2025年中考数学复习：翻折问题（含解析）

专题二翻折问题

知识与方法

折叠问题的实质是轴对称问题，是全等变换，其性质如下：

1.图形的全等：图中必有全等图形，对应边相等、对应角相等；

2.点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕所在直线）垂直平分.

典例精析

例1小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图221①，在RtAABC中,/ACB=90o,/B=3（F,AC=l第一步,

在AB边上找一点D,将纸片沿CD折叠点A落在A处，如图②;第二步，将纸片沿CA折叠，点D落在D处，如

图③.当点D”恰好落在直角三角形纸片的边上时.线段AD的长为.

答案：［或：2—V3

【简析】①当点D，恰好落在直角三角形纸片的AB边上时，设AC交AB边于点E,如图2-2-2①,由题意

AADC△A'DC△A'D'C,A'C垂直平分线段DD',

贝！］AD'A'C=Z.DA'C=ZX=60。,4c=AC=1,易求CE=^-,：.A'E=1-冬

从而可得.A'D'=2A'E=2-V3.

图2-2-2

②当点D恰好落在直角三角形纸片的BC边上时，如图②，

由题意.得△ADCgZ\ADCgAA'D'C,^ACD=AA'CD=^A'CD'=^ACB=30。，则^D'A'C=

ADA'C=ZX=60。,4c=AC=1.可得A'D'=^A'C=

综上，线段AD的长为T或22-VI

例2（沿中位线折叠）如图223,在RtAABC^,ZACB=9O°,AB=5,BC=3,W,^A折叠到点C处，则折痕DE的

长度为.

A

图2-2-3

答案：|

【简析】由折叠的性质可知，DE是AABC的中位线，.•.DE=|,

变式1（沿边的垂直平分线折叠）如图224,在直角三角形ABC中,NACB=90o,AB=5,BC=3,将点A折叠到点

B处，则折痕DE的长度为

型索--

口木.8

【简析】解法一：（相似处理）图2-2-4

易知AADES/SABC,；.AE=DE和—=%.解得DE=-.

438

解法二：（勾股定理处理）

设CD=x，则.AD=BD=4-x,%2+32=（4-x）2,解得％=测BD=^.：.DE=［信了一针=得

解法三：（面积处理）

117111

SABC=^ABD+^BCDI■,--x3x4=-x3x-+-x5xDE.,DE=—.

变式2（沿角平分线折叠）如图2-2-5,在R3ABC中,NACB=9。。,AB=5,BC=3,将点C折叠至!JAB边上的点E

处,折痕为BD,则DE的长度为.

图2-2-5

答案：也可用变式1中三种方法）

变式3（沿斜边中线折叠）已知，如图2-2-6,在R3ABC中,NACB=90。,AB=5,BC=3,将点B沿斜边AB上的中

线CD折叠到点E处，连接AE,则AE的长度为.

答案：f

【简析】解法一：（隐圆处理）

本题出现了斜边上的中线，可知CD=AD=BD,又由折叠可知DE=BD,则可得A,E,C,B四点共圆，转化为圆的

内接四边形处理.

如图227,延长AE,BC交于点G,由折叠可知:CE=BC,

图2-2-7

则CE等于BC,；./GAC=NBAC.则可由ASA证得AGAC之△BAC,即GA=BA=5.设AE=x，贝！JGE=5-x,

易知AGECs/iGBA,则署=晶即==即AE=

(jDAD6333

解法二：（面积处理）

如图228,连接BE.由折叠性质可知CD垂直平分BE,则S=S+S=2SABCD=SAABC,

四也形BLHDCDEBCD

I2久

，BExCD=BCxAC.；.BE='由解法一可知NAEB=90。，2E=J52-（—）=-./\

解法三：（勾股定理处理）：S2-2-8B

如图2-2-9过点D作DGLAE于G,连接BE交CD于点F,易得ADAG/ABDE利用等积法可求出8F=£，利

—%

CB

图2-2-9

解法四：（旋转处理）

如图2-2-10,WAAEC绕点C顺时针旋转NECB的度数可得AABC,

由解法一,知NAEC+/ABC=180。,

.,./ABC+/ABC=180。.贝！］A；B,A三点共线.

过点C作CFJ_AA；垂足为F,

12916

・•.CF=—,BDFR=-,AF=—.

555

77

・•.A'B=g.即AE=

图2-2-10

变式4如图2211在R3ABC中,NACB=90tAB=5,BC=3,将点A折叠到点A处，且EA=BC,则折痕DE的

长度为

图2-2-11

答案：等

变式5如图2212,在RtAABC中,/ACB=901AB=5,BC=3,将点A折叠到点A处，且AB=1,则折痕DE的长度

为

图2212

答案：野

变式6如图2-2-13,在RtAABC+，ZACB=90°,AB=5,BC=3,W,1^A折叠到点A处，使四边形ADA'E为菱形,

则折痕DE的长度为

答案：竽

例3（沿对角线折叠）如图2-2-14,将矩形纸片ABCD沿AC折叠点B的对应点为E,线段CE交AD于点F,

已知AB=3,BC=4,贝U线段AF的长为

图2-2-14

记聋­—

口木,8

【简析】矩形折叠一般都会形成等腰三角形，是解题的突破口.“角平分线+平行线T等腰三角形”（知2推1很

重要）.

解法一：（勾股定理处理）设AF=x，则CF=x,DF=4-x,在RtADFC中，

%2=（4-x）2+3?,解得%

O

解法二：（三角函数处理）

如图2-2-15,过点F作FGLAC于点G,则AG=1,AF=^—,

2COSZ.DAC

变式1（沿对角线的垂直平分线折叠）如图2-2-16,折叠矩形纸片ABCD,使点B与点D重合,折痕为EF,已知

AB=3,BC=4,则EF=

【简析】解法一：（勾股定理处理）

如图2217,连接BD交EF于点O,设BF=xJ^DF=x,CF=4—x,在RtADFC中,.%2=（4一支y+3?,解得％=冬.

8

即DF=葛由折叠可知OD=3BD=|,则由勾股定理可得OF=?.•.EF=?

oZZo4

解法二：（相似处理）

如图2218,连接BD交EF于点O,过点E作EGLBC于点G,

图2-2-18

则可得AEGFs^BCD（矩形中的“十字”必相似）,

*言即

解法三：（面积处理）

“角平分线+平行线一等腰三角形”（知2推1很重要）.

连接BE,BD易得四边形BEDF为菱形，则BFxCD=BDXEFX

即空x3=5xEFx3

82

15

•••EF=—.

4

变式2（直角顶点折叠到某一边上）如图2219在矩形纸片ABCD中,AB=3,BC=5,沿过点C的直线折叠点B落

到AD边上的点E处，折痕为CF,则折痕CF的长为

图2-2-19

答案：|V10

【简析】解法一：（相似处理）

由折叠可知,CE=CB=5,则DE=4,由“一线三直角”可得:AAEFsaDCE,可得EF=|.

由勾股定理可知CF=

解法二：（构造等腰三角形处理）

如图2220延长DA,CF交于点G,易得AECG为等腰三角形,，EG=5.

图2-2-20

由解法一可得DE=4,则DG=9,由勾股定理可得：（GC=3VIU,又•••△GAFs^CBF,相似比为CF=|GC=

三国

3

变式3（直角顶点折叠到矩形外侧）如图2-2-21,在矩形ABCD中,AB=5,BC=7.将点B折叠到E处,折痕为

PC,PE交AD于点F,且AF=2,贝！］PB=.

答案：|

【简析】解法一：（勾股定理）

如图2222,连接CF.

VAF=2,ADF=5.

由勾股定理可知CF=5V2,

由折叠可知CE=7,则由勾股定理可得EF=1.设PB=x厕PE=X,PF=X-1,AP=5-X,A（X-l）2=（5-%）2+22.

解得%=和PB=1.

解法二：（构造等腰三角形法，“角平分线+平行线一等腰三角形”）

如图2223,延长PE,CD交于点G.

G

可知ACPG为等腰三角形，且GP=CG.

由AAPFsZXDGH得-=—=

91DGDF5

设AP=2x,GD=5x则PB=5-2x,

・・・PE=5-2x.

VGC=5+5x,

；.GE=7x.由勾股定理得:（（5+5久）2=72+（7x）2,解得匕=幺冷=：（舍去）.（为什么会产生两个解呢？留个悬

43

念读者自行解决）

37

・•・AP=2%PB=-.

22

变式4（直角顶点折叠到矩形外侧）如图2-2-24在矩形ABCD中,AB=8,BC=10,将点B折叠到E处折痕为

PC,PE交AD于点F,且AF=EF,则PB=.

【简析】（勾股定理+全等处理）如图2225，设CE交AD于点G,在R3CDG中，由勾股定理可得PB=y.

变式5（二次折叠）已知，如图2-2-26①,在矩形ABCD中,AB=3,对折矩形纸片，将BC边与AD边重合，折痕为

MN,再将矩形纸片展开；如图②，将点A折叠到MN上,并使折痕经过点B,同时得到线段AB则折痕

BE二

图2-2-26

答案：2V3

反思与总结

由上述题型可知，我们应抓住折叠的一个本质即折叠是一种全等变换，会藏有相等的角和边，这些条件恰恰是

我们解题的关键.我们还要树立方程思想，运用已知关系构造等式求解.一般来说，折叠问题求长度均可通过勾股定

理、相似、三角函数、面积法求解，我们解题时要学会灵活运用.

折叠问题中的“一二一”：

“一个本质+二项归类+一种思想”.

一个本质一折叠问题的本质是全等变换；

二项归类一折叠问题通常用于求角度和长度；

一种思想一方程思想.

进阶训练

1.如图2227,将口ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F.若/ABD=48）/CFD=40。,

则NE的度数为（)

A.102°B.112°

C.122°D.92°

2.如图2228,将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合,折痕为EF,EF与AC交于点。.若AE=5,BF=3,则AO

的长为（）

A.V5对而C.2V5D.4V5

3.如图2-2-29,在AABC中,D是AC边上的中点，连接BR把ABDC沿BD翻折彳导至以BDC,DC与AB交于

点E,连接AC.若AD=AC=2,BD=3,,则点D到BC的距离为)

追B・粤C.V7D.V13

图2-2-29图2-2-30

4.如图2230在R3ABC中,NACB=9（T,AC=8,BC=6,将边BC沿CN折叠使点B落在AB上的点B处，再

将边AC沿CM折叠，使点A落在CB，的延长线上的点A，处，两条折痕与斜边AB分别交于点N,M,则线段

A'M的长为)

A-1B-iC-1Di

5.如图2-2-31,在RtAABC纸片中,/ACB=9(T,AC=4,BC=3,点D,E分别在AB,AC上，连接DE,将AADE沿DE

翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上.若FD平分/EFB,则AD的长为()

AA.—25B.?

9

6.如图2232,已知AD〃BC,AB，BC,AB=3,E为射线BC上T动点，连接AE,将AABE沿AE折叠，点B

落在点B处过点B作AD的垂线.分别交AD,BC于M,N两点.当B为线段MN的三等分点时，BE的长为（）

AA.-3B.|V2

2

c-洪述D.|夜或|V5

7.如图2-2-33,对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合，得到折痕EF,把纸片展平后再次折叠，使点A落在

EF上的点A处，得到折痕BM,BM与EF相交于点N.若直线BA交直线CD于点O,BC=5,EN=1厕OD的

长为（）

A.-V3C.L曲D.-43

2345

图2-2-33图2-2-34

8.如图2234,矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=3,点P在BC上，将ACDP沿DP折叠点C落在点E

处,PE,DE分别交AB于点O,F,且OP=OFJIJcosZADF的值为（）

A.—B.—C.—D.—

13151719

9.如图2235,在RtAABC中,NBAC=9(T,AB=2&,AC=6,点E在线段AC上,且AE=1,D是线段BC上的一

点，连接DE,将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE.当点G恰好落在线段AC上时,AF=

10.如图2236是一张矩形纸片ABCD,M是对角线AC的中点点E在BC边上把ADCE沿直线DE折

叠，使点C落在对角线AC上的点F处若MF=AB,则/DAF=度.

11.如图2-2-37①，在AABC中，AB=4V2,ZB=45°,ZC=60°.

(1)求BC边上的高线长.

(2)E为线段AB的中点点F在边AC上，连接EF,沿EF将AAEF折叠得至以PEF.

①如图2237②，当点P落在BC上时，求/AEP的度数

②如图2237③，连接AP,当PFJ_AC时，求AP的长

图2-2-37

12.如图2238直线y=-1比+6与x轴交于点B,与y轴交于点A,点P为线段AB的中点，点Q是线段

OA上一动点(不与点O,A重合).

(1)请直接写出点A,点B,点P的坐标.

⑵连接PQ,在第一象限内将AOPQ沿PQ翻折得到AEPQ,点O的对应点为点E.若/OQE=90。,求线段AQ的

长.

(3)在(2)的条件下，设抛物线y=ax2-2a2x+a3+a+l(a丰0)的顶点为点C.

①若点C在APQE内部(不包括边)，求a的取值范围.

②在平面直角坐标系内是否存在点C,使|CQ-CE|最大？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理

由.

13.如图2239①，在RtAABC中,NACB=90o,/A=6(T,CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，将

△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F.

⑴若AB=&直接写出CD的长(用含a的代数式表示)；

(2)若DFLBC,垂足为G,点F与点D在直线CE的异侧，连接CF,如图②，判断四边形ADFC的形状，并说

明理由；

(3)若DFLAB,直接写出/BDE的度数.

图2-2-39

14.在矩形ABCD中，BC=aD点、E.F分别是边AD,BC上的动点，且AE=CF,连接EF,将矩形ABCD沿EF

折叠，点C落在点G处，点D落在点H处.

⑴如图2240①，当EH与线段BC交于点P时,求证:PE=PF;

⑵如图②，当点P在线段CB的延长线上时,GH交AB于点M,求证:点M在线段EF的垂直平分线上；

⑶当AB=5时在点E由点A移动到AD中点的过程中，计算出点G运动的路线长.

图2-2-40

15.如图2241,已知正方形ABCD,点E是BC边上一点，将AABE沿直线AE折叠，点B落在点F处”连接

BF并延长，与/DAF的平分线相交于点H,与AE,CD分别相交于点G,M,连接HC.

(1)求证:AG=GH.

⑵若AB=3,BE=1,求点D到直线BH的距离.

(3)当点E在BC边上(端点除外)运动时,/BHC的大小是否变化？为什么?

图2-2-41

答案

进阶训练I

1.B［解析］:口ABCD中,AD〃BC,

.\ZADB=ZDBC.

由折叠可得/ADB=/BDF,

-•.ZDBC=ZBDF.

又NDFC=40。，

ZDBC=ZBDF=ZADB=2O°.

又NABD=48。，

AABD中，乙4=180°-20°-48°=112°.

AZE=ZA=112°.

故选B.

2.C［解析］由折叠可得/AFO=/CFO,AF=CF,

•••四边形ABCD是矩形，

••.AD/7BC,ZB=90°..\ZCFO=ZAEO.

二ZAFO=ZAEO.AE=AF=5=CF.

BF=3,.-.AB=y］AF2-BF2=4,BC=8

•••AC=7AB2+B>2=“6+64=4A/5.

Z.由对折得：CM=。。==2逐.故选c.

3.B［解析］如图，连接CC,则CC」BD,垂足记为F.

,/D是AC边上的中点,/.DA=DC.

由折叠可知.DC'=DC,

贝！］DA=DC=DC',.\ZAC'C=90°.

AC=AD=2,

：.CC=2V3,DF=1,BF=2,BC=回点D到BC的距离等于点D到BC的距离，考虑用等积法过点D作DH

_LBC交BC于H,

则BD.CF=BCDH代入解得：DH=--=蜉，故选B.

777

4.B［解析］VAC=8,BC=6,ZACB=90°,AAB=10.

VAB'CN,AA'CM分别由△BCN,4ACM翻折得至!J,

AB'CN^ABCN^A^M^△ACM.

JZA!CM=ZACM,ZB,CN=ZBCN,ZB*NC=ZBNC=90°,B'C=BC=6,A'C=AC=8.

JA'B'=8-6=2,ZMCN=45°.

・•・ZNMC=45°.

・・・ZAMC=ZA'MC=135°.

・•・^ArMB=135°-45°=90°.

NA'MB=NCNM.A'M〃CN.

・・・△CNB's/XAMB：

设CN二x,MB'=a,贝!］MN=x,NB'=x-a,

2

B'N=BN=-4x.

在RtABCN中,BN2+CN2=SC2,

gx)2+比2=62,解得x=,负值已舍).

7724R

A'M=AM=10-BM=10--4x=10--4X5-=5

5.D［解析］如图，过点D作DHLBC于H在RtAABC中,NACB=9(T,AC=4,BC=3,由勾股理，得AB

V32+42=5.

•.•将AADE沿DE翻折得AFDE,

,•.AD=DF,ZA=ZDFE.

；FD平分/EFB,

ZDFE=ZDFH..\ZDFH=ZA.

设DH=3x,在RtADHF中，sinzDFH=sinA=|,

DF=5x.BD=5-5x.

△BDHs^BAC,.••!!=彤.=竽.

44cL20

AD=5%=—.

77

6.D［解析卜①当MB'=时,如图,R3AMB，中，AB'=AB=3,MB'==1,

AM=<AB'2-MB'2=2&.

：AD//BC,AB±BC,MN_LAD,

四边形ABNM是矩形.

BN=AM=2V2.

设BE=x，则B'E=x,EN=2yf2-x,

RtAB'EN中，B'N=MN-MB'=2,EN2+B'N2=B'E2,

(2V2—x)2+22=/,解得x=芋.

，BE的长为苧；

②当N星=：MN时，如图.

NB'=-MN=1,

3

MB'=2股BE=y，同①可得y=詈,

•••BE的长为言.

综上所述，BE的长为苧或若故选D.

7.B［解析］：EN=1，，由三角形中位线定理彳导AM=2.

由折叠的性质，可得.AM=2,

7AD//EEJ7t3

•,.ZAMB=ZA'NM.\'7N^A'

VZAMB=ZA'MB,

.­•4A'NM=4A'MB.

A'N=A'M=2..-.A'E=3,A'F=2.

过M点作MGXEFTG,

.*.NG=EN=1.AA'G=1.

由勾股定理得MG=V22-I2=V3,

BE=MG=V3.

•••OF:BE=A'F-.A'E=2:3,

■.OF=OD=y/3--=

333

故选B.

8.C［解析］由题意得:RtADCP丝RtADEP,；.DC=DE=4,CP=EP.

在AOEFfflAOBP中,/EOF=/BOP,/E=/B,OF=OP,

ZXOEF丝△OBP(AAS).；.OE=OB,EF=BP.

设EF=x,!I!UBP=x,DF=4-x,

XBF=OF+OB=OP+OE=PE=PC,PC=BC-BP=3-x,

AF=AB-BF=4-(3-x)=l+x.

在RtADAF中，AF2+AD2=DF2,

即(1+x)2+32=(4-x)2,

解得x=|,二EF=l，DF=4-|=y.

.•.在RtADAF中,COS/.ADF=^=||.

.乎［解析］如图过点作于「

9FFHJ_ACH•・将四边形ABDE沿直线DE翻折彳导到四边形FGDE,AB=

FG=2五,AE。

=EF=l,ZBAC=ZEFG=90°.D

・•・EG=y/EF2+"2="+8=3.

rHFFG心

smZ-1F71E7G=—=—,

•••EFEGF

•竺一越■HF--

133

4

・•.AH=AE+EH=

3

：.AF=/AH—"=

10.18［解析］连接DM,如图:

4。

BEC

・・•四边形ABCD是矩形,・・・NADC=90。.

TM是AC的中点,・・・DM=AM=CM.

JNFAD二NMDA,NMDC=NMCD.

DC,DF关于DE对称,DF=DC.

NDFONDCF.

MF=AB,AB=CD,DF=DC,MF=FD.

JZFMD=ZFDM.

NDFC=NFMD+NFDM,

・•・NDFC=2NFMD.

ZDMC=ZFAD+ZADM,

NDMC=2NFAD.

设NFAD=x。,则.乙DFC=4x°f

：.ZMCD=ZMDC=4x°.

ZDMC+ZMCD+ZMDC=180°,

2x+4x+4x=180,x=18.

11.解:⑴如图过点A作ADLBC于D.

在RtAABD中，AD=AB-sin45°=4让xy=4.

•••BC边上的高线长为4.

⑵①由折叠知AAEF取APEF,AE=EP.

,­'E为线段AB的中点,AE=EB.

；.BE=EP.ZEPB=ZB=45°.

ZPEB=90°./.ZAEP=180°-90°=90°.

②由⑴可知："=合=学

VPFXAC,

/.ZPFA=90°.

由折叠知△AEFgAPEF,

JZAFE=ZPFE=45°.

AZAFE=ZB.

NEAF=NCAB,

AAAEF^AACB.

AF_AE日门AF_2V2

赢=I?即南=逅・

3

AF=2V3.

在RtAAFP中,AF=FP,

：.AP=&AF=2V6.

12.解:⑴A(0,6),B(4,0),P(2,3).

(2)如图，过点P作PFLOA于F.

乙OQE=90^OQP=^OQE=45°.

；.QF=PF.

点P(2,3),QF=PF=2,OF=3./.OQ=5.

•.•点A(0,6),，AO=6.

；.AQ=6-5=1,即AQ的长为1.

(3)①y=a(%2—2ax+a2)+a+1=a(x—a)2+a+l,

其顶点C的坐标为(a,a+l).

，点C是直线y=x+l(x力0)上一点.

"?ZOQE=90°,OQ=5,

当y=5时,x=4.

又：点P(2,3)在直线y=x+l上，

..・当点C在APQE内部(不含边)时，a的取值范围是2<a<4.

②存在点C使ICQ-CEI最大，其坐标为((蔡，蔡)

13.解:(1)CD=|a.

(2)四边形ADFC是菱形.理由如下：

由折叠的性质得DF=DB,

VZA=60°,.,.ZB=30°.

1

・•・AC=-AB=AD=DB./.AC=DF.

2

・・・DFJ_BC,・・・AC〃DF.

・・・四边形ADFC是平行四边形.

VAD=DB=DF,

・・・平行四边形ADFC是菱形.

(3)NBDE=45。或NBDE=135°.

［解析］分两种情况：点E在线段BC上，点E在BC的延长线上，如图①，图②.

14.解:⑴证明:,・.四边形ABCD是矩形，

JAD//BC.JNDEF=NEFB.

由翻折变换可知,NDEF=ZPEF,

・•・ZPEF=ZPFE.APE=PE

(2)证明:如图，连接AC交EF于O,连接PM,PO.

VAE//CF,/.ZEAO=ZFCO.

AE=CF,ZAOE=ZCOF,

・・・AAEO^ACFO(AAS).OE=OE

,/PE=PF,/.PO平分NEPF.

AD=BC,AE=FC,ED=BF.

由折叠的性质可知ED=EH,；.BF=EH.

PE-EH=PF-BF.PB=PH.