单级倒立摆系统建模与控制器设计

单级倒立摆系统的建模与控制器设计一、简介倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。二、应用1.机器人的站立与行走类似于双倒立摆系统。2.火箭等飞行器的飞行过程中，为保持正确的姿态，要不断进行实时控制。由于倒立摆与双足机器人、火箭飞行控制和各类伺服云台稳定有很大的相似性，因此对倒立摆控制机理的研究具有重要的理论和实践意义。倒立摆的控制方法线性理论控制方法非线性理论控制方法二、单级倒立摆的建模与分析1.单级倒立摆系统的建模单级倒立摆系统的建模属于单一刚性铰链，两自由度动力学问题，忽略空气流动和摩擦后，可将小车倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统。如图：F加在小车上的力x小车的位移φ杆与垂直向上方向的夹角θ摆杆与垂直向下方向的夹角M小车质量0.5kgm摆杆质量0.2kgl摆杆转动轴心到杆质心的长度0.3mI摆杆惯量0.006小车和摆杆的受力图应用牛顿方法建立系统的动力学方程对杆垂直方向上的受力进行分析，可以得到：摆杆的力矩平衡方程：线性化后运动方程:得：状态空间表达式单级倒立摆系统的模型分析根据小车质量，摆杆质量，摆杆转动轴心到杆质心的长度和摆杆质量的具体数值，用Matlab求出系统的状态空间方程各矩阵。程序1.M=0.5;m=0.2;I=0.006;g=9.8;l=0.3;

A=[0100003*M*g/(4*M+m)00001003*(M+m)*g/((4*M+m)*l)0];B=[04/(4*M+m)03/((4*M+m)*l)];C=[10000010];D=[00];根据经验可知，对于一阶倒立摆，如果没有加以控制，当摆杆有一个小的偏角时，或者摆杆初始位置在竖直状态但小车受到一个初始干扰外力，摆杆必然会倒下来，也就是说，上述倒立摆模型中的零平衡点是不稳定平衡点。下面我们将进一步通过Matlab仿真来对这一现象进行考证。首先，我们考证摆杆不受外力干扰，但是摆杆有一个小的初始偏角的情况。

摆杆不受外力干扰但是摆杆有一个小的初始偏角程序2系统开环初值响应曲线由系统的开环初值响应曲线可知，系统是不稳定的，这与我们的经验是相符合的。摆杆初始位置在竖直状态，但是小车收到一个脉冲干扰的情况。MATLAB程序如下：系统开环脉冲响应曲线由系统的开环脉冲干扰响应曲线可知，系统是不稳定的，这与我们的经验也是相符合的。最后，我们通过比较严格的手段来分析系统的稳定性。我们知道，线性定常系统的稳定性由系统矩阵的特征值决定，若系统矩阵的特征值的实部均不大于零，则系统就是稳定的；否则系统就是不稳定的。下面，我们将根据开环系统矩阵的特征值来判断开环系统的的稳定性。求开环系统矩阵特征值的Matlab源程序如下图：显然，因为系统有一个特征值为正实数5.5841，故系统是不稳定的。单级倒立摆系统的极点配置控制器设计单级倒立摆系统控制器设计的目标单级倒立摆系统控制器设计的目标是：通过对小车的左右移动使得摆杆保持在竖直的位置。且对于小车所给的阶跃输入信号，满足如下设计指标：1、小车位置x和摆杆角度θ的稳定时间小于5秒；2、位置x的上升时间小于0.5秒；3、摆杆角度的超调量小于20度（0.35弧度）。单级倒立摆系统的能控性分析采用极点配置法设计倒立摆系统的控制器。为此，首先需要分析系统的能控性。下面采用matlab来分析系统的能控性，分析M程序如下：于是，可以得知系统的能控性矩阵的秩为4，因此该系统是能控的。故可以采用极点配置法设计倒立摆系统的控制器。单级倒立摆系统的极点配置控制器设计为了满足给定的设计指标，我们选取系统的闭环主导极点为:其它极点为：设系统的全状态反馈控制律为：其中，v为外部参考输入信号，增益矩阵K采用极点配置方法进行求取，可以采用Matlab中的函数来直接进行计算。采用Matlab求取极点配置控制器源程序如下闭环系统的状态空间表达式如下所示：其中：闭环系统仿真分析为了验证我们所设计的控制器的有效性，我们就需要对闭环系统进行仿真分析。首先，我们考察摆杆不受外力干扰，但是摆杆有一个小的初始偏角的情况。仿真程序如下：由系统的闭环初值响应曲线可知，系统是稳定的，摆杆在有初始偏角的情况下能保持在竖直位置。闭环阶跃响应程序如下：由闭环系统的阶跃响应曲线可知，对x和θ的过渡过程时间为小于5s,对x的上升时间小于0.5s,θ的最大摆度为0.0068,全部符合性能指标要求。PID控制设计分析由以下公式：经过拉普拉斯变换可得以下公式由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可以得到：角度与位置的传递函数：如果令

V=X’’，得到角度与速度的传递函数：把上式代入方程组的第二个方程，得到总的传递函数为：首先，对于倒立摆系统输出量为摆杆的角度，它的平衡位置为垂直向上的情况。系统控制结构框图如下：图中KD(s)是控制器传递函数，G(s)是被控对象传递函数。考虑到输入r(s)=0，结构图可以很容易的变换成：由前可以得到摆杆角度和小车加速的传递函数：即：matlab调试模型matlab调试模型及结果如下：由以上仿真图可以看出PID的不同值，可以得到不同的控制结果：通过仿真图也可以看出有反馈时系统最终趋于稳定状