均值不等式求最值(二)课件

已知两正数□,○，若四个式子中有一个为常数，且□与○能够相等，则其他三个式子有最值注1：此法非通法多元有优势小作抓“等”字大作“正常等”注2：书写格式三因一果注3：常见题型明考暗考配凑连用嵌积重点1□○1+□○□○+□2+○2，，，§158均值不等式求最值(二)已知两正数□,○，若四个式子中有一个为常数，且□与○能够相等不等式概述概念性质应用解不等式证不等式求最值不等式的性质(一)作用：变形化简不等式2.运算性质1.基本性质(二)性质：3.重要的不等式多多益善十四条文字背诵是关键不等式概述概念性质应用解不等式证不等式求最值不等式的性质1.基本性质①大小的定义②对称性③传递性⑴对一个不等式的运算(变形)④加(减):如果a>b，那么a+c>b+c⑤乘(除)：如果a>b,且c>0,那么ac>bc如果a>b,且c<0,那么ac<bc⑥方：2.运算性质正值可方奇无限⑵对多个不等式的运算(变形)⑨同号可倒：⑧乘：注1.若2个不等式需进行减(除)运算，一般是转换成加(乘)注2.若变量间具有约束关系时，等号没有可加(乘)性⑦加：同向可正值同向可1.基本性质①大小的定义②对称性③传递性⑴对一个不等式的运算3.重要的(经典)不等式⑩11均值不等式：当且仅当a=b=c时，“=”成立当且仅当○=□时等号成立□2+○2≥±2□○当且仅当□=○时等号成立若□,○∈R+,则21□○1+□○2□○+≤□2+○23.重要的(经典)不等式⑩11均值不等式：当且仅当a=b=c13柯西不等式i：一般式ii：向量式12三角形(绝对值)不等式|□|-|○|≤|□±○|≤|□|+|○|13柯西不等式i：一般式ii：向量式12三角形(绝对值)14排序不等式反序和≤乱序和≤顺序和14排序不等式反序和≤乱序和≤顺序和解不等式概述1.题型：二元不等式一元不等式抽象不等式含参不等式整式不等式分式不等式不等式组绝对值不等式根式不等式连不等式指数不等式对数不等式三角不等式线性规划四成立……解不等式概述1.题型：二元不等式一元不等式抽象不等式含参不等解不等式概述1.题型：3.一般的，不等式解集的端点值是方程的根2.解法：形法数法函数图像线性规划“纯”不等式法函数(单调性)法解不等式概述1.题型：3.一般的，不等式解集的端点值是方程的标根法解一元n次不等式一正二方三穿线奇穿偶切右上方上大下小中为等函数简图是本质解分式不等式1.“左右”去分母法2.“上下”去分母法1.图象(标根)法：2.公式(口诀)法：口诀1：大于号要两头小于号要中间解一元二次不等式口诀2：一正二方三大头无根大全小为空标根法解一元n次不等式一正二方三穿线奇穿偶切右上方解分式不数形结合“或”字型书写格式整体观解不等式组通法:“截”成不等式组解连不等式特法:左右是常数时，可变形成高次不等式解绝对值不等式1.单绝对值号+右端常数型：2.单绝对值号+右端变量型：3.双绝对值号型：1.数法：解根式不等式2.形法：①零点分段法②函数图象法③绝对值几何意义法大于号要中间,小于号要两头数法形法要灵活陷阱有三：①正值可方②Domain③“=”的取舍数形结合“或”字型书写格式整体观解不等式组通法:“截”形法数法巧构函数是关键上大下小中方程同底法取对数法其他法单调性法注：对数不等式要注意Domain解指对不等式形法数法巧构函数是关键同底法单调性法注：对数不等式要注意Do解三角不等式（一）基础型——背诵法1.若02.若03.若0,则4.若5.若,则,则,则,则数形结合周期性上大下小中方程（二）其他型——图象法解三角不等式（一）基础型——背诵法1.若02.若03.若0,（一）基础型——背诵法1.若02.若03.若0,则4.若5.若,则,则,则,则若x为锐角，则（一）基础型——背诵法1.若02.若03.若0,则4.若5.线性规划简述点坐标线方程面不等式形数1.含义：简言之，图象法解二元不等式2.步骤：一面二线三找点来先去后为最值解析几何的基础线性规划简述点坐标线方程面不等式形数1.含义：简言之，图象法1.直线对坐标平面的划分和2.类似直线,圆锥曲线也将坐标平面划分成两个区域,将坐标平面划分成两个半平面直线其坐标必适合同一个不等式,位于同一半平面内的点（同侧同号，异侧异号）二元不等式与平面域注：直线划分坐标面先画直线定边线有等为实反为虚特点验证确定面左小右大A要正上大下小B要正(二元一次不等式表示平面域)1.直线对坐标平面的划分和2.类似直线,圆锥曲线也将坐标平面1.直线型：常见的几类目标函数2.曲线型：3.其他型：①直线平移型：②直线旋转型：③直线旋移型：④点线距离型：(a,b为常数,截距……)(x0,y0为常数,斜率……)(λ,μ为参量,截距……)(a,b,c为常数,距离…)⑤圆伸缩型：(x0,y0为常数,半径…)⑥向量型：……1.直线型：常见的几类目标函数2.曲线型：3.其他型：①已知两正数□,○，若四个式子中有一个为常数，且□与○能够相等，则其他三个式子有最值注1：此法非通法多元有优势小作抓“等”字大作“正常等”注2：书写格式三因一果注3：常见题型明考暗考配凑连用嵌积重点1□○1+□○□○+□2+○2，，，§158均值不等式求最值(二)已知两正数□,○，若四个式子中有一个为常数，且□与○能够相等已知两正数□,○，若四个式子中有一个为常数，且□与○能够相等，则其他三个式子有最值注1：此法非通法多元有优势小作抓“等”字大作“正常等”注2：书写格式三因一果注3：常见题型明考暗考配凑连用嵌积重点1□○1+□○□○+□2+○2，，，§158均值不等式求最值(二)已知两正数□,○，若四个式子中有一个为常数，且□与○能够相等练习1.小作抓“等”字：(3)(2013年湖南)已知【12】R+______(2)(2010年重庆)已知x＞0,y＞0,x+2y+2xy=8则x+2y的最小值是A．3B．4C．D．【B】(1)(2009年重庆)已知a＞0,b＞0,则的最小值是A．2 B． C．4 D．5【C】(4)已知a＞0,b＞0,且ab=a+b+3,则ab的最小值是_____【9】练习1.小作抓“等”字：(3)(2013年湖南)已知【12】练习2.此法非通法多元有优势(4)已知a＞0,b＞0,且ab=a+b+3,则ab的最小值是_____法1.消元法：故法1.1.⊿法：法1.2.导数法：…令则方程有正根……由ab=a+b+3得练习2.此法非通法多元有优势(4)已知a＞0,b＞0,且练习2.此法非通法多元有优势(4)已知a＞0,b＞0,且ab=a+b+3,则ab的最小值是_____由ab=a+b+3得故法1.3.最值定理法：当且仅当,即a=3时等号成立所以ab的最小值是9i:当a＞1时,ii:当0＜

a≤1时,……舍练习2.此法非通法多元有优势(4)已知a＞0,b＞0,且练习2.此法非通法多元有优势(4)已知a＞0,b＞0,且ab=a+b+3,则ab的最小值是_____故函数与在第一象限相切时为最值…法2.根的分布：故原命题等价于x的方程：x2-(t-3)x+t=0有两正根…法3.设k=ab，则设t=ab，则t-3=a+b由ab=a+b+3得图象法：练习2.此法非通法多元有优势(4)已知a＞0,b＞0,且练习2.此法非通法多元有优势(4)已知a＞0,b＞0,且ab=a+b+3,则ab的最小值是_____,设法4.最值定理法：因故,又因ab=a+b+3即，解得t≥3或t≤1（舍）……练习2.此法非通法多元有优势(4)已知a＞0,b＞0,且练习3.大作“正常等”缺少要配凑析:

x+(1-2x)=1-x

不是常数解:

∵0<x<,∴1-2x>012当且仅当时等号成立2x=(1-2x),即

x=

14(5)若

0<x<,求函数

y=x(1-2x)

的最大值x+(1-x)=12x+(1-2x)=1而故所求最大值为练习3.大作“正常等”缺少要配凑析:x+(1-2(6)求函数的最大值解：因即所以f(x)≤又因x>0，当且仅当即时等号成立(6)求函数的A．B．4C．D．5(7)(2011年重庆)已知a＞0,b＞0,a+b=2,则y=的最小值是法1.小作抓“等”字……?!法3.嵌积法:当且仅当且时等号成立练习4.嵌积法虽可柯西更简捷法2.消元法:……A．B．4C．A．B．4C．D．5【C】(7)(2011年重庆)已知a＞0,b＞0,a+b=2,则y=的最小值是法3.嵌积法:当且仅当且a+b=2即时等号成立练习4.嵌积法虽可柯西更简捷……A．B．4C．A．B．4C．D．5(7)(2011年重庆)已知a＞0,b＞0,a+b=2,则y=的最小值是法4.柯西不等式法:当且仅当……练习4.嵌积法虽可柯西更简捷A．B．4C．，求使不等式恒成立的实数m的取值范围

(8)已知x＞0,y＞0,且嵌积法：因x＞0,y＞0,且故当且仅当且即时等号成立……，求使不等式恒成立的实数m的取值范围(8)已知x＞0,y＞，求使不等式恒成立的实数m的取值范围(8)已知x＞0,y＞0,且柯西不等式法：因x＞0,y＞0,且故当且仅当且即时等号成立……，求使不等式恒成立的实数m的取值范围(8)已知x＞0,y＞0作业：预习：不等式的证明1.《固学案》P：56Ex22.《固学案》P：56Ex53.《固学案》P：56Ex9作业：预习：不等式的证明1.《固学案》P：56E已知两正数□,○，若四个式子中有一个为常数，且□与○能够相等，则其他三个式子有最值注1：此法非通法多元有优势小作抓“等”字大作“正常等”注2：书写格式三因一果注3：常见题型明考暗考配凑连用嵌积重点1□○1+□○□○+□2+○2，，，§158均值不等式求最值(二)已知两正数□,○，若四个式子中有一个为常数，且□与○能够相等不等式概述概念性质应用解不等式证不等式求最值不等式的性质(一)作用：变形化简不等式2.运算性质1.基本性质(二)性质：3.重要的不等式多多益善十四条文字背诵是关键不等式概述概念性质应用解不等式证不等式求最值不等式的性质1.基本性质①大小的定义②对称性③传递性⑴对一个不等式的运算(变形)④加(减):如果a>b，那么a+c>b+c⑤乘(除)：如果a>b,且c>0,那么ac>bc如果a>b,且c<0,那么ac<bc⑥方：2.运算性质正值可方奇无限⑵对多个不等式的运算(变形)⑨同号可倒：⑧乘：注1.若2个不等式需进行减(除)运算，一般是转换成加(乘)注2.若变量间具有约束关系时，等号没有可加(乘)性⑦加：同向可正值同向可1.基本性质①大小的定义②对称性③传递性⑴对一个不等式的运算3.重要的(经典)不等式⑩11均值不等式：当且仅当a=b=c时，“=”成立当且仅当○=□时等号成立□2+○2≥±2□○当且仅当□=○时等号成立若□,○∈R+,则21□○1+□○2□○+≤□2+○23.重要的(经典)不等式⑩11均值不等式：当且仅当a=b=c13柯西不等式i：一般式ii：向量式12三角形(绝对值)不等式|□|-|○|≤|□±○|≤|□|+|○|13柯西不等式i：一般式ii：向量式12三角形(绝对值)14排序不等式反序和≤乱序和≤顺序和14排序不等式反序和≤乱序和≤顺序和解不等式概述1.题型：二元不等式一元不等式抽象不等式含参不等式整式不等式分式不等式不等式组绝对值不等式根式不等式连不等式指数不等式对数不等式三角不等式线性规划四成立……解不等式概述1.题型：二元不等式一元不等式抽象不等式含参不等解不等式概述1.题型：3.一般的，不等式解集的端点值是方程的根2.解法：形法数法函数图像线性规划“纯”不等式法函数(单调性)法解不等式概述1.题型：3.一般的，不等式解集的端点值是方程的标根法解一元n次不等式一正二方三穿线奇穿偶切右上方上大下小中为等函数简图是本质解分式不等式1.“左右”去分母法2.“上下”去分母法1.图象(标根)法：2.公式(口诀)法：口诀1：大于号要两头小于号要中间解一元二次不等式口诀2：一正二方三大头无根大全小为空标根法解一元n次不等式一正二方三穿线奇穿偶切右上方解分式不数形结合“或”字型书写格式整体观解不等式组通法:“截”成不等式组解连不等式特法:左右是常数时，可变形成高次不等式解绝对值不等式1.单绝对值号+右端常数型：2.单绝对值号+右端变量型：3.双绝对值号型：1.数法：解根式不等式2.形法：①零点分段法②函数图象法③绝对值几何意义法大于号要中间,小于号要两头数法形法要灵活陷阱有三：①正值可方②Domain③“=”的取舍数形结合“或”字型书写格式整体观解不等式组通法:“截”形法数法巧构函数是关键上大下小中方程同底法取对数法其他法单调性法注：对数不等式要注意Domain解指对不等式形法数法巧构函数是关键同底法单调性法注：对数不等式要注意Do解三角不等式（一）基础型——背诵法1.若02.若03.若0,则4.若5.若,则,则,则,则数形结合周期性上大下小中方程（二）其他型——图象法解三角不等式（一）基础型——背诵法1.若02.若03.若0,（一）基础型——背诵法1.若02.若03.若0,则4.若5.若,则,则,则,则若x为锐角，则（一）基础型——背诵法1.若02.若03.若0,则4.若5.线性规划简述点坐标线方程面不等式形数1.含义：简言之，图象法解二元不等式2.步骤：一面二线三找点来先去后为最值解析几何的基础线性规划简述点坐标线方程面不等式形数1.含义：简言之，图象法1.直线对坐标平面的划分和2.类似直线,圆锥曲线也将坐标平面划分成两个区域,将坐标平面划分成两个半平面直线其坐标必适合同一个不等式,位于同一半平面内的点（同侧同号，异侧异号）二元不等式与平面域注：直线划分坐标面先画直线定边线有等为实反为虚特点验证确定面左小右大A要正上大下小B要正(二元一次不等式表示平面域)1.直线对坐标平面的划分和2.类似直线,圆锥曲线也将坐标平面1.直线型：常见的几类目标函数2.曲线型：3.其他型：①直线平移型：②直线旋转型：③直线旋移型：④点线距离型：(a,b为常数,截距……)(x0,y0为常数,斜率……)(λ,μ为参量,截距……)(a,b,c为常数,距离…)⑤圆伸缩型：(x0,y0为常数,半径…)⑥向量型：……1.直线型：常见的几类目标函数2.曲线型：3.其他型：①已知两正数□,○，若四个式子中有一个为常数，且□与○能够相等，则其他三个式子有最值注1：此法非通法多元有优势小作抓“等”字大作“正常等”注2：书写格式三因一果注3：常见题型明考暗考配凑连用嵌积重点1□○1+□○□○+□2+○2，，，§158均值不等式求最值(二)已知两正数□,○，若四个式子中有一个为常数，且□与○能够相等已知两正数□,○，若四个式子中有一个为常数，且□与○能够相等，则其他三个式子有最值注1：此法非通法多元有优势小作抓“等”字大作“正常等”注2：书写格式三因一果注3：常见题型明考暗考配凑连用嵌积重点1□○1+□○□○+□2+○2，，，§158均值不等式求最值(二)已知两正数□,○，若四个式子中有一个为常数，且□与○能够相等练习1.小作抓“等”字：(3)(2013年湖南)已知【12】R+______(2)(2010年重庆)已知x＞0,y＞0,x+2y+2xy=8则x+2y的最小值是A．3B．4C．D．【B】(1)(2009年重庆)已知a＞0,b＞0,则的最小值是A．2 B． C．4 D．5【C】(4)已知a＞0,b＞0,且ab=a+b+3,则ab的最小值是_____【9】练习1.小作抓“等”字：(3)(2013年湖南)已知【12】练习2.此法非通法多元有优势(4)已知a＞0,b＞0,且ab=a+b+3,则ab的最小值是_____法1.消元法：故法1.1.⊿法：法1.2.导数法：…令则方程有正根……由ab=a+b+3得练习2.此法非通法多元有优势(4)已知a＞0,b＞0,且练习2.此法非通法多元有优势(4)已知a＞0,b＞0,且ab=a+b+3,则ab的最小值是_____由ab=a+b+3得故法1.3.最值定理法：当且仅当,即a=3时等号成立所以ab的最小值是9i:当a＞1时,ii:当0＜

a≤1时,……舍练习2.此法非通法多元有优势(4)已知a＞0,b＞0,且练习2.此法非通法多元有优势(4)已知a＞0,b＞0,且ab=a+b+3,则ab的最小值是_____故函数与在第一象限相切时为最值…法2.根的分布：故原命题等价于x的方程：x2-(t-3)x+t=0有两正根…法3.设k=ab，则设t=ab，则t-3=a+b由ab=a+b+3得图象法：练习2.此法非通法多元有优势(4)已知a＞0,b＞0,且练习2.此法非通法多元有优势(4)已知a＞0,b＞0,且ab=a+b+3,则ab的最小值是_____,设法4.最值定理法：因故,又因ab=a+b+3即，解得t≥3或t≤1（舍）……练习2.此法非通法多元有优势(4)已知a＞0,b＞0,且练习3.大作“正常等”缺少要配凑析:

x+(1-2x)=1-x

不是常数解:

∵0<x<,∴1-2x>012当且仅当时等号成立2x=(1-2x),即

x=

14(5)若

0<x<,求函数

y=x(1-2x)

的最大值x+(1-x)=12x+(1-2x)=1而故所求最大值为练习3.大作“正常等”缺少要配凑析:x+(