《泛函分析1》课程教学大纲

《泛函分析1》教学大纲一、课程基本信息课程名称泛函分析FunctionalAnalysis课程编码SCC212511030开课院部理学院课程团队实变函数与泛函分析教学团队学分3.0课内学时48讲授48实验0上机0实践0课外学时48适用专业本研一体化班（油气地学类）授课语言中文先修课程数学分析（2-1）、数学分析（2-2）、线性代数与解析几何课程简介（必修）泛函分析是现代数学的一个较新的重要分支，是高等学校数学专业与工科专业的一门重要学科基础课。泛函分析的概念和方法已经渗透到数学的各个分支，并日益广泛地应用于图像处理，动力系统，工程技术等领域。本课程主要介绍线性泛函分析，使学生理解度量空间、赋范空间和巴拿赫空间的概念。掌握巴拿赫空间的基本性质、线性算子和线性泛函的基本知识；掌握逆算子定理、闭图象定理、一致有界性定理和哈恩-巴拿赫定理；理解共轭空间、自反空间等概念。掌握希尔伯特空间的基本性质、希尔伯特空间正交化方法、投影定理及其应用。通过该课程的学习，使学生掌握泛函分析的基本理论和方法，学会综合运用代数、分析和拓扑理论处理问题的方法，为学习现代数学理论及开展科研工作打下必要的基础。FunctionalAnalysisisanewlyimportantbranchofmodernmathematics,whichisanimportantbasicscourseformathematicsmajorsandengineeringmajorsinuniversity.Theconceptandmethodsoffunctionalanalysishavepermeatedtoeverybranchofmathematics,andwidelyappliedinthefieldofimageprocessing,dynamicsystemandengineeringtechnology.Linearfunctionalanalysisisintroducedmainlyinthiscourse,totrainstudentstounderstandtheconceptsofmetricspaces,normedspacesandBanachspace,toobtainthebasicpropertiesofBanachspacesandbasicknowledgeoflinearoperatorsandlinearfunctionals,tomastertheinverseoperatortheorem,theclosedgraphtheorem,theuniformboundednesstheoremandHahn-Banachtheorem,tounderstandtheconceptsofconjugatespacesandreflexivespaces,tomasterthebasicpropertiesofHilbertspaces,orthogonalizingmethodforHilbertspace,projectiontheoremanditsapplications.Throughthiscourse,studentswillmasterbasictheoryandmethodsoffunctionalanalysis,andmasterthemethodofhandlingproblembycomprehensiveuseofthetheoryofalgebra,analysisandtopology,tolaythenecessaryfoundationsforthefollow-upmodernmathematicscoursesandscientificresearch.负责人大纲执笔人审核人二、课程目标序号代号课程目标OBE毕业要求指标点任务自选1M1目标1：了解并认识泛函分析与数学分析、线性代数、解析几何、实变函数和数值计算方法等课程的关系是2M2目标2：掌握泛函分析的基本理论和方法是3M3目标3：了解泛函分析在数学与工程技术等相关科学研究中的应用是4M4目标4：遵守教学秩序否三、课程内容序号章节号标题课程内容/重难点支撑课程目标课内学时教学方式课外学时课外环节1第1章第1章度量空间和赋范线性空间本章重点难点：度量空间的概念，完备性的判别和压缩映射原理，赋范线性空间和巴拿赫空间的定义和性质。/////21.11.1度量空间的进一步例子度量空间的定义及例子。M21讲授1课后作业31.21.2度量空间中的极限，稠密集，可分空间度量空间中的收敛及其性质，几类特殊的点集，稠密性与可分性。M12讲授2课后作业41.31.3连续映射连续映射定义及其性质。M21讲授1课后作业51.41.4柯西点列和完备度量空间柯西点列的定义，完备度量空间的定义及例子。M22讲授2课后作业61.51.5度量空间的完备化等距，度量空间的完备化。M21讲授1课后作业71.61.6压缩映射原理及其应用压缩映射，压缩映射原理及应用。M32讲授、讨论2课后作业81.71.7线性空间线性空间，线性相关，基底。M11讲授1课后作业91.81.8赋范线性空间和巴拿赫空间赋范线性空间，巴拿赫空间，赫尔德不等式，闵科夫斯基不等式。M24讲授4课后作业10第2章第2章有界线性算子和连续线性泛函本章重点难点：有界线性算子及连续线性泛函的定义和性质，算子空间，共轭空间。////112.12.1有界线性算子和连续线性泛函线性算子和线性泛函的定义，有界线性算子和连续线性泛函的定义及性质。M22讲授2课后作业122.22.2有界线性算子空间和共轭空间有界线性算子空间，共轭空间，同构。M22讲授2课后作业132.32.3有限秩算子有限秩算子，商空间。M22讲授2课后作业14第3章第3章内积空间和希尔伯特空间本章重点难点：希尔伯特空间的定义及性质，投影定理，自伴算子及其性质。////153.13.1内积空间的基本概念内积空间，极化恒等式，希尔伯特空间。M22讲授2课后作业163.23.2投影定理极小化向量定理，投影定理。M32讲授、讨论2课后作业173.33.3希尔伯特空间中的规范正交系正交与正交分解，规范正交系，施密特正交化定理。M23讲授3课后作业183.43.4希尔伯特空间上的连续线性泛函里斯定理，共轭算子。M21讲授1课后作业193.53.5自伴算子，酉算子和正规算子自伴算子、酉算子和正规算子的定义及性质。M22讲授2课后作业20第4章第4章巴拿赫空间中的基本定理本章重点难点：共轭空间，泛函延拓定理，一致有界性定理，逆算子定理以及闭图像定理。////214.14.1泛函延拓定理哈恩-巴拿赫泛函延拓定理及其推论。M22讲授2课后作业224.24.2C[a,b]的共轭空间里斯表示定理。M11讲授、讨论1课后作业234.34.3共轭算子共轭算子定义及性质。M11讲授1课后作业244.44.4纲定理和一致有界性定理无处稠密集，纲定理，一致有界性定理。M22讲授2课后作业254.54.5强收敛、弱收敛和一致收敛强收敛，弱收敛，自反空间，一致收敛定义及其性质。M21讲授、讨论1课后作业264.64.6逆算子定理开映射，逆算子定理及其推论。M22讲授2课后作业274.74.7闭图像定理闭算子，闭图像定理。M21讲授1课后作业28第5章第5章线性算子的谱本章重点难点：有界线性算子谱的性质，紧集，全连续算子。////295.15.1谱的概念正则算子，正则集，谱的定义和分类。M21讲授1课后作业305.25.2有界线性算子谱的基本性质有界线性算子谱的基本性质。M21讲授1课后作业315.35.3紧集和全连续算子紧集的性质，相对紧集，全连续算子定义及其性质。M23讲授、讨论3课后作业325.45.4全连续算子的谱论迹的定义及性质，里斯-绍德尔定理及其推论，希尔伯特定理。M33讲授、讨论3课后作业四、考核方式序号考核环节操作细节总评占比1平时作业1.每周布置6~10道题目，平均每次课3道题目以上。2.成绩采用百分制，根据作业完成准确性、是否按时上交、是否独立完成评分。3.考核学生对泛函分析基本知识的掌握能力，学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，题型主要有证明题和计算题。25%2结课报告1.本课程要求利用泛函分析的基础概念和定理写出课程总结报告。2.根据相关知识用于所学领域工程问题的分析和应用。能够理论联系实际，应用或解决实际问题。15%3考勤随机点名、刷卡点名等5%4课堂表现随机检查学生上课精神状态、回答问题情况5%5期末考试1.考试，成绩采用百分制，卷面成绩总分100分。2.主要考核学生对泛函分析基本知识的掌握能力，学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，题型主要有填空题、选择题、证明题、计算题等。50%五、评分细则序号课程目标考核环节大致占比评分等级1M1平时作业25%A-独立思考、按时完成，解题思路清晰、步骤完整、格式合理、答案准确。B-独立思考、按时完成，解题思路比较清晰、步骤比较完整、格式合理、答案准确。C-独立思考、按时完成，解题思路比较清晰、步骤比较完整、格式比较合理、答案准确。D-作业抄袭，未能按时完成，解题思路混乱、缺少步骤、格式不合理、答案不准确。2M1结课报告15%A-按时提交作业，对泛函分析知识理解无误，总结报告完整规范。B-按时提交作业，对上述知识点理解存在少量错误，总结报告比较完整规范。C-按时提交作业，对上述知识点理解存在一定量错误，总结报告不够完整规范。D-不按时提交作业，或对上述知识点理解存在大量错误，总结报告不完整3M1课堂表现10%A-精神状态饱满，回答问题准确。B-精神状态良好，问题回答较好。C-精神状态一般，问题回答一般。D-精神状态较差，回答问题有误。4M1期末考试50%见试卷评分标准5M2平时作业20%A-独立思考、按时完成，解题思路清晰、步骤完整、格式合理、答案准确。B-独立思考、按时完成，解题思路比较清晰、步骤比较完整、格式合理、答案准确。C-独立思考、按时完成，解题思路比较清晰、步骤比较完整、格式比较合理、答案准确。D-作业抄袭，未能按时完成，解题思路混乱、缺少步骤、格式不合理、答案不准确。6M2结课报告20%A-按时提交作业，对泛函分析知识理解无误，总结报告完整规范。B-按时提交作业，对上述知识点理解存在少量错误，总结报告比较完整规范。C-按时提交作业，对上述知识点理解存在一定量错误，总结报告不够完整规范。D-不按时提交作业，或对上述知识点理解存在大量错误，总结报告不完整7M2课堂表现10%A-精神状态饱满，回答问题准确。B-精神状态良好，问题回答较好。C-精神状态一般，问题回答一般。D-精神状态较差，回答问题有误。8M2期末考试50%见试卷评分标准9M3结课报告100%A-按时提交作业，对泛函分析知识理解无误，总结报告完整规范。B-按时提交作业，对上述知识点理解存在少量错误，总结报告比较完整规范。C-按时提交作业，对上述知识点理解存在一定量错误，总结报告不够完整规范。D-不按时提交作业，或对上述知识点理解存在大量错误，总结报告不完整10M4考勤100%A-全勤。B-缺勤1次。C-缺勤2次或3次。D-缺勤3次以上。评分等级说明：[A,B,C,D]=[90-100,75-89,60-74,0-59]六、教材与参考资料序号教学参考资料明细1图书|《实变函数与泛函分析基础》(第四版),程其襄、张奠宙、胡善文、薛以锋,高等教育出版社,2019,ISBN:978-7-04-050810-9.（*主教材）2图书|实变函数与泛函分析概要》(第四版)第二册,王声望、郑维行,高等教育出版社,2010.3图书|《泛函分析》(第二版),刘炳初,科学出版社,2013.4图书|LinearandnonlinearFunctionalAnalysiswithApplications,PhilippeG.Ciarlet,