9年级数学北师大版上册教案第2章《一元二次方程的根与系数的关系》

教学设计一元二次方程的根与系数的关系教学目标：1．理解一元二次方程根与系数的关系，会求与一元二次方程的两根有关代数式的值.2．能根据一元二次方程根与系数的关系，已知一个根，求出方程的另一个根及未知系数.3．通过一元二次方程根与系数关系的推导，提高学生的推断能力．教学重点：理解一元二次方程根与系数的关系，会求与一元二次方程的两根有关代数式的值.教学难点：能根据一元二次方程根与系数的关系，已知一个根，求出方程的另一个根及未知系数.教学方法：提出问题——合作探究——归纳总结教学法．课前准备：教师准备：精心备课，制作课件，制作讲学案，学生准备：预习本节课.教学过程：一、创设情境明确目标（预设时间5分钟）1.一元二次方程的一般形式？ax2+bx+c=0(a≠0)

（学生默写）2.一元二次方程的求根公式是什么？(△=b2-4ac≥0)（学生默写）【处理方式】学生默写，其余学生补充，教师点拨评价.【设计意图】让学生熟悉与本节课有关的知识，做好本节课学习的铺垫.师：同学们可以看出方程的根与方程的二次项系数、一次项系数、常数项有关系，它们有怎样的关系呢？让我们共同研究第二章第五节《一元二次方程根与系数的关系》请看学习目标：【学生齐读】1．理解一元二次方程根与系数的关系，会求与一元二次方程的两根有关代数式的值.2．能根据一元二次方程根与系数的关系，已知一个根，求出方程的另一个根及未知系数.【设计意图】让学生明确本节课的学习任务，看着目标研究、带着问题学习.自主学习合作探究（预设时间30分钟）师：目标已经确定，任务等待完成，下面我们以学习小组为单位研究,探究活动1—一元二次方程根与系数的关系根据计算填空，并思考下面问题：方程X1X2X1+X2X1X2x2+5x+4=0x2+x-2=02x2-3x+1=0（1）观察表格中X1+X2与X1X2的值它们与一元二次方程的各项系数之间有什么样的关系？（2）是不是所有的一元二次方程根与系数都有这样的关系呢？【处理方式】学生开始分小组学习，小组长分工，两名同学做第1题，两名同学做第2题，组长和另一名同学做第3题，做完后，组长同学负责指导本组同学校对答案，并进行结论总结.【师】同学们停下研究，让我们共同分享一下集体的智慧，让不同的学习小组发言，得到所做题目的答案，并总结得到自己的结论；最后话锋一转，“请根据以上的观察发现，请猜想：方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1，x2，则x1+x2=________.x1x2=.如何验证你的猜想？【生1】x1+x2=x1x2=【师】能把你推理的过程和大家一起分享吗？【生1】摇头【生2】拿着讲学案到讲台前，展示计算推理过程并作具体的步骤解释，效果很好，学生都很专注的听.【师】满意的点头，我们为苏伟杰同学精彩的推理喝彩，苏同学验证了我们猜想的结论，是我们班未来的伟大、杰出的一名‘数学家’，早在四百多年前，法国的韦达也发现了此结论，并传承至今，请阅读韦达其人其事.生：阅读教师准备的课外拓展：韦达1540年出生在法国，年青时学习法律，当过律师，当过议会议员。但他致力于数学研究，第一个有意识的系统的使用字母来表示数，带来代数学理论研究的重大进步，最早发现代数方程根与系数的关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理.【设计意图】：在研究一元二次方程根与系数的关系时，设计让学生分组研究，极大调动了学生积极参与、探讨结论的积极性，进一步体现“提出问题——合作探究——归纳总结”教学方法；教师在让学生得到猜想后，因势利导，进一步加强计算推理能力的培养，让思维敏捷的同学苏伟杰展示，既实现了本初的意愿，又让极大肯定了数学思维活跃同学的表现，可谓一箭双雕.探究活动2—会利用一元二次方程根与系数的关系，求与两根有关的代数式的值【师】结论固然重要，应用才能最好，下面请同学们研究探究活动2.请四名同学把过程板书在黑板上，其余同学在在讲学案上面完成.【生】开始做题【师】巡视，并不断在学生中间走动，进行小组性指导，个别学生指导，声音较小，不去影响更多的同学学习.例1.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积x2+7x+6=0（2）2x2-3x-2=0（3）5x-1=3x2（4）x2-4x+2=0【处理方式】大概3分钟后，结束做题，进行答案矫正.采取学生在黑板前评析，其余同学补充的方式.【设计意图】在新课程理念里说到，学生会的教师不要讲，学生能说出来的，教师不用说，教学的目的就是让学生自主学习、主动探索，获取新知识.【师】指向例2，一元二次方程x2-3x+1=0的两根是x1、x2，求下列各式的值.（提示：所求的代数式的值与x1、x2有怎样的关系，把它们怎样变形）（1）（2）x12+x22生：有一些学生举手回答.【师】做了一个把手放下的手势，接着说，“有思路的同学把你的想法写在讲学案上，没有思路的同学请继续思考”说着走下讲台，走到举手较少的第七组，俯身进行小组内教学指导，在教师的影响下，第十组、第六组的组长开始对本组内不会的同学进行讲析.此时，有的同学做题，有的帮助不会的同学，有的聚精会神听‘小老师’的讲课.同时教师请两名学生到讲台前，把自己完成的计算过程，利用数码展台进行展示.【设计意图】当部分学生会时，教师不让这些学生回答，目的是不能让少数学生的会，取代不明白学生的思维空白，同时很好地完成思维的训练，学生语言的表达，合作学习、‘兵教兵’，做题步骤的规范.【师】把老师出的题做对，说明你掌握了一元二次方程根与系数，在此基础上，你能否出几道和以上两道题类似的问题呢？【生1】计算的值【生2】计算（x1+x2）2的值【生3】计算（x1-x2）2的值（学生出的题目类型很多，有的比较复杂，教师只做认可，把其中较为简单，学生能够接受的写在黑板上，让学生进行计算.）【师】刚才几名同学的表现让老师非常满意，你们设计的题目与一元二次方程根与系数有着密切的关系，哪些同学能解决这些问题？让其中三名同学到黑板上板书，其余同学在练习本上计算.（在教师巡视、指导的基础上，让学生在小组内进行讲评、纠错）【师】通过大家对以上问题的研究，你们发现解决此类问题有什么规律？【生1】这类问题与倒数、完全平方公式有关系.【生2】不是这个意思，我想这类问题都与一元二次方程根与系数有着密切的关系，对它们进行变形后，都含有两根和X1+X2以及两根积的形式.【师】出示投影，并让学生齐读学生发现的规律，即“以上代数式与一元二次方程根与系数有着密切的关系，对它们进行变形后，都含有两根和X1+X2以及两根积的形式”.探究活动3—根据一元二次方程根与系数的关系，求方程另一个根及未知系数的值例3.已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值【师】我们利用不同的方法思考这个问题的解决方案.【生1】利用一元二次方程根与系数，设方程的另一个根为x1，则2+x1=2x1=解得k=-7，,x1=【生2】利用把方程的根带入原方程的思想，即把x=2带入5x2+kx-6=0得，解得k=-7，然后利用解方程的方法得到方程的另一个根是【设计意图】利用不同的解法思考这一问题，通过本题的练习训练学生对一元二次方程根与系数结论的巩固、对一元二次方程根的解法的训练，培养学生一题多解、一题多变的发散思维的能力.归纳总结拓展提高（预设时间10分钟）（一）通过本节课的研究，你有哪些收获？【生1】通过学习掌握一元二次方程根与系数的关系，会求与一元二次方程的两根有关代数式的值.；能根据一元二次方程根与系数的关系，已知一个根，求出方程的另一个根及未知系数.【生2】补充道：能根据一元二次方程根与系数的关系，已知一个根，求出方程的另一个根及未知系数；同一道题目能利用不同的解法计算.（二）当堂达标：【师】精彩属于你，收获属于我们，下面我们用6分钟来完成达标检测的内容.1.（2019·云南昆明）已知、是一元二次方程的两个根，则等于（）A.B.C.1D.42.（2020·毕节）已知x1、x2是一元二次方程x2-2x=0的两个根，则X1+X2的值是（）A.0B.2C.-2D.43.已知x=-2是一元二次方程x2-mx-6=0的一个根，则方程的另一个根是4.已知x1、x2是一元二次方程x2+3x-3=0的两个实数根，则的值是5.已知关于x的一元二次方程x2-x-3=0的两个实数根分别为m、n，求（m+3）（n+3）的值.师：请同学们安静、独立完成，看谁做的又对又快又好，等一会校对答案.生：积极做讲学案达标检测内容.【处理方式】老师在下面巡视，用红笔批阅做完的学生作品，并进行评价.六分钟后，让学生把讲学案同学之间交换，看着实物投影上面的正确答案，进行批阅.批阅后，学生之间交换，把自己做错的题，利用红笔在错题一旁修改，学生订正.【参考答案】1.答案：C思路点拨：本题利用两根的积是1来完成.2.答案：B思路点拨：本题利用两根的和是2来完成.3.答案：3思路点拨：本题利用一元二次方程根与系数的关系来完成.4.答案：思路点拨：本题利用一元二次方程根与系数的关系来和两根有关的代数式的值来完成.5.答案：9思路点拨：本题利用一元二次方程根与系数的关系来和两根有关的代数式的值来完成.【设计意图】：通过设计以上题目，主要考察学生对一元二次方程根与系数的关系的应用.学生在规定的时间完成课堂达标，不仅体现所学知识的用处，而且让学生感受到数学知识的魅力，使学生真正成为学习数学的主人.（三）布置作业（1）必做题课本51页第2、3题（2）选做题课本51页第4题板书设计：2.5一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根