2020年高中数学新教材变式题13 概率与统计

十三、《概率与统计》变式题(命题人：广州市第三中学刘窗洲)审校人张志红1.(人教A版选修2-3第66页例4)某射手每次射击击中目标的概率是0.8，求这名射手在10次射击中，(1)恰有8次击中目标的概率；(2)至少有8次击中目标的概率？变式1：某人参加一次考试，4道题中解对3道则为及格，已知他的解题正确率为0.4，则他能及格的概率为【解析】他能及格则要解对4道题中解对3道或4道:解对3道的概率为：P(A)二C30.43•0.6,4解对4道的概率为：P(B)二C40.44,且A与B互斥，他能及格的概率为4P(A+B)二C30.43・0.6+C40.44.44变式2：设甲、已、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5。三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率；若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率．【解析】(I)设Ak表示“第k人命中目标”，k=1,2,3.这里，A，A，A独立，且P(A)=0.7，P(A)=0.6，P(A)=0.5.TOC\o"1-5"\h\z123123从而，至少有一人命中目标的概率为-P(A・A・A)=1-P(A)P(A)P(A)=1-0.3X0.4X0.5=0.94123123恰有两人命中目标的概率为P(A・A・A+A・A・A+A・A・A)123_123_123_=P(A・A・A)+P(A・A・A)+P(A・A・A)123_123_123_=P(A)P(A)P(A)+P(A)P(A)P(A)+P(A)P(A)P(A)123123123=0.7x0.6x0.5+0.7x0.4x0.5+0.3x0.6x0.5=0.44答：至少有一人命中目标的概率为0.94，恰有两人命中目标的概率为0.44.(II)设甲每次射击为一次试验，从而该问题构成三次重复独立试验又已知在每次试验中事件

命中目标”发生的概率为0.7，故所求概率为P(2)二C2(0.7)2(0.3)二0.441.33答：他恰好命中两次的概率为0.441.变式3：在2020年雅典奥运会中，中国女排与俄罗斯女排以“五局三胜”制进行决赛，根据以往战况，中国女排在每一局赢的概率为3,已知比赛中，俄罗斯女排先胜了每一局，求：中国女排在这种情况下取胜的概率；求本场比赛只打四局就结束的概率．(均用分数作答)3)3解析】(1)中国女排取胜的情况有两种，第一种是中国女排连胜三局，第二种是在第2局到第4局，中国女排赢了两局，第5局中国女排赢，・••中国女排取胜的概率为厂(3)23_3)3+C2•()2••=3555625(2)。・(2)2・3+(3)3二竺(2)555125变式4：一个质地不均匀的硬币抛掷5次,正面向上恰为1次的可能性不为0,而且与正面向上恰i为2次的概率相同.令既约分数=为硬币在5次抛掷中有3次正面向上的概率，求i+j.j【解析】设正面向上的概率为P,依题意：C1pG—P丄=C2P2(L—P》，1—P=2P,解得：P=j,硬币在5次抛掷中有3次正面向上的概率为：402432.(人教A版选修2-3第77页例4)随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的点数X的均值、方差和标准差。

变式1：设某射手每次射击打中目标的概率为0.8,现在连续射击4次，求击中目标的次数E的概率分布．【解析】击中目标的次数E可能为0,1,2,3,4。当2=0时，P£=0)=C00.24,4当2=1时，P《二1)=C10.81-0.23,4当2=2时，P&=2)=C20.82•0.22,4当2=3时，P《二3)=C30.83•0.21,4当2=4时，P£=4)=C40.84,4所以2的分布列为：201234PC00.24C10.81•0.23C20.82•0.22C30.83•0.21C40.8444444变式2：袋中有12个大小规格相同的球，其中含有2个红球，从中任取3个球，求取出的3个球中红球个数2的概率分布．解析】2的所有可能的取值为：0，1，2．当2=0时，P《二0)=佥,C312当2=1时，P《二1)=£10,C312评述：当2=2时，p£=2)二(2^0,评述：2012C3C1C2C2C1P—10—2_10—2_10C3C3C312121212C3C1C2C2C1120+90+1010+—2—10+—2_10==1.C3C3C3220121212变式3：从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量E表示所选3人中女生的人数.求g的分布列；求g的数学期望；求“所选3人中女生人数g<1”的概率.”Ck-C3-k"【解析】(1)g可能取的值为0,1,2。P(g=k)=24,k=0,1,2.C36所以,g的分布列为g012P13155531(2)由(1),g的数学期望为Eg=Ox5+1x5+2x5=1由(1),“所选3人中女生人数g<1”的概率为4p(g<1)=p(g=0)+p(g=1)=5.变式4：甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题才算合格.(I)求甲答对试题数e的概率分布及数学期望；(II)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.【解析】(I)依题意，甲答对试题数e的概率分布如下:e0123p1311301026甲答对试题数e的数学期望13119ee=0x30+1X10+2X2+3X6=5.(II)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B,则C2C1+C360+202C2C1+C356+5614P(A)=6~44==,P(B)二C31203C3120151010因为事件A、B相互独立，方法一：・••甲、乙两人考试均不合格的概率为P(A-B)=P(A)P(b)=1--)(1——)=—.1545.••甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为p=i-p(a-b)=1-45=445454544答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为石.方法二：•甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为P=P(A•B)+P(A•B)+P(A•B)=P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)TOC\o"1-5"\h\z111421444=X+—X+—X=.153153154544答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为453.(人教A版选修2-3第86页B组2)若X〜N(5,1)，求P(6<X<7)。变式1：随机变量乙服从正态分布N(0,1),如果P(«1)=0.8413,求P(-1<^<0).【解析SN(0,1),•P(―1<{<0)=P(0<{<1)=0(1)—0(0)=0.8413—0.5=0.3413.变式2：一投资者在两个投资方案中选择一个，这两个投资方案的利润x(万元)分别服从正态分布N(8,32)和N(6,22),投资者要求利润超过5万元的概率尽量地大，那么他应选择哪一个方案?【解析】对第一个方案，有x〜N(8,32),于是P(x>5)=1-P(x<5=1-F(5)=1-05一8—)=1-0(-1)=1—[1—0(1)]=0(1)=0.8413.35一6对第二个方案，有x〜N(6,22),于是P(x>5)=1—P(x<5)=1_F(5)=1—⑦(亠6)2=1—0(—0.5)二①(0.5)=0.6915.相比之下，“利润超过5万元”的概率以第一个方案为好，可选第一个方案.变式3：在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N(70,100).已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12名.试问此次参赛的学生总数约为多少人？若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可供査阅的(部分)标准正态分布表叫)=PC<x0)x001234567891.20.88490.88690.88880.89070.89250.89440.89620.89800.89970.90151.30.90320.90490.90660.90820.90990.91150.91310.91470.91620.91771.40.91920.92070.92220.92360.92510.92650.92780.92920.93060.93191.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97560.97620.97672.00.97720.97780.97830.97880.97930.97980.98030.98080.98120.98172.10.98210.98260.98300.98340.98380.98420.98460.98500.98540.9857【解析】：本小题主要考查正态分布，对独立事件的概念和标准正态分布的查阅，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力．【解答】(I)设参赛学生的分数为E，因为E〜N(70,100),由条件知，P(g>90)=1—P(g<90)=1—F(90)=1—①P0］。70)=1—①(2)=1—0.9772=0.228.这说明成绩在90分以上(含90分)的学生人数约占全体参赛人数的2.28％，因此，12参赛总人数约为-526(人).0.0228(II)假定设奖的分数线为x分，则x一7050P(g>x)=1—P(g<x)=1—F(x)=1—①(―10—)=526=0.0951，即即①（^lO70）=0-9°49,查表得Xi070-1.31，解得x=83.1.故设奖得分数线约为83.1分．4.(人教A版选修2-3第100页例2)一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了7组观测数据列于表中，试建立y与x之间的回归方程。温度x/°C21232527293235产卵数y/个711212466115325变式1：为了对2020年佛山市中考成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽出8位，他们的数学(已折算为百分制)、物理、化学分数对应如下表，学生编号12345678数学分数x6065707580859095物理分数y7277808488909395化学分数z6772768084879092(1)若规定85分(包括85分)以上为优秀，求这8位同学中数学和物理分数均为优秀的概率；用变量y与x、z与x的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度；求y与x、z与x的线性回归方程(系数精确到0.01)，并用相关指数比较所求回归模型的效果.参考数据：x=77.5，y=85，z=81，£（x一X）2«105°，X（y-y）2=456，iiTOC\o"1-5"\h\zi=1i=1£（z一z）2u55°，£（x一x）（y一y）u688，£（x一X）（z一z）~755，£（y-y）2~7,iiiiiii=1i=1i=1i=1£（z—z）2u94，v'1°5°u32.4^.''456u21.4,J550u23.5.iii=1解答：(1)由表中可以看出，所选出的8位同学中，数学和物理分数均为优秀的人数是3人，其概率是33分8(2)变量y与x、z与x的相关系数分别是68832.4x21.4«68832.4x21.4«0.9975532.4x23.5可以看出，物理与数学、化学与数学的成绩都是高度正相关.5分6分(3)设y与x、z与x的线性回归方程分别是y=bx+a、z=b'x+a'.688根据所给的数据，可以计算出b==0.65,a=85-0.65*77.5=34.63,1050