计算方法非线性方程求解1课件

第二章非线性方程数值解§1基础知识求f(x)=0的根,其中f(x)为非线性函数。

此类问题

在工程和科学计算中，此类问题广泛存在。当f(x)为代数多项式时，称为代数方程，否则为超越方程。第二章非线性方程数值解§1基础知识求f(x1§2二分法原理：若f

C[a,b]，且f(a)·f(b)<0，则f在(a,b)上必有一根。abx1x2abx*2xx*§2二分法原理：若fC[a,b]，且f(2误差分析：第1步产生的有误差第k+1步产生的xk

有误差对于给定的精度,可估计二分法所需的步数k：优点：①简单;②对f(x)

要求不高(只要连续即可).缺点：①无法求复根及偶重根②收敛慢误差分析：第1步产生的有误差第k+1步产生的xk有3计算方法非线性方程求解1课件4计算方法非线性方程求解1课件5

迭代法是数值计算中的一类重要方法，应用广泛。

迭代法是一种重要的逐次逼近方法。这种方法用某个固定公式反复校正根的近似值，使之逐步精确化，最后得到满足精度要求的结果。§2迭代法等价变换为的不动点由此也称为不动点迭代法，迭代法的一般形式：迭代法是数值计算中的一类重要方法，应用广泛。6,…,,….迭代公式若收敛，即存在x*使得

，且

连续，则由可知，即是的不动点，也就是f的根。从一个初值

出发，计算,…,,….迭代公式若收敛，7xyy=xxyy=xxyy=xxyy=xx*x*x*x*x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p1y=(x)y=(x)y=(x)y=(x)xyy=xxyy=xxyy=xxyy=xx*8计算方法非线性方程求解1课件9(I)当x[a,b]时，(x)[a,b]；(II)0L<1使得

则任取x0[a,b]，由xk+1=(xk)得到的序列收敛于(x)在[a,b]上的唯一不动点。并且有误差估计式：(k=1,2,…)k考虑方程x=(x),(x)C[a,b],若定理1(I)当x[a,b]时，(x)[a,10从一个初值出发，计算则Newton’sMethod产生的序列{xk}收敛到f(x)在[a,b]的唯一根。由Taylor展开：对于给定的精度,可估计二分法所需的步数k：（收敛的充分条件）设fC2[a,b]，若由Taylor展开：求f(x)=0的根,其中f(x)为非线性函数。(k=1,2,…)(3)将(x*x0)2看成高阶小量，则有：用某个固定公式反复校正根的近似值，使之逐步精①简单;三个迭代值组合的方法：迭代法是数值计算中的一类重要方法，应用广泛。考虑方程x=(x),(x)C[a,b],若用某个固定公式反复校正根的近似值，使之逐步精注2注1从一个初值出发，计算注2注111②不动点唯一反证：若不然，设还有，则而③当k

时，

xk收敛到x*？令有根证明：①(x)在[a,b]上存在不动点②不动点唯一反证：若不然，设还有12④⑤⑥④⑤⑥13计算方法非线性方程求解1课件14计算方法非线性方程求解1课件15计算方法非线性方程求解1课件16由此也称为不动点迭代法，(I)当x[a,b]时，(x)[a,b]；原理：若fC[a,b]，且f(a)·f(b)<0，则f在(a,b)上必有一根。在整个[a,b]上f”不变号且f’(x)0；三个迭代值组合的方法：引入：将非线性方程线性化——Taylor展开(k=1,2,…)其中，则其中，则在整个[a,b]上f’(x)0,f”(x)0；原理：若fC[a,b]，且f(a)·f(b)<0，则f在(a,b)上必有一根。若收敛，即存在x*使得，在x0和x之间。f(a)f(b)<0；代入公式，令实、虚部对应相等，可得（局部收敛性）设fC2[a,b]，若x*为f(x)在[a,b]上的根，且f’(x*)0，则存在x*的邻域使得任取初值，Newton’sMethod产生的序列{xk}收敛到x*，且满足①无法求复根及偶重根只要f’(x*)0，则令引入：将非线性方程线性化——Taylor展开由此也称为不动点迭代法，17连续连续18注：事实上，定理3是充分必要的，即另有结论：注：事实上，定理3是充分必要的，即另有结论：19计算方法非线性方程求解1课件20计算方法非线性方程求解1课件21两个迭代值组合的方法：两个迭代值组合的方法：22计算方法非线性方程求解1课件23三个迭代值组合的方法：三个迭代值组合的方法：24取x0x*，将f(x)在x0做一阶Taylor展开:将(x*x0)2看成高阶小量，则有：f(a)f(b)<0；在整个[a,b]上f’(x)0,f”(x)0；迭代法是一种重要的逐次逼近方法。则Newton’sMethod产生的序列{xk}收敛到f(x)在[a,b]的唯一根。则任取x0[a,b]，Newton’sMethod产生的序列{xk}从一个初值出发，计算在整个[a,b]上f’(x)0,f”(x)0；由此也称为不动点迭代法，，且连续，则由可知，即是的不动点，也就是f的根。引入：将非线性方程线性化——Taylor展开f(a)f(b)<0；求复根——Newton公式中的自变量可以是复数迭代法是数值计算中的一类重要方法，应用广泛。原理：若fC[a,b]，且f(a)·f(b)<0，则f在(a,b)上必有一根。第二章非线性方程数值解(3)选取x0[a,b]使得f(x0)f”(x0)>0；由此也称为不动点迭代法，(k=1,2,…)代入公式，令实、虚部对应相等，可得xyy=xy=g(x)x*x0P(x0,y0)y0

z0P(y0,z0)取x0x*，将f(x)在x0做一阶Taylo25计算方法非线性方程求解1课件26计算方法非线性方程求解1课件27计算方法非线性方程求解1课件28§3牛顿法引入：将非线性方程线性化——Taylor展开取x0

x*，将f(x)在x0做一阶Taylor展开:，在x0和x之间。将(x*

x0)2看成高阶小量，则有：xyx*x0（fC1，f’(x*)

0）单根情形§3牛顿法引入：将非线性方程线性化——Taylor29定理1（收敛的充分条件）设f

C2[a,b]，若f(a)f(b)<0；在整个[a,b]上f”不变号且f’(x)0；(3)选取x0

[a,b]使得f(x0)f”(x0)>0；则Newton’sMethod产生的序列{xk}收敛到f(x)在[a,b]的唯一根。定理1（收敛的充分条件）设fC30计算方法非线性方程求解1课件31定理2（局部收敛性）设f

C2[a,b]，若x*

为f(x)在[a,b]上的根，且f’(x*)0，则存在x*的邻域使得任取初值，Newton’sMethod产生的序列{xk}收敛到x*，且满足定理2（局部收敛性）设fC2[32证明：Newton’sMethod事实上是一种特殊的不动点迭代其中，则收敛由Taylor展开：只要f’(x*)0，则令可得结论。证明：Newton’sMethod事实上是一种特殊的不动33计算方法非线性方程求解1课件34计算方法非线性方程求解1课件35计算方法非线性方程求解1课件36定理3（全局收敛性定理）设f

C2[a,b]，若f(a)f(b)<0；在整个[a,b]上f’(x)0,f”(x)0；(3)则任取x0

[a,b]，Newton’sMethod产生的序列{xk}都收敛到f(x)=0在[a,b]的根x*。定理3（全局收敛性定理）设fC37重根情形重根情形38计算方法非线性方程求解1课件39计算方法非线性方程求解1课件40计算方法非线性方程求解1课件41计算方法非线性方程求解1课件42原理：若由xk得到的xk+1不能使|f|减小，则在xk和xk+1之间找一个更好的点，使得。xkxk+1原理：若由xk得到的xk+1不能使|f|减小43求复根——Newton公式中的自变量可以是复数记z=x+iy,z0为初值，同样有设代入公式，令实、虚部对应相等，可得求复根——Newton公式中的自变量可以是复数记z44引入：将非线性方程线性化——Taylor展开(I)当x[a,b]时，(x)[a,b]；确化，最后得到满足精度要求的结果。代入公式，令实、虚部对应相等，可得证明：①(x)在[a,b]上存在不动点迭代法是数值计算中的一类重要方法，应用广泛。取x0x*，将f(x)在x0做一阶Taylor展开:(3)选取x0[a,b]使得f(x0)f”(x0)>0；都收敛到f(x)=0在[a,b]的根x*。由此也称为不动点迭代法，第k+1步产生的xk有误差取x0x*，将f(x)在x0做一阶Taylor展开:考虑方程x=(x),(x)C[a,b],若将(x*x0)2看成高阶小量，则有：都收敛到f(x)=0在[a,b]的根x*。引入：将非线性方程线性化——Taylor展开f(a)f(b)<0；(k=1,2,…)迭代法是一种重要的逐次逼近方法。都收敛到f(x)=0在[a,b]的根x*。§4引入：将非线性方程线性化——Taylor展开§445计算方法非线性方程求解1课件46计算方法非线性方程求解1课件47计算方法非线性方程求解1课件48计算方法非线性方程求解1课件49§5§550计算方法非线性方程求解1课件51将(x*x0)2看成高阶小量，则有：第k+1步产生的xk有误差（局部收敛性）设fC2[a,b]，若x*为f(x)在[a,b]上的根，且f’(x*)0，则存在x*的邻域使得任取初值，Newton’sMethod产生的序列{xk}收敛到x*，且满足（局部收敛性）设fC2[a,b]，若x*为f(x)在[a,b]上的根，且f’(x*)0，则存在x*的邻域使得任取初值，Newton’sMethod产生的序列{xk}收敛到x*，且满足由此也称为不动点迭代法，(3)(3)选取x0[a,b]使得f(x0)f”(x0)>0；引入：将非线性方程线性化——Taylor展开代入公式，令实、虚部对应相等，可得由Taylor展开：记z=x+iy,z0为初值，同样有从一个初值出发，计算由此也称为不动点迭代法，取x0x*，将f(x)在x0做一阶Taylor展开:在整个[a,b]上f”不变号且f’(x)0；三个迭代值组合的方法：由此也称为不动点迭代法，(3)选取x0[a,b]使得f(x0)f”(x0)>0；迭代法是数值计算中的一类重要方法，应用广泛。取x0x*，将f(x)在x0做一阶Taylor展开:在整个[a,b]上f’(x)0,f”(x)0；由此也称为不动点迭代法，都收敛到f(x)=0在[a,b]的根x*。记z=x+iy,z0为初值，同样有由此也称为不动点迭代法，求f(x)=0的根,其中f(x)为非线性函数。将(x*x0)2看成高阶小量，则有：引入：将非线性方程线性化——Taylor展开(k=1,2,…)若收敛，即存在x*使得第二章非线性方程数值解(k=1,2,…)(3)选取x0[a,b]使得f(x0)f”(x0)>0；引入：将非线性方程线性化——Taylor展开考虑方程x=(x),(x)C[a,b],若两个迭代值组合的方法：确化，最后得到满足精度要求的结果。三个迭代值组合的方法：原理：若fC[a,b]，且f(a)·f(b)<0，则f在(a,b)上必有一根。原理：若由xk得到的xk+1不能使|f|减小，则在xk和xk+1之间找一个更好的点，使得。将(x*x0)2看成高阶小量，则有：由此也称为不动52第二章非线性方程数值解§1基础知识求f(x)=0的根,其中f(x)为非线性函数。

此类问题

在工程和科学计算中，此类问题广泛存在。当f(x)为代数多项式时，称为代数方程，否则为超越方程。第二章非线性方程数值解§1基础知识求f(x53§2二分法原理：若f

C[a,b]，且f(a)·f(b)<0，则f在(a,b)上必有一根。abx1x2abx*2xx*§2二分法原理：若fC[a,b]，且f(54误差分析：第1步产生的有误差第k+1步产生的xk

有误差对于给定的精度,可估计二分法所需的步数k：优点：①简单;②对f(x)

要求不高(只要连续即可).缺点：①无法求复根及偶重根②收敛慢误差分析：第1步产生的有误差第k+1步产生的xk有55计算方法非线性方程求解1课件56计算方法非线性方程求解1课件57

迭代法是数值计算中的一类重要方法，应用广泛。

迭代法是一种重要的逐次逼近方法。这种方法用某个固定公式反复校正根的近似值，使之逐步精确化，最后得到满足精度要求的结果。§2迭代法等价变换为的不动点由此也称为不动点迭代法，迭代法的一般形式：迭代法是数值计算中的一类重要方法，应用广泛。58,…,,….迭代公式若收敛，即存在x*使得

，且

连续，则由可知，即是的不动点，也就是f的根。从一个初值

出发，计算,…,,….迭代公式若收敛，59xyy=xxyy=xxyy=xxyy=xx*x*x*x*x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p1y=(x)y=(x)y=(x)y=(x)xyy=xxyy=xxyy=xxyy=xx*60计算方法非线性方程求解1课件61(I)当x[a,b]时，(x)[a,b]；(II)0L<1使得

则任取x0[a,b]，由xk+1=(xk)得到的序列收敛于(x)在[a,b]上的唯一不动点。并且有误差估计式：(k=1,2,…)k考虑方程x=(x),(x)C[a,b],若定理1(I)当x[a,b]时，(x)[a,62从一个初值出发，计算则Newton’sMethod产生的序列{xk}收敛到f(x)在[a,b]的唯一根。由Taylor展开：对于给定的精度,可估计二分法所需的步数k：（收敛的充分条件）设fC2[a,b]，若由Taylor展开：求f(x)=0的根,其中f(x)为非线性函数。(k=1,2,…)(3)将(x*x0)2看成高阶小量，则有：用某个固定公式反复校正根的近似值，使之逐步精①简单;三个迭代值组合的方法：迭代法是数值计算中的一类重要方法，应用广泛。考虑方程x=(x),(x)C[a,b],若用某个固定公式反复校正根的近似值，使之逐步精注2注1从一个初值出发，计算注2注163②不动点唯一反证：若不然，设还有，则而③当k

时，

xk收敛到x*？令有根证明：①(x)在[a,b]上存在不动点②不动点唯一反证：若不然，设还有64④⑤⑥④⑤⑥65计算方法非线性方程求解1课件66计算方法非线性方程求解1课件67计算方法非线性方程求解1课件68由此也称为不动点迭代法，(I)当x[a,b]时，(x)[a,b]；原理：若fC[a,b]，且f(a)·f(b)<0，则f在(a,b)上必有一根。在整个[a,b]上f”不变号且f’(x)0；三个迭代值组合的方法：引入：将非线性方程线性化——Taylor展开(k=1,2,…)其中，则其中，则在整个[a,b]上f’(x)0,f”(x)0；原理：若fC[a,b]，且f(a)·f(b)<0，则f在(a,b)上必有一根。若收敛，即存在x*使得，在x0和x之间。f(a)f(b)<0；代入公式，令实、虚部对应相等，可得（局部收敛性）设fC2[a,b]，若x*为f(x)在[a,b]上的根，且f’(x*)0，则存在x*的邻域使得任取初值，Newton’sMethod产生的序列{xk}收敛到x*，且满足①无法求复根及偶重根只要f’(x*)0，则令引入：将非线性方程线性化——Taylor展开由此也称为不动点迭代法，69连续连续70注：事实上，定理3是充分必要的，即另有结论：注：事实上，定理3是充分必要的，即另有结论：71计算方法非线性方程求解1课件72计算方法非线性方程求解1课件73两个迭代值组合的方法：两个迭代值组合的方法：74计算方法非线性方程求解1课件75三个迭代值组合的方法：三个迭代值组合的方法：76取x0x*，将f(x)在x0做一阶Taylor展开:将(x*x0)2看成高阶小量，则有：f(a)f(b)<0；在整个[a,b]上f’(x)0,f”(x)0；迭代法是一种重要的逐次逼近方法。则Newton’sMethod产生的序列{xk}收敛到f(x)在[a,b]的唯一根。则任取x0[a,b]，Newton’sMethod产生的序列{xk}从一个初值出发，计算在整个[a,b]上f’(x)0,f”(x)0；由此也称为不动点迭代法，，且连续，则由可知，即是的不动点，也就是f的根。引入：将非线性方程线性化——Taylor展开f(a)f(b)<0；求复根——Newton公式中的自变量可以是复数迭代法是数值计算中的一类重要方法，应用广泛。原理：若fC[a,b]，且f(a)·f(b)<0，则f在(a,b)上必有一根。第二章非线性方程数值解(3)选取x0[a,b]使得f(x0)f”(x0)>0；由此也称为不动点迭代法，(k=1,2,…)代入公式，令实、虚部对应相等，可得xyy=xy=g(x)x*x0P(x0,y0)y0

z0P(y0,z0)取x0x*，将f(x)在x0做一阶Taylo77计算方法非线性方程求解1课件78计算方法非线性方程求解1课件79计算方法非线性方程求解1课件80§3牛顿法引入：将非线性方程线性化——Taylor展开取x0

x*，将f(x)在x0做一阶Taylor展开:，在x0和x之间。将(x*

x0)2看成高阶小量，则有：xyx*x0（fC1，f’(x*)

0）单根情形§3牛顿法引入：将非线性方程线性化——Taylor81定理1（收敛的充分条件）设f

C2[a,b]，若f(a)f(b)<0；在整个[a,b]上f”不变号且f’(x)0；(3)选取x0

[a,b]使得f(x0)f”(x0)>0；则Newton’sMethod产生的序列{xk}收敛到f(x)在[a,b]的唯一根。定理1（收敛的充分条件）设fC82计算方法非线性方程求解1课件83定理2（局部收敛性）设f

C2[a,b]，若x*

为f(x)在[a,b]上的根，且f’(x*)0，则存在x*的邻域使得任取初值，Newton’sMethod产生的序列{xk}收敛到x*，且满足定理2（局部收敛性）设fC2[84证明：Newton’sMethod事实上是一种特殊的不动点迭代其中，则收敛由Taylor展开：只要f’(x*)0，则令可得结论。证明：Newton’sMethod事实上是一种特殊的不动85计算方法非线性方程求解1课件86计算方法非线性方程求解1课件87计算方法非线性方程求解1课件88定理3（全局收敛性定理）设f

C2[a,b]，若f(a)f(b)<0；在整个[a,b]上f’(x)0,f”(x)0；(3)则任取x0

[a,b]，Newton’sMethod产生的序列{xk}都收敛到f(x)=0在[a,b]的根x*。定理3（全局收敛性定理）设fC89重根情形重根情形90计算方法非线性方程求解1课件91计算方法非线性方程求解1课件92计算方法非线性方程求解1课件93计算方法非线性方程求解1课件94原理：若由xk得到的xk+1不能使|f|减小，则在xk和xk+1之间找一个更好的点，使得。xkxk+1原理：若由xk得到的xk+1不能使|f|减小95求复根——Newton公式中的自变量可以是复数记z=x+iy,z0为初值，同样有设代入公式，令实、虚部对应相等，可得求复根——Newton公式中的自变量可以是复数记z96引入：将非线性方程线性化——Taylor展开(I)当x[a,b]时，(x)[a,b]；确化，最后得到满足精度要求的结果。代入公式，令实、虚部对应相等，可得证明：①(x)在[a,b]上存在不动点迭代法是数值计算中的一类重要方法，应用广泛。取x0x*，将f(x)在x0做一阶Taylor展开:(3)选取x0[a,b]使得f(x0)f”(x0)>0；都收敛到f(x)=0在[a,b]的根x*。由此也称为不动点迭代法，第k+1步产生的xk有误差取x0x*，将f(x)在x0做一阶Taylor展开:考虑方程x=(x),(x)C[a,b],若将(x*x0)2看成高阶小量，则有：都收敛到f(x)=0在[a,b]的根x*。引入：将非线性方程线性化——Taylor展开f(a)f(b)<0；(k=1,2,…)迭代法是一种重要的逐次逼近方法。都收敛到f(x)=0在[a,b]的根x*。§4引入：