棱锥习题典例

例1下列命题中，成立的是[]A．各个面都是三角形的多面体一定是棱锥；B．四面体一定是三棱锥；C．棱锥的侧面是全等的等腰三角形，这棱锥一定是正棱锥；D．底面多边形既有外接圆又有内切圆，且侧棱相等的棱锥一定是正棱锥．解：应该选(B)．(A)是错误的，只要将底面全等的两个棱锥，把底面重合在一起所得多面体每个面都是三角形，不是个棱锥．(B)是正确的，三个面共顶点，另有三边围成三角形是四面体也必须是个三棱锥．(C)棱锥的侧面是全等等腰三角形，当底面不是三角形时，侧面的全等等腰三角形，腰必须共顶点，方可证得底面是正多边形，而且顶点在底面内射影为正多边形中心．但是三棱锥的侧面是全等等腰三角形但不是正三棱锥，如图．(D)也是错的，底面多边形既有内切圆又有外接圆，但不同心，则不是正多边形，因此不是正棱锥．评注：1．本题考查正棱锥的概念、棱锥的概念以及四面体与三棱锥的等价性．2．命题的成立要考虑一切情况，应注意特殊情况的例外，就像(C)．3．性质定理的逆命题不一定成立，若成立才能成为判定定理，否则是假命题如(A)．4．(D)中侧棱相等，底面一定有外接圆，且顶点在底面内射影为外接圆的圆心．但是底面有外接圆，若高不过其圆心，侧棱不等．本题中高过底面外接圆圆心，而底面也有内切圆，但是圆心不一定重合，不重合时底面不是正多边形，也不是正棱锥．例2下列命题，真命题的个数是[](1)两相邻侧棱所成之角相等的棱锥是正棱锥．(2)两相邻侧面所成之角相等的棱锥是正棱锥．(3)侧棱与底面所成之角相等的棱锥是正棱锥．(4)侧面与底面所成之角相等的棱锥是正棱锥．A．3个B．2个C．1个D．0个分析：对照定义，构造反例．解：如图所示，S－ABC是正三棱锥，两相邻侧棱所成之角相等，两相邻侧面所成之角相等．在SB，SC上分别取异于B，C的点B1，C1，连AB1，AC1，则三棱锥S－AB1C1均满足命题(1)、(2)的条件，但显然不是正三棱锥，所以命题(1)、命题(2)为假命题．命题(3)中，侧棱与底面所成之角相等，顶点在底面的射影是底面多边形的外心．外心不一定是中心，所以底面不一定是正多边形，因此命题(3)也是假命题．在命题(4)中，侧面与底面所成之角相等，顶点在底面的射影是底面多边形的内心，而内心不一定是中心，所以命题(4)也是假命题．因此选择答案D．例3

SC=c，求三棱锥的体积．分析：选择△SBC作底面，使底面积和高都易于计算．解：同理AS⊥SC，∴AS⊥平面SBC．评注：1．本题是利用三棱锥为四面体，无论哪个面作为底面都是三棱锥的性质计算其体积．2．遇到三棱锥求体积，应分析条件，选择适当的面作底面，使底面积和高都易于计算，本题选择△SBC为底面，SA就是高，这样可以直接计算了．若三条侧棱两两垂直，其长分别为a、b、c的三棱锥，不论选择哪个侧面作底面都方便，就是不能用原底面，否则高还需作出，底面面积还不易求．例4三棱锥的一条棱长为4，其余各棱长均为3，求它的体积．分析：求高和底面积→求体积．解1：如图，设三棱锥P－ABC中BC=4，其余棱长均为3，作PO⊥底面ABC于O．∵PA=PB=PC=3，∴O为△ABC的外心．延长AO交BC于D，则AD⊥BC解2由解1所设，有BC⊥平面PAD．∴VP-ABC=VB-PAD＋VC-PAD评注：用体积分割法，我们不难证明：若四面体ABCD中，过AB的截面ABE⊥CD例5如图，设正三棱锥S－ABC的每一条棱长均为3，若AD=1，AE=2，求三棱锥A－CDE的体积与三棱锥S－ABC的体积的比．分析：分别求出两个三棱锥的体积，再求体积的比．显然，三棱锥S－ABC的体积很好求，关键是要想方设法求出三棱锥A－CDE的体积，求△CDE的面积，再求A点到平面CDE的距离，但比较困难．于是想到重新选择底面．求△ACD的面积，再求E点到平面ACD的距离．这明显要简单些，因△ACD从这里我们发现，能否不求出体积而直接求出其体积之比呢？选择公共的顶点C解法1：解法2：评注：认识三棱锥时，不要认为三棱锥的底面总是水平放置，高总是竖直放置的．三棱锥的题型之所以比较“活泼”，其主要原因就是它的任何一个面都可以看作是它的底，因而善于从不同角度去观察几何体，选择适当的底面，常常会给我们解决问题带来方便．对于锥体，同底或等底面积的两个锥体的体积之比等于它们高的比，同高或等高的两个锥体的体积的比等于它们面积的比．一般地，在三棱锥P－ABC中，A1，B1，C1是三条侧棱上的点，则有证明设∠APB=α，作CH⊥面PAB，H为垂足．设∠CPH=β，则CH＝PC·sinβ同理例6已知：正n棱锥(n≥3，n∈N)的高是a，底面边长为2a，试求侧面和底面所成的二面角、侧棱及斜高的长．分析：作出关键的图形，解直角三角形．解：如图，设AB是正n棱锥的底面一边，PO是高，PM是斜高，则PM⊥AB，AM=MB∴OM⊥AB，∠PMO为侧面与底面所成二面角的平面角．在Rt△POM中∵PO=OMtan∠PMO评注：正棱锥的高和底面内任意一条直线都垂直，所以高、斜高和斜高在底面上的射影(即底面的边心距)组成一个直角三角形，这个直角三角形的一个锐角是侧面与底面的夹角．同样，高、侧棱和侧棱在底面上的射影(即底面外接圆的半径)组成一个直角三角形，这个直角形的一个锐角是侧棱与底面的夹角．例7如图，四棱锥P－ABCD底面为一直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，侧面PAD⊥底面ABCD．(1)求证平面PCD⊥平面PAD．(2)若AB=2，CD=4，侧面PBC是一边长等于10的正三角形，求对角线AC与侧面PCD所成的角的正弦函数值．分析：(1)两个平面垂直的判定定理→两个平面垂直．(2)构造线面角→解直角三角形．(1)证明：∵侧面PAD⊥底面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD∴CD⊥平面PAD．∴平面PCD⊥平面PAD(2)解：作AE⊥PD于E，连结CE，∵平面PAD⊥平面PCD∴AE⊥平面PCD．所以∠ACE就是AC与平面PCD所成之角．在直角梯形BADC中．AB=2，BC=10，CD=4，∴AD2=BC2－(CD－AB)2=100－4=96在Rt△CDP中，在Rt△PAB中，AP=AD，在等腰△APD中，例8已知正四棱锥侧棱和底面所成的角等于α，相邻两个侧面所成的角等于β分析：可以引进适当的参数，把cosβ，cosα表示出来，然后再证明结论成立．然而，引进不同的参数就有不同的解法．方法1：以底边长为参数→作出∠α，∠β→解．△OEC，△OEB→以OE为桥梁得到α，β的关系式．方法2：以OB=x，OE=y为参数→用x，y表