高二数学 三垂线定理 赛课

PaAOα三垂线定理（一)编辑ppt一、复习引入：问题1、直线和平面垂直的定义？问题2、直线和平面垂直的判定定理。编辑ppt1、直线和平面垂直的定义？2、直线和平面垂直的判定定理。如果一条直线和一个平面内的任意直线都垂直，那么这条直线和这个平面互相垂直。如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。直线和平面垂直的性质定理：如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任何一条直线垂直。即“线线垂直

线面垂直”即“线面垂直

线线垂直”编辑pptPO是平面α的斜线,O为斜足;

PA是平面α的垂线,A为垂足;AO是PO在平面α内的射影.APoαa

问题3

从问题3可以猜想到什么？编辑ppt垂线在平面内的射影是一个点，斜线在平面内的射影是一条直线。斜线段在平面内的射影是一条线段编辑ppt

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。三垂线定理PaAOα二、定理证明编辑ppt性质定理判定定理性质定理线面垂直①线线垂直②线面垂直③线线垂直PO

平面PAO∪a⊥PO③

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。AO⊥a②a⊥平面PAO证明：PA⊥αa

α∪①PA⊥aPaAoα编辑ppt平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直三垂线定理的逆定理？编辑ppt在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。PAOaα

已知：PA、PO分别是平面的垂线和斜线，AO是PA在平面的射影,a,a⊥PO求证：a

⊥AO三垂线定理的逆定理编辑pptAaOP二.定理解析：

1、两个定理有一个共同条件“在平面内”

定理包括5个要素：一面(垂面)；四线（斜线PO、垂线PA、射影AO和平面内的直线a）2、定理包括几个要素？编辑pptPAOaα3、两个定理中包括三种垂直关系：②线射垂直PAOaα①线面垂直③线斜垂直PAOaα直线和平面垂直平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直平面内的直线和平面的一条斜线垂直

编辑ppt即:线射垂直线斜垂直

定理逆定理4、定理的实质可作为线线垂直的判定，线可以是交线，也可以是异面！P0Aaαedcb编辑ppt已知：PO⊥正方形OBCD所在平面，A为对角线BD的中点，求证：PA⊥BD，PC⊥BDPAOBCD证明:∵OBCD为正方形A为BD的中点∴AO⊥BD又AO是PA在OBCD上的射影PA⊥BD

同理，OC⊥BD

OC是PC在ABCD上的射影PC⊥BD例题讲解编辑ppt1、已知点O是的BC边的高上的任意一点，平面ABC，求证：BCPAO练习1：编辑ppt例2如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。已知：∠BAC在平面内，点P，PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥，垂足分别是E、F、O，PE=PF求证：∠BAO=∠CAO分析：要证∠BAO=∠CAO只须证OE=OF,OE⊥AB,OF⊥AC???证明：∵PO⊥∴OE、OF是PE、PF在内的射影∵PE=PF∴OE=OF由OE是PE的射影且PE⊥ABOE⊥AB同理可得OF⊥AC结论成立PABCOFE编辑ppt2、如图,PD平面ABC,AC=BC,D为AB的中点,求证:ABPC.证明:∵AC=BC,D为AB的中点,∴ABCD又∵PD平面ABC∴ABPC练习2：编辑pptPABCD3.如图,ABCD是矩形,PA面ABCD,连接PB,PC,PD,指出下列三角形是不是直角三角形,并说明理由.(4)PCD.(1)PAB;(2)PAD;(3)PBC;PAABPAADBCPBCDPD编辑ppt4.正方体ABCD–A'B'C'D'中,B'D是否垂直下列直线或平面?(1)AC;(2)CD';(3)AD';编辑ppt直线a一定要在平面内，如果a不在平面内，定理就不一定成立。PAOaα例如：当b⊥时，

b⊥OA1、如果将定理中“在平面内”的条件去掉，结论仍然成立吗？b但

b不垂直于OP解题回顾编辑pptPAOaαbcde三垂线定理是平面的一条斜线与平面内的直线垂直的判定定理，这两条直线可以是：①相交直线②异面直线2、使用三垂线定理还应注意些什么？解题回顾编辑ppt3、三垂线定理(逆定理)解题的关键：找三垂！一找直线和平面垂直二找平面内的一条直线和平面的斜线在平面内的射影垂直注意：由一垂、二垂直接得出第三垂,并不是三垂都作为已知条件解题回顾PAOaα三找平面内一条直线和平面的斜线垂直(线面垂直）(线射垂直）(线斜垂直）即：编辑pptPMCABPAOaαOAαaP

4、我们要学会从不同已知条件（组合图形）中找出或者创造出符合三垂线定理的条件解题回顾，怎么找？ADD1A1

C1

CBB1编辑ppt五.课堂小结对定理的理解与应用应该注意：

1.“在平面内”不能省略

2.定理的5要素（一面，四线）

3.“三垂”指线面垂直；线射垂直；线斜垂直

4.定理可作为线线垂直的判定，线可以相交或异面5.线射垂直线斜垂直定理逆定理

定理解题的关键是找“三垂”编辑ppt思考题：1、“斜线段相等则射影也相等”这一说话对吗？2、在四面体ABCD的四个面中最多可以有几个直角三角形？3、在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD求证：AD⊥BC编辑ppt六.作业1、复习课本25—27页2、家庭作业：课本习题9.4第5、6题编辑ppt感谢!

2010年12月15日编辑ppt练习：直接利用三垂线定理证明下列各题：(1)

已知：PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点求证：PO⊥BD，PC⊥BD(3)已知：在正方体AC1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1(2)已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BC⊥AMADCBA1D1B1C1(1)(2)BPMCA(3)POABCD编辑ppt(1)

PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点，求证：PO⊥BD，PC⊥BDPOABCD证明:∵ABCD为正方形

O为BD的中点∴AO⊥BD又AO是PO在ABCD上的射影PO⊥BD

同理，AC⊥BD

AC是PC在ABCD上的射影PC⊥BD编辑pptPMCAB(2)已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，

M是BC的中点，求证：BC⊥AMBC⊥AM证明:∵PB=PCM是BC的中点PM

⊥BC∵PA⊥平面PBC∴PM是AM在平面PBC上的射影编辑ppt(3)在正方体AC1中，求证：A1C⊥BC1，A1C⊥B1D1∵在正方体AC1中