量子力学课件

1§5.7跃迁几率§5.8光的发射和吸收§5.9选择定则§5.6与时间有关的微扰理论2§5.6与时间有关的微扰理论(一)引言（二）含时微扰理论3(一)引言

上几节中，用定态微扰理论讨论了分立能级的能量和波函数的修正，所讨论的体系Hamilton算符不显含时间，因而求解的是定态Schrodinger方程。本节讨论的体系其Hamilton算符含有与时间有关的微扰，即：

因为Hamilton量与时间有关，所以体系波函数须由含时Schrodinger方程解出。但是精确求解这种问题通常是很困难的，而定态微扰法在此又不适用，这就需要发展与时间有关的微扰理论。

含时微扰理论可以通过H0的定态波函数近似地求出微扰存在情况下的波函数，从而可以计算无微扰体系在加入含时微扰后，体系由一个量子态到另一个量子态的跃迁几率。4假定H0的本征函数n满足：H0的定态波函数可以写为：n=nexp[-iεnt/]满足左边含时S-方程：定态波函数n构成正交完备系，整个体系的波函数可按n展开：代入因H’(t)不含对时间t的偏导数算符,故可与an(t)对易。相消（二）含时微扰理论5以m*左乘上式后对全空间积分该式是通过展开式改写而成的Schrodinger方程的另一种形式。仍是严格的。6求解方法同定态微扰中使用的方法：（1）引进一个参量，用H’代替H’（在最后结果中再令

=1）;（2）将an(t)展开成下列幂级数；（3）代入上式并按幂次分类；(4)解这组方程，我们可得到关于an

的各级近似解，近而得到波函数的近似解。实际上，大多数情况下，只求一级近似就足够了。（最后令

=1，即用H’mn代替

H’mn，用am(1)代替am(1)。）零级近似波函数am(0)不随时间变化，它由未微扰时体系所处的初始状态所决定。7假定t0时，体系处于H0的第k个本征态k。而且由于exp[-int/]|t=0=1，于是有：比较等式两边得比较等号两边同幂次项得：因an(0)不随时间变化，所以an(0)(t)=an(0)(0)=nk。t0后加入微扰，则第一级近似：an(0)(t)=nk8§5.7跃迁几率（一）跃迁几率（二）一阶常微扰（三）简谐微扰（四）能量和时间测不准关系9体系的某一状态t时刻发现体系处于m

态的几率等于|am(t)|2am(0)(t)=mk末态不等于初态时mk=0，则所以体系在微扰作用下由初态k跃迁到末态m的几率在一级近似下为：（一）跃迁几率10（1）含时Hamilton量设H’

在0tt1这段时间之内不为零，但与时间无关，即：（2）一级微扰近似am(1)H’mk与t无关(0tt1)（二）一阶常微扰11（3）跃迁几率和跃迁速率极限公式：则当t→∞时上式右第二个分式有如下极限值：于是：跃迁速率：12（4）讨论1.上式表明，对于常微扰，在作用时间相当长的情况下，跃迁速率将与时间无关，且仅在能量εm≈εk，即在初态能量的小范围内才有较显著的跃迁几率。在常微扰下，体系将跃迁到与初态能量相同的末态，也就是说末态是与初态不同的状态，但能量是相同的。2.式中的δ(εm-εk)反映了跃迁过程的能量守恒。3.黄金定则设体系在εm附近dεm范围内的能态数目是ρ(εm)dεm，则跃迁到εm附近一系列可能末态的跃迁速率为：13（1）Hamilton量t=0时加入一个简谐振动的微小扰动：为便于讨论，将上式改写成如下形式F是与t无关只与r有关的算符（2）求am(1)(t)H’(t)在H0的第k个和第m个本征态φk和φm之间的微扰矩阵元是：（三）简谐微扰14（2）几点分析(I)当ω=ωmk时，微扰频率ω与Bohr频率相等时，上式第二项分子分母皆为零。求其极限得：15第二项起主要作用(II)当ω=ωmk时，同理有：第一项起主要作用(III)当ω≠±ωmk时，两项都不随时间增大

总之，仅当ω=±ωmk=±(εm–εk)/

或εm=εk±ω时，出现明显跃迁。这就是说，仅当外界微扰含有频率ωmk时，体系才能从φk态跃迁到φm态，这时体系吸收或发射的能量是ωmk。这说明我们讨论的跃迁是一种共振现象。因此我们只需讨论ω≈±ωmk的情况即可。16（3）跃迁几率当ω=ωmk时，略去第一项，则此式与常微扰情况的表达式类似，只需作代换：H'mk→Fmk,ωmk→ωmk-ω，常微扰的结果就可直接引用，于是得简谐微扰情况下的跃迁几率为：同理，对于ω=-ωmk有：二式合记之：17（4）跃迁速率或：（5）讨论1.δ(εm-εk±ω)描写了能量守恒：εm-εk±ω=02.εk>εm时，跃迁速率可写为：也就是说，仅当εm=εk-ω时跃迁几率才不为零，此时发射能量为ω的光子。3.当εk<εm时，184.将式中角标m,k对调并注意到F的厄密性，即得体系由m态到k态的跃迁几率：即体系由Φm→Φk的跃迁几率等于由Φk→Φm的跃迁几率。19现在讨论初态Φk是分立的，末态Φm是连续的情况(εm>εk)。在t≥t1时刻，Φk→Φm的跃迁几率则为：（1）由图可见，跃迁几率的贡献主要来自主峰范围内，即在-2π/t1<ωmk

–ω<2π/t1区间跃迁几率明显不为零，而此区间外几率很小。2/t4/t-2/t-4/tmk-|Fmk|2t/2Wkm0（四）能量和时间测不准关系20（2）能量守恒不严格成立，即在跃迁过程中，εm=εk+ω或ωmk=ω不严格成立，它们只是在上图原点处严格成立。因为在区间[-2π/t1,2π/t1]，跃迁几率都不为零，所以既可能有ωmk=ω，也可能有ω-2π/t1<ωmk<ω+2π/t1。上面不等式两边相减得：Δωmk≈(1/t1)也就是说ωmk有一个不确定范围。由于k能级是分立的，εk是确定的，注意到ωmk=1/(εm-εk)，所以ωmk的不确定来自于末态能量εm的不确定，即：21若微扰过程看成是测量末态能量εm的过程，t1是测量的时间间隔，那末上式表明，能量的不确定范围Δεm与时间间隔之积有的数量级。上式有着普遍意义，一般情况下，当测量时间为Δt，所测得的能量不确定范围为ΔE时，则二者有如下关系：此式称为能量和时间的测不准关系。由此式可知，测量能量越准确（ΔE小），则用于测量的时间Δt就越长。22含时微扰理论

在量子力学里，含时微扰理论研究一个量子系统的含时微扰所产生的效应。这理论由狄拉克首先发展成功。由于系统的含微扰哈密顿量含时间，伴随的能级与本征态也含时间。所以，不同于不含时微扰理论，含时微扰理论解析问题的目标为:（1）给予初始量子态，求算某个可观测量的含时间期望值。（2）一个量子系统的含时间量子态，仍旧是这系统的不含时零微扰哈密顿量的本征态的线性组合。求算这系统的量子态处于某个本征态的概率幅。第一个结果的重要性是，它可以预测由实验测量得到的答案。例如，思考一个氢原子的电子，其所在位置的x-坐标的期望值，当乘以适当的系数后，给出这电子的含时间偏振。将一个恰当的微扰（例如，一个震荡的电位）作用于氢气，应用含时微扰理论，我们可以计算出交流电的电容率。第二个结果着眼于量子态处于每一个本征态的概率。这概率与时间有关。在激光物理学里，假若我们知道这概率，我们就可以计算一个气体，因为含时间电场的作用，处于某个量子态的概率密度函数。这概率也可以用来计算谱线的量子增宽(quantumbroadening)。23例2.

设Hamilton量的矩阵形式为：（1）设c<<1，应用微扰论求H本征值到二级近似；（2）求H的精确本征值；（3）在怎样条件下，上面二结果一致。非简并定态微扰理论习题24解：（1）c<<1，可取0级和微扰Hamilton量分别为：H0是对角矩阵，是HamiltonH0在自身表象中的形式。所以能量的0级近