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文档简介

数学建模

——从自然走向理性之路数学建模1

第十讲

差分模型

及层次分析建模方法

【主要内容】介绍市场经济中的蛛网模型,减肥模型,层次分析方法【主要目的】了解差分方法及层次分析方法在数学建模中的应用第十讲差分模型

及层次分析建模方法2差分模型

市场经济中的蛛网模型现象供大于求价格下降减少产量供不应求价格上涨增加产量数量与价格在振荡差分模型市场经济中的蛛网模型现供大于求价格下降减少产量供不3问题描述商品数量与价格的变化规律商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定?当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定?蛛网模型xk~第k

时段商品数量;yk~第

k时段商品价格问描述商品数量与价格的变化规律商品数量与价格的振荡在什4需求函数:减函数供应函数:增函数f与g的交点P0(x0,y0)~平衡点一旦

xk=x0,则

yk=y0,xk+1,xk+2,…=x0,yk+1,yk+2,…=y0

fxy0x0y0P0g需求函数:减函数供应函数:增函数f与g的交点P0(x0,y05xy0fgy0x0P0y2P3P4x3x2P2y1P1y3x1xy0y0x0P0fgP3P1P2P4设x1偏离x0P0是稳定平衡点P0是不稳定平衡点曲线斜率xy0fgy0x0P0y2P3P4x3x2P2y1P1y3x6方程模型在P0点附近用直线近似曲线P0稳定P0不稳定方程模型与蛛网模型的一致方程模型在P0点附近用直线近似曲线P0稳定P07结果解释考察,的含义xk~第k时段商品数量;yk~第k时段商品价格~商品数量减少1单位,价格上涨幅度~价格上涨1单位,(下时段)供应的增量~消费者对数量的敏感程度~生产者对价格的敏感程度小,有利于经济稳定小,有利于经济稳定经济稳定结果解释考察,的含义xk~第k时段商品数量;yk~8经济不稳定时政府的干预1.使尽量小,如=0

需求曲线变为水平以行政手段控制价格不变2.使尽量小,如=0供应曲线变为竖直以行政手段控制数量不变xy0y0gfxy0x0gf经济不稳定时政府的干预1.使尽量小,如=0需求9背景

多数减肥食品达不到减肥目标,或不能维持。

▲通过控制饮食和适当的运动,在不伤害身体的前提下,达到减轻体重并维持下去的目标分析▲体重变化由体内能量守恒破坏引起▲饮食(吸收热量)引起体重增加▲代谢和运动(消耗热量)引起体重减少减肥计划—节食与运动背景▲多数减肥食品达不到减肥目标,或不能维持。10模型假设1)体重增加正比于吸收的热量——每8000千卡增加体重1公斤;2)代谢引起的体重减少正比于体重——每周每公斤体重消耗200千卡~320千卡(因人而异),相当于70公斤的人每天消耗2000千卡~3200千卡;3)运动引起的体重减少正比于体重,且与运动形式有关;4)为了安全与健康,每周体重减少不宜超过1.5公斤,每周吸收热量不要小于10000千卡。模型假设1)体重增加正比于吸收的热量——每8000千卡增加体11减肥计划某甲体重100公斤,目前每周吸收20000千卡热量,体重维持不变。现欲减肥至75公斤。1)在不运动的情况下安排一个两阶段计划。第一阶段:每周减肥1公斤,每周吸收热量逐渐减少,直至达到下限(10000千卡);第二阶段:每周吸收热量保持下限,减肥达到目标

2)若要加快进程,第二阶段增加运动,试安排计划。3)给出达到目标后维持体重的方案。减肥计划某甲体重100公斤,目前每周吸收20000千卡热量,12基本模型w(k)~第k周(末)体重c(k)~第k周吸收热量~代谢消耗系数(因人而异)1)不运动情况的两阶段减肥计划

确定某甲的代谢消耗系数每周吸收20000千卡w=100公斤不变即每周每公斤体重消耗20000/100=200千卡基本模型w(k)~第k周(末)体重c(k)~第k周吸收13

第一阶段:w(k)每周减1公斤,c(k)减至下限10000千卡第一阶段10周,每周减1公斤,第10周末体重90公斤吸收热量为第一阶段:w(k)每周减1公斤,c(k)减至下限10014

第二阶段:每周c(k)保持Cm,w(k)减至75公斤

基本模型第二阶段:每周c(k)保持Cm,w(k)减至75公斤15第二阶段19周,每周吸收热量保持10000千卡,体重按减少至75公斤。第二阶段19周,每周吸收热量保持10000千卡,体重按162)第二阶段增加运动的减肥计划根据资料每小时每公斤体重消耗的热量(千卡):

跑步跳舞乒乓自行车(中速)游泳(50米/分)7.03.04.42.57.9基本模型t~每周运动时间(小时)运动量

t=24(每周跳舞8小时或自行车10小时),共14周。2)第二阶段增加运动的减肥计划根据资料每小时每公斤体重消173)达到目标体重75公斤后维持不变的方案每周吸收热量c(k)保持某常数C,使体重w不变不运动运动(内容同前)3)达到目标体重75公斤后维持不变的方案每周吸收热量c(k)18层次分析法(AnalyticHierarchyProcess,AHP)

数学用于研究自然与社会现象的方法主要有:机理分析——用经典的数学工具分析现象的因果关系;

统计分析——以随机数学为工具,通过大量观测数据寻求统计规律。

近年来发展起来的第三种方法称为系统分析,层次分析是系统分析的工具之一,它是美国运筹学教授

Saaty于70年代初期提出来的。它把人的思维过程层次化、数量化,并用数学方法为分析、决策、预报或控制提供定量的依据。这是一种定性与定量相结合的方法。层次分析法数学用于研究自然与社会现象的方法主要有:机理分析19过河的效益A经济效益B1社会效益B2环境效益B3节省时间C1收入C2岸间商业C3当地商业C4建筑就业C5安全可靠C6交往沟通C7自豪感C8舒适C9进出方便C10美化C11桥梁D1隧道D2渡船D3(1)过河效益层次结构例1过河方案的抉择过河的效益经济效益社会效益环境效益节省时间C1收入C2岸间商20过河的代价A经济代价

B1环境代价B3社会代价B2投入资金C1操作维护C2冲击渡船业C3冲击生活方式C4交通拥挤C5居民搬迁C6汽车排放物C7对水的污染C8对生态的破坏C9桥梁D1隧道D2渡船D2(2)过河代价层次结构过河的代价经济代价环境代价社会代价投入资金C1操作维护C2冲21一.层次分析法的基本步骤例.选择旅游地如何在3个目的地中选择旅游地.O(选择旅游地)C3居住C1景色C2费用C4饮食C5交通P2黄山P1桂林P3张家界目标层准则层方案层一.层次分析法的基本步骤例.选择旅游地如何在3个目的地中22“层次分析法”思维过程的归纳►分层:将决策问题分为3个层次:目标层O,准则层C,方案层P;每层有若干元素,各层元素间的关系用相连的直线表示。►加权:通过相互比较确定各准则对目标的权重,及各方案对每一准则的权重。►综合:将上述两组权重进行综合,确定各方案对目标的权重。层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤,给出决策问题的定量结果。“层次分析法”思维过程的归纳►分层:将决策问题分为3个层次:23基本步骤①将问题条理化、层次化。②比较同一层次元素对上一层次同一目标的影响,从而确定它们在目标中所占的比重。采用两两比较的方法,求出它们对于同一个目标的重要性的比例标度,标度等级为

1,2,…,9,1/2,1/3,…,1/9。得到两两比较判断矩阵。,9,1/2,1/3,③在单一准则下计算元素相对排序权重,以及判断矩阵一致性检验。④计算方案层中各元素对于目标层的总排序权重,从而确定首选方案基本步骤①将问题条理化、层次化。,9,1/2,1/3,24成对比较阵和权向量

元素之间两两对比,对比采用相对尺度

设要比较各准则C1,C2,…Cn对目标O的重要性选择旅游地A~成对比较阵是正互反阵要由A确定C1,…Cn对O的权向量成对比较阵和权向量元素之间两两对比,对比采用相对尺度设要25

成对比较的不一致性不一致如果一致允许不一致,但要确定不一致的允许范围考察完全一致的情况成对比较的不一致性不一致如果一致允许不一致,但要确定26满足的正互反阵A称一致阵一致阵性质☻

A的秩为1,A的唯一非零特征根为n☻

A的任一列向量是对应于n的特征向量☻

A的归一化特征向量可作为权向量对于不一致的成对比较阵A,可用对应于最大特征根的特征向量作为权向量w,即满足的正互反阵A称一致阵一致阵性质☻A的秩为1,A的唯一非27一致性检验已知:n阶一致阵的唯一非零特征根为n可证:n阶正互反阵最大特征根

n,且

=n时为一致阵定义一致性指标:CI越大,不一致越严重为衡量CI的大小,引入随机一致性指标RI——随机模拟得到aij,形成A,计算CI即得RI。RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

n1234567891110定义一致性比率

CR=CI/RI

当CR<0.1时,通过一致性检验一致性检验已知:n阶一致阵的唯一非零特征根为n可证:n阶28“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验准则层对目标的成对比较阵最大特征根=5.073权向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指标随机一致性指标

RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1通过一致性检验“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验准则层对目标29组合权向量记第2层(准则)对第1层(目标)的权向量为同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量方案层对C1(景色)的成对比较阵方案层对C2(费用)的成对比较阵…Cn…Bn最大特征根

1

2

n

权向量

w1(3)w2(3)…

wn(3)组合权向量记第2层(准则)对第1层(目标)的权向量为同样求第30第3层对第2层的计算结果k10.5950.2770.1283.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1920.633430.6680.1660.1665w(2)

0.2630.4750.0550.0900.110RI=0.58(n=3),

CIk

均通过一致性检验方案P1对目标的组合权重为0.5950.263+…=0.300方案层对目标的组合权向量为

(0.300,0.246,0.456)T第3层对第2层的计算结果k10.5950.2770.128331一般地,设x,y,z分别表示方案层、准则层与目标层,并已知则记最终一般地,设x,y,z分别表示方案层、准则层与目标层,32二.层次分析法的若干问题☻正互反阵的最大特征根是否为正数?特征向量是否为正向量?一致性指标能否反映正互反阵接近一致阵的程度?☻怎样简化计算正互反阵的最大特征根和特征向量?☻为什么用特征向量作为权向量?☻当层次结构不完全时怎样用层次分析法?二.层次分析法的若干问题☻正互反阵的最大特征根是否为正数331.正互反阵的最大特征根和特征向量的性质定理1

正矩阵A的最大特征根是正单根,对应正特征向量w,且正互反阵的最大特征根是正数,特征向量是正向量。定理2

n阶正互反阵A的最大特征根>

n,=n是A为一致阵的充要条件。一致性指标定义合理1.正互反阵的最大特征根和特征向量的性质定理1正矩阵A342.正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算简化计算的思路——一致阵的任一列向量都是特征向量,一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量,可取其某种意义下的平均。和法——取列向量的算术平均列向量归一化算术平均精确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T,=3.0102.正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算简化计算353.特征向量作为权向量——成对比较的多步累积效应成对比较Ci:Cj(直接比较)aij~1次比较强度aij(2)

~2次比较强度通过与所有Cs的比较,更能反映Ci对Cj

的强度。体现多步累积效应定理1特征向量体现多步累积效应~k次比较强度3.特征向量作为权向量——成对比较的多步累积效应成对比较C364.不完全层次结构中组合权向量的计算完全层次结构:上层每一元素与下层所有元素相关联不完全层次结构例:评价教师贡献的层次结构贡献O教学C1科研C2P2P1P3P4P1,P2只作教学,P4只作科研,P3兼作教学、科研。C1,C2支配元素的数目不等设第2层对第1层权向量w(2)=(w1(2),w2(2))T已定第3层对第2层权向量w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)Tw2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T已得讨论由w(2),W(3)=(w1(3),

w2(3))计算第3层对第1层权向量w(3)的方法4.不完全层次结构中组合权向量的计算完全层次结构:上层每一元37考察一个特例:

若C1,C2重要性相同,w(2)=(1/2,1/2)T

P1~P4能力相同,w1(3)=(1/3,1/3,1/3,0)T,w2(3)=(0,0,1/2,1/2)T公正的评价应为:P1:P2:P3:P4=1:1:2:1►不考虑支配元素数目不等的影响仍用计算w(3)=(1/6,1/6,5/12,1/4)T►用支配元素数目n1,n2对w(2)加权修正再用计算w(3)=(1/5,1/5,2/5,1/5)T考察一个特例:38层次分析法的优点▲系统性——将对象视作系统,按照分解、比较、判断、综合的思维方式进行决策——系统分析(与机理分析、测试分析并列);▲实用性——定性与定量相结合,能处理传统的优化方法不能解决的问题;▲简洁性——计算简便,结果明确,便于决策者直接了解和掌握。层次分析法的局限▲囿旧——只能从原方案中选优,不能产生新方案;▲粗略——定性化为定量,结果粗糙;▲主观——主观因素作用大,结果可能难以服人。层次分析法的优点▲系统性——将对象视作系统,按照分解、比较39

Thanks!

40数学建模

——从自然走向理性之路数学建模41

第十讲

差分模型

及层次分析建模方法

【主要内容】介绍市场经济中的蛛网模型,减肥模型,层次分析方法【主要目的】了解差分方法及层次分析方法在数学建模中的应用第十讲差分模型

及层次分析建模方法42差分模型

市场经济中的蛛网模型现象供大于求价格下降减少产量供不应求价格上涨增加产量数量与价格在振荡差分模型市场经济中的蛛网模型现供大于求价格下降减少产量供不43问题描述商品数量与价格的变化规律商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定?当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定?蛛网模型xk~第k

时段商品数量;yk~第

k时段商品价格问描述商品数量与价格的变化规律商品数量与价格的振荡在什44需求函数:减函数供应函数:增函数f与g的交点P0(x0,y0)~平衡点一旦

xk=x0,则

yk=y0,xk+1,xk+2,…=x0,yk+1,yk+2,…=y0

fxy0x0y0P0g需求函数:减函数供应函数:增函数f与g的交点P0(x0,y045xy0fgy0x0P0y2P3P4x3x2P2y1P1y3x1xy0y0x0P0fgP3P1P2P4设x1偏离x0P0是稳定平衡点P0是不稳定平衡点曲线斜率xy0fgy0x0P0y2P3P4x3x2P2y1P1y3x46方程模型在P0点附近用直线近似曲线P0稳定P0不稳定方程模型与蛛网模型的一致方程模型在P0点附近用直线近似曲线P0稳定P047结果解释考察,的含义xk~第k时段商品数量;yk~第k时段商品价格~商品数量减少1单位,价格上涨幅度~价格上涨1单位,(下时段)供应的增量~消费者对数量的敏感程度~生产者对价格的敏感程度小,有利于经济稳定小,有利于经济稳定经济稳定结果解释考察,的含义xk~第k时段商品数量;yk~48经济不稳定时政府的干预1.使尽量小,如=0

需求曲线变为水平以行政手段控制价格不变2.使尽量小,如=0供应曲线变为竖直以行政手段控制数量不变xy0y0gfxy0x0gf经济不稳定时政府的干预1.使尽量小,如=0需求49背景

多数减肥食品达不到减肥目标,或不能维持。

▲通过控制饮食和适当的运动,在不伤害身体的前提下,达到减轻体重并维持下去的目标分析▲体重变化由体内能量守恒破坏引起▲饮食(吸收热量)引起体重增加▲代谢和运动(消耗热量)引起体重减少减肥计划—节食与运动背景▲多数减肥食品达不到减肥目标,或不能维持。50模型假设1)体重增加正比于吸收的热量——每8000千卡增加体重1公斤;2)代谢引起的体重减少正比于体重——每周每公斤体重消耗200千卡~320千卡(因人而异),相当于70公斤的人每天消耗2000千卡~3200千卡;3)运动引起的体重减少正比于体重,且与运动形式有关;4)为了安全与健康,每周体重减少不宜超过1.5公斤,每周吸收热量不要小于10000千卡。模型假设1)体重增加正比于吸收的热量——每8000千卡增加体51减肥计划某甲体重100公斤,目前每周吸收20000千卡热量,体重维持不变。现欲减肥至75公斤。1)在不运动的情况下安排一个两阶段计划。第一阶段:每周减肥1公斤,每周吸收热量逐渐减少,直至达到下限(10000千卡);第二阶段:每周吸收热量保持下限,减肥达到目标

2)若要加快进程,第二阶段增加运动,试安排计划。3)给出达到目标后维持体重的方案。减肥计划某甲体重100公斤,目前每周吸收20000千卡热量,52基本模型w(k)~第k周(末)体重c(k)~第k周吸收热量~代谢消耗系数(因人而异)1)不运动情况的两阶段减肥计划

确定某甲的代谢消耗系数每周吸收20000千卡w=100公斤不变即每周每公斤体重消耗20000/100=200千卡基本模型w(k)~第k周(末)体重c(k)~第k周吸收53

第一阶段:w(k)每周减1公斤,c(k)减至下限10000千卡第一阶段10周,每周减1公斤,第10周末体重90公斤吸收热量为第一阶段:w(k)每周减1公斤,c(k)减至下限10054

第二阶段:每周c(k)保持Cm,w(k)减至75公斤

基本模型第二阶段:每周c(k)保持Cm,w(k)减至75公斤55第二阶段19周,每周吸收热量保持10000千卡,体重按减少至75公斤。第二阶段19周,每周吸收热量保持10000千卡,体重按562)第二阶段增加运动的减肥计划根据资料每小时每公斤体重消耗的热量(千卡):

跑步跳舞乒乓自行车(中速)游泳(50米/分)7.03.04.42.57.9基本模型t~每周运动时间(小时)运动量

t=24(每周跳舞8小时或自行车10小时),共14周。2)第二阶段增加运动的减肥计划根据资料每小时每公斤体重消573)达到目标体重75公斤后维持不变的方案每周吸收热量c(k)保持某常数C,使体重w不变不运动运动(内容同前)3)达到目标体重75公斤后维持不变的方案每周吸收热量c(k)58层次分析法(AnalyticHierarchyProcess,AHP)

数学用于研究自然与社会现象的方法主要有:机理分析——用经典的数学工具分析现象的因果关系;

统计分析——以随机数学为工具,通过大量观测数据寻求统计规律。

近年来发展起来的第三种方法称为系统分析,层次分析是系统分析的工具之一,它是美国运筹学教授

Saaty于70年代初期提出来的。它把人的思维过程层次化、数量化,并用数学方法为分析、决策、预报或控制提供定量的依据。这是一种定性与定量相结合的方法。层次分析法数学用于研究自然与社会现象的方法主要有:机理分析59过河的效益A经济效益B1社会效益B2环境效益B3节省时间C1收入C2岸间商业C3当地商业C4建筑就业C5安全可靠C6交往沟通C7自豪感C8舒适C9进出方便C10美化C11桥梁D1隧道D2渡船D3(1)过河效益层次结构例1过河方案的抉择过河的效益经济效益社会效益环境效益节省时间C1收入C2岸间商60过河的代价A经济代价

B1环境代价B3社会代价B2投入资金C1操作维护C2冲击渡船业C3冲击生活方式C4交通拥挤C5居民搬迁C6汽车排放物C7对水的污染C8对生态的破坏C9桥梁D1隧道D2渡船D2(2)过河代价层次结构过河的代价经济代价环境代价社会代价投入资金C1操作维护C2冲61一.层次分析法的基本步骤例.选择旅游地如何在3个目的地中选择旅游地.O(选择旅游地)C3居住C1景色C2费用C4饮食C5交通P2黄山P1桂林P3张家界目标层准则层方案层一.层次分析法的基本步骤例.选择旅游地如何在3个目的地中62“层次分析法”思维过程的归纳►分层:将决策问题分为3个层次:目标层O,准则层C,方案层P;每层有若干元素,各层元素间的关系用相连的直线表示。►加权:通过相互比较确定各准则对目标的权重,及各方案对每一准则的权重。►综合:将上述两组权重进行综合,确定各方案对目标的权重。层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤,给出决策问题的定量结果。“层次分析法”思维过程的归纳►分层:将决策问题分为3个层次:63基本步骤①将问题条理化、层次化。②比较同一层次元素对上一层次同一目标的影响,从而确定它们在目标中所占的比重。采用两两比较的方法,求出它们对于同一个目标的重要性的比例标度,标度等级为

1,2,…,9,1/2,1/3,…,1/9。得到两两比较判断矩阵。,9,1/2,1/3,③在单一准则下计算元素相对排序权重,以及判断矩阵一致性检验。④计算方案层中各元素对于目标层的总排序权重,从而确定首选方案基本步骤①将问题条理化、层次化。,9,1/2,1/3,64成对比较阵和权向量

元素之间两两对比,对比采用相对尺度

设要比较各准则C1,C2,…Cn对目标O的重要性选择旅游地A~成对比较阵是正互反阵要由A确定C1,…Cn对O的权向量成对比较阵和权向量元素之间两两对比,对比采用相对尺度设要65

成对比较的不一致性不一致如果一致允许不一致,但要确定不一致的允许范围考察完全一致的情况成对比较的不一致性不一致如果一致允许不一致,但要确定66满足的正互反阵A称一致阵一致阵性质☻

A的秩为1,A的唯一非零特征根为n☻

A的任一列向量是对应于n的特征向量☻

A的归一化特征向量可作为权向量对于不一致的成对比较阵A,可用对应于最大特征根的特征向量作为权向量w,即满足的正互反阵A称一致阵一致阵性质☻A的秩为1,A的唯一非67一致性检验已知:n阶一致阵的唯一非零特征根为n可证:n阶正互反阵最大特征根

n,且

=n时为一致阵定义一致性指标:CI越大,不一致越严重为衡量CI的大小,引入随机一致性指标RI——随机模拟得到aij,形成A,计算CI即得RI。RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

n1234567891110定义一致性比率

CR=CI/RI

当CR<0.1时,通过一致性检验一致性检验已知:n阶一致阵的唯一非零特征根为n可证:n阶68“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验准则层对目标的成对比较阵最大特征根=5.073权向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指标随机一致性指标

RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1通过一致性检验“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验准则层对目标69组合权向量记第2层(准则)对第1层(目标)的权向量为同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量方案层对C1(景色)的成对比较阵方案层对C2(费用)的成对比较阵…Cn…Bn最大特征根

1

2

n

权向量

w1(3)w2(3)…

wn(3)组合权向量记第2层(准则)对第1层(目标)的权向量为同样求第70第3层对第2层的计算结果k10.5950.2770.1283.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1920.633430.6680.1660.1665w(2)

0.2630.4750.0550.0900.110RI=0.58(n=3),

CIk

均通过一致性检验方案P1对目标的组合权重为0.5950.263+…=0.300方案层对目标的组合权向量为

(0.300,0.246,0.456)T第3层对第2层的计算结果k10.5950.2770.128371一般地,设x,y,z分别表示方案层、准则层与目标层,并已知则记最终一般地,设x,y,z分别表示方案层、准则层与目标层,72二.层次分析法的若干问题☻正互反阵的最大特征根是否为正数?特征向量是否为正向量?一致性指标能否反映正互反阵接近一致阵的程度?☻怎样简化计算正互反阵的最大特征根和特征向量?☻为什么用特征向量作为权向量?☻当层次结构不完全时怎样用层次分析法?二.层次分析法的若干问题☻正互反阵的最大特征根是否为正数731.正互反阵的最大特征根和特征向量的性质定理1

正矩阵A的最大特征根是正单根,对应正特征向量w,且正互反阵的最大特征根是正数,特征向量是正向量。定理2

n阶正互反阵A的最大特征根>

n,=n是A为一致阵的充要条件。一致性指标

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