测量误差与数据处理正规版资料

测量误差与数据处理第一页，共36页。2.测量(cèliáng)的误差误差:测量值(x)与真值(X)之差,用表示

又称绝对误差相对误差：绝对误差与真值的比，用表示，即测量的误差按产生的原因(yuányīn)和性质分为两类：系统误差，随机〔偶然(ǒurán)〕误差等精度测量—在同一条件下，对同一物理量的屡次测量称为等精度测量.假设测量条件发生变化那么为不等精度测量。我们所讨论的测量均为等精度测量.第二页，共36页。合成(héchéng)不确定度与相对不确定度最后的测量结果只能保存一位可疑数字(shùzì)，不确定度只保存一位有效数字(shùzì)。系统误差：公式与定律(dìnglǜ)不严格；第二十八页，共36页。将等间距测量的n(为偶数)个数据分表2-2常用(chánɡyònɡ)函数的不确定度传递公式假设未注明仪器误差限或仪器误差限不清楚，那么按如表示在[]范围内包含真如1：为和差关系到或时，取四位有效数字；例2-2（P14）用螺旋测微计测圆柱体的体积，其直径的算术平均值，的合成不确定度为第三十五页，共36页。当自变量等间距变化(biànhuà)时，常采用逐差法处理数据。偏差是在有限次测量的情况下，用算术平均值代替真值计算出现的误差。表2-2常用(chánɡyònɡ)函数的不确定度传递公式系统误差：公式与定律(dìnglǜ)不严格；系统误差：公式与定律(dìnglǜ)不严格；仪器本身的缺陷；实验者自身的不良习惯等原因而产生的误差。随机〔偶然〕误差(wùchā)：由许多不稳定的偶然因素产生的误差(wùchā)。在测量次数足够多的情况下，随机误差服从一定的统计规律(guīlǜ),测量结果总是在真值附近。二.误差的处理1.系统误差的处理可以通过修订公式或定律，改进仪器，纠正不良习惯等来消除或减小系统误差

例如，测量环境温度、气压的偶然变化，电流或电压的起伏波动等因素。

有测量就会有误差存在，要测量的准确，就需要减少或消除测量误差。第三页，共36页。1〕随机误差的统计(tǒngjì)规律理论与实践均说明一组等精度测量数据的随机误差服从一定的统计规律，最常见(chánɡjiàn)的统计规律是正态〔高斯〕分布。如下图：横坐标为，纵坐标为误差出现的概率密度。为测量列的标准误差。图中阴影部分的面积是测量列中的任意测量值落在区间中的概率，其值的大小为68.3%。2.随机误差的处理(chǔlǐ)第四页，共36页。上面的是测量次数为无限次时的标准误差公式。由于实际测量中，测量次数只能是有限次，而且被测量的真值也不可能准确知道，因此这一标准误差公式只具有理论意义。2〕随机误差的实际(shíjì)估算设在一组测量中，n次测量的测量值分别为，其真值的最佳估计值是它们的算术平均值，即从统计意义来说，算术(suànshù)平均值最接近真值。各次测量值xi与算术平均值之差称为该次测量的偏差（或残差），即第五页，共36页。尾数(wěishù)小于5那么舍，大于5那么入，等于5时那么加将尾数(wěishù)凑用单摆测量重力加速度，可应用式测出g，有效数字的运算法那么规定如下：量称为等精度测量.有效数字尾数的取舍(qǔshě)法那么弹簧受力伸长(shēnchánɡ)的测量数据已知，注意(zhùyì)：a.第二十五页，共36页。02mm,其；电压的起伏波动等因素。单次测量(cèliáng)的不确定度A类分量uA弹簧受力伸长(shēnchánɡ)的测量数据解：小球的直径算术平均值为时，那么积的有效数字多保存一位〔例2-6〕；偏差是在有限次测量的情况下，用算术平均值代替真值计算出现的误差。误差与偏差不同，标准误差多用于理论(lǐlùn)分析，而实际的误差估算那么使用偏差。由于可知，而（）不可知，因此只能用偏差代替误差计算，测量列标准误差的估计值称为标准偏差，用S表示，即—称为(chēnɡwéi)贝塞尔公式S表示测量(cèliáng)列中各测量(cèliáng)值所对应的标准偏差。注:可以证明，测量次数时，有第六页，共36页。3）算术平均值的标准偏差从统计意义来说，算术平均值比每一测量值更接近真值，可以证明的标准偏差为

表示在[]范围内包含真值X的概率为68.3%。将作为测量结果随机误差的估算式。第七页，共36页。§2-2测量不确定(quèdìng)度简介测量不但(bùdàn)要得到被测量的最正确估计值，而且要对其可靠性作出评价。不确定度是与测量结果联系在一起的一种参数，用来表示因测量误差的存在而对测量结果不能肯定的程度。任何测量结果都存在着不确定度，因此对一个测量结果来说，不仅要指出其测量值的大小，还要指出其测量结果的不确定度，以表示测量结果的可信赖程度。不确定度小，测量结果可信赖程度高；不确定度大，测量结果可信赖程度低。不确定(quèdìng)度——是指被测量的真值以一定的概率落在某一量值范围的综合误差指标。测量不确定度的意思为测量结果的可疑程度,反映测量平均值附近的一个范围，真值以一定的概率落在其中。第八页，共36页。误差与不确定度的区别：误差定义为测量值与真值之差，真值不可知，那么误差也就无法知道。虽然通过估算，可以得到标准偏差等量，但它们并不能表示测量结果(jiēguǒ)误差数值的大小，只是表示测量结果(jiēguǒ)的不确定性，与误差的定义不同。不确定度是可观测量，误差是不可观测量。一.测量(cèliáng)不确定度的分类测量(cèliáng)不确定度按评定方法的不同分为两大类1.不确定度A类分量uA但凡可以通过统计方法计算的不确定度称为A类不确定度，用uA表示。第九页，共36页。在物理(wùlǐ)实验中约定A类不确定度取平均值的实验标准偏差，即2.不确定(quèdìng)度B类分量uB但凡不能通过统计方法计算，只能通过其他方法估算的的不确定(quèdìng)度称为B类不确定(quèdìng)度，用uB表示。在物理实验中约定B类不确定度是将测量仪器的误差限折合成等价的标准偏差。仪器的误差限一般在仪器的说明书中注明（见P12.表2-1），并约定仪器误差均匀分布，则仪器的B类不确定度uB为第十页，共36页。仪器的误差限在仪器出厂时会在检定书或仪器中通过两种方式注明：（1）在仪器上直接标出或用准确度表示。如50分度的游标卡尺的分度值为0.02mm,其；（2）给出仪器的准确度级别，然后算出。如常用电学指针式仪表所用量程为A,准确度等级为K，则例如，0.5级mA表的量程为10mA时，仪器的误差限为假设未注明仪器误差限或仪器误差限不清楚，那么按如下规定：能连续读数(dúshù)〔可对最小分度下一位进行估计〕，取最小分度的一半作为仪器的误差限，如米尺、读数(dúshù)显微镜等；不能连续读数(dúshù)或指针跳跃式移动的仪器，其最小分度为仪器误差限，如机械秒表、数字仪表等。第十一页，共36页。仪器备注米尺（最小刻度1mm）0.5mm游标卡尺（20，50分度）最小分度值（0.05mm，0.02mm）螺旋测微计（0-50mm）0.004mm物理天平（0.1g）0.05g各类数字仪表仪器最小读数分光计最小分度值（）电磁仪表（指针式）（AK）%A-量程，K-等级表2-1仪器误差限（正确使用仪器）第十二页，共36页。二.合成(héchéng)不确定度与相对不确定度为了正确反映测量的不确定度，不能简单的将uA和uB代数相加，最合理的合成误差(wùchā)的方法是“方和根〞合成法。若两类不确定度各分量uA1，uA2，uAi，…uB1

，uB2

，uBi…彼此独立，则测量结果的合成不确定度uC为相对(xiāngduì)不确定度为即相对不确定度=合成不确定度/被测量的算术平均值第十三页，共36页。三.直接(zhíjiē)测量的不确定度1.单次测量(cèliáng)的不确定度A类分量uA单次测量时，不存在不确定度A类分量。所以单次测量的合成不确定度就是不确定度B类分量uB2.屡次(lǚcì)测量的不确定度在多次等精度测量的条件下，合成不确定度由不确定度A类分量uA和不确定度B类分量uB的方和根给出，即式中第十四页，共36页。例2-1用螺旋测微计测小球的直径(zhíjìng)，5次测量值分别为5.499mm，5.500mm，5.499mm，5.498mm，5.498mm，求其合成不确定度。解：小球的直径算术平均值为第十五页，共36页。三.间接测量的不确定(quèdìng)度间接测量(cèliáng)的算术平均值与合成不确定度由直接测量(cèliáng)结果通过函数式计算得出。设间接测量量的函数式为其中则间接测量量N的算术平均值为间接测量量N的合成不确定度为第十六页，共36页。若间接测量量的函数式以和差运算为主，则先计算方便；若以乘除运算为主，则先计算Er方便.间接测量量的相对不确定度为如1：为和差关系解：第十七页，共36页。如2：为乘除关系解：对两边取对数，得第十八页，共36页。例2-2（P14）用螺旋测微计测圆柱体的体积，其直径的算术平均值，的合成不确定度为，高度的算术平均值为的不确定度，求体积的合成不确定度。解：函数关系为，则有第十九页，共36页。函数式不确定度传递公式表2-2常用(chánɡyònɡ)函数的不确定度传递公式第二十页，共36页。§2-3有效数字(yǒuxiàoshùzì)运算及其运算法那么任何物理量的测量都存在误差，所以表示测量值数值的位数不能任意取位，应该能正确的反映测量精度。而数值计算都有一定的近似性，这就要求(yāoqiú)计算的准确性既不需要超过测量的准确性，但也不能使测量的准确性受到损害。计算的准确性与测量的准确性必须相适应。一.有效数字的根本(gēnběn)概念有效数字定义：能正确有效的表示测量和实验结果的数字，称为有效数字。有效数字由可靠的几位数字加上一位可疑数字组成，即由仪器最小分度以上的假设干位的准确数值〔可靠数字〕与最小分度的下一位估读数值〔可疑数字〕构成。有效数字的最后一位虽然是可疑的有误差的，但在一定程度上反映了客观实际，因此是有效的。第二十一页，共36页。例如用毫米尺测量物体长度。如图读出的数值为3.59cm,其中前两位3.5cm是由尺上准确读出的，是可靠数字(shùzì)，最后一位0.09cm是在最小分度间估计出的，因此存在有误差，是可疑数字(shùzì)。注意(zhùyì)：有效数字(shùzì)当中和数字(shùzì)后面的“0〞都是有效数字(shùzì)，但数字(shùzì)前面的“0〞不记为有效数字(shùzì)。如，0.026010位5位有效数字(shùzì)；20.0401为6位有效数字(shùzì)1〕数字当中和数字后面的“0〞都是有效数字2）有效数字的位数与小数点及单位换算无关第二十二页，共36页。二.有效数字尾数的取舍(qǔshě)法那么有效数字尾数(wěishù)的取舍法那么为“四舍六入五凑偶〞，即尾数(wěishù)小于5那么舍，大于5那么入，等于5时那么加将尾数(wěishù)凑成偶数如4.8554取4位有效数字(yǒuxiàoshùzì)为4.855；取3位有效数字为4.86；取2位有效数字(yǒuxiàoshùzì)为4.8。作为最后测量结果的不确定度一般只保存一位有效数字，“只进不舍〞〔非零即进〕。如uC=0.41cm,应保存为uC=0.5cm。45.4，45.36，45.365，45.365445.365354在取3位、4位、5位和6位有效数字时的结果分别为第二十三页，共36页。三.有效数字(yǒuxiàoshùzì)的运算法那么物理实验中的测量(cèliáng)大多是间接测量(cèliáng)，因此需要经过一系列有效数字的运算才能得到测量(cèliáng)结果。有效数字的运算法那么规定如下：1.加减法诸数相加减时，所得结果的有效数字按最高可疑位保留。[即最少位数]例2-3例2-42.乘除法两数相乘除时，所得结果有效数字的位数按最少的保留。例2-5例2-6第二十四页，共36页。例2-7例2-83.乘方与开方所得结果有效数字的位数与底数相同。如：4.函数(hánshù)运算1〕对数所得结果中尾数有效数字(yǒuxiàoshùzì)[即小数点后面的数]的位数与真数的位数相同。如：注意(zhùyì)：a.两数相乘，假设两数最高位的积大于或等于10时，那么积的有效数字多保存一位〔例2-6〕；b.两数相除时，假设被除数有效数字的位数小于或等于除数有效数字的位数，且其最高位的数小于除数最高位的数，那么商的有效数字应比被除数少一位〔例2-8〕。第二十五页，共36页。5.常数有效数字的位数为无限位等常数的有效数字的位数根据具体问题适当选取，一般比测量值多保留一位。如：2〕指数(zhǐshù)所得结果有效数字的位数与指数(zhǐshù)小数点后的位数相同。如：3）三角函数所得结果有效数字的位数由角度决定。当角度精确到或时，取四位有效数字；当角度精确到时，取五位有效数字。第二十六页，共36页。§2-4实验数据处理的根本(gēnběn)方法常用的实验数据处理方法主要(zhǔyào)有列表法、图示法、图解法、逐差法等。一.列表(lièbiǎo)法二.图示法和图解法1.图示法2.图解法由直线方程，有斜率为截距为第二十七页，共36页。三.逐差法当自变量等间距变化(biànhuà)时，常采用逐差法处理数据。根本思想是将实验测得的等间距变化(biànhuà)的数据分为两组，相对应项逐项相减后，再求所有逐差量的算术平均值。1.应用(yìngyòng)逐差法的条件：1）自变量x等间距变化；2）被测量y的函数形式为x的多项式，即2.应用方法将等间距测量的n(为偶数)个数据分成前后两组，即和第二十八页，共36页。然后对应项相减得出逐差量，即则逐差量的算术平均值为例.用受力拉伸法测弹簧的劲度系数k.已知弹性限度内伸长量x与拉力F满足F=kx关系。现等间距的改变拉力（），测得一组数据如下第二十九页，共36页。表2-5.弹簧受力伸长(shēnchánɡ)的测量数据次数拉力F(10-3N)伸长x(10-2m)100.0021.5033.0244.5056.0167.5079.00810.50第三十页，共36页。1)验证与的线性关系，即验证条件（1）按逐项相减分别得出1.50，1.52，1.48，1.51，1.49，1.50，1.50（10-2m）。可判断出基本相等，与为线性关系。2〕用逐差法求弹簧(tánhuáng)的劲度系数k将实验数据分成前组（x4,x3,x2,x1）和后组（x8,x7,x6,x5）,对应项相减后求平均值