平面向量的坐标表示及其运算讲义

学科教师辅导讲义学员学校：年级：高二课时数：2学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题向量的坐标表示及其运算授课日期及时段教学目的掌握向量的坐标表示法。掌握向量的加法、减法、数与向量的乘法等运算的坐标表示形式。理解和掌握两个非零向量平行的充要条件(坐标形式)。学会定比分点公式的推导方法。理解定比分点公式，掌握中点坐标公式。教学内容【知识结构】基本单位向量：在平面直角坐标系中，方向与x轴和y轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位向量，记作；和［。位置向量：起点是坐标原点0的向量。已知A(x,y),则位置向量OA-xi+yj。我们把有序实数对(x,y)叫做位置向量0A的坐标，记作0A-(x,y)。注：位置向量的坐标就是位置向量终点的坐标。已知任意两点P(x,y),Q(x,y)，则自由向量PQ=(x-x,y-y)11222121注：自由向量的坐标就是向量终点坐标减去起点坐标。向量运算的坐标表示形式设九疋个实数,a-(x,y)b-(x,y)1122则a+b=(x+x，y+y)说明向量相加等于坐标分量相加；1212a-b=(x-x,y-y)说明向量相减等于坐标分量相减；1212九a=九(x,y)=(九x,九y)数乘向量等于数乘每一个分量；1111a二Jx2+y2向量的模等于对应坐标分量平方和开根号；*11a-box-x且y=y向量相等的充要条件是对应的坐标分量相等1212非零向量a-(x,y),b-(x,y)平行的充要条件疋xy=xy11221221

6.已知P是直线PP上一点，且6.已知P是直线PP上一点，且PP=九PP(XeR,k丰-1)P(X,y)，P(X,y)，P(X,y)，则1112x+XxX=T21+ky+Xy

y=t2-y1+k，这个公式叫做点P的分线段pp12的定比分点公X+XX=TX+XX=T22叫做中点公式。y=空2特别的，当X=1时，P为pp的中点。此时12【例题精讲】例1.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-l,2),c=(4,l),解答下列问题:(1)求3a+b-2c;⑵求满足a二mb+nc的实数m,n；⑶若(a+kc)〃(2b-a),求实数k；(4)设d=(x,y)满足(d-c)〃(a+b)且|d-c|=1,求d.例2.已知A(2,-1),B(8,8)，求线段AB的三等分点C、D的坐标

例6.已知点O是AABC内一点，ZA0B=150°,ZBOC=90°，设oa=a,OB=b,OC=c，且a|=2,|b|=1,|c|=3,试用a和b表示c.分析本例是用平面内两个不共线的向量表示同一平面内的另一个向量.根据平面向量的基本定理有c二入a+入b,当a、b、c的坐标已知时，该式实际上是一个关于12次方程组，由此可确定入、入，这也是解决本题的一个重要思路.12解：如图1所示，以点O为原点，OA为x轴的非负半轴,建立平面直角坐标系.由三角函数的定义，得B（cos150。，sin150°）.C（3cos240°,3sin240°）,即B（-込,1）,C（-3222图1（入，入WR），12•a=（2,0）,b=（-总,1）,c=（-3，-31）.2图1（入，入WR），12则得（-号，-卑）=r2,o）则得（-号，-卑）=r2,o）+r-亘,入）.22九2九—乜、311九22^2~~2"解得入=-3,入2=—3石.••・c=-3a-3j3b.3J312例7.［例4］向量b=（—3,1），c=（2,1），若向量a与c共线，求丨b+a丨的最小值.解：设a=hc=（2入，入），贝则b+a=（—3+2入，1+入）,Ib+a丨=十（2九—3）2+（九+1）2=.512—101+10=V'5（X—1）2+5上、；5Ib+aI的最小值为宓，此时a=c.例8.［例3］在厶OAB中，OA=a，OB=b，设点M分AB所成的比为2:1，点N分0A所成的比为3:1，而OM和BN交于点P，试用a和b表示OP.2解：oM=OA+AM=OA+3AB3212=0A+-（0B—0A）=-OA+-OB1,2b3a+3bt2t・・・0P与OM共线，设0P=3a+可b又・.・NP与NB共线，设NP=sNB，・・・OP=ON+NP=ON+sNB=ON+s(OB—ON)3=(1—3=(1—s)ON+sOB=4(1—s)OA+sOB3(l—s)a+sb'3(1_)'3(1_)-t由①②知p(s)_3‘2ts=—I39c3,3.・・・=历，吩历a+5b例9・已知三角形ABC中,A(4,l),B(2,-1)C(0,5)，点D在AB上，AD=2DB，点E在AC边上,且DE恰将三角形ABC的面积平分，求点E的坐标xy丰0，例10・过AABC的重心作作一直线分别交AB、AC于点D、E•若AD=xAB，AE=yAC，则1xy丰0，xy

例11・设O点在AABC内部，且有OA+2OB+3OC=0，则AABC的面积与AAOC的面积的比为多少?【巩固练习】一、选择题1.已知四个点A(2,3)、B(-2,6)、C(6,5)、D(10,3)，则四边形ABCD的形状是()A.梯形B.邻边不相等的平行四边形C.菱形D.正方形2•设M是AABC的重心，则AM=()AACAAC-AB•2BaB+aCCAC-ABDAB+AC2333•已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上，(不包括端点A、C)，则AP等于A.九(aB+AD)，九e(0,1)B.九(AB+BC)，九u(0,辽)TOC\o"1-5"\h\zC.九(aB-AD)，九e(0,1)D.九(aB-BC)，九e(0,2)4.AD、BE分别为AABC的边BC、AC上的中线，且AD二S，BE=b，那么BC为(A.2g+4bB.2b-2bC.2b-4bD.-2g+4b333333335•已知g=(1,2)，b=(x,1)，当b+2b与2b-b共线时，x的值为()A.1B.2C.1D.1326•已知A(1,-3)、B©,1)，且A、B、C三点共线，则C点坐标可以是()A.(-9,1)B・(9,-1)C・(9,1)D・(-9,-1)点Q关于7•已知O为原点，A、B是两定点，OA二b，OB二b，且点P关于点A的对称点为Q，点B的对称点为R，则PR等于(点Q关于A.b-bB2(b-b)C.2(F-b)D・b-%OA，BC的中点分别为D、E，则向量DE等于(OA，BC的中点分别为D、E，则向量DE等于()a.i(a+b+a)B.1(C+C-a)c.1(a+a-C)2229.如图1,在梯形ABCD中，AB〃DC,且|AB|=入|DC|,D.2(a+若AB=a,AD=b，则AC等于A.入a+bB.a+入bC.丄a+b九10.已知a=(-1,3),b=(x,-1),且a〃b,D.a+1b九则x等于A.3B.13C.-3D.-138•平面上有一个AABC和一点O，设OA=b，OB=b，OC=C二、填空题1•当m1•当m=时，向量a=(2,m-1)与b=(m-2,6)共线且方向相同；当时，a与b共线且方向相反.2.在AABC中,D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点，已知D点坐标为(1,2)