等差数列复习课件

等差数列的通项公式当d≠0时，这是关于n的一个一次函数。d=0,常数列；d>0,递增数列；d<0,递减数列；等差数列的通项公式当d≠0时，这是关于n的一个一次函数。d=1等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d中，an,a1,n,d这四个变量，知道其中三个量就可以求余下的一个量.等差数列的例题1等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d中2等差数列的例题2解得解：在等差数列中，,求首项与公差.等差数列的例题2解得解：在等差数列3

1、等差数列的概念：2、等差数列的通项公式：d=0,常数列；d>0,递增数列；d<0,递减数列小结：或1、等差数列的概念：2、等差数列的通项公式：4如果一个数列的通项公式能写成（p,q是常数）的形式，那么这个数列是不是等差数列呢？课后思考：

如果一个数列是等差数列，那么该数列的通项公式一定能写成（p,q是常数）的形式。如果一个数列的通项公式能写成课后思考：5㈠推广后的通项公式

(n-m)d例4在等差数列{an}中(1)

若a59=70，a80=112，求a101；(2)

若ap=q，aq=p(p≠q)，求ap+q；

(3)若a12=23，a42=143，an=263，求n.d=2,a101=154d=-1,ap+q=0d=4,n=72㈠推广后的通项公式(n-m)d例4在等差数列{an}中d6㈡等差中项

三个数成等差数列，可设这三个数为：a、b、c成等差数列,则_______________b与a的等差中项是即a、b的算术平均数.2b=a+ca,a+d,a+2d或

a-d,a,a+d例5(1)已知a，b，c成等差数列，求证：

ab-c2，ca-b2，bc-a2也成等差数列；(2)三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积为12，求此三数.㈡等差中项三个数成等差数列，可设这三个数为：a、b、c成等7

②上面的命题中的等式两边有相同数目的项，如a1+a2=a3成立吗？【说明】3.更一般的情形，an=d=等差数列的性质1.{an}为等差数列2.a、b、c成等差数列an+1-an=dan+1=an+dan=

a1+(n-1)dan=kn+b（k、b为常数）am+(n-m)db为a、c的等差中项AA2b=a+c4.在等差数列{an}中，由m+n=p+qam+an=ap+aq注意：①上面的命题的逆命题是不一定成立的；②上面的命题中8例2.在等差数列{an}中(1)已知a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20例题分析(2）已知a3+a11=10，求a6+a7+a8(3)已知a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.分析：由a1+a20=a6+a15=a9+a12及a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10分析：a3+a11=a6+a8=2a7，又已知a3+a11=10，∴a6+a7+a8=（a3+a11）=15分析：a4+a5+a6+a7=56a4+a7=28①又a4a7=187②，解①、②得a4=17a7=11a4=11a7=17或∴d=_2或2,从而a14=_3或31例2.在等差数列{an}中例题分析(2）已知a3+a119课堂练习1.等差数列{an}的前三项依次为a-6，2a-5，-3a+2，则a等于（)

A.-1B.1C.-2D.2B2.在数列{an}中a1=1，an=an+1+4，则a10=2(2a-5)=(-3a+2)+(a-6)提示1:提示：d=an+1—an=4-353.在等差数列{an}中(1)

若a59=70，a80=112，求a101；(2)

若ap=q，aq=p(p≠q)，求ap+qd=2,a101=154d=-1,ap+q

=0课堂练习1.等差数列{an}的前三项依次为a-6，2a-10研究性问题300<<5004.在等差数列{an}中,a1=83，a4=98，则这个数列有多少项在300到500之间？d=5,提示：an=78+5nn=45，46，…，84402.已知{an}为等差数列，若a10=20，d=-1，求a3

?1.若a12=23，a42=143，an=263，求n.3.三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积为12，求此三数.d=4n=72a3=a10

+(3-10)da3=27设这三个数分别为a-da，a+d，则3a=12，a2-d2=126，4，2或2，4，6研究性问题300<<50011如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。叫做数列的前n项和。如果数列的第n项12等差数列的前n项和公式的推导…，…，由等差数列的前n项和得等差数列的前n项和公式的推导…，…，由等差数列的前n项和得13等差数列的前n项和公式的其它形式等差数列的前n项和公式的其它形式14a1ann公式记忆方法!!1)前n个正整数的和：1+2+3+…+n=

；2)求正整数列中前n个偶数的和

2+4+6+…+2n=

。a1ann公式记忆方法!!1)前n个正整数的和：1+2+3+15例2：数列{an}是等差数列，a1=50，d=–2（1）从第n项开始有an<0；（2）求此数列的前几项和最大？小结：若在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则sn存在最大值；若在等差数列{an}中，a1<0，d>0，则sn存在最小值；例2：数列{an}是等差数列，a1=50，d=–2小结：16例3.在等差数列{an}中最大。值时为何nSnSSa,,025141=>例3.在等差数列{an}中最大。值时为何nSnSSa,,0217解：方法一解：方法一18解：方法二（只适合填空题）142519.5解：方法二（只适合填空题）142519.5191.将等差数列前n项和公式

看作是一个关于n的函数，这个函数有什么特点？当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数则Sn=An2+Bn令1.将等差数列前n项和公式当d≠0时,Sn是常数项为零的二20等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法1由S3=S11得∴d=－2∴当n=7时,Sn取最大值49.等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a121等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法2由S3=S11得d=－2<0∴当n=7时,Sn取最大值49.则Sn的图象如图所示又S3=S11所以图象的对称轴为7n113Sn等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a122等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法3由S3=S11得d=－2∴当n=7时,Sn取最大值49.∴an=13+(n-1)×(-2)=－2n+15由得等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a123∴a7+a8=0等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法4由S3=S11得∴当n=7时,Sn取最大值49.a4+a5+a6+……+a11=0而a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8又d=－2<0,a1=13>0∴a7>0,a8<0∴a7+a8=0等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列24求等差数列前n项的最大(小)的方法方法1:由利用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值.方法2:利用an的符号①当a1>0,d<0时,数列前面有若干项为正,此时所有正项的和为Sn的最大值,其n的值由an≥0且an+1≤0求得.②当a1<0,d>0时,数列前面有若干项为负,此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由an≤0且an+1≥

0求得.求等差数列前n项的最大(小)的方法方法1:由252.等差数列{an}前n项和的性质性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也在等差数列,公差为在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有性质2:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p=性质3:若Sm=Sp(m≠p),则Sp+m=性质4:(1)若项数为偶数2n,则S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1为中间两项),此时有:S偶－S奇=,n2d0nd－(m+p)2.等差数列{an}前n项和的性质性质1:Sn,S2n－Sn26性质4:(1)若项数为奇数2n－1,则S2n-1=(2n－1)an(an为中间项),此时有:S偶－S奇=

,两等差数列前n项和与通项的关系性质6:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则性质5:为等差数列.an性质4:(1)若项数为奇数2n－1,则两等差数列前n项和与通27例1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=()A.63B.45C.36D.27例2.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=()A.85B.145C.110D.90BA3.等差数列{an}前n项和的性质的应用例1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=28例3.一个等差数列的前10项的和为100,前100项的和为10,则它的前110项的和为

.－110例4.两等差数列{an}、{bn}的前n项和分别是Sn和Tn,且求和.等差数列{an}前n项和的性质的应用例3.一个等差数列的前10项的和为100,前100项的和为129例5.一个等差数列的前12项的和为354,其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32:27,则公差为

.例6.(09宁夏)等差数列{an}的前n项的和为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则m=.例7.设数列{an}的通项公式为an=2n-7,则|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|=

.510153等差数列{an}前n项和的性质的应用例5.一个等差数列的前12项的和为354,其中项数为偶数的项30例8.设等差数列的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.(1)求公差d的取值范围;(2)指出数列{Sn}中数值最大的项,并说明理由.解:(1)由已知得a1+2d=1212a1+6×11d>013a1+13×6d<0等差数列{an}前n项和的性质例8.设等差数列的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>031(2)∵∴Sn图象的对称轴为由(1)知由上得即由于n为正整数,所以当n=6时Sn有最大值.∴Sn有最大值.(2)∵∴Sn图象的对称轴为由(1)知由上得即由于n为正323.等差数列{an}前n项和的性质性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也在等差数列,公差为在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有性质2:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p=性质3:若Sm=Sp(m≠p),则Sp+m=性质4:(1)若项数为偶数2n,则S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1为中间两项),此时有:S偶－S奇=,n2d0nd－(m+p)3.等差数列{an}前n项和的性质性质1:Sn,S2n－Sn33性质4:(1)若项数为奇数2n－1,则S2n-1=(2n－1)an(an为中间项),此时有:S偶－S奇=

,两等差数列前n项和与通项的关系性质6:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则性质5:为等差数列.an性质4:(1)若项数为奇数2n－1,则两等差数列前n项和与通34

思考:已知一个无穷等差数列的首项为a1，公差为d：

（1）将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个

新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果

是，它的首项和公差分别是多少？（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的

数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它

它的首项和公差分别是多少？

（3）取出数列中所有项数为7的倍数的各项，组

成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？

如果是，它的首项和公差分别是多少？思考:已知一个无穷等差数列的首项为a1，35等差数列的通项公式当d≠0时，这是关于n的一个一次函数。d=0,常数列；d>0,递增数列；d<0,递减数列；等差数列的通项公式当d≠0时，这是关于n的一个一次函数。d=36等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d中，an,a1,n,d这四个变量，知道其中三个量就可以求余下的一个量.等差数列的例题1等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d中37等差数列的例题2解得解：在等差数列中，,求首项与公差.等差数列的例题2解得解：在等差数列38

1、等差数列的概念：2、等差数列的通项公式：d=0,常数列；d>0,递增数列；d<0,递减数列小结：或1、等差数列的概念：2、等差数列的通项公式：39如果一个数列的通项公式能写成（p,q是常数）的形式，那么这个数列是不是等差数列呢？课后思考：

如果一个数列是等差数列，那么该数列的通项公式一定能写成（p,q是常数）的形式。如果一个数列的通项公式能写成课后思考：40㈠推广后的通项公式

(n-m)d例4在等差数列{an}中(1)

若a59=70，a80=112，求a101；(2)

若ap=q，aq=p(p≠q)，求ap+q；

(3)若a12=23，a42=143，an=263，求n.d=2,a101=154d=-1,ap+q=0d=4,n=72㈠推广后的通项公式(n-m)d例4在等差数列{an}中d41㈡等差中项

三个数成等差数列，可设这三个数为：a、b、c成等差数列,则_______________b与a的等差中项是即a、b的算术平均数.2b=a+ca,a+d,a+2d或

a-d,a,a+d例5(1)已知a，b，c成等差数列，求证：

ab-c2，ca-b2，bc-a2也成等差数列；(2)三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积为12，求此三数.㈡等差中项三个数成等差数列，可设这三个数为：a、b、c成等42

②上面的命题中的等式两边有相同数目的项，如a1+a2=a3成立吗？【说明】3.更一般的情形，an=d=等差数列的性质1.{an}为等差数列2.a、b、c成等差数列an+1-an=dan+1=an+dan=

a1+(n-1)dan=kn+b（k、b为常数）am+(n-m)db为a、c的等差中项AA2b=a+c4.在等差数列{an}中，由m+n=p+qam+an=ap+aq注意：①上面的命题的逆命题是不一定成立的；②上面的命题中43例2.在等差数列{an}中(1)已知a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20例题分析(2）已知a3+a11=10，求a6+a7+a8(3)已知a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.分析：由a1+a20=a6+a15=a9+a12及a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10分析：a3+a11=a6+a8=2a7，又已知a3+a11=10，∴a6+a7+a8=（a3+a11）=15分析：a4+a5+a6+a7=56a4+a7=28①又a4a7=187②，解①、②得a4=17a7=11a4=11a7=17或∴d=_2或2,从而a14=_3或31例2.在等差数列{an}中例题分析(2）已知a3+a1144课堂练习1.等差数列{an}的前三项依次为a-6，2a-5，-3a+2，则a等于（)

A.-1B.1C.-2D.2B2.在数列{an}中a1=1，an=an+1+4，则a10=2(2a-5)=(-3a+2)+(a-6)提示1:提示：d=an+1—an=4-353.在等差数列{an}中(1)

若a59=70，a80=112，求a101；(2)

若ap=q，aq=p(p≠q)，求ap+qd=2,a101=154d=-1,ap+q

=0课堂练习1.等差数列{an}的前三项依次为a-6，2a-45研究性问题300<<5004.在等差数列{an}中,a1=83，a4=98，则这个数列有多少项在300到500之间？d=5,提示：an=78+5nn=45，46，…，84402.已知{an}为等差数列，若a10=20，d=-1，求a3

?1.若a12=23，a42=143，an=263，求n.3.三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积为12，求此三数.d=4n=72a3=a10

+(3-10)da3=27设这三个数分别为a-da，a+d，则3a=12，a2-d2=126，4，2或2，4，6研究性问题300<<50046如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。叫做数列的前n项和。如果数列的第n项47等差数列的前n项和公式的推导…，…，由等差数列的前n项和得等差数列的前n项和公式的推导…，…，由等差数列的前n项和得48等差数列的前n项和公式的其它形式等差数列的前n项和公式的其它形式49a1ann公式记忆方法!!1)前n个正整数的和：1+2+3+…+n=

；2)求正整数列中前n个偶数的和

2+4+6+…+2n=

。a1ann公式记忆方法!!1)前n个正整数的和：1+2+3+50例2：数列{an}是等差数列，a1=50，d=–2（1）从第n项开始有an<0；（2）求此数列的前几项和最大？小结：若在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则sn存在最大值；若在等差数列{an}中，a1<0，d>0，则sn存在最小值；例2：数列{an}是等差数列，a1=50，d=–2小结：51例3.在等差数列{an}中最大。值时为何nSnSSa,,025141=>例3.在等差数列{an}中最大。值时为何nSnSSa,,0252解：方法一解：方法一53解：方法二（只适合填空题）142519.5解：方法二（只适合填空题）142519.5541.将等差数列前n项和公式

看作是一个关于n的函数，这个函数有什么特点？当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数则Sn=An2+Bn令1.将等差数列前n项和公式当d≠0时,Sn是常数项为零的二55等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法1由S3=S11得∴d=－2∴当n=7时,Sn取最大值49.等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a156等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法2由S3=S11得d=－2<0∴当n=7时,Sn取最大值49.则Sn的图象如图所示又S3=S11所以图象的对称轴为7n113Sn等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a157等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法3由S3=S11得d=－2∴当n=7时,Sn取最大值49.∴an=13+(n-1)×(-2)=－2n+15由得等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a158∴a7+a8=0等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法4由S3=S11得∴当n=7时,Sn取最大值49.a4+a5+a6+……+a11=0而a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8又d=－2<0,a1=13>0∴a7>0,a8<0∴a7+a8=0等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列59求等差数列前n项的最大(小)的方法方法1:由利用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值.方法2:利用an的符号①当a1>0,d<0时,数列前面有若干项为正,此时所有正项的和为Sn的最大值,其n的值由an≥0且an+1≤0求得.②当a1<0,d>0时,数列前面有若干项为负,此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由an≤0且an+1≥

0求得.求等差数列前n项的最大(小)的方法方法1:由602.等差数列{an}前n项和的性质性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也在等差数列,公差为在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有性质2:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p=性质3:若Sm=Sp(m≠p),则Sp+m=性质4:(1)若项数为偶数2n,则S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1为中间两项),此时有:S偶－S奇=,n2d0nd－(m+p)2.等差数列{an}前n项和的性质性质1:Sn,S2n－Sn61性质4:(1)若项数为奇数2n－1,则S2n-1=(2n－1)an(an为中间项),此时有:S偶－S奇=

,两等差数列前n项和与通项的关系性质6:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则性质5:为等差数列.an性质4:(1)若项数为奇数2n－1,则两等差数列前n项和与通62例1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=()A.63B.45C.36D.27例2.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=()A.85B.145C.110D.90BA3.等差数列{an}前n项和的性质的应用例1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=63例3.一个等差数列的前10项的和为100,前100项的和为10,则它的前110项的和为

.－110例4.两等差数列{an}、{bn}的前n项和分别是Sn和Tn,且求和.等差数列{an}前n项和的性质的应用例3.一个等差数列的前10项的和为1