清华大学材料显微结构分析05-织构分布函数微晶尺寸XRD测定

材料显微结构分析方法清华大学研究生课程清华大学材料显微结构分析05-织构分布函数微晶尺寸XRD测定共41页，您现在浏览的是第1页!四.织构的取向分布函数

正极图：

同一(hkl)在空间(大范围)的分布(透反射)反极图：

同一宏观方向(小范围)上不同(hkl)的分布密度(衍射仪)1.空间分布函数：(极坐标)

相对某一宏观方向同一(hkl)在空间(小范围)的分布(衍射仪)即：某晶面如(00l)的极点密度在板面法线的小角度范围内的角分布(天顶角)A(.)R.DN清华大学材料显微结构分析05-织构分布函数微晶尺寸XRD测定共41页，您现在浏览的是第2页!对于正极图：

例如：极化后的50/50PZT材料

四方系

具有{001}uvw型面织构

∵

面织构呈对称分布

∴

只需要考虑

1.空间分布函数：∵

衍射仪法中只能获得：∴

必须建立

Ihkl(

=0)与I00l(≠0)之关系

进而确定Whkl(=0)与W00l(

≠0)的关系

Ihkl(

=0)清华大学材料显微结构分析05-织构分布函数微晶尺寸XRD测定共41页，您现在浏览的是第3页!∵任一(hkl)与(00l)存在唯一的夹角关系如有{HKL}面织构，令HKL为00l

则有：Ihkl(=0)可以反映∵(hkl)∧(00l)=

I00l(

=,

≠0)Whkl(=0)与W00l(

≠0)关系的确定：设单位参考球平板试样可衍射的小面积dA

设dA内极点密度：Whkl(

=0)

故dA内极点总数：Nhkl(=0)=

Whkl(=0)•dA

……(1/)dA[uvw][001](hkl)(00l)清华大学材料显微结构分析05-织构分布函数微晶尺寸XRD测定共41页，您现在浏览的是第4页!dAdA'2SindAIdWhkl(=0)与W00l(

≠0)关系的确定：AII∴AI上的dA小区由Nhkl(

=0)个畴胞贡献的(00l)晶面极点数n：……(5)而dA

中的(00l)极点总数N00l(0)应为AII环带中的所有(hkl)晶面极点所贡献，

……(6)

则有：

……(7)

清华大学材料显微结构分析05-织构分布函数微晶尺寸XRD测定共41页，您现在浏览的是第5页!Whkl(=0)与W00l(

≠0)关系的确定：即：所以：

……(9)

Whkl(

=0)=W00l(

0)

板面法线上(

=0)的(hkl)的极点密度恰好是

方向上(00l)的极点密度。

同理：结论：(hkl)∧(00l)=……(10)

dAdA´2SindAIAIId清华大学材料显微结构分析05-织构分布函数微晶尺寸XRD测定共41页，您现在浏览的是第6页!(正极图)的归一化标准:半球上的极点密度:

……(12)极点随均匀分布

∴

∵……(13)的处理

(2)单位参考球[001][uvw][001](hkl)(00l)清华大学材料显微结构分析05-织构分布函数微晶尺寸XRD测定共41页，您现在浏览的是第7页!五.摇摆曲线(RockingCurve)

晶体为一种X射线的衍射光栅，晶体的一族平行晶面简化为一列平行线，三维的衍射问题简化为一维的衍射问题，根据一维X射线衍射的运动学理论。衍射强度随衍射角变化的关系为：I.原理：式中：I为X射线的衍射强度A、B为常量为与衍射极大值所对应的Bragg角的角位移当衍射角满足Bragg衍射条件时，衍射强度获极大。清华大学材料显微结构分析05-织构分布函数微晶尺寸XRD测定共41页，您现在浏览的是第8页!衍射强度随衍射角变化的曲线即为摇摆曲线。

II.理想晶体的摇摆曲线一种极限情况是该晶面只平行于样品面生长，晶面在样品中角发散很小。单晶体0摇摆曲线中只有在横坐标为零时，才会有衍射强度。

*如果忽略仪器线形导致的衍射线宽化，摇摆曲线为一条垂直于横坐标的直线。**如果考虑仪器线形导致的衍射线宽化，摇摆曲线为一具有一定半峰宽D（仪器线形）的(窄)衍射峰。

D(hkl)dN反射X线入射X线X光管固定探测器固定试样清华大学材料显微结构分析05-织构分布函数微晶尺寸XRD测定共41页，您现在浏览的是第9页!0IV.理想(无择优取向)多晶结构的摇摆曲线晶体(晶面)在样品中的生长是完全随机的，又该晶面(hkl)与试样表面形成的各个角度的可能性均等，因此，摇摆曲线无论横坐标为何值，即如何变化，

即该衍射面的衍射强度都是一样的，为一条平行于横坐标的直线。这样的摇摆曲线可以理解为一条半高宽D为无限大的峰。D(hkl)可视为小(大)角晶界为满足2dsin=，

考虑仪器宽度清华大学材料显微结构分析05-织构分布函数微晶尺寸XRD测定共41页，您现在浏览的是第10页!VI.具有择优取向BNKT陶瓷的摇摆曲线实例(200)衍射峰，2为46.57主要实验条件即摇摆曲线固定为22.3

摇摆曲线旋转范围：15°即扫描角范围：8~38.5BNKT6陶瓷的摇摆曲线(a)无序试样(b)有序试样

织构化BNKT陶瓷的SEM照片*实验结果无序BNKT陶瓷：摇摆峰半高宽14有序BNKT陶瓷：摇摆峰半高宽11.5∵11.5<

14∴存在择优取向()织构取向分布函数(a)实验数据

(b)拟合数据清华大学材料显微结构分析05-织构分布函数微晶尺寸XRD测定共41页，您现在浏览的是第11页!即：

+

也存在一定衍射强度

那么，光程差∆ℓ

：

∆ℓ=2dSin(+)=2dSinCos+2dSinCos

=+2dCos

22+2122-212=412hkl一.基本原理

Bragg公式：

2dSin=∆ℓ=

当晶体尺寸为nm量级时，衍射峰展宽。

衍射峰半高宽：hkl=412……(1)……(2)……(3)当晶体尺寸为m量级时，衍射峰尖锐。

清华大学材料显微结构分析05-织构分布函数微晶尺寸XRD测定共41页，您现在浏览的是第12页!2hkl＃爱瓦尔德作图法：

反射球半径1/=

22①当晶体无限厚,

落在爱氏球面(反射球面)上。

∵∴

(hkl)*在倒空间是一倒易点

衍射峰窄小

晶体的倒易空间点阵清华大学材料显微结构分析05-织构分布函数微晶尺寸XRD测定共41页，您现在浏览的是第13页!*偏离量值与衍射强度关系：设：原子对晶胞原点的向径

那么，晶胞中i原子的散射波和入射波的位相差：

对每个晶胞，设fi为原子散射因子，那么，一个晶胞的结构因子：

……(6)……(7)……(8)清华大学材料显微结构分析05-织构分布函数微晶尺寸XRD测定共41页，您现在浏览的是第14页!已知：

h、k、l，X、Y、Z均为整数，

单位体积晶体的结构因子：

VC代表在积分范围内的体积。∴因此……(10)……(11)……(12)清华大学材料显微结构分析05-织构分布函数微晶尺寸XRD测定共41页，您现在浏览的是第15页!积分近似结果：

称为干涉函数

当晶体为微晶时，即三维尺寸很小；又入射、散射X线在同一平面，

考虑其中任意一维，则有：……(13)……(14)……(15)清华大学材料显微结构分析05-织构分布函数微晶尺寸XRD测定共41页，您现在浏览的是第16页!已知：

所以：

其中：因此：

一个单胞由sz引起的位相差：

对：22+2122-212=412hklNzc=N3c=N

……(19)(2)……(17)……(18)……(20)清华大学材料显微结构分析05-织构分布函数微晶尺寸XRD测定共41页，您现在浏览的是第17页!在

=1/2(半高宽)处：

令：

那么：

对于：

可以求出：当时，中的

……(22)……(23)……(24)……(25)清华大学材料显微结构分析05-织构分布函数微晶尺寸XRD测定共41页，您现在浏览的是第18页!衍射峰半高宽：

Ndhkl为反射晶面(hkl)垂直方向的尺寸，

即：因此，hklorDhkl

：

or

Ndhkl

=Dhkl……(27)……(3)……(28)……(29)……(30)清华大学材料显微结构分析05-织构分布函数微晶尺寸XRD测定共41页，您现在浏览的是第19页!(1)hkl测定方法一：

i用与待测试样同物质、晶粒度5~20m的标样；在某一实验条件下XRD，测定仪器线形g(2)；

由仪器线形g(2)测量仪器线形半高宽b(2)。

ii对待测试样，在同一实验条件下XRD，测定实测线形h(2)，由实测线形h(2)测量iiihkl

测定:hkl

=

B(2)-

b(2)实测线形半高宽B(2);

清华大学材料显微结构分析05-织构分布函数微晶尺寸XRD测定共41页，您现在浏览的是第20页!2.

晶粒度Dhkl

的测定：

i由公式，所以，尽可能采用大衍射峰；

iiDhkl为反射面(hkl)垂直方向的尺寸，不同晶系的晶体可能生长方向不一样，所以，可求多个不同(hkl)的Dhkl平均值。Dhkl一定，时hkl，……(30)清华大学材料显微结构分析05-织构分布函数微晶尺寸XRD测定共41页，您现在浏览的是第21页!2.晶格畸变效应：

e=4e

tg

e=d

d若：e与

tg

成正比，即由晶格畸变引起。垂直(hkl)晶面的平均畸变。

3.微晶和晶格畸变共存：若：hkl

Cos

随而增大，即：微晶和晶格畸变共存。通过对hkl进行分离，可求微晶和晶格畸变各量。22+2122-212=412hkl……(31)清华大学材料显微结构分析05-织构分布函数微晶尺寸XRD测定共41页，您现在浏览的是第22页!dAdA´dWhkl(=0)与W00l(

≠0)关系的确定：dA内极点总数：Nhkl(=0)=

Whkl(=0)•dA

……(2)∵(hkl)∧(00l)=

AI=2Sind那么：Nhkl(=0)个畴胞的(00l)应均匀分布在环带AI上……(3)∵环带AI对称Nhkl均匀分布∴AI上的dA小区(dA

=dA)由Nhkl(=0)个畴胞贡献的(00l)晶面极点数n应有：……(4)AI2Sind清华大学材料显微结构分析05-织构分布函数微晶尺寸XRD测定共41页，您现在浏览的是第23页!Whkl(=0)与W00l(

≠0)关系的确定：……(6)

……(7)

比较(6)和(7)∴dA

=dA

∴……(9)

∵又：……(8)dAdA'2SindAIAIId清华大学材料显微结构分析05-织构分布函数微晶尺寸XRD测定共41页，您现在浏览的是第24页!2.分布函数的实验及测量

由XRD，

=0时有：

……(11)而：(hkl)∧(00l)=

的关系图令

vs作：与拟合成一函数清华大学材料显微结构分析05-织构分布函数微晶尺寸XRD测定共41页，您现在浏览的是第25页!并且极化前后：

NR(

=0)=Nt(

=0)

∴

Wt()可由(1)拟合的函数代入，……(15)又∵

无织构时

……(14)求得的作为归一化标准处理。……(13)即(13)＝(14)清华大学材料显微结构分析05-织构分布函数微晶尺寸XRD测定共41页，您现在浏览的是第26页!衍射强度随衍射角变化的曲线即为摇摆曲线。*晶体的X射线衍射满足：X射线衍射摇摆法(hkl)dN反射X线入射X线(hkl)dN反射X线入射X线2dSin=X射线衍射仪法(hkl)dN反射X线入射X线X光管固定X光管固定探测器固定探测器2ω样品ω样品绕试样表面又入射与反射X线组成的平面的轴样品左右摆动清华大学材料显微结构分析05-织构分布函数微晶尺寸XRD测定共41页，您现在浏览的是第27页!III.实际(非理想)晶体的摇摆曲线晶体存在结构不完善性晶格畸变晶面间距d存在变化梯度d

满足Bragg衍射极大条件的衍射角:由特定的变为

(发散角)。

摇摆曲线的半峰宽D较理想晶体时的D有所展宽。晶格畸变

，即d或发散角

，半峰宽D小角晶界(d不变)晶体X射线衍射摇摆曲线半峰宽的宽窄是其晶格完整性的体现。

DDD00D清华大学材料显微结构分析05-织构分布函数微晶尺寸XRD测定共41页，您现在浏览的是第28页!0V.非理想(具有择优取向)多晶结构的摇摆曲线晶粒(hkl)在样品中的生长具有择优取向，各晶粒的该(hkl)与试样表面形成的各个角度的可能性不均等、但是对称(通常)。即同一衍射面的衍射强度都是一样的。因此，摇摆曲线为宽化的、具有一定半高宽D值的衍射峰。(hkl)可视为小角晶界要满足2dsin=D如果择优取向即小角晶界摇摆(衍射)峰的半高宽D值

清华大学材料显微结构分析05-织构分布函数微晶尺寸XRD测定共41页，您现在浏览的是第29页!III.微晶尺寸的XRD测定

清华大学材料显微结构分析05-织构分布函数微晶尺寸XRD测定共41页，您现在浏览的是第30页!hkl衍射矢量方程：

:入射X线的单位矢量

以1/为单位:反射X线的单位矢量

:衍射矢量

符合Bragg公式：2dSin=∆ℓ=(晶体无限厚)建立:

偏差与相位差与微晶尺寸D的关系

已知？2X射线入射X射线反射……(4)清华大学材料显微结构分析05-织构分布函数微晶尺寸XRD测定共41页，您现在浏览的是第31页!2＃爱瓦尔德作图法：

反射球半径1/

②当晶体很小时：

为满足爱氏作图法原理

显然，倒易点

(hkl)*应该是具有一定体积的倒易球。倒易球和爱氏球面相交为一弧面，

衍射峰才能发生展宽。

的偏离：

即存在对……(5)衍射峰发生展宽

清华大学材料显微结构分析05-织构分布函数微晶尺寸XRD测定共41页，您现在浏览的是第32页!设各晶胞原点相对整个晶体座标原点的向径：X、Y、Z分别表示x、y、z方向上晶胞的个数

对整个晶体，

设散射源为晶胞。

第n个晶胞散射与入射波的相位差：那么整个晶体散射的结构因子：

……(9)……(10)清华大学材料显微结构分析05-织构分布函数微晶尺寸XRD测定共41页，您现在浏览的是第33页!实际上，X=N1aY=N2bZ=N3c

N1、N2、N3分别为：X、Y、Z方向上的晶胞数。

偏离量可表示为：

sx、sy、sz分别为x、y、z方向上s的偏离量。晶体向量为：

晶体体积为：

V=XYZ

那么：

……(12)……(13)清华大学材料显微结构分析05-织构分布函数微晶尺寸XRD测定共41页，您现在浏览的是第34页!因为sz是一个很小的量，微晶的一维干涉函数：

那么，衍射强度：

一个单胞由sz引起的位相差：

所以有：

……(15)……(16)……(17)……(18)Nzc=N3c=N

清华大学材料显微结构分析05-织构分布函数微晶尺寸XRD测定共41页，您现在浏览的是第35页!因为是一个很小的量，

ImaxI0N2

这样，由

影响的微晶的总衍射强度可近似为：

对于：

当

=0时，……(20)……(21)……(22)清华大学材料显微结构分析05-织构分布函数微晶尺寸XRD测定共41页，您现在浏览的是第36页!此时满足：

即满足：

当

此时半高宽处Bragg角的偏差量

1/2即：

∵满足：……(25)……(26)(23)……(27)清华大学材料显微结构分析05-织构分布函数微晶尺