数学物理方程与特殊函数：引言

数学物理方程与特殊函数推荐参考书1.《数学物理方程与特殊函数》王元明编高等教育出版社2.《数学物理方法》

梁昆淼编高等教育出版社3.《数学物理方程讲义》姜礼尚、陈亚浙、刘西垣、易法槐编高等教育出版社4.PartialDifferentialEquations:AnIntroductionWalterA.StraussJohnWiley&Sons,Inc.数学物理方程

数学物理方程以具有物理背景的偏微分方程作为研究的主要对象。它与物理、力学等自然科学和工程技术的很多领域都有着广泛的联系。当研究弹性体的振动、电磁波的传播、热的传导、粒子的扩散等物理过程和状态时，归结出一类偏微分方程－－数学物理方程。

课程内容数学物理方程的基本概念三种典型方程的定解问题的常用解法特殊函数及其应用物理学中的方程1.Newtonequation2.Schrödingerequation3.Einsteinequations4.Boltzmannequation5.Maxwell’sequations6.Navier-Stokesequations基本概念微分方程:含有自变量,未知函数以及未知函数的导数或微分的方程叫微分方程。常微分方程：未知函数为一元函数的微分方程。偏微分方程:未知函数为多元函数的微分方程。其中若函数满足方程(1)，则称为方程(1)的解。例如设都是偏微分方程。容易验证下列两个函数是方程的解。

例如，方程是二阶偏微分方程，偏微分方程中，未知函数的偏导数的最高阶数称为偏微分方程的阶。而方程是三阶偏微分方程。如果一个偏微分方程对于未知函数及其所有偏导数来说都是线性的，且方程中每一项的系数都仅依赖于自变量（或者为常数），则称为线性偏微分方程。一个偏微分方程若不是线性的，则称为非线性偏微分方程。例如，方程是一个二阶线性偏微分方程，都是非线性偏微分方程。而方程本书主要研究对象：n个自变量的二阶线性偏微分方程。如果，则称方程为齐次的；否则就称为非齐次的。其中系数都是自变量的函数。定义对n个函数如果存在不全为零的常数使得则称函数线性相关，否则称其为线性无关。定理函数线性无关当且仅当其朗斯基行列式

求解常微分方程时，常用方法是先求出方程的通解,然后根据给定的条件确定特解。其中n

阶常微分方程的通解依赖于n个常数,它可以表示成n个线性无关函数的线性组合。然而对偏微分方程来说，这样的结论一般不成立。这是由于每一个线性齐次偏微分方程的解空间都是无限维的函数空间。例：考虑二阶方程：解：分别对

x

和

y积分，可以知道方程的解形如：其中，g(x)和

h(y)都是任意可微函数。方程(3)有无限多个线性无关的解。例：设

u

是三个自变量

x,y,z

的函数，那么方程有通解其中

f,g

都是自变量

x,z

的任意函数。一般来说，偏微分方程的解很难用通解的形式给出。而在实际应用问题中，重要的不是求出方程的通解，而是求出满足给定条件的方程特解。

含有两个自变量

x,y

的未知函数

u的二阶线性偏微分方程可以写成如下形式：其中系数都是

x,y

的函数，且

A,B,C

不同时为零。我们还假设函数

u及其系数都是二次连续可导的。两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类如果方程在一个区域内的每点都是双曲型、抛物型或椭圆型的，那么就称方程在这个区域内是双曲型、抛物型或椭圆型。在点称为是双曲型、抛物型或椭圆型的，为正、为零或者为负而确定的。

是根据式子方程例：设满足方程：这里，判别式可以看出方程在坐标轴上是抛物型的，在坐