D平面向量数量积的物理背景及其含义课件-

问题1:一个物体在力F的作用下产生的位移s，那么力F所做的功应当怎样计算？力做的功：W=|F||s|cos，是F与s的夹角。位移SOAFθ一、向量数量积的物理背景第1页/共23页问题1:一个物体在力F的作用下产生的位移s，那么力F所做1问题2：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。

功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；第2页/共23页问题2：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其2平面向量的数量积的定义说明：

已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，我们把数量

叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b

，即

（2）a·b中间的“·”在向量的运算中不能省略，也不能写成a×b

，a×b

表示向量的另一种运算（外积）。规定：零向量与任意向量的数量积为0，即0．（1）（3）向量的数量积的结果是一个数量。第3页/共23页平面向量的数量积的定义说明：已知两个非零向量a和3问题3：影响数量积大小的因素有哪些？这个数值的大小不仅和向量的模有关，还和它们的夹角有关。夹角的范围

正负0数量积符号由cos的符号所决定第4页/共23页问题3：影响数量积大小的因素有哪些？这个数值的大小不仅和向量42、判断下列说法的正误，并说明理由错误错误正确。是锐角，则>中，若在DD.DABC0BCABABC)4(错误。是钝角，则＜中，若在DD.DABC0BCABABC)3(正确。是锐角，则＜中，若在DD.DABC0BCABABC)1(。是钝角，则中，若在DD>.DABC0BCABABC)2(。是直角，则中，若在DD=.DABC0BCABABC)5(第5页/共23页2、判断下列说法的正误，并说明理由错误错误正确。是锐角，5平面向量的数量积的运算性质问题4：设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？a⊥ba·b＝0问题5：当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？

当a与b同向时，a·b＝︱a︱︱b︱；当a与b反向时，a·b＝－︱a︱︱b︱；a·a＝a2＝︱a︱2或︱a︱＝.第6页/共23页平面向量的数量积的运算性质问题4：设a与b都是非零向量，若a6问题6：︱a·b︱与︱a︱︱b︱的大小关系如何？为什么？

︱a·b︱≤︱a︱︱b︱

问题7：对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？第7页/共23页问题6：︱a·b︱与︱a︱︱b︱的大小关系如何？为什么？︱7（３）a·b≤|a|·|b|.（１）a⊥b

a·b=0

.(判断两向量垂直的依据)特别地，（２）当a与b同向时，a·b

＝|a|·|b|；

当a与b反向时，a·b＝－|a|·|b|.（４）平面向量的数量积的运算性质设向量a、b为两非零向量，则第8页/共23页（３）a·b≤|a|·|b|.（１）a⊥b8第9页/共23页第9页/共23页9练习a•b=│a││b│cosθ第10页/共23页练习a•b=│a││b│cosθ第10页/共23页10进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量方向确定其夹角a•b=│a││b│cosθ第11页/共23页进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量方向11平面向量数量积的几何意义向量a在b方向上的投影是什么？

投影一定是正数吗？|b|cosθ叫向量b

在a

方向上的投影．，过点B作垂直于直线OA，垂足为，则|b|cosθOABab︱a︱cosθ第12页/共23页平面向量数量积的几何意义向量a在b方向上的投影是什么？投影12说明：（2）投影也是一个数量，不是向量。（1）OABabBOAabOABabθ为锐角时，|b|cosθ＞0θ为钝角时，|b|cosθ＜0θ为直角时，|b|cosθ=0当

=0时投影为|b|当

=180时投影为-|b|.第13页/共23页说明：（2）投影也是一个数量，不是向量。（1）OABabBO13问题4：根据投影的概念，数量积a·b=︱a|︱b︱cosθ的几何意义是什么？

数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影︱b︱cosθ的乘积，或等于b的模与a在b方向上的投影︱a︱cosθ的乘积.第14页/共23页问题4：根据投影的概念，数量积a·b=︱a|︱b︱cosθ的14练一练：第15页/共23页练一练：第15页/共23页15类比实数的乘法运算律：数量积的运算律：关于向量的数量积运算：平面向量的数量积运算律数量积运算不满足乘法结合律。交换律：分配律：思考１：

a·b与b·a相等吗？为什么？

思考２：对于非零向量a，b，c，(a·b)·c表示什么意义？(a·b)·c与a·(b·c)相等吗？为什么？思考３：对于向量a，b，c，(a＋b)·c表示什么意义？它与

a·c＋b·c相等吗？为什么？问题8:

我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？

数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)注：第16页/共23页类比实数的乘法运算律：数量积的运算律：关于向量的数量积运算：16如图可知：第17页/共23页如图可知：第17页/共23页17判断下列命题或等式的正确与否

若b≠0，ab=0，则a=0若ab=bc，(b≠0)，则a=c错误错误错误（ab）c=a（bc）则第18页/共23页判断下列命题或等式的正确与否若b≠0，ab18第19页/共23页第19页/共23页19第20页/共23页第20页/共23页20第21页/共23页第21页/共23页21小结1.向量的数量积是一种向量的乘法运算，它与向量的加法、减法、数乘运算一样，也有明显的物理背景和几何意义，同时还有一系列的运算性质，但与向量的线性运算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量.2.实数的运算性质与向量的运算性质不完全一致，应用时不要似是而非.3.常用︱a︱＝求向量的模.

常用求向量的夹角.第22页/共23页小结1.向量的数量积是一种向量的乘法运算，它与向量的加法22感谢您的欣赏！第23页/共23页感谢您的欣赏！第23页/共23页23问题1:一个物体在力F的作用下产生的位移s，那么力F所做的功应当怎样计算？力做的功：W=|F||s|cos，是F与s的夹角。位移SOAFθ一、向量数量积的物理背景第1页/共23页问题1:一个物体在力F的作用下产生的位移s，那么力F所做24问题2：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。

功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；第2页/共23页问题2：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其25平面向量的数量积的定义说明：

已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，我们把数量

叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b

，即

（2）a·b中间的“·”在向量的运算中不能省略，也不能写成a×b

，a×b

表示向量的另一种运算（外积）。规定：零向量与任意向量的数量积为0，即0．（1）（3）向量的数量积的结果是一个数量。第3页/共23页平面向量的数量积的定义说明：已知两个非零向量a和26问题3：影响数量积大小的因素有哪些？这个数值的大小不仅和向量的模有关，还和它们的夹角有关。夹角的范围

正负0数量积符号由cos的符号所决定第4页/共23页问题3：影响数量积大小的因素有哪些？这个数值的大小不仅和向量272、判断下列说法的正误，并说明理由错误错误正确。是锐角，则>中，若在DD.DABC0BCABABC)4(错误。是钝角，则＜中，若在DD.DABC0BCABABC)3(正确。是锐角，则＜中，若在DD.DABC0BCABABC)1(。是钝角，则中，若在DD>.DABC0BCABABC)2(。是直角，则中，若在DD=.DABC0BCABABC)5(第5页/共23页2、判断下列说法的正误，并说明理由错误错误正确。是锐角，28平面向量的数量积的运算性质问题4：设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？a⊥ba·b＝0问题5：当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？

当a与b同向时，a·b＝︱a︱︱b︱；当a与b反向时，a·b＝－︱a︱︱b︱；a·a＝a2＝︱a︱2或︱a︱＝.第6页/共23页平面向量的数量积的运算性质问题4：设a与b都是非零向量，若a29问题6：︱a·b︱与︱a︱︱b︱的大小关系如何？为什么？

︱a·b︱≤︱a︱︱b︱

问题7：对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？第7页/共23页问题6：︱a·b︱与︱a︱︱b︱的大小关系如何？为什么？︱30（３）a·b≤|a|·|b|.（１）a⊥b

a·b=0

.(判断两向量垂直的依据)特别地，（２）当a与b同向时，a·b

＝|a|·|b|；

当a与b反向时，a·b＝－|a|·|b|.（４）平面向量的数量积的运算性质设向量a、b为两非零向量，则第8页/共23页（３）a·b≤|a|·|b|.（１）a⊥b31第9页/共23页第9页/共23页32练习a•b=│a││b│cosθ第10页/共23页练习a•b=│a││b│cosθ第10页/共23页33进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量方向确定其夹角a•b=│a││b│cosθ第11页/共23页进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量方向34平面向量数量积的几何意义向量a在b方向上的投影是什么？

投影一定是正数吗？|b|cosθ叫向量b

在a

方向上的投影．，过点B作垂直于直线OA，垂足为，则|b|cosθOABab︱a︱cosθ第12页/共23页平面向量数量积的几何意义向量a在b方向上的投影是什么？投影35说明：（2）投影也是一个数量，不是向量。（1）OABabBOAabOABabθ为锐角时，|b|cosθ＞0θ为钝角时，|b|cosθ＜0θ为直角时，|b|cosθ=0当

=0时投影为|b|当

=180时投影为-|b|.第13页/共23页说明：（2）投影也是一个数量，不是向量。（1）OABabBO36问题4：根据投影的概念，数量积a·b=︱a|︱b︱cosθ的几何意义是什么？

数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影︱b︱cosθ的乘积，或等于b的模与a在b方向上的投影︱a︱cosθ的乘积.第14页/共23页问题4：根据投影的概念，数量积a·b=︱a|︱b︱cosθ的37练一练：第15页/共23页练一练：第15页/共23页38类比实数的乘法运算律：数量积的运算律：关于向量的数量积运算：平面向量的数量积运算律数量积运算不满足乘法结合律。交换律：分配律：思考１：

a·b与b·a相等吗？为什么？

思考２：对于非零向量a，b，c，(a·b)·c表示什么意义？(a·b)·c与a·(b·c)相等吗？为什么？思考３：对于向量a，b，c，(a＋b)·