上海上海师范大学第三附属实验学校高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》检测卷包含答案解析

一、选择题1．已知，，则的最小值（）A．1B．2C．D．32．若，且，，，则下列说法正确的是（）A．B．C．D．以上都不正确3．已知A．，，则（）B．D．C．4．设，，则（）A．B．D．C．5．已知，则下列不等式正确的是（）A．B．C．D．，若B．6．已知函数A．恒成立，则的取值范围是（）C．D．7．若正实数，满足正确结论的个数为（），则有下列结论：①；②；③；④.其中A．1B．2C．3D．48．下列四个不等式：①；②；③；④，其中恒成立的个数是()A．1B．2C．3D．49．若，则不等式的解集为()A．B．C．D．10．设实数A．，则下列不等式一定正确的是()B．C．D．11．若A．，则，的取值范围分别是（），，B．D．，，C．12．不等式的解集是()A．[-5,7]B．[-4,6]C．D．二、填空题13．垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值，具有社会、经济、生态等几方面的效益，某地街道呈现东西，南北向的网格状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点，若以互相垂直的两条街道为坐标轴建立平面直角坐标系，现有下述格点，，，，，为垃圾回收点，请确定一个格点（除回收点外）________为垃圾集中回收站，使这6个回收点沿街道到回收站之间路程的和最短14．已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝－|x＋3|＋m.若函数f(x)的图像恒在函数g(x)图像的上方，则m的取值范围为________．15．若，则的最大值是_______.16．不等式的解集是__________．17．若实数a，b，c满足2a+2b=2a+b，2a+2b+2c=2a+b+c，则c的最大值是______．18．若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是___________．19．已知，若关于的方程有实根，则的取值范围是__________．20．不等式对任意都成立，则实数的取值范围为______；三、解答题21．已知函数，．（Ⅰ）若的最小值为，求实数的值；（Ⅱ）若关于的不等式的解集包含，求实数的取值范围．22．已知函数（1）解不等式（2）若不等式.；对任意恒成立，求实数的取值范围.23．当都为正数且时，试比较代数式与的大小.24．（1）设（2）设，，证明：；，证明：.25．比较与；大小，并证明.26．已知函数.（1）解不等式（2）若存在实数x，使得，求实数a的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】令，得的最小值.，代入，代入，化简后利用判别式列不等式，解不等式求得并化简得【详解】令，得，关于的一元二次方程有正解，所以首先，即，由于是正实数，所以，即，也即的最小值为.此时对称轴，所以关于的一元二次方程有正解，符合题意.故选：C【点睛】本小题主要考查判别式法求最值，考查一元二次不等式的解法，属于中档题.2．A解析：A【分析】首先根据题意得到，即可得到选项A正确，再利用特值法排除选项B，C，即可得到答案.【详解】因为所以当设，且，，，，都为或时，取得最大值，，，，，，时，，又，，，即：.对于选项A，，显然不等式成立．取，，，得到显然不成立，故排除选项B.取，，，得到显然不成立，故排除选项C.故选：A【点睛】本题主要考查根据条件判断不等式是否正确，特值法为解决本题的关键，属于简单题.3．A解析：A【分析】容易判断出，，从而得出，并可得出，从而得出，并容易得出，从而得出结论.【详解】因为，，所以，因为，即，又，所以，又，所以，所以，故选：A.【点睛】本题主要考查对数的换底公式，对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，以及不等式的性质，属于中档题.4．A解析：A【分析】根据对数函数的单调性可得,,根据不等式的性质可知;通过比较与1的大小关系,即可判断,从而可选出正确答案.【详解】解:,,则,故选:A.【点睛】本题主要考查了对数的运算，对数函数的单调性.在比较对数的大小时,常常结合对数函数的单调性比较大小.对于,若,则(1)当时,;(2)当时,;(3)当时,;若,则(1)当时,;(2)当时,;(3)当时,.5．C解析：C【分析】考虑到中不等号方向，先研究C，D中是否有一个正确。构造函数是增函数，可得当时，有，对,所以作差，可分类，和【详解】令，显然单调递增，所以当时，有,所以另一方面因为，当所以时，，当时，（由递增可得），∴，C正确。故选：C。【点睛】本题考查判断不等式是否成立，考查对数函数的性质。对于不等式是否成立，有时可用排除法，即用特例，说明不等式不成立，从而排除此选项，一直到只剩下一个正确选项为止。象本题中有两个选项结论几乎相反（或就是相反结论时），可考虑先判断这两个不等式中是否有一个为真。如果这两个都为假，再考虑两个选项。6．B解析：B【分析】利用绝对值三角不等式确定围。的最小值；把恒成立的问题，转化为其等价条件去确定a的范【详解】根据绝对值三角不等式，得的最小值为恒成立，等价于的最小值大于等于2，即或，故选B。或，【点睛】本题主要考查了绝对值三角不等式的应用及如何在恒成立条件下确定参数a的取值范围。7．C解析：C【分析】根据不等式的基本性质，逐项推理判断，即可求解，得到答案.【详解】由题意，正实数①中，可得是正数，且，所以，是错误的；②中，由，可得是正确的；③中，根据实数的性质，可得是正确的；④中，因为，所以是正确的，故选C.【点睛】本题主要考查了不等式的性质的应用，其中解答中熟记不等式的基本性质，合理推理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．C解析：C【分析】依次判断每个选项的正误，得到答案.【详解】①②③④，当时等号成立，正确时等号成立，正确，时不成立，错误，时等号成立.正确，故答案选C【点睛】本题考查了不等式性质，绝对值不等式，均值不等式，综合性较强，是不等式的常考题型.9．D解析：D【分析】由绝对值三角不等式的性质得出出答案．，由，得出，借助正弦函数图象可得【详解】因为成立，所以，又，所以，，故选D．【点睛】本题考查绝对值三角不等式的应用，再利用绝对值不等式时，需要注意等号成立的条件，属于基础题．10．D解析：D【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【详解】解：由于a＞b＞0，，A错；当0＜c＜1时，ca＜cb；当c＝1时，ca＝cb；当c＞1时，ca＞cb，故ca＞cb不一定正确，B错；a＞b＞0，c＞0，故ac﹣bc＞0，C错．，D对；故选D．【点睛】本题考查不等式的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．11．D解析：D【分析】由已知条件结合不等式的基本性质求出结果【详解】，，两式相加可得，则则又则故故选D【点睛】本题考查了两角和与差的范围问题，结合已知条件和不等式性质即可求出答案，注意取等时的条件．12．D解析：D【分析】零点分段后分类讨论求解不等式的解集即可.【详解】分类讨论：当当当时，不等式即：，解得：；时，不等式即，此时不等式无解；时，不等式即：，解得：；综上可得，不等式的解集为本题选择D选项.【点睛】.本题主要考查绝对值不等式的解法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题13．【分析】首先表示横轴和纵轴方向的距离和再根据含绝对值三角不等式求最值【详解】设格点的坐标为则根据含绝对值三角式可知横轴方向距离和此时的最小值是14此时三个等号成立的条件是所以时的最小值是纵轴方向的距解析：【分析】首先表示横轴和纵轴方向的距离和，再根据含绝对值三角不等式求最值.【详解】设格点的坐标为根据含绝对值三角式横轴方向距离和，则，，可知，，此时是的最小值是14，此时三个等号成立的条件是，所以时，的最小值，纵轴方向的距离和，此时当的最小值是9，三个等号成立的条件是，即或，时，此时格点位置是，是垃圾回收点，舍去，所以，此时格点坐标是.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题是具有实际应用背景的习题，本题的关键是正确理解题意，并能转化为横轴距离和纵轴距离，利用含绝对值三角不等式求最值.14．(－∞5)【分析】函数f(x)的图像恒在函数g(x)图像的上方可转化为不等式|x－2|＋|x＋3|>m恒成立利用不等式的性质求出|x－2|＋|x＋3|的最小值就可以求出的范围【详解】函数f(x)的图解析：(－∞，5)【分析】函数f(x)的图像恒在函数g(x)图像的上方，可转化为不等式|x－2|＋|x＋3|>m恒成立，利用不等式的性质求出|x－2|＋|x＋3|的最小值，就可以求出的范围.【详解】函数f(x)的图像恒在函数g(x)图像的上方，即为|x－2|>－|x＋3|＋m对任意实数x恒成立，即|x－2|＋|x＋3|>m恒成立．因为对任意实数x恒有|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5，所以m<5，即m的取值范围是，故答案为：【点睛】.该题考查的是有关利用两个函数图象的关系，得出函数值的大小关系，之后将恒成立问题向最值靠拢，利用绝对值不等式的性质求得结果，属于简单题目.15．【分析】由绝对值三角不等式可计算出的最大值【详解】由绝对值三角不等式可得当且仅当时等号成立因此的最大值为故答案为【点睛】本题考查利用绝对值三角不等式求最值一般在含多个绝对值时可采用利用绝对值三角不等解析：【分析】由绝对值三角不等式可计算出【详解】的最大值.由绝对值三角不等式可得，当且仅当【点睛】时，等号成立，因此，的最大值为，故答案为．本题考查利用绝对值三角不等式求最值，一般在含多个绝对值时，可采用利用绝对值三角不等式求解，在求解时要注意对代数式进行配凑，考查计算能力，属于中等题．16．【解析】由题意得不等式等价于解得所以不等式的解集为点睛：本题主要考查了绝对值不等式的解法其中解答中熟记绝对值的定义根据绝对值的定义合理去掉绝对值号是解答的关键解析：【解析】由题意得，不等式，等价于，解得，所以不等式的解集为.点睛：本题主要考查了绝对值不等式的解法，其中解答中熟记绝对值的定义，根据绝对值的定义，合理去掉绝对值号是解答的关键.17．2﹣log23【解析】试题分析：由基本不等式得2a+2b≥可求出2a+b的范围再由2a+2b+2c=2a+b+c=2a+b2c=2a+b+2c2c可用2a+b表达利用不等式的性质求范围即可解：由基本解析：2﹣log23【解析】试题分析：由基本不等式得2a+2b≥再由2a+2b+2c=2a+b+c=2a+b2c=2a+b+2c，2c可用2a+b表达，利用不等式的性质求范围即可．解：由基本不等式得2a+2b≥，即2a+b，所以2a+b≥4，令t=2a+b，由2a+2b+2c=2a+b+c可得2a+b+2c=2a+b2c，所以2c=，可求出2a+b的范围，≥因为t≥4，所以，即，所以故答案为2﹣log23点评：本题考查指数的运算法则，基本不等式求最值、不等式的性质等问题，综合性较强．18．（﹣∞8【解析】由于|x﹣5|+|x+3|表示数轴上的x对应点到5和﹣3对应点的距离之和其最小值为8再由关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解可得a≤8故答案为（﹣∞8解析：（﹣∞，8]【解析】由于|x﹣5|+|x+3|表示数轴上的x对应点到5和﹣3对应点的距离之和，其最小值为8，再由关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，可得a≤8，故答案为（﹣∞，8]．19．【解析】试题分析：由已知得即所以故答案为考点：不等式选讲解析：【解析】试题分析：由已知得，，即，所以，故答案为.考点：不等式选讲.20．【分析】由于时故问题转化为不等式对任意都成立再根据绝对值为求解即可得答案【详解】解：因为时所以所以不等式对任意都成立所以对任意都成立即对任意都成立因为在的最大值为：所以故答案为：【点睛】本题考查绝对解析：【分析】由于时，，故问题转化为不等式对任意都成立，再根据绝对值为求解即可得答案.【详解】解：因为所以不等式所以时，，所以，对任意对任意都成立都成立，即对任意都成立因为在的最大值为：，所以故答案为：【点睛】本题考查绝对值不等式恒成立求参数问题，是中档题.三、解答题21．（Ⅰ）或；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）利用绝对值三角不等式可构造方程求得结果；（Ⅱ）当时，可得，求得，利用解集的包含关系可构造不等式组求得结果.【详解】（Ⅰ），，解得：或.（Ⅱ）不等式，即，当时，成立，，，不等式的解集包含，，解得：，实数的取值范围为【点睛】.本题考查绝对值三角不等式的应用、根据绝对值不等式的解集求解参数范围的问题；关键是能够根据解集的子集化简不等式，进而根据包含关系构造不等式组.22．（1）；（2）【分析】（1）讨论，，三种情况，分别解不等式得到答案.（2）计算【详解】（1）当，得到，解得答案.时，时，，故，故，即；当当，故，即；时，，即；综上所述：.（2），当时，等号成立.，即，即，故.【点睛】本题考查了解绝对值不等式，不等式恒成立问题，意在考查学生的分类讨论能力和计算能力，转化能力.23．【分析】用作差的方法，因式分解，利用【详解】，化简可得，进而得出结果.因为因此，所以因为为正数，所以因此，当且仅