大学物理：10真空静电场

真空中的静电场+-真空中的静电场electrostaticfieldinvacuum电荷电荷电荷---组成实物的某些基本粒子（电子、质子等）的固有属性之一。自然界存在正、负两种电荷，同性电荷相斥，异性相吸。电荷的量子性自然界中任何带电体的电量（电荷的定量量度）总是以某一基本单元（）的整数倍（）出现。QenQne为电子或质子带电量的绝对值。ee271369.0173101库仑（）C电荷守恒定律电荷守恒定律在一个与外界没有电荷交换的系统内，任一时刻存在于系统中的正、负电荷的代数和始终保持不变。该定律的要点：电荷的代数和不变性孤立系统中正、负电荷各自的量可能发生变化，但其代数和恒保持不变。例如，正、负电子相遇转化为两个光子。高能光子经过另一粒子附近时可能转换为正、负电子对。电荷的相对论不变性孤立系统的电量，与其运动状态无关。在不同参考系内进行观察，系统总电量保持不变。电荷守恒定律对宏观过程和微观过程均适用。真空库仑定律真空中的库仑定律点电荷相对于要研究的问题，其大小和形状可以忽略的带电体。q1rr2q施力点电荷受力点电荷施受单位矢量距离真空中两静止点电荷的的相互作用力（静电力或库仑力）kFq12qr2r其中k0e4p10e24815.0812mCN.21.2称真空电容率0e或真空介电系数续库仑定律这种矢量表达式不论为同号q12q或异号电荷，也不论谁是受q12q力者均可适用。例如，带负电2q2q()0,q1带正电()0,q1若考虑2q受力F,所得结果F0,即与反向，Fr与定性判断一致。真空中的库仑定律又可写成Frq12qr20e4p13rq12qr0e4p1q1rr2q施力点电荷受力点电荷施受单位矢量距离真空中两静止点电荷的的相互作用力（静电力或库仑力）kFq12qr2r其中k0e4p10e24815.0812mCN.21.2称真空电容率0e或真空介电系数电场电场电场给电荷以作用力的物理场。静电场相对于参考系或观测者静止的电荷在其周围空间所产生的电场。又称库仑场。静止电荷之间的相互作用力是通过静电场来传递的。电荷电场电荷电场是物质存在的一种形态，也具有能量、动量和质量。电场强度电场强度带电体试验电荷（带正电的点电荷）FEFq0sICNh1mVh1E的单位为或空间某点的电场强度PEq0（受的电场力）q0EF与同向q0的大小与无关E点电荷的场强q0rFEFq00rqqr20e4p1q01rqr20e4p1点电荷的场强qq点电荷系场强场强叠加原理及其应用一、分立点电荷系的场强++q13q2qP3E2E1EE合场强ESin1EiE？电偶极子场强偶极电荷连线的延长线上某点B处的场强偶极电荷连线的中垂线上某点A处的场强例电偶极子的场强+EAEA+EA()+EAEA+EAcosq2q0e4pl2r2l2()2+r2l2()2+q0e4pl32r2l2()2+EB++EBEBEBq0e4p1rl2()2+rl2()21lq0e4p2rr2l2()22q+EAqEAEAqqlq++qB+EBEBEBrOrArl若则q10e4p3rlEA远rl若则10e4p2ql3rEB远定义偶极矩为l+方向由指向并规定10e4p3r2EB远则EA远10e4p3r，qlp电矩或pp带电体的场强二、连续分布电荷的场强VV带电体qdqdxyzE？PEdxEyEzEVEdxVVEdyEdzkjiEdEdxEdyEdz++E2xE++yE2zE2ExE++iyEjzEk带电直线场强例均匀带电直线的场强ydysinqcosdEr20e4p1ldyxdEydEdEdEqqld线元带电dydy在点产生元场强为P换元dydqctg2tgaraysin()pqsinq()pqtgqrya2sinq2a2cscq2aq,dyacscq2dqdE0e4p1la2cscq20e4p1alacscq2dqdq得E？YXOa1q2q电荷线密度lABLdEydExdErqpqP续12YXO例均匀带电直线的场强rAB1qLyadExdEydE2qdyqpqPsinqcosdEr20e4p1ldyxdEydEdEdEqqld线元带电dydy在点产生元场强为P电荷线密度l换元dydqctg2tgaraysin()pqsinq()pqtgqrya2sinq2a2cscq2aq,dyacscq2dqdE0e4p1la2cscq20e4p1alacscq2dqdq得dE0e4p1aldq得sinxdExE0e4pal1q2qqdqcos0e4pal1q2q()cosydE0e4pal1q2qqdqyEcos0e4pal1q2q()sinsin续13YXO例均匀带电直线的场强rAB1qLyadExdEydE2qdyqpqPsinqcosdEr20e4p1ldyxdEydEdEdEqqld线元带电dydy在点产生元场强为P电荷线密度l换元dydqctg2tgaraysin()pqsinq()pqtgqrya2sinq2a2cscq2aq,dyacscq2dqdE0e4p1la2cscq20e4p1alacscq2dqdq得dE0e4p1aldq得sinxdExE0e4pal1q2qqdqcos0e4pal1q2q()cosydE0e4pal1q2qqdqyEcos0e4pal1q2q()sinsinxEcos0e4pal1q2q()cosyE0e4pal1q2q()sinsinjixE+EyEE2xE+yE2若L为无限长01q2qpExE0epal2E？带电平面场强例无限大均匀带电平面的场强sq电荷面密度sYOzXbrEdyEdxEdydy带电线元场强的积分P带电平面的场强线元的电荷线密度ldys对应于本题Eddysr2pe0运用无限长直电荷场强公式Ela2pe0各线元的对称相消EdyExEdEdcosq续15E？带电平的场强例无限大均匀带电平面的场强sq电荷面密度sYOzXbrEdyEdxEdydy带电线元场强的积分P带电平面的场强线元的电荷线密度ldys对应于本题Eddysr2pe0运用无限长直电荷场强公式Ela2pe0各线元的对称相消EdyExEdEdcosqdysEdr2pe0ExEdEdcosqdysr2pe0cosq2+by2rb得Edysr2pe02bdys2pe0b2+by288s2pe0()ybarctg88s2pe0(2p2p)s2e0两个常用公式注意前述两个推导结果*“无限长”均匀带电直线的场强El0epa2电荷线密度laPE为负时lE反向*EEs电荷面密度s“无限大”均匀带电平面的场强s2e0E为负时E反向s带电圆环场强XqaOXxE？例均匀带电圆环轴上点的场强圆环轴上点的场强P各线元的成对相消Ed线元的电量为dldq2paqdl对应的元场强为Ed10e4p2dqrxEdcosqEdsinEdEdq圆周上各线元在点的元场强的矢量和PE则xEdcosqEd02pa10e4p2dqrxr()10e4pqxxa2+2322pa102padl()0e4pqxxa2+232dlrqEdxEdEdP续18XqaOXxE？带电圆环场强例均匀带电圆环轴上点的场强圆环轴上点的场强P各线元的成对相消Ed线元的电量为dldq2paqdl对应的元场强为Ed10e4p2dqrxEdcosqEdsinEdEdq圆周上各线元在点的元场强的矢量和PE则xEdcosqEd02pa10e4p2dqrxr()10e4pqxxa2+2322pa102padl()0e4pqxxa2+232dlrqEdxEdEdPXqaOxrEPE0e4pqx()xa2+232结果：又因()xa2+221r故又可表成3E0e4pqxr若xa（远场）x()xa2+232xx312x则0e4pq远E(2x)相当于点电荷的场强带电圆盘场强E？ss例均匀带电薄圆盘轴上点的场强圆盘在点的场强P各同心环带元在点的元场强的矢量和PRROOXxrEdadadaaP电荷面密度sada某圆环半径，环带宽dq该环带电为2psaadEx()423pe0q+2ax2运用带电圆环轴上场强公式Edx()423pe0+2ax2dq对应于本题为4pe0()23+2ax2x2psaadE则Ed2e0sxR0a()23+2ax2ad2e0sx1()2+2ax210R2e0s(1x)+2x2R若x（超近场）则相当于无穷大带电平面的场强Rx+2x2R以至0超近E2e0s带电球面场强E？R电荷面密度sOr例均匀带电球面的场强球面在点的场强P球面上各环带元在点的元场强的矢量和PEx()423pe0q+2ax2运用带电圆环轴上场强公式a某环带半径sinq环带宽dq环带面积为2pdsaadq2sinqdq2pRRRR对应于本题为Ed()234pe0+2ax2dqx总电量q4p2Rs环带带电量sdqdss2sinqdq2pR21qsinqdq2pe08cosq()rRqsinqdqsinq2R2+cosq()rR23dqRldqqOaaxEdP续21带电球面场强E？R电荷面密度sOr例均匀带电球面的场强球面在点的场强P球面上各环带元在点的元场强的矢量和PEx()423pe0q+2ax2运用带电圆环轴上场强公式a某环带半径sinq环带宽dq环带面积为2pdsaadq2sinqdq2pRRRR环带带电量sdqds对应于本题为Ed()234pe0+2ax2dqxqdqOaaxEdP总电量q4p2Rss2sinqdq2pR21qsinqdqldqR2pe08cosq()rRqsinqdqsinq2R2+cosq()rR232pe08cosq()rRqsinqdqsinq2R2+cosq()rR23Ed为积分方便换元dqldQ2R+2r2cosq()rRpe08cosq()rRqsinqdq23由POQl2R+2r2cosq()rR12ld得2R+2r2cosq()rRrRsinqdqEdE22()pe08qRrrR++rr1rR2l2lrRl2dl16pe0Rr2qRrrR++2rR2l2l2dl16pe0Rr2ql2rR2lRrrR+qpe0r24P点在球面外：若P点在球面内积分限为RrrR+到，结果得0E电场线电场线与电通量约定：某点处电场线的方向是该点处NddsE的方向。电场线的密度定为E特点：源于正、汇于负的非封闭连续曲线。非源、汇处线不相交。E+-Nd条通过垂直的面元dsEEP一、电场线（电力线或线）E静电场的虚拟形象描述电场线电通量二、电通量（通量）E电通量电通量：通过电场中某一个面的电场线数。ef匀强电场中通过某一平面的通量sEEEsnnsefEsEEsnnsqqqqqcossqcossefEsqcos续24sqEnds非匀强电场中通过任一曲面的通量sEE通过面元的元通量dsefdefdqcosdsE定义面元矢量dsndsefd则的定义式为efdqcosdsEEds通过曲面的通量为sEefdefsqcosdsEEdsss若为封闭曲面，应规定n各个面元的均指向曲面外，sefEds并作封闭面积分凡例例EEnnRqqqq圆面非封闭半球面ef2pREef2pREef2pRE匀强efqcosdsEsEdss封闭半球面封闭球面任意封闭曲面nnnnnEnnnn匀强E非匀强sefEds0ef0ef0即进、出同一封闭面的线数目相等，总通量均为零。E特例引入下节例封闭球面中心有点电荷E+qqrrnqe04pr24pr2he0qefEdssEef-qqrrn同理可得qe0e0qq用负值带入+qqs12sss12ss对球面对球面对包围的任意封闭曲面q：：必有efqe0efqe0efqe0高斯定理真空中静电场的高斯定理e0qefef0+qsEef通过任意封闭曲面的通量sE回顾前例内q在sq在外s+Eqs高斯定理将给出更普遍的表述续28外sEds0efsEds0qs在2ef112内efsEdsefsEefsEe0dse0dse0qs在i13ii2i1i23iqi1qi2qi3efsEEdse0sEdse0()+()E1+)总E2+Ei1+i2+3iqi1+qi2+qi31qiS一、真空中静电场的高斯定理通过任意封闭曲面的通量sEqisefEdssqcosdsESe01+-++-s任意封闭曲面（简称高斯面）q1q1iq3iq2iq2在真空中通过任一封闭曲面的电通量该曲面内电荷电量的代数和除以e0注意EqiS及在面ss内、外ds的合场强一切电荷的面元处s内的电荷电量的代数和续29续28一、真空中静电场的高斯定理++-+-q1q1iq3iq2iq2s任意封闭曲面通过任意封闭曲面的通量sEqisefEdssqcosdsESe01s内的电荷电量的代数和在面ss内、外ds的合场强一切电荷的面元处Q任意带电体s内的电荷电量的代数和dqQ积分（简称高斯面）应用：直线二、应用高斯定理求场强例“无限长”均匀带电直线的场强某些带电体的电场具有某种特殊的对称性分布，应用高斯定理，恰当选取高斯面，能方便地求出场强。sefEdsqiSe01sqcosdsEsE呈轴对称分布s同轴封闭圆柱面选取为ah线电荷密度ls内的qiSlh,s上、下底面的通量均为零EE圆柱侧面各点E等值与ds法线同向,且qcosdsEssEcos0dsE2pah由高斯定理得E2pahlhe0El2pae0应用：平面例“无限大”均匀带电平面的场强EE均匀，垂直于带电平面指向呈平面对称状态电荷面密度sssEEss选封闭s母线与两侧圆平面面积均为s圆柱面，平行E通过圆柱曲面通量为零，E垂直通过E由高斯定理E1qiSdsse0efsssE+2sEsE本题s2e0E得2sEe01ss32推广sssssssssss2e0s2e0Ex:s2e0s2e0Ex:s2e0s2e0+s2e0s2e000se0X应用：球面例均匀带电球面的场强ORrsEs电荷面密度PrR带电球面外大小必相等sE面上各点的合场强方向与正交s（与面元法线同向）作同心封闭球面sef由高斯定理EqiSdss1e0p4s2RE2p4rQ球面总电量得E2p4r1e0p4s2R1e0QOeE2rs2RQp4Oe2r续34ORrsEs电荷面密度PrR带电球面外大小必相等sE面上各点的合场强方向与正交s（与面元法线同向）作同心封闭球面sef由高斯定理EqiSdss1e0p4s2RE2p4rQ球面总电量得E2p4r1e0p4s2R1e0QOeE2rs2RQp4Oe2r例均匀带电球面的场强rR带电球面内s面上某点的合场强EE1+E2I的合场II的合场ROrssE1E2III将球面分割为III两部分P过POPE1E2与反向OP且与共线E1E2是否可相互抵消另作别论，E但其合场强的大小在面上各点必相同，s其方向必与该点的面元法线共线。由高斯定理EqiSdss1e0E2p4ref0E2p4r00Oe这与电荷元场强积分法结果是一致的应用：球体例均匀带电球体的场强由高斯定理EqiSdss1e0efrREp42rQ1e0p43R3r球体总电荷Ee032rR3rp42re0QrREp42r1e0p433rrEe03rR3rp4e0QrsE基于球体均匀带电同一半径的高斯面上rE的法线同向。等值，方向与各面元（均以带正电为例）POOrrRR电荷体密度r电荷体密度rr比较结果比较均匀带电球面与球体的场强结果OOrrRR电荷体密度r电荷体密度r总电量总电量QQORrs电荷面密度总电量总电量QQEORrQp4Oe2rOe2rs2ROERrEe03rR3rp4e0Qre032rR3rp42re0Q球面球体E0r()Rr()Rr()Rr()R静电保守力+qq0qcFEdlr+rdrrdbrb一、静电场力是保守力一、静电场力是保守力静电场的环路定理AdhFdlq0Ehdlq0Eqcosdlq0qr20e4p1qcosdlqr20e4p1q0rdA)abcdArabrqr20e4p1q0rdq0e4pq0()1rabr1试验电荷点电荷的电场qaradl无穷小续3+qq0qcFEdlr+rdrrdbrb一、静电场力是保守力一、静电场力是保守力静电场的环路定理AdhFdlq0Ehdlq0Eqcosdlq0qr20e4p1qcosdlqr20e4p1q0rdA)abcdArabrqr20e4p1q0rdq0e4pq0()1rabr1试验电荷点电荷的电场qaraA)abcdAq0e4pq0()1rabr1此结果表明qq0、一旦给定，电场力所作的功取决于移动试验电荷的始、末位置，而与移动路径无关。若沿任意闭合则电场力所做的功为零。即路线绕行一周，LA00qhLEdl闭点电荷系点电荷系的电场q12q++3qEq0试验电荷1E2E3Edlabc()abc(2E1E+EN+hhh+0qhdlabc(0q1Ehdl+abc(0q2Ehdl+hhh+abc(0qhdlEN1A+2A+hhh+AN因1A2AhhhAN，，，均与始、末位置有关，而与做功路径无关，故也有相同性质。AEE2E1E+N+hhh+合场强A0qabc(hEdl合电场力的功续5点电荷系的电场q12q++3qEq0试验电荷1E2E3Edlabc()abc(2E1E+EN+hhh+0qhdlabc(0q1Ehdl+abc(0q2Ehdl+hhh+abc(0qhdlEN1A+2A+hhh+AN因1A2AhhhAN，，，均与始、末位置有关，而与做功路径无关，故也有相同性质。AEE2E1E+N+hhh+合场强A0qabc(hEdl合电场力的功L0hdlLhdlLE1E+N+hhh++0+hhh+000q0qhdlL2E0qA闭EhdlL0q在点电荷系的电场中，试验电荷沿任意闭合路线绕行一周，合电场力所做的功为零。连续带电体的静电场也有相同的性质。保守力小结A00qhLEdl闭可见对任何形式分布的电荷所产生的静电场均成立。由于沿任一闭合回路做功为零的力称为保守力，故静电场力是保守力，静电场是保守力场。环路定理二、静电场的环路定理其中0q0故L0hEdlLhEdl积分称场强的环流。E静电场的环路定理在静电场中，场强沿任一闭合回路的线积分恒等于零。A00qhLEdl闭由，电势能三、电势能E任意路径ab0q静电场矢量场保守力场是又是可引入概念势能具有保守力场性质的矢量场称为势场试验电荷位于0qab点点静电系统具有电势能WaWb0q沿任意路径从到ab静电场力做的功Aab设其功能关系为()WaWbAabWbWa电场力做正功，系统的电势能减小。电势能是空间坐标的函数，其量值具有相对性。电势能零点的选择具有任意性。续9E静电场矢量场保守力场是又是可引入概念势能具有保守力场性质的矢量场称为势场三、电势能任意路径ab0q试验电荷位于0qab点点静电系统具有电势能WaWb0q沿任意路径从到ab静电场力做的功Aab设其功能关系为()WaWbAabWbWa电场力做正功，系统的电势能减小。P()0试验电荷位于0qa点点静电系统具有电势能WaW0q沿任意路径从到a静电场力做的功Aa设P()0P0P()0PAaPE0qdlhaP()0Wa0即WaE0qdlhaP()0电势能是空间坐标的函数，其量值具有相对性。电势能零点的选择具有任意性。试验电荷在电场某点的电势能，在量值上等于将试验电荷0qa沿任意路径移至电势能为零处的过程中，电场力所做的功。点电荷例0q+qaraErqr20e4p1r8P(0(任意路径例试验电荷处在0q点电荷qa的电场中电势能为点处的若选择无限远处为电势能零点P(0(，WaE0qdlhaP()0r8ra0qqr20e4p1dq0e4p10qra电势电势差电势Wa0qaP()0Edlh联想电势能与试验电荷有关0q不能描述电场自身性质若用比值Wa0q，则与无关。0q一、电势定义：电场中任意点的电势aVa单位正电荷在该点所具有的电势能单位正电荷从该点沿任意路径移至电势能零点处的过程中电场力所做的功VaWa0qaP()0dlhE电势也是相对的，其值与电势的零点选择有关。无限远或地表，常被选为理论或实验问题的电势零点。电势差二、电势差定义电场中任意两点、的电势差abUVUaVbaP()0dlhEP()0dlhEbadlhEb与电势零电的选择无关，静电场中任意两点的电势差其数值等于将单位正电荷由一点移到另一点的过程中，电场力所做的功。单位正电荷UVaVbAab0q亦即或Aab()0qVaVb0qU叠加原理电势叠加原理0q+qaraErqr20e4p1r8P(0(任意路径Waq0e4p10q回顾ra可知点电荷的电场中某点处aq的电势为VaWa0qq0e4p1ra点电荷的电势公式是计算电势具有标量叠加性。其它带电体系电势的基础。续14点电荷系电场中点处的电势aq12q++3qa1arr2a3raE1E2E3E合场强+E1NEE2++。。。V8电势aaEhdl。。。8adlE1h++8adlhNE8adlEh2+Va1+。。。VaVa++2N0e4p1q1ar+0e4p1qar+。。。+0e4p1qar2N12N即VaS0e4p1qarii总电势各点电荷电势代数和例求例已知+a2ddq+-q点处的电势解法提要：Va-q0e4p1d3q0e4p1d-6q0epd至于具有连续点荷分布的带电体，其电场中某点的电势可用点电荷电势积分法求解。电势计算法电势的两种常用计算方法电势叠加法VaS0e4p1qarii应用或Va0e4pqrdQ电势定义法应用VaaP()0dlhE带电环双例例计算电荷线密度为的带电细圆环垂轴上点的电势aVal+电势叠加法Va()hdlq0Rl+dqxaaX单位长度带电量dqdlRldql0e4pdVa1qd+R22xadVa0p2dq+R22xa0e4plRlR0e2+R22xa或+R22xa0e4pq，qlp2R电势定义法0Rl+haXxa8hEdla88xEdxVaxxa8xadx+R22x)(230e2lRx0e4pq+R22x)(23xE0e2lR8xa+R22x)(23xdxlR0e2+R22xa+R22xa0e4pq结果一致带电薄圆盘例用电势叠加法求均匀带电薄圆盘垂轴上某点的电势rsRxaaXhVa0hdr面电荷密度所取环带上含电量dqp2rsdrr+22xar利用上例结果在本题则为VR0dVaa0e4p+22xarp2rsdrqddVa0e4p+22xar()+R22xa+22xarr0e2sR0dr0e2sxa带电薄球壳例用电势定义法求均匀带电薄球壳内、外空间的电势分布+RQ薄球壳880r内r外外E内0外EV内E内hdr+8外Ehdrr20e4pQ08R+r20e4pQdr0e4pQR不变量Vr内RRr外8hdr外Er外8r20e4pQdr0e4pQr外与成反比r外Vr0R带电平行线例用电势定义法求一对均匀带等量异号电荷无限长直线外某点的电势P0()PaXYxy-l+l（电荷线密度）a,rr+ZP0选轴为零势线Z+EEhVPEP0drP0hh+drdr得VPr+a2p0erldr+ra2p0erdr-lln2p0elar+lnar2p0ellnr+r2p0elln22(x+a)+y22(xa)+y4p0el22(x+a)+y22(xa)+yln带电平行板X0EEE0se0ss+-0d电荷面密度例如图示两“无限大”均匀带电平行平面若选正电平面为零势面求、、区电势分布V()ixhd0Ex0x0V()hx0idxEx0se0ihidxse0xxd0dV()xEhidx+d0Ehidxse0dxd0VXd同轴带电柱例ABRABR同轴圆柱面A、B均匀带电单位高度A柱面带电B柱面带电ll求A、B柱面电势差由电势差定义EVABVAB.dlRABR.Erdr应用高斯定理可求得Er，带入后得lnVABVRABRdr2pe0rl2pe0lBRRA同轴带电环例用电势定义法求一对均匀带等量异号电荷等半径共轴圆环圆心间的电势差x+0RXR0qqaIIIx0e4pq+R22x)(23xEIxEIIx0e4pq+R2232x)(axEIxEII+xEhEdU00xa0xdxa0xEI+a0xEIIdxx0e4pq+R22x)(23a0dx+a0x0e4pq+R2232x)(adx0e4pqR2+x21+R2+2x)(a10a20epqR)(1R2+21a等势面等势面等势面（亦称等位面）在电场中电势相同的点所构成的曲面。性质电场强度（或电场线）与等势面处处正交。较密集；电场强度小的地方电场强度大的地方等势面等势面较稀疏。带电体带电体+++++++E电电场场线线等等势势面面点电荷势场等势面等势面场电线电场线+电偶极势场+-电场线电场线等势面等势面电容器势场++++++++++++++++++电场线等势面电导块势场等势面等势面电场线电场线++++++++++++++++++++++++++++++++++综合势场图+等势面等势面场电线电场线++++++++++++++++++电场线等势面+-电场线电场线等