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文档简介

§4最小二乘逼近4.1一般的最小二乘逼近讨论的问题:(4.1)以下讨论最小二乘逼近函数是否存在？是否唯一？及计算方法（步骤）。1一、离散范数的基本定义

已知关于点集上函数值，（1）内积：（2）范数：（3）正交关于X线性无关，即是向量组线性无关。

含m个方程的方程组（4）函数组的线性相关与线性无关

定义92

说明：这里定义的的关系是否为内积、范数？需要自己证（1）内积：（2）范数：验证是否满足内积的三个条件或范数的三个条件，即3定理2/举例：二、解决问题的思路：把原问题转化为多元函数极值问题(类似于连续函数的最佳平方逼近的思路)。4得到4.1的等价问题：5结论：（2）充分性（1）必要条件误差与基函数正交(4.1)6定理8定理9（最小二乘逼近）7定理9（最小二乘逼近）8注：将(4.7)带入(4.6),合并得事实上，9（2）矩阵G为正定对称阵注：注：10（3）计算方法注：注：(4)用正交多项式作最小二乘逼近114.3用正交多项式作曲线拟合(计算方法)已知y=f(x)的实验数据1、计算方法(步骤):12于是当增加n时，有优点：

当n增加时只须计算，计算量小。132、正交多项式的存在定理定理10

已知点集及权系数,则有关于X及为正交多项式组,满足下述三项递推公式：即（1）为首项系数是1的k次多项式。（2）144.4非线性模型举例

1用最小二乘法解矛盾方程组已知y=f(x)实验数据

,用较简单和合适的函数来逼近（或拟合）实验数据。假设选用n次插值多项式n+1个未知量

m个方程即要满足方程组的解不能唯一确定，因此，不能要求由于精确成立，而仅仅要求多项式尽可能接近给定的数据。也就是要允许每个等式可以稍有偏差，但偏差又尽可n+1<m能的小。15解法：对矛盾方程组作一辅助函数a0,a1,…,an的多元二次函数1617---法方程18矛盾方程组可写成矩阵形式：事实上,19举例用二次多项式来拟合函数解

2021§4最小二乘逼近4.1一般的最小二乘逼近讨论的问题:(4.1)22定理9（最小二乘逼近）232

非线性模型举例

凸性（凹向上或凹向下）时，对于给定y=f(x)实验数据的走向、趋势选择合适的数根据数据学模型。例如,当实验数据具有单调来拟合实验数据，其中可选择下述适当的数学模型a、b为参数，如图。4.4非线性模型举例

1用最小二乘法解矛盾方程组24例8

在某化学反应里，根据实验所得生成物的浓度与时间关系如下，求浓度与时间的拟合曲线25解：

(2)选取数学模型，模型求解（较简单）。求对数:作变换:令

则（4.14）式变为:于是，问题化为由已知数据求参数A，B使其中，模型

线性模型，可求得作变换，将此模型转化为线性26从而及最小平方误差：（3）选取数学模型为双曲函数其中待定参数。并有且最大偏差：于是得到模型作变换，令于是问题化为，已知数据，寻求a，b使其中为线性模型。27求解法方程得到最大偏差：说明：小，所以用作拟合曲线比双曲模型要好。选取指数模型从而得数学模型最小平方误差：都比较28本课重点：理解最

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