）-16（c2-8）=0,解得c=4（舍去）或c=—4,

又+y=0与岳+y—4=0的距离d=1性；=专，

J（可+加

所以I2Xo+yo|max=8d=4,

所以|迎与+川的取值范围为（0,4],故D正确；

故选：AD.

第n卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

22

12.（5分）（2024•上海•模拟预测）椭圆*=l（a>b>0）的左、右焦点分别为Fl,，过出作工轴

的垂线交椭圆于P,Q,若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为企—1.

【解题思路】根据给定条件，结合椭圆的定义求出离心率.

【解答过程】令椭圆的半焦距为c,由轴，为等腰直角三角形，得|P&I=I尸i&|=2c,

IPFil=72|^21=2y/2c,由椭圆的定义得|PFj+|PF?I=2a，即2&c+2c=2a,

所以椭圆的离心率e=§=—y/2—1.

故答案为：V2—1.

yi

13.(5分)(2024・上海•三模)设曲线/(无)=ad+b和曲线g(x)=cos券+c在它们的公共点P(0,2)处有相

同的切线，则的+c的值为2.

【解题思路】根据两曲线在P(0,2)有公切线，贝！JP是公共点，该点处的导数值相同，列出方程求出a,b,c的值,

则答案可求.

【解答过程】由已知得，解得c=1,b=2—a,

又/''(x)=aex,g,(%)=-1sin",

所以f'(o)=g'(o)得a=0，

所以a=0,b=2,c=l,

所以m+c=2°+l=2.

故答案为：2.

14.(5分)(2024・云南•模拟预测)现有标号依次为1,2,3的盒子，标号为1的盒子里面有2个红球和2

个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球.现从1号盒子里面取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子

里面取出2个球放入3号盒子，则3号盒子里面是2个红球和2个白球的概率为

【解题思路】设4：从标号为1的盒子中取出的2个球中有i个红球，i=0,1,2,B：3号盒子里面是2个红

球和2个白球，则B=&BU&BU42B，由概率的乘法公式和全概率公式可得P(B)=P(B|4o)PQ4o)+

P(B|&)P(4)+P(B|42)PQ12)，再由古典概型分别求出对应结果，代入计算即可得到答案.

【解答过程】设4：从标号为1的盒子中取出的2个球中有i个红球，i=0,1,2,

B：3号盒子里面是2个红球和2个白球，所以B=ABU&BU42B，

贝UP⑻=P(A0BUArBUA2B)=P(X0B)+P(&B)+P{A2B}

=P(B|4O)P(A)+P(B|4)P(&)+P(BM2)P(42)

「2plplplplplpl「2plpl

_^2..53,-2匕2.55^2.55

「2-2-2「2p2「2

故答案为：9

lo

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.（13分）（2024•安徽芜湖•三模）已知a,hc分别为△ABC三个内角的对边，且bcos力+百庆也4=a+

C

⑴求B；

（2）若b=的面积为遮，。为ZC边上一点，满足CD=24D,求的长.

【解题思路】（1）正弦定理边化角，利用内角和定理消去C,由和差公式和辅助角公式化简可得;

（2）根据余弦定理和三角形面积公式列方程组求出见c,然后在中利用余弦定理可得.

【解答过程】(1)由正弦定理有sinBcosZ+V3sinBsinX=sinA+sinf,

因为sinC=sin(>1+B)=sinAcosB+cosAsinB,

所以sinBcos/+V3sinBsinA=sinA+sinAcosB+cosZsinB,

化简得V^sinBsinZ=sinA+sinAcosB,

由4G(0ji),sin4H0有百sinB=1+cosB,可得sin(B—J1

2f

因为8G(0,n),B—6(一方年),

所以=g则

663

(2)由B=,S=^acsinB=旧有ac=4

又扶=a2+c2—2accosB可得次+C2=8,

联立卜2+/：8解得a=c=2,所以为正三角形，

Iac=4

所以/D==p

2

在△480中，由余弦定理得81)2=22+(I)-2x2x|x1=^.

故BD的长为年.

BC

16.(15分)(2024•浙江绍兴•三模)已知双曲线「：/一。=1与直线八y=x+i交于2、B两点(4在B

4

左侧)，过点力的两条关于/对称的直线匕、6分别交双曲线r于c、。两点(c在右支，。在左支).

(1)设直线A的斜率为的，直线，2的斜率为心，求的值；

(2)若直线CD与双曲线「在点B处的切线交于点p,求aaBP的面积.

【解题思路】(1)设直线匕、%的倾斜角分别为名、。2(81、02e(0,TT)),则g+82=2a=5再利用斜

率与倾斜角的关系，结合诱导公式求解；

(2)先求出点B的坐标，进而得到双曲线r在点B处的切线方程为gx—|y=1,不妨设直线CD为+1)+

ny^l,与双曲线方程联立，结合韦达定理和三角形面积公式求解.

【解答过程】⑴由题意知直线明率为1,♦••直线曲倾斜角a=；,

设直线匕、%的倾斜角分别为。1、。2(。1、02G(O.H)),

直线11、%关于直线，对称，・.・。1+。2=2仇=]

心.心=tan/•tan/=tan8「tan《—川）=舞.=1.

(2)联立•（浦,

.y=x+1

二双曲线「在点B处的切线方程为|x-|y=1.

不妨设直线CD为m(%+1)+ziy=1,C(%L%)，。(％2，力)，

联立]/芸=1得；二？:1y2二：二°,

(m(x+1)+ziy=1(+1)+九y—1

=4(%4-1)2—8(%+l)[m(x+1)+ny]—y2=0

整理得』+8人土+8爪-4-0,将等式看作关于七的方程：

(%+1)/x+1x+1

两根之和上」+2-=-8/1,两根之积d•且=8巾-4,

%1+1%2+1%i+l犯+1

而其中々1,k=k-k=~7'~7=87n-4,

2ACADX]十x“2十，

由(1)得好,卜2=1，二M=|

••・直线CD为京x+l)+ny=1,过定点(J,。)，

又・••双曲线「在点B处的切线方程为，久一|y=l,过点(|,0),••・「(1，()),

1।.,,1万815-0+1132

^rAABP=2.I力BD卜dp_AB=5,'2•石-----•

17.（15分）（2024•江西宜春•模拟预测）如图1,在五边形4BCDE中，AB=BD,AD1DC,EA=ED

S.EA1ED,将△力ED沿4D折成图2,使得EB=AB,F为力E的中点.

图1图2

(1)证明：BF〃平面ECD；

(2)若EB与平面力BCD所成的角为30°,求二面角力-EB-。的正弦值.

【解题思路】(1)取4。的中点G,连接BG,FG,从而证明BG〃平面EC。，FG〃平面ECD,即可得到平面BFG〃

平面ECD,即可得证.

(2)推导出AE1J•平面BFG,BGl^EAD,平面E4DJ•平面2BCD,连接EG,以G为坐标原点，GB,GD,

GE所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角4-E8-D的正弦值.

【解答过程】(1)取力。的中点G,连接BG,FG,

■：AB=BD,G为力。的中点，BG14D,

y.AD1DC,BG//CD.

又BGC平面ECD,CDu平面ECD,BG〃平面ECO.

••,F为2E的中点，FG//ED.

又FGU平面ECD,EDu平面ECD,FG//平面ECD,

又BGCFG=G,BG,FGu平面BFG,二平面BFG〃平面ECD,

又BFu平面BFG,BF〃平面ECD.

(2)•••EA1ED,由(1)知FG//ED,:.FG1AE,

又EB=AB,F为力E的中点，•••BFLAE,

又BFnFG=F,BF,FGu平面BFG,•••AE1平面BFG,

又BGu平面BFG,BG1AE,

5LBGLAD,ADCtAEA,u平面E4D,BG1平面E4D,

又BGu平面4BCD,平面E4D1平面48CD,

连接EG,vEA=ED,G为4。的中点，EGLAD,

又平面E4Dn平面力BCD=AD,EGu平面EAD,

EG_L平面4BCD,BGu平面4BCD,EG1BG,

以G为坐标原点，GB,GD,GE所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

NE8G是EB与平面力BCD所成的角，即Z_EBG=30°,

vEA=ED,设E4=t（t>0）,则2。=V2t,EG=yt,EB=&t,BG=yt,

•••G（0,0,0）,E（0,0亭），71（0,-yt,0）,D（0,yt,0）,8件t,0,0）,

.••丽=（争,0,-苧t），荏=（o亭亭）,反=（0，—争,*）,

设平面A8E的法向量为%=01„）,

VT2o

V-61-21-

F♦EB=2

令%1=1,得近=(1,一百,百),

则＜荏tz

近tx+VT2O

=VT2ty12tz1-

设平面OBE的法向堇为芯=(%2，y2，Z2)，

nJ•丽=—tx2——tz2=0

则1—22令%2=1，得花=（1,V5,百）,

ni-^E^-—ty2+ytz2=0

设二面角A-EB-D的平面角为仇

・•.|cos6|=|3伉砌=普胃=羡=最

所以sine=Vl-cos20=苧，即二面角力-EB-。的正弦值为竽.

18.（17分）（2024•四川南充,模拟预测）已知函数/'（%）=1-x[（ln£）a—x],aeR.

(1)若函数/(%)在第=工处切线的斜率为2,求实数a的值;

ee

(2)当Q=2时，V%E[1,+8),/(%)-TH%20恒成立，求实数?n的最大值;

（3）当Q=2时，证明：S,2>ln（2n+1）,nG/V*.

【解题思路】(1)求导，利用导数值等于切线斜率构造方程，求出。即可.

(2)将4代入不等式，工和冽参变分离，转化为恒成立问题，构造函数后转化为求函数最值问题即可.

(3)由(2)知，当％>1时，有%+--2>(In%)2,即y/x-^=>Inx,后进行放缩证明即可.

Xy/X

【解答过程】(1)因为/'(*)=2x—(In久)-(a+In久)，所以/弓)=：一(-1)~.(a—1)=：,

所以a=\

(2)因为/(%)=x2—x(lnx)2+1,%>0,当久21时，x2—%(In%)2+1>7nx恒成立，所以m<%+^—

(In%)2,

设g(%)=%+[—(Inx)2,x>1,

rmi，/、4121nx%2—2xlnx—1

则g(%)=l一二一一-=——，

因为(/-2Hn%-1)=2(、—In%—1),(%—Inx-1)=1—,

当x>l时，有1—工之0,所以函数y=久—In%—1单调递增，故％—In%—121—Ini—1=0,

所以函数y=/—2%ln%—1单调递增，

故了一2xlnx—1>12—2xlxIni-1=0,

所以函数g(%)=%+(-(ln%)2单调递增，故g(%)2g(l)=2,所以m42,

所以实数冽的最大值为2.

(3)由(2)知，当l>1时，有x+2>(In%)2,即y/x--^=>Inx,

Xy/X

2i+l

设i€N*,取％=言>1,所以会>m署

n

nn2、i2i+l72、7I2i+l

即,---，〉,--->>In-----，

2>In——

V4i-12i-l乙j=i〃胫一1乙i=l2i-l

n

因为w12i+l,3,,5,,,2n+l,(335

In——=In-+In-+•••+In------=In(-x-x•••x碧)=ln3+D，

i=l2i-l132n-l13

所以W二上>卬2n+1)即W=悬二>ln(2"l),neN*.

19.(17分)(2024•安徽芜湖・模拟预测)对于数列｛%｝,｛b｝,如果存在正整数沏23,当任意正整数714劭

时均有历<ar<b2<a2<...<an_i<bn<an,则称｛%｝为｛bn｝的“沏项递增相伴数列”.若沏可取任意的

正整数，则称｛册｝为｛g｝的“无限递增相伴数列”.

(1)已知0=2九，请写出一个数列物/的“无限递增相伴数列｛心产，并说明理由？

(2)若｛aJ｛"｝满足册+"=6九-2,其中｛b｝是首项%=1的等差数列，当｛时｝为也｝的“无限递增相伴数

列”时，求｛册｝的通项公式:

(3)已知等差数列｛b“｝和正整数等比数列｛an｝满足：an=k2024f(卜+1尸-1何=i,2，…,2024),其中先是正整

数，求证：存在正整数左，使得｛a