电磁场与电磁波：习题课

一、位移电流1.求下列情况下的位移电流密度的大小：（1）某移动天线发射的电磁波的磁场强度；（2）一大功率变压器在空气中产生的磁感应强度；（3）一大功率电容器在填充的油中产生的电场强度设油的相对介电常数；（4）工频下的金属导体中，，设金属导体的。解（1）由得故（2）由得故（3）故（4）故二、麦克斯韦方程组的直接应用1.由置于和的导体圆柱面和z=0、z=20cm的导体平面围成的圆柱形空间内充满的媒质。若设定媒质中的磁场强度为，利用麦克斯韦方程求：（1）；（2）E。解（1）将题设的H代入方程，得对时间t积分，得将代入方程，得对时间t积分，得将上式与题设的对比，得故（2）将代入中，得三、边界条件的应用1.媒质1的电参数为；媒质2的电参数为、。两种媒质分界面上的法向单位矢量为，由媒质2指向媒质1。若已知媒质1内邻近分界面上的点P处，求P点处下列量的大小：；；；。解:（1）在分界面法线方向的分量为（2）（3）利用磁场边界条件，得（4）利用磁场边界条件，得2.两种电介质的相对介电常数分别为=2和=3，其分界面为=0平面。如果已知介质1中的电场的那么对于介质2中的和，我们可得到什么结果？能否求出介质2中任意点的和？解:设在介质2中在处，由和，可得于是得到故得到介质2中的和在处的表达式分别为不能求出介质2中任意点的和。由于是非均匀场，介质中任意点的电场与边界面上的电场是不相同的。四、静电场与恒定电场(1)已知电场求电位，已知电位求磁场(2)已知无界空间中电荷分布，用直接积分或高斯定理计算电场(3)用边值问题计算电位(4)计算电容和漏电导(5)计算电场能量1.电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为,两圆柱面半径分别为和，轴线相距为，如题图所示。求空间各部分的电场。解由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半径为的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为的两种电荷分布，这样在半径为的整个圆柱体内具有体密度为的均匀电荷分布，而在半径为的整个圆柱体内则具有体密度为的均匀电荷分布，如题3.3图所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。题3.3图＝＋在区域中，由高斯定律，可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点产生的电场分别为题3.3图＝＋点处总的电场为在且区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点产生的电场分别为点处总的电场为在的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点产生的电场分别为点处总的电场为2.球形电容器的内导体半径为，外导体内半径为，其间填充介电常数分别为和的两种均匀介质，如图所示。设内球带电荷为，外球壳接地，求两球壳间的电场和电位分布。解由于电场方向沿径向，所以在介质1与介质2的分界面上，电场与分界面平行，即为切向分量。根据边界条件可知，但。由高斯定律，有由、以及，可得两球壳间的电场和电位分别为3.如图所示，一半径为、带电量的导体球，其球心位于两种介质的分界面上，此两种介质的电容率分别为和，分界面为无限大平面。求：（1）导体球的电容；（2）总的静电能量。解（1）由于电场沿径向分布，根据边界条件，在两种介质的分界面上，故有。由于、，所以。由高斯定理，得到即题3.33图题3.33图导体球的电位故导体球的电容（2）总的静电能量为4.同心球形电容器的内导体半径为，外导体内半径为，其间填充介电常数与电导率分别为、和、的两种有损耗介质，如例图所示。若内外导体之间外加电压。求：（1）介质中的电场和电流分布；（2）电容器的漏电阻；（3）电容器的损耗功率。解（1）设由内导体流向外导体的径向电流为，则由，可得在两种介质的分界面上，电场与分界面平行。根据边界条件，可知。由于，，所以即又所以故（2）电容器的漏电阻为（3）电容器的损耗功率为五、恒定磁场(1)安培定理计算磁场分布(2)电感的计算(3)能量的计算1.真空中有一厚度为2的无限大载流块，电流密度为，在其中心位置有一半径为的圆柱形空腔，如例5.4图所示。求空腔内的磁感应强度。解设空腔中同时存在有密度为的两种电流分布，则可用安培环路定理和叠加原理来求出空腔内的磁感应强度电流密度为的无限大均匀载流块产生的磁感应强度为电流密度为的无限长均匀载流圆柱产生的磁感应强度为根据叠加原理得到空腔内的磁感应强度为2.通过电流密度为的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔，如图所示。计算各部分的磁感应强度，并证明腔内的磁场是均匀的。解将空腔中视为同时存在和的两种电流密度，这样可将原来的电流分布分解为两个均匀的电流分布：一个电流密度为、均匀分布在半径为的圆柱内，另一个电流密度为、均匀分布在半径为的圆柱内。由安培环路定律，分别求出两个均匀分布电流的磁场，然后进行叠加即可得到圆柱内外的磁场。由安培环路定律，可得到电流密度为、均匀分布在半径为的圆柱内的电流产生的磁场为电流密度为、均匀分布在半径为的圆柱内的电流产生的磁场为这里和分别是点和到场点的位置矢量。将和叠加，可得到空间各区域的磁场为圆柱外：圆柱内的空腔外：空腔内：式中是点和到点的位置矢量。由此可见，空腔内的磁场是均匀的。3.如图所示，无限长直线电流位于磁导率为的磁介质与空气的分界面上。试求：（1）磁介质内外的磁场分布；（2）磁化电流分布。解（1）磁场只有分量，根据边界条件，有，即磁介质中的磁感应强度与空气中的磁感应强度相同，但磁介质中的磁场强度与空气中的磁场强度不同。根据安培环路定律，可得由于、及，于是有由此得到（2）磁介质中的磁化强度为则磁化电流体密度为在磁介质的表面上，当时，磁化电流面密度为在处，存在磁化线电流。以轴为中心、为半径作一个圆形回路，则有故得到例5.1图例5.1图4.如图所示，无限长直导体圆柱由电导率不相同的两层导体构成，内层导体的半径，电导率；外层导体的外半径，电导率。导体圆柱中沿轴线方向流过的电流为，求导体圆柱内、外的磁感应强度。解电流沿轴线方向流动，则导体圆柱内的电场也沿轴线方向，根据边界条件，应有，则两层导体中的电流密度和不相同。由利用、以及，有于是得到故有利用安培环路定律，当时，有所以当时，有所以当时，有5.同轴线的内导体是半径为的圆柱，外导体是半径为的薄圆柱面，其厚度可忽略不计。内、外导体间填充有磁导率分别为和两种不同的磁介质，如图所示。设同轴线中通过的电流为，试求：（1）同轴线中单位长度所储存的磁场能量；（2）单位长度的自感。解同轴线的内外导体之间的磁场沿方向，在两种磁介质的分界面上，磁场只有法向分量。根据边界条件可知，两种磁介质中的磁感应