高考专题复习：平 面 向 量

高考复习专题:平面向量第一节平面向量的概念及其线性运算1.向量的有关概念(1向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的模.(2零向量:长度为0的向量,其方向是任意的.(3单位向量:长度等于1个单位的向量.(4平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定:0与任一向量共线.(5相等向量:长度相等且方向相同的向量.(6相反向量:长度相等且方向相反的向量.2.向量的线性运算3.共线向量定理:向量a(a≠0与b共线的充要条件是当且仅当有唯一一个实数λ,使得b=λa.考点一:向量的概念[例1]给出下列四个命题:①若|a|=|b|,则a=b或a=-b;②若,则四边形ABCD为平行四边形;③若a与b同向,且|a|>|b|,则a>b;④λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.其中假命题的个数为(A.1B.2C.3D.4[答案]D.下列说法中错误的是(A.有向线段可以表示向量但不是向量,且向量也不是有向线段B.若向量a和b不共线,则a和b都是非零向量C.长度相等但方向相反的两个向量不一定共线D.方向相反的两个非零向量必不相等[答案]C[例2](1(2014·金华模拟已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是(A.a∥bB.a⊥bC.|a|=|b|D.a+b=a-b(3(2013·四川高考如图在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,则λ=________.(4(2013·江苏高考设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=12AB,BE=23BC.若(λ1,λ2为实数,则λ1+λ2的值为________.[答案](1B(2A(32(4121.在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若(A.14a+12bB.23a+13bC.12a+14bD.13a+23b3.(2014·丽水模拟在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且点O在线段CD上(与点C,D不重合,若则x的取值范围是(A.⎝⎛⎭⎫0,12B.⎝⎛⎭⎫0,13C.⎝⎛⎭⎫-12,0D.⎝⎛⎭⎫-13,0:在本例条件下,试确定实数k,使ke1+e2与e1+ke2共线.:若a,b是两个不共线的非零向量,a与b起点相同,则当t为何值时,a,tb,13(a+b三向量的终点在同一条直线上?易误警示(四平面向量线性运算中的易误点[典例](2013·广东高考设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解,有如下四个命题:①给定向量b,总存在向量c,使a=b+c;②给定向量b和c,总存在实数λ和μ,使a=λb+μc;③给定单位向量b和正数μ,总存在单位向量c和实数λ,使a=λb+μc;④给定正数λ和μ,总存在单位向量b和单位向量c,使a=λb+μc.上述命题中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是(A.1B.2C.3D.4[答案]B下列命题中正确的是(A.向量a,b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ,使b=λaB.在△ABC中,C.不等式||a|-|a+b||≤|a+b|≤|a|+|b|中两个等号不可能同时成立D.向量a,b不共线,则向量a+b与向量a-b必不共线第二节平面向量基本定理及坐标表示1.两个向量的夹角(1定义:已知两个非零向量a和b,作则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角.(2范围:向量夹角θ的范围是[0,π],a与b同向时,夹角θ=0;a与b反向时,夹角θ=π.(3向量垂直:如果向量a与b的夹角是π2,则a与b垂直,记作a⊥b.2.平面向量基本定理及坐标表示(1平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.(2平面向量的坐标表示:①在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj,这样,平面内的任一向量a都可由x,y唯一确定,我们把有序数对(x,y叫做向量a的坐标,记作a=(x,y,其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标.3.平面向量的坐标运算(1若a=(x1,y1,b=(x2,y2,则a±b=(x1±x2,y1±y2;(2若A(x1,y1,B(x2,y2,则(x2-x1,y2-y1;(3若a=(x,y,则λa=(λx,λy;(4若a=(x1,y1,b=(x2,y2,则a∥b⇔x1y2=x2y1.[例1]在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点.若其中λ,μ∈R,则λ+μ=________.[答案]43互动探究:在本例条件下,若试用c,d表示:如图,在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AH⊥BC于点H,M为AH的中点.若则λ+μ=________.答案:23(13a+b-3c;(2满足a=mb+nc的实数m,n;(3M,N的坐标及向量的坐标.1.(2014·福建高考在下列向量组中,可以把向量a=(3,2表示出来的是(A.e1=(0,0,e2=(1,2B.e1=(-1,2,e2=(5,-2C.e1=(3,5,e2=(6,10D.e1=(2,-3,e2=(-2,3解析:选B2.已知平行四边形的三个顶点分别是A(4,2,B(5,7,C(-3,4,求第四个顶点D的坐标.[例3](1(2013·陕西高考已知向量a=(1,m,b=(m,2,若a∥b,则实数m等于(A.-2B.2C.-2或2D.0(2(2014·丽水模拟设向量a,b满足|a|=25,b=(2,1,且a与b的方向相反,则a的坐标为________.(3(2014·台州模拟若三点A(2,2,B(a,0,C(0,b(ab≠0共线,则1a+1b的值等于________.[答案](1C(2(-4,-2(3121.(2013·辽宁高考已知点A(1,3,B(4,-1,则与向量AB―→同方向的单位向量为(A.⎝⎛⎭⎫35,-45B.⎝⎛⎭⎫45,-35C.⎝⎛⎭⎫-35,45D.⎝⎛⎭⎫-45,352.已知向量a=(m,-1,b=(-1,-2,c=(-1,2,若(a+b∥c,则m=________.答案:523.已知点A(4,0,B(4,4,C(2,6,则AC与OB的交点P的坐标为________.答案:(3,3易误警示(五平面向量坐标运算中的易误点用平面向量解决相关问题时,在便于建立平面直角坐标系的情况下建立平面直角坐标系,可以使向量的坐标运算更简便一些.[典例](2013·北京高考向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb(λ，μλ∈R，则＝________.μ[答案]4答案：2第三节平面向量的数量积及平面向量的应用1．平面向量数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cosθ叫做a和b的数量积(或内积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cosθ，规定0·a＝0.2．向量数量积的运算律(1a·b＝b·a；(2(λa·b＝λ(a·b＝a·(λb；(3(a＋b·c＝a·c＋b·c.3．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1，b＝(x2，y2，结论模夹角a⊥b的充要条件几何表示|a|＝a·aa·bcosθ＝|a||b|a·b＝0坐标表示2|a|＝x21＋y1x1x2＋y1y2cosθ＝222x1＋y1·x22＋y2x1x2＋y1y2＝0[例1](1(2014·天津高考已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若则λ的值为________．(2如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若6、[答案](12(22互动探究：在本例(2中，若四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是AB上的动点，求的值及答案：1.1．若向量a＝(1,1，b＝(2,5，c＝(3，x，满足条件(8a－b·c＝30，则x＝________.答案：42π2．已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k3的值为________．5答案：4的最大值．[例2](1(2014·湖南高考在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0，B(0，3，C(3,0，动点D满足(A．[4,6]B．[19－1，19＋1]C．[23，27]D．[7－1，7＋1](2(2014·四川高考平面向量a＝(1,2，b＝(4,2，c＝ma＋b(m∈R，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.[答案](1D(2271(3(41221．若a＝(1,2，b＝(1，－1，则2a＋b与a－b的夹角等于(πππ3A．－B.C.D.π4644解析：选C2．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k7＝________.答案：13．已知平面向量α，β，|α|＝1，β＝(2,0，α⊥(α－2β，则|2α＋β|的值为________．答案：10[例3](1(2014·浙江高考设θ为两个非零向量a，b的夹角．已知对任意实数t，|b＋ta|的最小值为1.(B．若θ确定，则|b|唯一确定D．若|b|确定，则θ唯一确定A．若θ确定，则|a|唯一确定C．若|a|确定，则θ唯一确定[答案](1B设向量a＝(4cosα，sinα，b＝(sinβ，4cosβ，c＝(cosβ，－4sinβ．(1若a与b－2c垂直，求tan(α＋β的值；(2求|b＋c|的最大值；(3若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.前沿热点(五与平面向量