大二第二学期-概率论第七章

点估设总体X的分布函数F(x;Ө)，其中Ө为未知参(Ө可以是向量现从该总体抽样，得到样本从样本出发构造适当的统计TT(X1,,Xn作为参数Ө的估计量，即点估计将x1,…,xn代入估计量，得到Ө的估计T(x1,,xn点估计方

矩最大似然矩总体k阶原点

E(Xk总体k阶中心

EX

E(1

nkn样本k阶原点

Xin1 kn样本k阶中心

Mk

(Xi

X基本思想是用样本矩代替总体矩矩法的步设总体X中有k个未知参数Ө1,Ө2,…,计算总体X的r阶原点矩n用样本r阶原点n

E(X)

1n

Xi

E(X2)

nnn

X2i 1E(Xk)

nn

Xki解方程Өr=hr(X1,X2,…, 则以hr(X1,X2,…,Xn)作为Өr的估计量，并称hr(X1,X2,…,Xn)为Өr的矩估计量,而称hr(x1,x2,…,xn)为Өr的矩估计值。例1.设总体X的分布律如下，其中θ为

2(1E(

1

22(1)3(1

3E(X

3 n1nXin1nXi

32例2.设总体X~N(μ,σ2)，其中μ,σ2未知参数，试求μ,σ2的矩估计量解：E(X)=μE(X)

XninniE(X2

2

nnXinnnXiii

1 ni1

nnn

(Xi

X

n1Sn例3.设总体X~E(λ)，其中λ>0为未知参数,解 E(X)1Xx例4.设总体X的概率密度如下，其中θ>0xf(x;)

e

xx解：E(X) 1edxx

xE(X2) x2 edx x2ex

1n1 11nXi

Xinn当总体只含一个未知参数时，用方E(X)即可解出未知参数的矩估计量当总体只含两个未知参数时，用方程组E(X)D(X)

n1Sn即可解出未知参数的矩估计量最大似然设总体X的分布律或概率密度为f(x;Ө),Ө=(Ө1,Ө2,…,Өk)是未知参数，X1,X2,…,Xn是来自总体X的样本，则X1,X2,…,Xn的联合分布律或概率密度函 f(xi L(x,x,...,x;)n nP(

xi

为样本的似然函数，简记为L(Ө)CC解 P(

x)

xpx

p)mxm mL(

P(Xx)Cxi

pxi

p)

n

niCxpi

(1

nmnm

i 例6.设X1,X2,…,Xn为取自总体X~U(0θ)的样

(x)

1 0

xn

1 0x

f(xi

某位同学与一位猎人起外出打猎一只野兔从前方窜过只听一声枪响，野兔应 概率一般大于这位同学命中的概率.看来这一枪是猎人射中.然法的基本思.下面我们再看一个例子,进一步体会极大似然法的基本思.例5设X~B(1,pp未知.设想我们事先知 或如今重复试验3次,得结果 0 问:应如何估计

0, 0,

pP(X10X20X3

ˆ例设在一个箱子中装有若干个白色和黄色乒乓球，已知两种球的数目之比为1:，但不知是白球多还是黄球多，现从中有放回地任取3个球，发现有2个白球，问白球所占的比例是多少？解：白球所占比例p=1/4或X:任取3个球中白球的个数，X~B(3,P(

C2p2

p)

3p2(13p3pp

44

2)2)所以白球所占的比例为3/4最大似然基本思想是概率最大的事件最可能出对一个给定的样本观测值，选取p使最大似然对于固定的样本观测值x1,x2,…,xn。如果

xn,使

X

求最大似然估计量的步骤f(xi 当X是连续写出似然函

nP(Xxi

当X是离散n对似然函数取对

f(xi;求出L(Ө)的最大值

lnLˆ(x1,x2,...,xn

解 P(

x)

pxnixi

nnL(p)

P(

xi)

p

(1

xi

pn

ln(1d

L(

n 1

0，ˆ从中随机抽取85件，发现次品10件，那xn

nn

10 所以这批产品的次品率ˆ例9.设总体X~N(μ,σ2)，其中μ,σ2未知参数。求μ,σ2的最大似然估计解

(x)

(x

)22L(,22

nn

f(xi2n exp[1(2n

)2(2

2(2)

n(xn

)2

2

L(,

)

2

(xi

)nlnn

1

xn]ii

ln

n

(xn)2nini

2

1 xxni1

nnn

(xi

x)2nn

n

(Xi

X

n1Sn例10.设X1,X2,…,Xn为取自总体X~U[0θ]的样

(x)

1 0

x矩法

E(X

2

12最大似然法n

1 0x

f(xi

显然,该似然方程组无解 怎么办呢若似然方程无解，即似然函数有驻点时，通常在边界点上达到最大值，可由定义通过对边界点1

0

对于例

只要取

xi

故的最大似然估计量 例11.设总体X的概率密度f(x)

1)x

0x 其其中Ө>-1是未知参数，X1,X2,1解：(1)矩估1E(X)

xf

1)x

11

2X 1

(2)最大似然估 L()f(x)(1)n(

(0

n

1)lndlnL()n2n1 n2n

1 ln

ln常用的几条标准是无偏有效一致无偏

X

Xn)若

X

Xn)是Ө的无偏估计量

X

Xn)是Ө的渐近无偏估计量例1.设X1,X2,…,Xn是来自有有限数学期μ和方差σ2的总体。证明

1 nnn

i是总体均

的无偏估计n2S2 (

X)2是总体方差 n

i

的无偏估计22

1

(X

X)2 ninni

是总体方

的渐近无偏估计证

E(X)

n

nn

Xi

nnn

E(Xi)2 D(Xi)

,D(X)nE(

2)D(X)E2(X)=

+ ,,E(X2)

D(X)

E2(X) +n

E(S2)

E(nXin1 Xi

2nX2)

(nn1

E(

2)nE(X2i i

=n1

)n

n1

n11

S2是

2的无偏估

n1Sn22

n1E(S2)

n1

lim(

12n

222是2的渐近无偏估计22例2设X1,X2Xn来自总体X，E(Xμ,

X1;X

1X

X2有效11

(X1,

X2

Xn)和

(X1,

X2

Xn2都是212 )12则称比

有效 例3.例2中μ1,μ2,μ3哪个估计量更有效

2

12n528可见当n≥2时所以μ2比较有效一致设是未知参数若对0,

则称是的一致估计量或相合估计量例4设有一批产品，为估计其次品率p，随机取一样本X1,X2,…,Xn，其中Xi

取得次品

取得合格品证明

ˆ

nnn

Xi是p并讨论该估计量的一致性证：E(Xi)=pD(Xi)=p(1-E(ˆ)

E(X)

nnn

E(Xi)

1nppˆ由大数定律，对任意ε>0，

时，P

ˆ

)ˆnXi例5设X1,X2Xn来自总体X，且E(Xk)存在nXi1n

k是E

k

1,2,...)的一致估计量证：因X1,X2Xn独立同分,kX1,k

Xk

Xk2n)i且E(X E(Xk2n)i由辛钦大数定律1n1

Xiinin

E(

)|}nnn

Xk是E

k

1,2,...)的一致估计量引前面，我们讨论了参数点估计.它差范围，使用起来把握不大.区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷.譬如，在估计湖中鱼数的问题中，12若我们能给出一个区间,ˆ]12使N}1 这样对鱼数的估计就有把握多了一、置信区间定义个待估参数，给定

若由样本X1,X2,…Xn确定的两个统计(X,

,L,

),(X,X,L,X

1)2 满1)2}1则称区

1212

的置信水平（置信度置信概率）为1

的置信区间和

分别称为置信下限和置信上限 可见对参数作区间估计，就是要设法找出 ˆ(X,…X

,…X 满 }11一旦有了样本，就把内.这里有两个要求

1估计在区间1

22要求

以很大的可能被包含在区间

1内，就是说，概率1

}要尽可能大2即要求估计尽量可靠2估计的精度要尽可能的高.如要求区2长度2

尽可能短，或能体现该要求的121它准则121可靠度可靠度与精度是一，一般是在保证可靠度的条件尽可能提高精度求置信区间的步构造与待估参数θ有关，只含Ө不含其给定置信度1-α，得常数a,b，P{a<U<b}=1-将a<U<b变形，使得1ˆ(X1,1

X

Xn)

(X1,

X

Xn2结2区间

1的置1的置信区二、置信区间的求例1设X1,…Xn是取N(,2)的样本

求参数的置信度为1的置信区间解：

UX

~N(0, 对给定的置信水平1,

X

|

}1nn从中解nn

u2

X

}1

X 1于是所求

的置信区间[X ,X nn nn也可简记

nuX nu(11-0n(Xn

/2

X

2)nnn,(Xn

(1)

X

)nn这里，我们主要讨论总体分布为正态的情形.若样本容量很大，即使总体分布未知，应用中心极限定理，可得总体的近似分布，于是也可以近似求得参数的区间估计.一、单个总体Nμ,σ2的情X Nμ,σ2并

X1

,Xn为来自总体样本

X,S

分别为样本均值和样本方差μ的置信区1σ

为已nnσXμ~Nnnuα)α可得到的置信水平为1nnuα)α

的置信区间n,α(X n,α

)或(X 2σ

为未SXSXμ此分布不依赖任何未知参ntα2(n1)}1nSXμ~t(n可得到的置信水平为1

的置信区间Xt Xtn αn

(n1),X

ntαn

(n1) X

ntαn

(n1) 例1有一大批糖果.现从中随机地取16称得重(以克计)如下 509设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总体均值t的置信水平0.95为的置信区间t解的置信水平

的置信区间

(x

(nnα这里1nα

20.025,n1

15,t0.025(15)

1(1(xix)2ix i

503.75 s

6.2022于是得到的置信水平

的置信区间σ2的置信区设X1,…Xn是取自N(,

2)的样本μ已求参数2的置信度为1的置信区间确定分位/

2

(n),

(n))2P{

(n)

2

(n)}11

n ,i1

nXinXi1 ~2例5飞机的飞行速度进行15次独立试验，测假设飞机最大飞行速度服

N

2求423.1441.3大飞行速423.1441.3 2解 (xi

)

(xi

)2 ,i=1 2

2

10.900.1,查表2(n

n (n) (15)7.261,(x)2

代入1 σ2的置信区间41.407010142.5492702.1设2.1设X1,…Xn是取自N(,2)的样本，μ未知求参数2的置信度为1的置信区间.P{P{

2(n1)

(n1)S~χ(n1)S~χ2(nσσ

2(n1)}1χα可得到σ2的置信水平为1χα

的置信区间(n1)21α(n1),αχ(n1)S(n1)S由χ1χ1α(n

(n1)Sσ

2(n1)}1χα可得到标准差χα

的置信水平为1

α的置信区间nχnχα(nnχ1α(n例2有一大批糖果.现从中随机地取16称得重(以克计)如下 509设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总体标准差的置信水平5为的置信区间. 于是得

σ的置信水平为n n

的置信区间χα(nχα(nχ1α(n 11(xix) 2

20.025,1

2

n115,χ2χ

(15)

χχ

(15)

6.262.s

于是得

σ的置信水平为

的置信区间

(4.58,9.60).二、两个总

N(

,σ2),

N(

,σ2的情 设已给定置信水1

,

n1X1,X2K,n1是来自第一个总体的样本

是来自第n2n个总体的样本,这两个样本相互独立.且设X,Y分 为第一、二个总体的样本均值,S2,S

为第一、个总体的样本方差两个总体均值差

μ的置信区（σ2σ2已知 X

~N(μ1

σ,

σ 2σσσ (XY)(μ1μ2)~N于是得

μ1

μ2的置信水

1

的置信区间 σ σ σX

uα 两个总体方差比σ σ 的置信区

(μ1,

为未知 由 S S P

2

1,

1)

2

1,

1σ σ S

σ

S2 2P 2

2α S2 (n2α

(n1,

1)可得到σ σ 的置信水平为1

α的置信区间 S

S SSσ SSσ~Fα2(n11,n21σ22α S2 (n1,n1)S2 2α 研究由机器A和机器B生产的 径,随机地抽取机器A生产的 18只,测得样本s1s1

0.34(mm2随机地取机器B生产13只,测得样本方

0.29(mm2.设两样本相s2独立 且设由机器A和机器B生产 的内s2 分别服从正态分

,σ2

,N

,σ2,这里

,σ2 (i=1,2)均未知.试求方差比σ σ 的置信水平 0.90的置信区间

α0.10,

0.05,1

2n18,s20.34,n13,s2

(17,12)

(17,12)

F0.05 故两总体方差比σ σ2的置信水平为0.90的置信 间S( S2 (n1,n σ2 S2 α 1α 即(0.452.79从正态分布N(100,1.152，某日开工后，随甲乙试问这两种香烟的尼古丁含量有无显著差检验参数假设的问题，称为参数检验检验分布假设的问题，称之为分布检验假设检验的基本原“小概率”原理：概率很小的事件在一例4.某厂提供的资料表明该厂的产 p=99%，要检验厂方资料是否属实提出→构造小概率事件A=“任意抽取一个→任意抽取一个产→若A发生 →若A没发生→接受续例1.检验这天包装机工作是否正常解：H0: H1:UU

nnX

~N

9(99.989(99.980.05,u/

∵|U|=0.052<1.96∴接受H0。即认为假设检验的两类错实际情决H0为H0不第一类错正接受正第二类错以真为

H0P真以假为

|H0为假假设检验的步根据问题,提出H0与H1选择统计量U,要求在H0为真时,U的计算U并与临界值比较,接受 单正态总体均值的区间估计与假设检σ2已知时μ的双侧置信区UX

~N XX P Pn n

122P

u

u

1nn即得μ的双侧置信区n(Xun

n,Xu nσ2已知时μ的双侧假设检检验假设H0:μ=μ0,U

~N

uu2

H0否则,接受例1从一批服从正态分布N(μ,0.022)的零件中随2.15有无差异？(α=0.05).解

2.14...2.11

σ2已知时μ的双侧置信区间(X

,

0.02,

16代入Xun

Xun

∴μ的双侧置信区间为H0:μ=μ0,X

~N U

0

(50.05,u/

∵|U|=5>1.96,∴ H0。即该批零件的平均长度2.15有显著差异。σ2未知时μ的双侧置信区TX

~t(n XXSnP P

2(nnSn

1SP

2(n

2(n

1nn即得μ的双侧置信区X (n1)S,X (n1)S nn nnσ2未知时μ的双侧假设检检验假设H0:μ=μ0,TS

~t(n

22(n

H0否则,接受单正态总体方差的区间估计与假设检μ未知时σ2的双侧置信区(n1)ST

~

(n (n1)S P

2(n1)

2(n

1P

1)S

2

(n1)S

1

2

1)即得σ2的双侧置信区(n1)S,

(n1)S

(n

2(n1)检验假设H0:σ2=σ02H1:σ2≠σ02T

1)S

~2

20 1)

2

2

1)当T

2

或T

(n H0否则,接受的方差仍为0.1122？（α=0.05）解：(1)μ未知时σ2的双侧置信区间(n1)S,

(n1)S 2 2

(n

(n1)1/n1/

2/

(n

14.4492,

(n

(n1)S

(n1)S

(n

2(n∴σ2的双侧置信区间为(0.0146,H0:σ2=0.1122,(n1)ST

~

(n(n1)ST

2/0.05,/

(n

14.4492,

(n

∵T=16.789>14.45,∴ μ已知时σ2的双侧置信区

2T

~2i1

2 P

(n)

1 1

i1

i (X)2i

2n(Xi)nP

12

2 即得

的双侧置信区ni (X)2 (X)2nii ,i1 2

2 μ已知时σ2的双侧假设检检验假设H0:σ2=σ02nT1n

(X

)2

~220

2

2(n)2

2

2当2否则,接受

2

H0例6.设纶纤度在正常生产条件下服从正态分布度为：1.321.361.551.441.40求这一天生产的纶纤度方差的双侧置信区间；(2)这一天生产的纶的纤度的方差是否正常？（α=0.10）解：(1)μ已知时σ2的双侧置信区间X X

n ,i1 n2 5

n5,(Xi

)2

查表查表/

11.0703,

1.21.1455n(Xi)n2

(Xi)n2n

2∴σ2的双侧置信区间为(0.0028,nH0:σ2=0.0482,nT1

(X

)2

~2i inT1n

(X

)2

/0.10,/

∵T=13.67>11.07,∴ 双正态总体均值的区间估计与假设检σ12、σ22已知时μ1-μ2 mn

2

~N即得μ1-μ2的双侧置信区 mn mnX X

,X

u σ12、σ22已知时μ1-μ2检验假设H0μ1=μ2,H1μ1U X

~N

u

当 否则,接受例1.已知A行业职工月工资X~N(μ1,1.52)(单位:千元);B行业职工月工资Y~N(μ2,1.22)(单位:千元).2005年在 25、30人,算得其平均月工资分别为间；2问这两行业职工月平均工资是否有显著差异？(α=0.05解(1σ2、σ2已知时μ-μ的双侧置信区

2X X

u

,X

u

nm25,

0.05,查表u21.96代入X

u

u

∴μ1-μ2的双侧置信区间为(-0.1281,H0:μ1=μ2, 2 2mn

~NX X mn1.520.05,u/

∵|U|=1.615<1.96,∴接受H0。业职工月平均工资没有显著差σ12=σ22未知时μ1-μ2 w S w SSmn

2

~t(m

n

即得μ1-μ2的双侧置信区 w w SSmn w SSmnX X

2(mn

,X

2(mn σ12=σ22未知时μ1-μ2检验假设H0μ1=μ2,H1μ1T XS S

~t(m

n w

2当 否则,接受σ12=σ22未知时μ1-μ2

S S X X

(m

n

w

,检验假设H0:μ1≤μ2,H1:μ1>μ2 H0,否则,接受σ12=σ22未知时μ1-μ2

S S2 ,XY

(m

n

w w n检验假设H0:μ≥μ0,H1:μ<μ0 H0,否则,接受泉水的体积X、Y分别服从正态分布N(μ1σ2)和N(μ2,σ2).现从生产线上分别随机抽取容量解：σ

2未知时μ-μ的双侧置信区

S S

S S2X Yt2(mnX

ww,XY

2(mn

w w nm12,

499.7,S

2.4,S

120.05,查表12

2(mn2)

X

2(mn

SS w S

0.1008,X

2(mn

SS w S

∴μ1-μ2的双侧置信区间为(-0.1008,常参加体育锻炼的男生平均身高要高？(α=0.05)解：H0μ1≤μ2,H1μ1T XS S

~t(mn w T X

SS SS w

1 0.05,t(mn2)∵T=2.02>1.66, H0。即男生是明显比不常参加体育锻炼的男生平均身高要高双正态总体方差的区间估计与假设检求σ

2的双侧置信区间与双侧检111

21122=σ2,H:σ2≠σ2112求σ

2的单侧下限置信区间与右侧检111

21122≤σ2,H:σ2>σ2112求σ

2的单侧上限置信区间与左侧检111

21122≥σ2,H:σ2<σ21122μ1、μ2未知时σ12/σ22S ST

~F(m1,n S S P

2(m1,n1) 2F2(m1,n

1S

S P

1SS22 SS22

2即得σ12/σ22的双侧置信区2S

S 2 , 2SS2 SS2

2μ1、μ2未知时σ12/σ2的双侧2检验假设H0σ12σ22，H1SS2T S22

~F(m1,

1)

2(m1,n1)当T

2

或

2(m1,n

H0否则,接受2μ1、μ2未知时σ12/σ